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全国2016年青年教师优质课比赛教案说明


直线的倾斜角与斜率【教案说明】
上饶市一中
一、教学内容与地位作用解析 本节课是北师大版教材高一数学必修(2)第二章 1.1 节的内容。 1、内容分析 本节课的主要内容有两个概念(直线的倾斜角、直线的斜率)及 一个公式(斜率计算公式) 直线的倾斜角是反映直线倾斜方向的量, 它也是确定直线位置的 一个重要的几何要素,它实质上能从“形”的角度刻画直线的倾斜程 度。

直线的斜率指倾斜角不是 90 的直线, 其倾斜角的正切值叫做这 条直线的斜率。教材是从生活中斜坡的坡度迁移到直线的斜率概念 的。直线的斜率可看作是比值,实质上是数值,所以直线的斜率从本 质上可看成是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度。显然,与倾斜角 相比,用斜率刻画倾斜程度会更细致。 关于过已知两点的直线斜率公式: 因为过两点的直线是唯一确定 的,所以其倾斜程度也就确定(即直线的斜率也是确定的) 。从而在 直角坐标系中,直线的斜率与直线上两点的坐标就有密不可分的联 系。斜率 k ?
y 2 ? y1 不仅反映了这种联系,并用代数方法表示了出来, x2 ? x1
?

姚蔚

而且在公式的推导中蕴含了分类讨论、数形结合、化归等重要数学思 想。

-1-

2、地位作用分析 本节课是高中解析几何部分的起始课, 学生具备的知识基础是在 直角坐标系中会用坐标表示点, 明确了坐标平面上的点与有序数对可 建立一一对应的关系。 这节课的教学难点在于和以往的教材不同, 学生没有学习三角函 数,所以不可以用正切函数来解释倾斜角与斜率之间的关系。本节是 以 tan ? ?

?y , 在 y 轴方向上的升高量 ?y 和在 x 轴方向上的前进量 ?x ?x

的比值探究出斜率的概念的。 这节课的教学内容,不仅能反映出数学概念离不开生活,数学是 自然有用的,而且蕴含了几何问题代数化的思想,从知识点及研究方 法上, 为后继判断两条直线的位置关系以及建立直线的方程等内容起 着关键性的铺垫作用。 二、教学目标解析 1、探索确定直线位置的几何要素,感受倾斜角这个反映倾斜程 度的几何量的形成过程; 2、通过教学,使学生从生活中坡度自然迁移到数学中直线的斜 率的过程, 感受数学概念来源于生活实际, 数学概念的形成是自然的, 从而渗透辩证唯物主义思想; 3、充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面刻画直线相对于 x 轴倾斜程度的两个量这一事实,渗透数形结合思想; 4、经历用代数方法刻画直线斜率的过程,初步掌握过已知两点 的直线的斜率计算公式,渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。
-2-

三、教学问题诊断分析 1、 关于倾斜角的概念: 为什么要引入倾斜角?如何描述这个角? 这些地方都是教学中易忽略的,也是学生最难理解的地方。直接给出 倾斜角的定义,会使学生误认为数学概念就是绝对抽象的,你只要接 受就可以了, 这样我们就把活生生的、 自然的数学演变成高不可攀的, 为聪明人准备的学科,会渐渐使许多学生变得被动学习,缺乏数学学 习兴趣及自信心。所以,在引入这节课时,应重点让学生感受引入倾 斜角的必要性,要描述清楚倾斜角必须注意是有方向旋转(矢量) , 从而能自然地、准确地描述清楚定义。 2、对于斜率,学生基本上能从斜坡的坡度中顺利迁移过来,当
? ? 倾斜角为 90 及 0 时可以特殊认识,当倾斜角为钝角时(与斜坡稍

有不同)斜率的求法应重点分析,突出转化思想的同时,使学生对所 有直线的斜率情况有全面的认识。 另外,倾斜角和斜率分别是从“形”与“数”的不同方面刻画直 线的倾斜程度,相比较斜率更具有优越性。 3、斜率计算公式的得出,学生有两点不易把握。一方面,怎样 将两点坐标与 tan ? 相联系;另一方面,图形分析不够全面。对前者, 可提供学生探究发现的机会, 对后者教师可先让学生在直角坐标系下 联想坡度,找升高量与前进量,再引导其转化为坐标表示。 公式的推导过程是多数学生能独立解决的, 教学中应放手让学生 推导并体会数形结合与分类讨论的思想, 有助于培养学生研究问题的 独立性、条理性、全面性。
-3-

