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2014版学海导航数学(文)总复习(第1轮)同步测控 第11讲 函数的值域与最值 Word版含答案]


第 11 讲 函数的值域与最值

1.“函数 y=f(x)的值域为(-2,2)”是“函数 f(x)无最值”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 27 2.已知 x>0,则函数 f(x)=3x+ 的最小值是( 4x 9 A. 4 3 B. 2 )

)

C.3 D.9

3.函数 f(x)=loga(x+1)的定义域和值域均为[0,1],则 a 的值等于( 1 A. 3 C. 2 2 B. 2 D.2 ) )

x 4.函数 f(x)= 2 (x>0)的值域为( x +x+1 1 A.(0,+∞) B.(0, ) 3 1 1 C.(0, ] D.[ ,+∞) 3 3

5.已知函数 f(x)=2-x2,g(x)=x,定义 F(x)=min{f(x)、g(x)}(min 表示取 f(x)与 g(x) 中的较小者),则 F(x)的最大值为______. 6.若函数 y=ax2-2ax(a≠0)在区间[0,3]上有最大值 3,则 a 的值为__________. x2+2x+a 7.(2012· 清远盛兴中学)已知函数 f(x)= ,x∈[1,+∞). x 1 (1)当 a= 时,求函数 f(x)的最小值; 2 (2)若对任意 x∈[1,+∞),都有 f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围.

(x<t) ? ?2 1. 设 t>0 ,函数 f(x) = ?log x (x≥t) 的值域为 M. 若 4 ? M ,则 t 的取值范围是 1 ? ? 2 ________________. 2.(2012· 桂林中学)某工厂生产某种产品,已知该产品每吨的价格 P(元)与产量 x(吨)之 1 间的关系式为 P=24200- x2,且生产 x 吨的成本为(50000+200x)元,则该厂利润最大时, 5 生产的产品的吨数为________. a 3.(2012· 江西模拟)函数 f(x)=2x- 的定义域为(0,1](a 为实数). x (1)当 a=-1 时,求函数 y=f(x)的值域; (2)若函数 y=f(x)在定义域上是减函数,求 a 的范围; (3)求函数 y=f(x)在 x∈(0,1]上的最大值和最小值,并求出取最值时的 x.

x

第 11 讲 巩固练习 1.A 解析:由值域与最值关系易得. 1- 2. 3 解析: 易知函数 y=f(x)在(-2, +∞)上为减函数, 故 ymax=f(-1)=( ) 1-log2(- 3 1+2)=3. 3.D 解析:因为 0≤x≤1,所以 1≤x+1≤2,而 0≤f(x)≤1, 可知 a>1 且 loga2=1,所以 a=2. 4.C 解析:当 x>0 时,f(x)= 立),故选 C. 5.1 解析:作出 f(x)与 g(x)的图象即知 x=1 时,F(x)取最大值 1. 6.1 或-3 解析:因为 y=ax2-2ax=a(x-1)2-a 的对称轴为定直线 x=1 且 1∈[0,3],由抛物线开 口方向讨论: ①当 a>0 时,开口向上,ymax=f(3)=9a-6a=3a=3,得 a=1; ②当 a<0 时,开口向下,ymax=f(1)=-a=3,得 a=-3. 综上可得 a=1 或 a=-3. 1 1 7.解析:(1)当 a= 时,f(x)=x+ +2,设 x1>x2≥1, 2 2x 1 1 1 ,因为 x+ ≥2,故 f(x)≤ (当且仅当 x=1 时成 1 x 3 x+ +1 x

2x1x2-1 1 1 则 f(x1)-f(x2)=(x1+ +2)-(x2+ +2)=(x1-x2)· , 2x1 2x2 2x1x2 2x1x2-1 又因为 x1>x2≥1,所以 x1-x2>0, >1, 2x1x2 所以 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), 7 所以 f(x)在区间[1,+∞)上为增函数,所以最小值为 f(1)= . 2 x2+2x+a (2)方法 1:在区间[1,+∞)上,f(x)= >0 恒成立?x2+2x+a>0 恒成立, x 设 y=x2+2x+a,x∈[1,+∞),y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1 在[1,+∞)内递增, 所以当 x=1 时,ymin=3+a,于是当且仅当 ymin=3+a>0 时,函数 f(x)>0 恒成立,故 a>-3. a 方法 2:f(x)=x+ +2,x∈[1,+∞),当 a≥0 时,函数 f(x)的值恒为正, x 当 a<0 时,函数 f(x)递增,故当 x=1 时,f(x)max=3+a, 于是当且仅当 f(x)min=3+a>0 时,函数 f(x)>0 恒成立,即 a>-3. x2+2x+a 方法 3:在区间[1,+∞)上,f(x)= >0 恒成立?x2+2x+a>0 恒成立?a>-x2 x -2x 恒成立; 又因为 x∈[1,+∞),a>-x2-2x 恒成立; 所以 a 应大于 u=-x2-2x,x∈[1,+∞)的最大值, 又 u=-x2-2x=-(x+1)2+1≤u(1)=-3,所以 a>-3. 提升能力 1 1.( ,2] 16 1 解析:当 x<t 时,f(x)的取值范围是(0,2t),当 x≥t 时,f(x)的取值范围是(-∞,log t], 2 1 1 若 4?M,则 2t≤4 且 log t<4,解之得 <t≤2. 2 16 2.200 1 1 解析: 利润 y=Px-(50000+200x)=24200x- x3-50000-200x=24000x- x3-50000, 5 5 3 由 y′=- x2+24000=0?x=200 或 x=-200(舍去),在定义域(0,+∞)上只有一极 5 大值数,故为最大值数. 1 2 3. 解析: (1)当 a=-1 时, f(x)=2x+ ≥2 2(当且仅当 x= 时取最值), 故值域为[2 2, x 2 +∞). (2)若函数 y=f(x)在定义域上是减函数, 则任取 x1、 x2∈(0,1]且 x1<x2 都有 f(x1)>f(x2)成立, a 即(x1-x2)(2+ )>0,只要 a<-2x1x2 即可,由 x1、x2∈(0,1],故-2x1x2∈(-2,0),所 x1· x2 以 a≤-2. (3)当 a≥0 时,函数 f(x)在(0,1]上单调递增,无最小值,f(x)max=f(1)=2-a; 当 a≤-2 时,由(2)知 y=f(x)在(0,1]单调递减,无最大值,f(x)min=f(1)=2-a; 当-2<a<0 时,函数 f(x)在(0, - 2a - 2a ]上单调递减,在[ ,1]上单调递增,无最大 2 2

值,f(x)min=f(

-2a )=2 -2a. 2


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