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2016年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷) (3)


2016 年全国高中数学联合竞赛一试(A 卷)
一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1. 设实数 a 满足 a < 9a 3 ? 11a < a ,则 a 的取值范围是 .

2. 设复数 z , w 满足 z ? 3, ? z ? w?? z ? w? ? 7 ? 4i , 其中 i 是虚数单位, z, w

分 别表示 z , w 的共轭复数,则 ? z ? 2 w?? z ? 2 w? 的模为 .

3. 正实数 u , v, w 均不等于 1,若 log u vw ? log v w ? 5 , log v u ? log w v ? 3 ,则 . log w u 的值为 4. 袋子 A 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币,袋子 B 中装有 4 张 5 元纸币 和 3 张 1 元纸币.现随机从两个袋子中各取出两张纸币,则 A 中剩下的纸币面值 之和大于 B 中剩下的纸币面值之和的概率为 . 5. 设 P 为一圆锥的顶点,A, B, C 是其底面圆周上的三点, 满足 ?ABC ? 90? ,
M 为 AP 的中点.若 AB ? 1, AC ? 2, AP ? 2 ,则二面角 M ? BC ? A 的大小 为 .

kx kx ? cos 4 ,其中 k 是一个正整数.若对任意实数 a , 10 10 均有 ? f ( x) a ? x ? a ? 1? ? ? f ( x) x ? R? ,则 k 的最小值为 . 6. 设函数 f ( x) ? sin 4 y2 ? 1 ,左、右焦点分别为 F1 、 F2 .过点 F2 作一 3 直线与双曲线 C 的右半支交于点 P, Q ,使得 ?F1 PQ ? 90? ,则 ?F1 PQ 的内切圆 7. 双曲线 C 的方程为 x 2 ? . 半径是

8. 设 a1 , a2 , a3 , a 是 1, 2, ? ,100 中的 4 个互不相同的数,满足
2 2 2 (a12 ? a2 ? a3 )(a2 ? a3 ? a4 ) ? (a1a2 ? a2 a3 ? a3 a4 ) 2 ,

则这样的有序数组 (a1 , a2 , a3 , a ) 的个数为















怀





1

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 9. (本题满分 16 分) 在 ?ABC 中, 已知 AB ? AC ? 2 BA ? BC ? 3CA ? CB . 求 sin C 的最大值.

11.(本题满分 20 分)如图所示,在平面直角 坐标系 xOy 中, F 是 x 轴正半轴上的一个动点.以 F 为焦点、O 为顶点作抛物线 C .设 P 是第一象限 内 C 上的一点, 使得 PQ 为 Q 是 x 轴负半轴上一点,

C 的切线,且 PQ ? 2 .圆 C1 , C2 均与直线 OP 相
切于点 P ,且均与 x 轴相切.求点 F 的坐标,使圆 C1 与 C2 的面积之和取到最小值.










4





怀



10. (本题满分 20 分) 已知 f ( x) 是 R 上的奇函数, f (1) ? 1 , 且对任意 x ? 0 , ? x ? ? ? 均有 f ? ? ? ? xf ( x) . ? ? x ?1? ? 1 ? ?1? ?1? ? ?1? ? ?1? ? ?1? ? ?1? ? ? ? 求 f (1) f ? 的值. ?f? f? ?f? f? ?? ? f ? f? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?100 ? ? 2 ? ? 99 ? ? 3 ? ? 98 ? ? 50 ? ? 51?


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