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2015届高考调研文科4-3


高考调研

新课标版 · 高三数学(文)

第 3 课时

两角和与差的三角函数

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20

15?考纲下载

1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2. 能 利 用 两 角 差 的 余 弦 公 式 导 出 两 角 差 的 正 弦 、 正 切 公 式 . 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦.

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请注意!

本课主要题型有:①三角函数式的化简与求值;②三角函数 式 的 简 单 证 明 . 这 部 分 知 识 难 度 已 较 以 前 有 所 降 低 , 应 适 当 控 制 其难度.

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1.两角和的正弦、余弦、正切公式 n 1 ( i s ) 2 c ( o ) ( s a n 3 t ( ) α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ α+β)= cosαcosβ-sinαsinβ tanα+tanβ α+β)= 1-tanαtanβ . . .

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2.两角差的正弦、余弦、正切公式 n 1 i s ( ) 2 c ( o ) s αc o s β-c o s αn i s β= sin(α-β) . αc o s β+n i s αn i s β= cos(α-β) . .

a n t α-a n t β 3 ( ) = tan(α-β) 1+a n t αa n t β

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3.常用公式的变化形式 1 ( ) an i s α+bc o s α= a2+b2n ( i s α+φ), b a a2+b2 其中 c o s φ= ,n i s φ= a2+b2 或 an i s x+bc o s x= a2+b2c o ( s x-θ),a b 2 2 2 2 a + b 其中 c o s θ= a +b ,n i s θ= .

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a n 2 t ( )

α+a n t β=a n t (

α+β)(1-a n t αa n t β).

1-a n t α 3 ( ) =a n t ( 1+a n t α 1+a n t α 4 ( ) =a n t ( 1-a n t α

π 4-α). π 4+α).

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1.n 1 i s n 9 1 i ° s 8 1

° -n 9 i s n 1 2 i ° s 9 °

的 值 为 ______.

1 答案 -2
解析 n 1 n i s 1 i s 9 8 ° · 1 ° =c o 2 s ( 9 ° · =-n c 1 o i s ( · 2 ° 9 ° =-n 3 i s 0 ° 1 =-2.
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-n 9 i s 2 1 9 · ° -n 1 i s ° ) -n c o 2 i s 1 9 ° · +n c o 2 i s 1 9 ° · )

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2. 下 列 各 式 中 , 值 为 A.n 2 1 i s 5 ° c o 1 s 5 ° C.n 2 i s
答案
2

3 是( 2的 B.c o s
2 2

) 1 5 ° -n i s
2

1 5 °

1 5 ° -1

D.n i s

1 5 ° +cos21 5 °

B

解析 n 2 1 i s 5 ° c o 1 s 5 ° 3 = 2 ,n 2 i s
2

=n 3 i s 0 °

1 = 2,c o s 3 =- 2 ,n i s

2

15° -n i s

2

15° =c o 3 s 0 ° 15° =1.

1 5 ° -1=-c o 3 s 0 °

2

15° +c o s

2

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3.化简 c o ( s A.n 2 ( i s C.c o s α
答案 解析 C

α-βc o ) s

β-n ( i s

α-βn i s )

β的 结 果 为

(

)

α+β)

B.c o ( s

α-2β)

D.c o s β

等式即 c o ( s

α-β+β)=c o s α.

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4. 已 知 a n t α+a n t β=2, a n t (

α+β)=4, 则a n t α a n t· β=________.

1 答案 2
a n t α+a n t β 2 1 1 解析 a n t α a n t· β=1- =1-4=2.故填2. a n t ?α+β?

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5.已知 a n t ( 1 A.8 4 C.7
答案 D

α+β)=3,a n t (

α-β)=5,则 a n t 2 1 B.-8 4 D.-7

α=(

)

解析 a n t 2

α=a n ( t [

α+β)+(α-β)]

a n t ?α+β?+a n t ?α-β? 3+5 4 = = =-7. 1-a n t ?α+β? a n t· ?α-β? 1-3×5

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n 7 i s ° 例1 1 ( ) 求 c o 7 s 2 ( ) 化 简 : n 5 i s 0 1 ° ( 3 ( ) 求a n t 2 0 °

+c o 1 s 5 -n 1 i s n 5 8 i ° s

n 8 i ° s

的 值 . .

