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高中数学 第3课时 子集、全集、补集教案 苏教版必修1


第三课时

子集、全集、补集(一)

教学目标: 使学生理解子集、真子集概念,会判断和证明两个集合包含关系,会判断简单集合的相等关系;通过 概念教学,提高学生逻辑思维能力,渗透等价转化思想;渗透问题相对论观点. 教学重点: 子集的概念,真子集的概念. 教学难点: 元素与子集,属于与包含间的区别;描述法给定集合的运算. 教学过程: Ⅰ.复习回

顾 1.集合的表示方法 列举法、描述法 2.集合的分类 有限集、无限集 由集合元素的多少对集合进行分类,由集合元素的有限、无限选取表示集合的方法.故问题解决的关键 主要在于寻求集合中的元素,进而判断其多少. Ⅱ.讲授新课 [师]同学们从下面问题的特殊性,去寻找其一般规律. 幻灯片(A): 我们共同观察下面几组集合 (1)A={1,2,3},B={1,2,3,4,5} (2)A={x|x>3},B={x|3x-6>0} (3)A={正方形},B={四边形} (4)A= ? ,B={0} (5)A={直角三角形},B={三角形} (6)A={a,b},B={a,b,c,d,e} [生]通过观察上述集合间具有如下特殊性 (1)集合 A 的元素 1,2,3 同时是集合 B 的元素. (2)集合 A 中所有大于 3 的元素,也是集合 B 的元素. (3)集合 A 中所有正方形都是集合 B 的元素. (4)A 中没有元素,而 B 中含有一个元素 0,自然 A 中“元素”也是 B 中元素. (5)所有直角三角形都是三角形,即 A 中元素都是 B 中元素. (6)集合 A 中元 素 A、B 都是集合 B 中的元素. [师]由上述特殊性可得其一般性,即集合 A 都是集合 B 的一部分.从而有下述结论. 幻灯片(B): 1.子集 定义:一般地,对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们就说集合 A 包含于集合 B,或集合 B 包含集合 A.记作 A B(或 B A) ,这时我们也说集合 A 是集合 B 的子集. [师]请同学们各自举两个例子,互相交换看法,验证所举例子是否符合定义. [师]当集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A 时,则记作 A B(或 B 如:A={2,4},B={3,5,7},则 A B. [师]依规定,空集 ? 是任何集合子集. 请填空: ? _____A(A 为任何集合). [生] ? ? A [师]由 A={正三角形},B={等腰三角形},C={三角形},则从中可以看出什么规律?
1

A).

[生]由题可知应有 A ? B,B ? C. 这是因为正三角形一定是等腰三角形,等腰三角形一定是三角形,那么正三角形也一定是三角形 .故 A ? C. [师]从上可以看到,包含关系具有“传递性”. (1)任何一个集合是它本身的子集 [师]如 A={9,11,13},B={20,30,40},那么有 A ? A,B ? B. 师进一步指出: 如果 A ? B,并且 A≠B,则集合 A 是集合 B 的真子集. 这应理解为:若 A ? B, 且存在 b∈B,但 b ? A,称 A 是 B 的真子集.

A 是 B 的真子集, 记作 A B(或 B A)真子集关系也具有传递性若 A B, B C, 则 A C.
那么_______是任何非空集合的真子集. [生]应填 ? 2.例题解析 [例 1]写出{a、b}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集. 分析:寻求子集、真子集主要依据是定义. 解:依定义:{a,b}的所有子集是 ? 、{a}、{b}、{a,b},其中真子集有 ? 、{a}、{b}. n n 注:如果一个集合的元素有 n 个,那么这个集合的子集有 2 个,真子集有 2 -1 个. [例 2]解不等式 x-3>2,并把结果用集合表示. 解:由不等式 x-3>2 知 x>5 所以原不等式解集是{x|x>5} [例 3] (1)说出 0, {0}和 ? 的区别; (2) { ? }的含义 Ⅲ.课堂练习 1.已知 A={x|x<-2 或 x>3},B={x|4x+m<0},当 A ? B 时,求实数 m 的取值范围. 分析:该题中集合运用描述法给出,集合的元素是无限的,要准确判断两集合间关系.需用数形结合.

解:将 A 及 B 两集合在数轴上表示出来 要使 A ? B,则 B 中的元素必须都是 A 中元素 即 B 中元素必须都位于阴影部分内 那么由 x<-2 或 x>3 及 x<- 知 - <-2 即 m>8 4 4 故实数 m 取值范围是 m>8 2.填空: {a} {a} ,a {a} , ? {a} , {a,b} {a} ,0 ? , {0} ? ,1 {1,{2} } , {2} {1, {2} } ,? {? } Ⅳ.课时小结 1.能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集,进一步确定其是否是真子集. 2.清楚两个集合包含关系的确定,主要靠其元素与集合关系来说明. Ⅴ.课后作业 (一)课本 P10 习题 1.2 1,2 补充: 1.判断正误 (1)空集没有子集 ( ) (2)空集是任何一个集合的真子集 ( ) (3)任一集合必有两个或两个以上子集 ( ) (4)若 B ? A,那么凡不属于集合 a 的元素,则必不属于 B ( )
2