教学重点:1.感悟并形成倾斜角与斜率两个概念; 2.推导并初步掌握过两点的直线斜率公式; 3.体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的作用。 教学难点:1.用代数方法推导斜率的过程。 2.是用
?y 来导出斜率的定义 ?x

四、本节课的教学方法: 计算机辅助教学与发现法相结合。即在多媒体课件支持下,让学 生在教师引导下,积极探索,亲身经历概念的发现与形成过程,体验 公式的推导过程,主动建构自己的认知结构。 五、教学过程设计 (一)创设情境,揭示课题 问题 1、 (出示幻灯片)给出的两点 P、Q 相同吗? 从形的角度看,它们有位置之分,但无大小与形状之分。 从数的角度看,如何区分两个点?(用坐标区分) 问题 2、过这两点可作什么图形?唯一吗?只经过其中一点(如点 P) 可作多少条直线?若只想定出其中的一条直线,除了再用一点外,还 有其他方法吗?可以增加一个什么样的几何量? (估计不少学生能意 识到需要有一个角) 由此引导学生归纳,确定直线位置可有两种方式 (1)已知直线上两点 (2)已知直线上一点和直线的方向(即倾斜程度) 如何刻画直线的倾斜程度?这里就引入了倾斜角的概念。
-4-

1、倾斜角的定义:在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的 直线,把 x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线重合所 成的角,叫作直线的倾斜角. 让学生把握好定义,这里加入理解。(倾斜角是矢量) 角的形成(1)一个顶点 (2)初始边与终边(逆时针旋转) 这里制作了几何画板演示直线的倾斜角, 让学生更好地把握概念。
y o

?

p

l
x

y o

l

y o p

y

?x
l

p

?

p x o

l x

(1)

(2)

(3)

(4)

学生容易忽略与 x 轴平行或重合的直线注意补充。
? 规定:当直线 l 与 x 轴平行或重合时,它的倾斜角为 0 。

自然有倾斜角的范围是[0 ,180

?

?


这样平面直角坐标系中每条直线都有唯一一个确定的倾斜角 ? 与它对应。倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等,倾斜程度不同的直 线,其倾斜角不相等。 以上定义了一个从“形”的角度用倾斜角刻画平面直角坐标系内 一条直线的倾斜程度。 (二)巩固旧知,同化新知 1.提问:日常生活中,除了倾斜角还有没有其它表示倾斜程度的量?
-5-

生活中,我们都有过爬山、爬坡的体验,对于斜坡的倾斜程度, 可以用什么量来反映?(坡角与坡度) 初中对坡度是如何定义的?
升高量 坡度(比)= 前进量

(即坡角 ? 的正切值)

坡角、坡度都能反映倾斜程度,迁移到数学中,坡角相当于直线 的倾斜角,而坡度则对应于直线的倾斜角的正切值即 tan ? 2.高中我们定义倾斜角的正切值为斜率 问题(1)如何作一条过原点倾斜角为 60o 直线? 从这个问题的解决突出了确定直线的两种方法 (1)已知直线上两点 (2)已知直线上一点和直线的倾斜角。 以及确定直线的两种方法实际的操作性。 2 接着由特殊到一般研究过原点的直线的斜率。 (1)当倾斜角为锐角时
y


l
P(1, k )

0

?

x

1

-6-

因为 tan ? ?

?y k ? (k ? 0) 突出如何理解 ?y, ?x 的意义。 ?x 1

引出斜率:其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。即
k ? tan?(? ? 90? )

3.当 ? 为钝角时,直线的斜率如何求?

y

?

x

0

?


P(1, k )

(1)利用上述定义 tan ? ?

?y k ? (k ? 0) 研究出斜率。 ?x 1

上述方法用的是定义。也可以观察到 ? 与补角 ? 的正切值关系求斜率 如:倾斜角 ? ? 120 ,则斜率 k ? ? 3
?

o 倾斜角 ? ? 60 ,则斜率 k ? 3

问题 4。当 ? =90

?

时,斜率 k 如何?

