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江苏省金湖县实验中学高中数学奥赛辅导:集合与简易逻辑


一、基础知识:(参阅《金牌之路· 竞赛辅导· 高中数学》第一讲:集合;第三十八讲:容斥原理; 《金牌之路· 竞赛解题指导· 高中数学》第 2 讲:集合) 1. 元素与集合:a∈ A,b?A 2. 集合与集合:A B,A?B,A?B,A∩ B, UA,?? B,A∪ 3. 差集:A-B={x|x∈ 且 x?B}(部分资料上用“A\B”表示) A 4. 集合运算律:(略) 5. n

个元素的集合所有子集个数为:2n 6. 覆盖与划分:如果集合 S=S1∪2∪ S ??∪n,则 S1、S2、??、Sn 叫做集合 S 的一个覆盖; S 如果同时又有 Si∩j=φ(i≠j),则 S1、S2、??、Sn 叫做集合 S 的一个划分. S 7. 容斥原理:card(A∪ B)=card(A)+card(B)-card(A∩ B) card(A∪ C)=card(A)+card(B)+card(C) B∪ -card(A∩ B)-card(B∩ C)-card(C∩ A) +card(A∩ C) B∩ 该结论可以推广到 n 个集合. 8. 命题与推理:简单命题与复合命题,逻辑关连词“或”“且”“非”的应用,逆命题、 、 、 否命题、逆否命题及其真假性的判断 9. 充要条件:如果 A?B,则称 A 是 B 的充分条件,同时称 B 是 A 的必要条件 10. 数学悖论:对于命题 p,如果 p 正确,则可以推导出“非 p” ,而如果 p 错误,又可以推 导出 p 正确。也称“二难问题” 。 二、例题: 1. 已知集合 A={1,3,x},B={1,x2},A∪ B={1,3,x},则这样的 x 的不同的值有( )个 A.1 B.2 C.3 D.4 2. 已知集合 M 中的元素都是自然数,且如果 x∈M,则 8-x∈M,则满足这样条件的集合 M 的个数为( )(注:自然数包括 0) A.64 B.32 C.16 D.8 求集合{x∈ Z|
1 x ≤2 <32}的真子集个数. 2

3. 4. 5. 6.

7.

8.

在 1~120 的 120 个自然数中,素数与合数各有多少个? 已知 M={a,a+d,a+2d},N={a,aq,aq2},且 M=N,求 q 的值. 在数理化三科竞赛辅导中,高一 10、11、12 班参加数学辅导的有 168 人,参加物理辅导 的有 187 人,参加化学辅导的有 155 人,数学、物理两科都参加的有 139 人,数学、化 学两科都参加的有 127 人,物理、化学两科都参加的有 135 人,数理化三科都参加的有 102 人,问这三个班总共有多少人至少参加了一科的辅导? 解:根据容斥原理,至少参加一科辅导的学生人数为: 168+187+155-139-127-135+102=211 求证:任意 n+1 个整数中,总有两个整数的差能被 n 整除。 提示:利用余数构造 n 个集合,根据抽屉原理,至少有两个整数放在一个集合里,它们 同余,它们的差一定能被 n 整除. 证明:若购买超过 17 千克(整数千克)的粮食,只用 3 千克和 10 千克的粮票支付,而 无需要找补。 解: 本题其实就是证明大于 17 的整数都能表示为 3m+10n 的形式, 其中 m,n 都是非负整 数.注意到: 大于 17 的整数可以写成 3k,3k+1,3k+2(k≥6)的形式, 3k+1=3(k-3)+10,3k 而 +2=3(k-6)+10×2,因此它们都能够表示成 3m+10n 的形式,其中 m,n 都是非负整数.

9.