m

m

分析:关于判断题应确实把握好概念的实质. 解:该题的 5 个命题,只有(4)是正确的,其余全错. 对于(1)、(2)来讲,由规定:空集是任何一个集合的子集,且是任一非空集合的真子集. 对于(3)来讲,可举反例,空集这一个集合就只有自身一个子集. 对于(4)来讲,当 x∈B 时必有 x∈A,则 x ? A 时也必有 x ? B. 2.集合 A={x|-1< x<3,x∈Z},写出 A 的真子集. n 分析:区分子集与真子集的概念.空集是任一非空集合的真子集,一个含有 n 个元素的子集有 2 ,真子 n 集有 2 -1 个. 则该题先找该集合元素,后找真子集. 解:因-1<x<3,x∈Z,故 x=0,1,2 即 a={x|-1<x<3,x∈Z}={0,1,2} 真子集: ? 、{1}、{2}、{0}、{0,1}、{0,2}、{1,2},共 7 个 3.(1)下列命题正确的是 ( ) A.无限集的真子集是有限集 B.任何一个集合必定有两个子集 C.自然数集是整数集的真子集 D.{1}是质数集的真子集 (2)以下五个式子中,错误的个数为 ( ) ①{1}∈{0,1,2} ②{1,-3}={-3,1} ③{0,1,2} ? {1,0,2} ④ ? ∈{0,1,2} ⑤ ? ∈{0} A.5 B.2 C.3 D.4 (3)M={x|3<x<4},a=π ,则下列关系正确的是 ( ) A.a M B.a ? M C.{a}∈M D.{a} M 解:(1)该题要在四个选择支中找到符合条件的选择支.必须对概念把握准确,并不是所有有限集都是 无限集子集,如{1}不是{x|x=2k,k∈Z}的子集,排除 A.由于 ? 只有一个子集,即它本身,排除 B.由于 1 不是质数,排除 D.故选 C. (2)该题涉及到的是元素与集合,集合与集合关系. ①应是{1} ? {0,1,2},④应是 ? ? {0,1,2},⑤应是 ? ? {0} 故错误的有①④⑤,选 C. (3)M={x|3<x<4},a=π 因 3<a<4,故 a 是 M 的一个元素. {a}是{x|3<x<4}的子集,那么{a} M.选 D. 4.判断如下 a 与 B 之间有怎样的包含或相等关系: (1)A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z} (2)A={x|x=2m,m∈Z},B={x|x=4n,n∈Z} 解:(1)因 A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z},故 A、B 都是由奇数构成的,即 A= B. (2)因 A={x|x=2m,m∈Z},B={x|x=4n,n∈Z}, 又 x=4n=2·2n 在 x=2m 中,m 可以取奇数,也可以取偶数;而在 x=4n 中,2n 只能是偶数. 故集合 A、B 的元素都是偶数.但 B 中元素是由 A 中部分元素构成,则有 B A. 评述:此题是集合中较抽象题目.注意其元素的合理寻求. 2 5.已知集合 P={x|x +x-6=0},Q={x|ax+1=0}满足 Q P,求 a 所取的一切值. 2 解:因 P={x|x +x-6=0}={2,-3} 当 a=0 时,Q={x|ax+1=0}= ? ,Q P 成立. 1 又当 a≠0 时,Q={x|ax+1=0}={- },

a

3

1 1 1 1 要 Q P 成立,则有- =2 或- =-3,a=- 或 a= . a a 2 3 1 1 综上所述 ,a=0 或 a=- 或 a= 2 3 评述:这类题目给的条件中含有字母,一般需分类讨论. 本题易漏掉 a=0,ax+1=0 无解,即 Q 为空集情况. 而当 Q= ? 时,满足 Q P. 2 2 6.已知集合 A={x∈R|x -3x+4=0},B={x∈R|(x+1) (x +3x-4=0},要使 A P ? B,求满足 条件的集合 P. 2 解:由题 A={x∈R|x -3x+4=0}= ? 2 B={x∈R|(x+1) (x +3x-4)=0}={-1,1,-4} 由 A P ? B 知集合 P 非空,且其元素全属于 B,即有满足条件的集合 P 为: {1}或{-1}或{-4}或{-1,1}或{-1,-4}或{1,-4}或{-1,1,-4} 评述:要解决该题,必须确定满足条件的集合 P 的元素. 而做到这点,必须化简 A、B,充分把握子集、真子集的概念,准确化简集合是解决问题的首要条件. 7.已知 A ? B,A ? C,B={0,1,2,3,4},C={0,2,4,8},则满足上述条件的集合 A 共有多少个? 解:因 A ? B,A ? C,B={0,1,2,3,4},C={0,2,4,8},由此,满足 A ? B ,有 ? ,{0},{1}, {2},{3},{4},{0,1},{0,2},{2,3},{2,4},{0,3},{0,4},{1,2},{1,3},{1,4},{3,4}, {0,2,4},{0,1,2},{0,1,3},{0,1,4},{1,2,3},{1,2,4},{2,3,4},{0,3,4},{0,1, 2,3},{1,2,3,4},{0,1,3,4},{0,2,3},{1,3,4},{0,1,2,4},{0,2,3,4},{0,1,2, 5 3,4},共 2 =32 个. 又满足 A ? C 的集合 A 有