这 里 借 助几 何画板 让 学 生了 解到倾 斜 角 与斜 率的关 系 , 所以 当

? =90 时,斜率 k 不存在。
至此,过原点的直线的斜率都研究了。学生很快可以总结了。
-7-

?

(1)斜率的求法:定义法 k ? tan?(? ? 90? ) (2)倾斜角与斜率的关系 3.接着研究不过原点的直线的斜率 可以通过平移到原点来,平行线间的斜率是一样的。 到此,我们把直线的所有位置情况都研究了,总结出直线的斜率: (1) k ? tan?(? ? 90? ) (2)倾斜角与斜率的关系

y o

?

p

l
x

y p o

l

y o p

y

?x

?x

p

o

l x

l

0°<

?<

90°

?

= 90°

90°<

?

<180°

? = 0°
k=0

k >0

k不存在

k<0

(三)尝试推导,深化认识 两点确定一条直线,可见由两点也就确定了直线的倾斜程度,即 倾斜角与斜率。 看来, 直线上两点与直线的斜率有着密不可分的联系。 问题 5.在平面直角坐标系中,已知直线上两点 P1(x1,y1) ,P2(x2, y2)且 x1 ? x2,能否用 P1 、P2 的坐标来表示直线斜率 k? (学生活动) :随意在坐标系下画两点 P1 、P2 及直线 P1 P2,探究各种 图形并尝试推导,可以先特殊再一般,也可先一般再特殊地去分析。
-8-

教师可适当引导其将斜坡截面图迁移到坐标系中,类似升高量,前进 量, 用点的坐标表示线段长, 并请同学叙述各个图的推导过程与结果。
y P2(x2,y2)
Q (x2,y1)

y P2(x2,y2) P1(x1,y1) α Q (x2,y1) O y P1(x1,y1) P2(x2,y2) α x x

α

P1(x1,y1) O

x

y P1(x1,y1)
Q (x1,y2)

α

P2(x2,y2) O

x

Q (x1,y2)

O

解:设直线 P1 P2 倾斜角为 ? ( ? ? 90 ? )当直线 P1 P2 方向向上时,过 点 P1 作 x 轴的平行线,过点 P2 作 y 轴的平行线,两线交于点 Q,则点 Q 为(x2,y1) (1)前两图中, 突出如何理解斜率的 ?y, ?x 的意义,在 Rt?P1 P2 Q 中, k= tan? ? tan?QP1 P2 ?
QP2 P1Q ? y 2 ? y1 x2 ? x1

(2)后两图,突出如何理解 ?y, ?x 的意义,由学生自行推导
tan? ? y1 ? y 2 (可让学生分组推导) x1 ? x2 y1 ? y 2 y ?y , 即 k ? 2 1( x1 ? x2 ) x2 ? x1 x1 ? x2

小结: 无论 ? 为锐角或钝角, 也有 tan? ?

思考:1.两点间斜率公式与 P1、P2 这两点坐标顺序有关系吗? 2.当直线垂直于 x 轴或 y 轴时,上述结论适用吗?
-9-

3.斜率公式使用时应注意什么问题? 例题 1.如图 已知 A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线 AB,BC,CA 的 斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角. 例题 2. 在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为 1,-1,2
l1 , l2 , l3 及-3 的直线

及 l4



(四)反思小结,概括提炼(同学们这节课有何收获?) 1、明确了确定直线位置的几何要素。 2、理解了刻画倾斜程度的量(倾斜角与斜率) ,知道了求斜率的 两种方法(定义法、坐标法)

k ? tan ? ?

y ?y x ?x
2 2

1 1

3、 经历了代数方法刻画斜率的过程,感受了数形结合与分类讨论 的数学思想 (五)板书设计
直线的倾斜角与斜率
1、倾斜角的定义 范围[0

?

,180

?


?

2、直线的斜率

?

k ? tan ? ( ? ? 90? )
3.两点间斜率两点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)且 x1 ? x2,

k?

y 2 ? y1 ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

(六)作业:P 63 练习 1,2,3,4,5

六.教学预期估计
1.两个概念的形成,估计通过问题情境的设置,学生能达到预期的 教学目标, 而且这样设计之后, 概念得出是自然的, 不是强加于人的。
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2.斜率公式的推导可能存在学生对图形考虑不全面的问题,需要教 师适当进行引导。

- 11 -


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