设 A 是数集,满足若 a∈ A,则

1 ∈ A,且 1?A. 1? a

⑴ 2∈ 若 A,则 A 中至少还有几个元素?求出这几个元素. ⑵ 能否为单元素集合?分别在实数集和复数集中进行讨论. A ⑶ a∈ 若 A,证明:1-
1 ∈ A. a
1 ∈ A 2 1 2

解:⑴ A ? -1∈ ? 2∈ A

? 2∈ A

∴ 中至少还有两个元素:-1 和 A ⑵ 如果 A 为单元素集合,则 a=

1 1? a

即 a2-a+1=0 该方程无实数解,故在实数范围内,A 不可能是单元素集
1 3 但该方程有两个虚数解:a= ? i 2 2 1 3 故在复数范围内,A 可以是单元素集,A={ 1 ? 3 i}或 A={ ? i} 2 2 2 2

⑶ A ? a∈

1 ∈ A 1? a

?

1 1 1? 1? a

∈ A,即 1-

1 ∈ A a

10. 设 S 为集合{1,2,3,??,50}的一个子集,且 S 中任意两个元素之和不能被 7 整除, 则 S 中元素最多有多少个? 将这 50 个数按照 7 的余数划分成 7 个集合 A0={7,14,21,28,35,42,49} A1={1,8,15,22,29,36,43,50} A2={2,9,16,23,30,37,44} A3={3,10,17,24,31,38,45} A4={4,11,18,25,32,39,46} A5={5,12,19,26,33,40,47} A6={6,13,20,27,34,41,48} 除去 A0 中的 7 个元素外,其余集合中的元素都不能被 7 整除,而且其余六个集合的每一 个集合中任意两个元素之和也不能被 7 整除,但是,A1 和 A6、A2 和 A5、A3 和 A4 中如果各 取一个元素的话,这两个元素之和能够被 7 整除,因此,所求集合中的元素可以这样构 成:A0 中取一个,然后在 A1 和 A6、A2 和 A5、A3 和 A4 每一组的两个集合中取一个集合中 的所有元素,为了“最多” ,必须取 A1 中的 8 个,然后可以取 A2、A3 中各 7 个元素,因 此 S 中元素最多有 1+8+7+7=23 个 11. 已知集合 A 中有 10 个元素,且每个元素都是两位整数,证明:一定存在这样两个 A 的子 集,它们中没有相同的元素,而它们的元素之和相等. 解:这 10 个元素的总和 S<100×10=1000 而 A 的子集总共有 210=1024>1000>S 根据抽屉原理,至少存在两个子集,他们的元素之和相等,记为 M、N, 如果 M、N 没有公共元素,则 M、N 就是满足题意的子集,命题得证. 如果 M、N 中有公共元素,记 M∩ N=Q,