? ,{0},{2}{4},{8},{0,2},{0,4},{0,8}{2,4},{ 2,8},{4,8},{0,2,4},{0,2,8},
{0,4,8},{2,4,8},{0,2,4,8},共 2 =8×2=16 个. 其中同时满足 A ? B,A ? C 的有 8 个
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? ,{0},{2},{4},{0,2},{0 ,4},{2,4},{0,2,4},实际上到此就可看出,上述解法太繁.
由此得到解题途径. 有如下思路: 题目只要 A 的个数,而未让说明 A 的具体元素,故可将问题等价转化为 B、C 的公共元素组成集合的子 集数是多少. 3 显然公共元素有 0、2、4,组成集合的子集有 2 =8 (个) 8.设 A={0,1},B={x|x ? A},则 A 与 B 应具有何种关系? 解:因 A={0,1},B={x|x ? A} 故 x 为 ? ,{0},{1},{0,1},即{0,1}是 B 中一元素.故 A∈B. 评注:注意该题的特殊性,一集合是另一集合的元素. 9.集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}, (1)若 B ? A,求实数 m 的取值范围. (2)当 x∈Z 时,求 A 的非空真子集个数. (3)当 x∈R 时,没有元素 x 使 x∈A 与 x∈B 同时成立,求实数 m 的取值范围. 解:(1)当 m+1>2m-1 即 m<2 时,B= ? 满足 B ? A. 当 m+1≤2m-1 即 m≥2 时,要使 B≤A 成立, 需?
?m+1≥-2 ?2m-1≤5

,可得 2≤m≤3

综上 m≤3 时有 B ? A (2)当 x∈Z 时,A={-2,-1,0,1,2,3,4,5} 8 所以,A 的非空真子集个数为:2 -2=254 (3)∵x∈R,且 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},又没有元素 x 使 x∈A 与 x∈B 同时成
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立. 则①若 B= ? 即 m+1>2m-1,得 m<2 时满足条件. ②若 B= ? ,则要满足条件有:?
?m+1≤2m-1 ?m+1>5 ?m+1≤2m-1 或? 解之 m>4 ?2m-1<2

综上有 m<2 或 m>4 评述:此问题解决: (1)不应忽略 ? ; (2)找 A 中的元素; (3)分类讨论思想的运用. (二)1.预习内容:课本 P9 2.预习提纲: (1)求一个集合补集应具备的条件. (2)能正确表示一个集合的补集.

子集、全集、补集(一) 1.判断正误
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(1)空集没有子集 (2)空集是任何一个集合的真子集 (3)任一集合必有两个或两个以上子集 (4)若 B ? A,那么凡不属于集合 a 的元素,则必不属于 B 2.集合 A={x|-1<x<3,x∈Z},写出 A 的真子集.

( ( ( (

) ) ) )

3.(1)下列命题正确的是 A.无限集的真子集是有限集 B.任何一个集合必定有两个子集 C.自然数集是整数集的真子集 D.{1}是质数集的真子集 (2)以下五个式子中,错误的个数为 ①{1}∈{0,1,2} ②{1,-3}={-3,1} ③{0,1,2} ? {1,0,2} ④ ? ∈{0,1,2} ⑤ ? ∈{0} A.5 B. 2 C.3 D.4 (3)M={x|3<x<4},a=π ,则下列关系正确的是 A.a M B.a ? M C.{a}∈M 4.判断如下 a 与 B 之间有怎样的包含或相等关系: (1)A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z} (2)A={x|x=2m,m∈Z},B={x|x=4n,n∈Z}









( D.{a} M



5.已知集合 P={x|x +x-6=0},Q={x|ax+1=0}满足 Q P,求 a 所取的一切值.

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6.已知集合 A={x∈R|x -3x+4=0},B={x∈R|(x+1) (x +3x-4=0) ,要使 A P ? B,求满足条件
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的集合 P.

7.已知 A ? B,A ? C,B={0,1,2,3,4},C={0,2,4,8},则满足上述条件的集合 A 共有多少个?

8.设 A={0,1},B={x|x ? A},则 A 与 B 应具有何种关系?

9.集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}, (1) 若 B ? A,求实数 m 的取值范围. (2)当 x∈Z 时,求 A 的非空真子集个数. (3)当 x∈R 时,没有元素 x 使 x∈A 与 x∈B 同时成立,求实数 m 的取值范围.

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