+ 3t a n 1 0 ° ) 的 值 .

+n 4 2 i s 0 °

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n i s ?15° -8° ? +c o 1 s n 5 8 i ° s 【解析】 1 ( ) 原式= c o s ?15° -8° ?-n 1 i s n 5 8 i ° s n 1 i s 5 ° c o 8 s ° =c o 1 s 5 ° c o 8 s ° =a n t 1 5 ° =a n 4 t ( 5 ° a n t 4 5 ° -a n t 3 0 ° -3 0 ° ) = 1+a n t 4 a 5 n ° t 3 0 ° =

3 1- 3 3-1 = =2- 3. 3 3+1 1+ 3

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n 2 5 i s ( ) 0 1 ( ° =n 5 i s 0 ° ( n 2 5 i s 0 ° = n 2 5 i s n 0 i ° s = n 2 5 i s 0 ° c o 5 s 0 ° = c o 1 s 0 ° + 3t a n 1 0 ° ) c o 1 s 0 ° + 3s n 1 i0 ° c o 1 s 0 ° 3 + 2n 1 i s 0 ° ) ?

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1 ?2c o 1 s 0 ° c o 1 s 0 ° c o 1 s 0 °

?3 0 ° +1 0 ° ? n 1 i s 0 0 ° =c o 1 s 0 ° c o 1 s 0 ° =c o 1 s 0 °

=1 .

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n 2 i s 0 ° 3 ( ) 原式=c o 2 s 0 ° n 2 i s 0 ° = +n 4 2 i s 0 ° c o 2 s 0 ° c o 2 s 0 °

+n 4 2 i s 0 ° n 2 i s 0 ° +n 2 4 i s 0 ° = c o 2 s 0 ° ?3 0 ° +10° ?

n i s ?30° -1 0 ° ?+n 2 i s = c o 2 s 0 ° 3 o 1 s 0 ° 2c 3 + 2n 1 i s 0 ° c o 2 s 0 °



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= 3

3 o 1 s 0 ° 2c c o 2 s 0 °

1 +2n 1 i s 0 °

c o s ?30° -1 0 ° ? = 3 = 3. c o 2 s 0 °
【答案】 1 2 ( ) - 3 2 1 ( ) 3 ( ) 3

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探究 1 1 ( ) 注意观察各角之间的内在关系. 2 ( ) 注 意 公 式 的 逆 运 用 进 行 化 简 .
思 考 题 A. 2 C. 3 1 2 ( 0 1 3 · 重 庆 )4 c o 5 s 0 ° -a n t 4 0 ° 2+ 3 B. 2 D.2 2-1 =( )

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n 4 i s 0 ° c o 4 s 0 ° = -n 4 i s 0 ° c o 4 s 0 °

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【 解 析 】

4 c o 5 s 0 °

-a n t 4 0 ° n 2 1 i s 0 0 ° =

-n 4 i s 0 ° c o 4 s 0 °

n 2 8 i s 0 ° -n 4 i s 0 ° = c o 4 s 0 ° n 2 i s =

?6 0 ° +4 0 ° ?-n 4 i s 0 ° c o 4 s 0 ° 1 +2×2n 4 i s 0 ° c o 4 s 0 °
C



3 2× 2 c o 4 s 0 °

-n 4 i s 0 ° = 3.

【答案】

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例2 1 ( ) 已知 n ( i s

π 4 π π α+6)=-5,α∈(-2,2),求 n i s α的 值 .

π π π π 2π 【解析】 ∵α∈(-2,2),∴α+6∈(-3, 3 ). 又n ( i s ∴c o ( s π 4 π π α+6)=-5<0,∴α+6∈(-3,0). π α+6)= 1-n i s
2

π 3 ?α+6?=5.

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∴n i s α=n ( [ i s =n ( i s π α+6c o ) s

π π α+6)-6] π o ( s 6-c π α+6n i s ) π 6

4 3+3 4 3 31 =(-5) 2 -5· 2=- 10 .
【答案】 4 3+3 - 10

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π 3π 2 ( ) 已知2<β<α< 4 , n ( i s 的值.

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3 α+β)=-5, c o ( s

12 α-β)=13, 求c o 2 s

α

π 【解析】 ∵0<α-β<4, ∴n ( i s α-β)= 1-c o s
2

?α-β?=

12 2 5 1-?13? =13.