考查集合 M'=M-Q,N'=N-Q 则 M'、N'中没有公共元素,且 M'、N'的元素之和相等,同时它们都是 A 的子集. 即 M'、N'为所求集合. 命题成立! 12. 老师手中拿有三顶白色帽子和两顶红色帽子,他让三个学生按前后顺序站成一列,然后 让他们闭上眼睛,给他们每人戴上一顶帽子,并将剩下的两顶帽子藏了起来,三人睁开 眼睛后,后面的人可以看见前面人的帽子颜色.这时老师问: “你们谁能判断出自己戴的帽 子的颜色?”结果三人都说: “不能! ”老师又说: “你们再考虑考虑,能判断出来吗?” 三人思考了一会儿,还是都说: “不能! ”老师再一次问: “真的不能吗?” ,这时,站在 最前面的同学突然说: “老师,我知道我戴的帽子颜色了! ”请问,这位同学戴的帽子是 什么颜色的?他又是怎样判断出自己帽子的颜色的? 答:白色. 不妨从前到后记三人为甲乙丙, 第一次问,甲乙自然无法判断,而丙也无法判断,说明甲乙二人戴的帽子颜色为“两白” 或“一红一白” 第二次问,丙的情形没有变化,也无法判断,这时,甲和乙可以动脑筋了,既然甲乙的 帽子颜色为“两白”或“一红一白” ,如果乙看到甲的帽子颜色为红色,则乙的帽子颜色 肯定为白色,这样乙就应该在老师第二次提问时回答出答案,这说明乙看到的甲的帽子 颜色为白色.因此乙无法判断自己帽子的颜色. 这样,当老师第三次提问时,甲就可以利用前两次乙和丙“不知道”的回答给自己的提 示,从而准确地判断出自己所戴帽子的颜色为白色. 13. 孙膑是中国古代著名的军事学家,他的兵法众人皆知.一天,大王决定要考一考孙膑的才 能,便对孙膑说: “请你用计让我走下我的宝座.” 一旁的庞涓争着说: “我把大王拖下来! ” 大王对他的答案立即给予否定: “这不是用计! ”庞涓又说: “那我用火烧! ”大王也不以 为然,这时孙膑说: “大王,要你走下宝座确实不易,但如果你来到宝座下面的话,我可 以用计让你走回去! 大王一心要试一试孙膑的智力, ” 毫不犹豫地走了下来等待孙膑用计, 这时孙膑说: “大王,我已经成功了! ”大伙儿一时都糊涂了,这是怎么回事呢? 其实这是孙膑给大王设下了一个“二难”的格局,如果大王不下宝座,则孙膑的的前提 “如果你来到宝座下面”不成立,这样我的智力无法表现出来了,而如果大王走下宝座, 则“我已经让你走下了宝座” 。因此,无论大王怎么样动作,孙膑都能够保证自己至少不 输! 14. 这里是五间并排的商店。它们的店员分别是高太太(她不是美容师)、林先生(他不是水果 商)、刘先生(他不是药商)、李先生(他不是杂货商)及卢小姐(她不是开花店的)。 卢小姐的店铺位于这排商店的最后一间,刘先生的隔邻是杂货店,而他跟水果商很友善, 希望有一天她能把店铺转让给他。 如果上面这一段文字已经能确定出每间店铺的主人,你能得出详细结果吗? 解:注意:题目叙述中已经透露出水果商是女性,并注意到“这一段文字已经能确定出 每间店铺的主人” ,画出推理表即可得出正确结论 美容师 水果商 药商 杂货商 开花店

高太太 林先生 刘先生 李先生 卢小姐

× × × × O

O × × × ×

× × × O ×

× O × × ×

× × O × ×

练习: 1. 集合 A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1},若 A∩ B={-3},则 a 的值是( ) A.0 B.1 C.2 D.-1 2 2 2. 设 A={x∈ -px+15=0},B={x∈ -5x+q=0},若 A∪ Z|x Z|x B={2,3,5},则集合 A,B 分别是( ) A.{3,5},{2,3} B.{2,3},{3,5} C.{2,5},{3,5} D.{3,5},{2,5} 3. 50 名学生参加跳远和铅球两项测试,成绩及格的人数分别为 40 人和 31 人,两项成绩都 不及格的有 4 人,那么两项成绩都及格的有( )人 A.35 B.25 C.28 D.15 4. 集合{x∈ N|0<|x-1|<3}的真子集个数为( A.16 B.15 ) C.8 D.7
1 },求 A∪ B. 2

5. 6. 7. 8.

设 A={x|2x2-px+q=0},B={x|6x2+(p+2)x+5+q=0},若 A∩ B={

已知集合 A 和集合 B 各含有 12 个元素,A∩B 含有 4 个元素,试求同时满足下面两个条 件的集合 C 的个数:①C?A∪B,且 C 中含有 3 个元素,②C∩A≠φ . 已知集合 A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+(a-1)=0},C={x|x2-mx+2=0},且 A∪ B =A,A∩ C=C,求实数 a 的值和 m 的取值范围. (理发师悖论)某个小岛上只有一个理发师,因此小岛上的所有人理发都只好找这个理发 师,一天,这个理发师自豪地说: “我给这个小岛上所有不给自己理发的人理发,也只给 这些人理发! ”请问:理发师的这句话有什么问题?


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