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多1.2简单多面体


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相信 自己

由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。 多面体按照它的面数的多少,可以分为:四面体、 五面体、六面体……其中棱柱、棱锥、棱台是简单 卢浮宫 多面体.

1、我们常见的一些物体,例如三棱镜,方砖以及螺杆 的头部,它们有什么共同特点:

1.棱柱的定义
定义

:有两个面互相平行,其余各面都是四边 形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由 这些面所围成的几何体叫做棱柱。
两个互相平行的平面叫做棱柱的底面,其余各面叫做棱

柱的侧面。相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。侧面与底的
公共顶点叫做棱柱的顶点。
底面 侧面 侧棱

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这些棱柱是否可以看作由什么图形平移运动得到?

棱柱另一种定义: 一般地,由一个平面多边形沿某一方向平移 移成的空间几何体叫做棱柱(prism).

2.棱柱的表示
怎样表示一个棱柱呢?
A? B?

C?

F?

E?

A

D?

B?
F

C?
E D

A B

C

A

B

C

棱柱 ABC ? A?B?C ?

棱柱 ABCDEF ? A?B?C ?D?E ?F ?

通常用底面各顶点的字母表示棱柱

3.棱柱的分类
观察下列棱柱并思考它们的不同之处?

棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形 …… 我们把棱柱按照底面多边形边数的多少,可分三棱柱、 四棱柱、五棱柱……
它们的底面分别是什么平面图形?

三棱柱 三角形

四棱柱 四边形

五棱柱 五边形

六棱柱 六边形

把侧棱垂直底面的棱柱叫直棱柱; 底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱
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4.棱柱的性质

观察下列几何体,回答

①两个底面多边形间的关系? ②上下底面对应边间的关系? ③侧面是什么平面图形? ④侧棱之间的关系?

全等 平行且相等

平行四边形
平行且相等

棱柱的性质: 两个底面是全等的多边形,对应边互相平行 且相等,侧面都是平行四边形.

1.有两个面相互平行,其余各面 都是四边形的几何体是棱柱吗?
答:不一定 2.有两个面相互平行,其余各面

都是平行四边形的几何体是棱柱吗?
答:不一定 3.直棱柱的侧面都是矩形;

4.正棱柱的侧面是全等的矩形;

埃及卡夫拉王金字塔

墨西哥太阳金字塔

1.棱锥的定义

有一个面是多边形,其余各面是有一个 公共顶点的三角形, 由这些面所围成的几何 体叫做棱锥。
这个多边形面叫做棱锥的底面。 有公共顶点的各个三角形叫做棱锥 的侧面。 各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。

相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。
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2.棱锥的元素
A? B?

类比棱柱,给棱锥各元素命名
顶点
C?

S

由棱柱的一个 底面收缩而成 底面

底面

A

C
B

A B

C

侧面

侧面

侧棱
相邻两侧面 的公共边

侧棱 相邻两侧面 的公共边

棱锥另一种定义:当棱柱的一个底面收缩为 一个点时,得到的几何体叫做棱锥.

3.棱锥的性质

观察下列棱锥,归纳它们的底面和侧面各有什么特征? 在同一个棱锥中的各个侧面三角形有什么共同特征?

棱锥的性质:

①底面是多边形(如三角形、四边形、五边形等) ②侧面是三角形 有一个公共顶点的

能否类比棱柱的表示法与分类给出棱锥的 表示法与分类?
A

s

s
B

B C
C

E D

A

E

s

F

D
C

B

C 棱锥S-ABC

A D 棱锥S-ABCD 棱锥S-ABCDE
四棱锥 五棱锥

A
六棱锥

三棱锥

B s 棱锥S-ABCDEF

分类标准: 底面多边形的边数

一类特殊的棱锥:正棱锥

把底面为正多边形,侧面是全等的三角形的棱
锥叫作正棱锥。

正棱锥的性质:正棱锥的侧棱长相等;
侧面是全等的等腰三角形;

S

A
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B

D

思考:用一个平行于棱锥底面的平面去截 棱锥,那么所得截面与棱锥底面之间的 几何体会是怎样的一个几何体呢?

A1

D1

B1

C1

A1

D1 B1

C1

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1.棱台的定义

观察下图,如何将棱锥变换成下方的几何体?

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面和 截面之间的部分叫做棱台.

2.棱台的元素
参照棱柱的说法,棱台的底面、侧面、侧棱、顶点分别指什么? 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面, 其余各面叫做棱台的侧面,相邻侧面的公共边叫做棱台的 侧棱,侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点.
上底面 底面 侧面 侧棱

下底面 底面

如何表示棱台? 棱台有哪些性质?

棱台的表示及性质
棱台用表示上、下底面各顶点的字母来表示,如图

棱台ABCD-A1B1C1D1 。

A1
棱台的性质:

D1

C1

B
1

两底面平行,且两底面多边形对应边平行, 侧面是梯形,侧棱的延长线交于一点.

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思考
1:下列多面体一定是棱台吗?如何判断?
2:三棱台、四棱台、五棱台分别是什么含义?

正三棱台是什么含义?
因为棱台是棱锥被平行于底

面的一个平面所截后,截面和底
面之间的部分,故其侧棱延长后 必须交于一点,判断一个几何体

是不是棱台,既要判断两个底面 由三棱锥、四棱锥、五棱锥截得的棱台, 是否平行,又要判断其侧棱延长 分别叫做三棱台,四棱台,五棱台。 线是否交于一点. 由正三棱锥截得的棱台叫正三棱台。

想 一 想

1.棱柱、棱锥和棱台三者的关 系和圆柱、圆锥和圆台三者的关系 有那些相似之处?
2.棱柱、棱锥和棱台都是多面 体,它们在结构上有那些相同点和 不同点?三者的关系如何?当底面 发生变化时,它们能否互相转化?
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反思总结 圆
圆柱 平面多边形 棱柱

圆锥

棱锥

圆台

棱台

几何体
侧棱

图形

底面
两个底面是全等 的多边形且对应 边互相平行

侧面
平行四边 形

侧棱
互相平行 且相等

棱柱

侧面 底面 侧棱

棱锥

侧面 底面

一底面是多边形, 有一个公共顶 另一底面缩 点的三角形 为一点

交于 一点

棱台

上底面 侧棱 侧面 下底面

两底面平行 且两底面多 边形对应边 平行

侧面是 梯形

侧棱的 延长线 交于一 点.

学生活动

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(1)棱柱: (1) (2) (5) (8)

这些几何体可以分成几类? (2)棱锥:(4) (6) (7) (12) 每一类各有哪些图形?
(3)棱台:(3) (9) (10) (11)
(12) (6)

(11)

(10)

(9)

(8)

(7)

回顾小结 ?
?

(1)棱柱、棱锥、棱台的定义和性质.
(2)运动变化、类比联想的观点.

?

(3)将空间问题转化成平面问题的转
化思想.

课堂练习
1.判断:

①有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥. × ②斜棱柱的侧面中可能有矩形. ③底面为正多边形的棱柱为正棱柱;

×

2.如图,四棱柱的六个面都是平行四边形,这个四棱 柱可以由哪个平面图形按怎样的方向平移得到?

3.多面体至少有几个面?
棱柱至少有多少个面?

作业
1.画一个四棱锥,一个四棱柱, 一个四棱台
注意:被挡住的线要画成虚线.


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