3π ∵π<α+β< 2 , ∴c o ( s α+β)=- 1-n i s
2

?α+β?=-

32 4 1-?-5? =-5.
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于是 c o 2 s =c o ( s

α=c o ( [ s

α+β)+(α-β)] α-β)-n ( i s α+βn ( i s ) 4 12 α-β)=(-5)×13-(-

α+βc o ) ( s

3 5 33 5)×13=-65.

33 【答案】 -65

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探究 2 给值求值问题,即给出某些角的三角函数式的值, 求另外一些角的三角函数值,解题的关键在于“变角”,如 α= (α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等 , 把 所 求 角 用 含 已 知 角 的 式 子 表示,求解时一定要注意角的范围的讨论.

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思考题 2 求c o s β的 值 .
【 解 析 】 ∵c o ( s

8 (1)已知 α, β 为锐角, n i s α=17, c o ( s

21 α-β)=29,

8 1 π π ∵n i s α=1 < α<6. 7 <2,α∈(0,2),∴0

2 1 3 π π α-β)=2 9 < 2 ,α-β∈(-2,2),

π ∴-2<α-β< 0 .

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∴c o s α= 1-n i s n ( i s

2

α=
2

8 2 15 1-?17? =17. ?α-β?=- 21 2 20 1-?29? =-29. α-β)+n i s αn ( i s 15 α-β)=17

α-β)=- 1-c o s

∴c o s β=c o [ s

α-(α-β)]=c o s αc o ( s

21 8 20 155 ×29+17×(-29)=493.

155 【答案】 493

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2 ( ) 已知 a n t ( 1 A.3 C.3

α+β)=-1, a n t (

1 n 2 i s α-β)=2, 则n 2 i s

α 值 为 ( β的

)

1 B.-3 D.-3

n 2 i s 【解析】 n 2 i s

[ i s α n β=n [ i s

?α+β?+?α-β?] ?α+β?-?α-β?]

n i s ?α+β?c o s ?α-β?+c o s ?α+β?n i s ?α-β? = n i s ?α+β?c o s ?α-β?-c o s ?α+β?n i s ?α-β? a n t ?α+β?+a n t ?α-β? 1 = = . a n t ?α+β?-a n t ?α-β? 3
【答案】 A
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1 1 3 ( ) 若c o s α+c o s β=2,n i s α+n i s β=3,求 c o ( s

α-β)的 值 .

【思路】 本题主要考查两角和与差的正、余弦公式的熟练 运用. 因为 c o ( s 后相加可得. α-β)=c o s αc o s β+n i s αn i s β, 所 以 将 已 知 两 式 平 方

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1 【解析】 ∵c o s α+c o s β=2, 1 n i s α+n i s β=3, ① +② ,得 2+2 c o ( s 即 2+2 c o ( s
2 2

① ②

1 1 αc o · s β+n i s α n i s · β)=4+9. 59 α-β)=-72.

13 α-β)=36.∴c o ( s

59 【答案】 -72

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5 10 例3 1 ( ) 已知 α,β 均为锐角,n i s α= 5 ,c o s β= 10 ,求 α -β 的值.

【解析】 由已知得 c o s α= 1-n i s n i s β= 1-c o s ∵n i s α< n i s
2

2

2 5 α= 5 ,

3 10 β= 10 .

β,∴α<β.

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π ∴-2<α-β< 0 . ∴n ( i s α-β)=n i s αc o s β-c o s αn i s β

5 1 0 2 5 3 1 0 2 =5×1 - 2. 0 - 5 × 1 0 = π ∴α-β= - 4.

π 【答案】 -4

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2 ( ) 已知 α,β∈(0,π),且 a n t ( -β 的值.

1 1 α-β)=2,a n t β=-7,求 2α

【解析】 ∵a n t α=a n ( t [ 1 1 2-7 1 = 1 1=3>0, 1+2×7 π ∴0<α<2.
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a n t ?α-β?+a n t β α-β)+β]= 1-a n t ?α-β?a n t β

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又∵a n t 2

1 2×3 a 2 n t α α= 2 = 12 1-a n t α 1-?3?

3 π =4>0,∴0 < 2 α<2. 3 1 a n t 2 α-a n t β 4+ 7 α-β)= = =1 . 3 1 1+a n t 2 αa n t β 1-4×7

∴a n 2 t (

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1 ∵a n t β= - 7<0, π ∴2<β<π,-π < 2 α-β< 0 . 3 π ∴2α-β= - 4.

3π 【答案】 - 4

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探究 3 在解决三角函数求值问题时,一定要注意已知角与 所求角之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧,如: α=(α+β)-β=β-(β-α); 1 α=2[(α+β)+(α-β)]; 1 α=2[(β+α)-(β-α)]等.

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思考题 3 1 ( ) 已知 a n t α= 3(1+m), a n t (

-β)= 3( a n t

αa n t β

+m)(m∈R),若 α,β 都是钝角,求 α+β 的值.

【 解 析 】 m(m∈R),

∵-a n t β= 3t a n αa n t β+ 3m, 且 a n t α= 3+ 3

∴a n t α-(-a n t β)= 3- 3t a n αa n t β,即 a n t α+a n t β= 3(1- a n t αa n t β). ∵a n t ( a n t α+a n t β α+β)= ,∴a n t ( 1-a n t αa n t β α+β)= 3.

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π π ∵α,β 都是钝角,∴α∈(2,π),β∈(2,π). ∴α+β∈(π,2π). ∴a n t ( 4 α+β)= 3>0,∴α+β=3π.

【讲评】 给 值 求 角 问 题 , 可 转 化 为

“给值求值”问 题 , 解

得所求角的某一三角函数值结合所求角的范围及函数的单调性 可求得角.

4 【答案】 3π
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1 2 ( ) 已 知 c o s α=7,c o ( s ①求 a n t 2 ②求 β. α的 值 ;

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1 3 π α-β)=1 且 0 < β<α<2. 4,

【 解 析 】

1 π ①由 c o s α=7,0 < α<2, 得
2

n i s α= 1-c o s

α=

12 4 3 1-?7? = 7 .

n i s α 4 3 7 ∴a n t α=c o s α= 7 ×1=4 3. 于 是 a n t 2 2×4 3 a 2 n t α 8 3 α= = = - 4 7 . 1-a n t 2α 1-?4 3?2
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π π ②由 0 < β<α<2, 得 0 < α-β<2. 又∵c o ( s ∴n ( i s 1 3 α-β)=1 4,
2

α-β)= 1-c o s

?α-β?=

1 3 2 3 3 1-?1 4?=1 4 .

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由 β=α-(α-β),得 c o s β=c o [ s =c o s αc o ( s α-(α-β)] α-β)+n i s αn ( i s α-β)

1 13 4 3 3 3 1 =7×14+ 7 × 14 =2. π ∴β=3.
8 3 π 【答案】 ①- 47 ②3

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例 4 化简下列各式: n i s ?α+β?-n 2 i s αc o s β 1 ( ) ; n 2 i s αn i s β+c o s ?α+β? 1 1 2 ( ) - ; 1-a n t θ 1+a n t θ 3 ( ) 15s n i x+3 5c o s x.

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【 解 析 】

1 ( ) 原 式

n i s αc o · s β+c o s α n i s · β-n 2 i s αc o · s β = n 2 i s α n i s · β+c o s αc o · s β-n i s α n i s · β -?n i s αc o · s β-c o s α n i s · β? = c o s αc o · s β+n i s α n i s · β n i s ?α-β? = - = -a n t ( c o s ?α-β? α-β). θ.

?1+a n t θ?-?1-a n t θ? a 2 n t θ 2 ( ) 原 式 = = =a n t 2 1-a n t 2θ 1-a n t 2θ

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3 ( )

15s n i x+3 5c o s x

3 1 =6 5( 2 n i s x+2c o s x) =6 5( n i s =6 5s n ( i π π xc o · s 6+c o s x n i s · 6) π x+6).
α-β) a n 2 t ( ) θ

【答案】 1 ( ) -a n t ( 3 6 ( ) 5s n ( i π x+6)

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探 究 4 1 ( ) 对 此 类 化 简 题 , 对 公 式 既 要 会 正 用 , 又 要 会 逆 用 , 甚 至 变 形 应 用 . 2 ( ) 应 用 公 式 时 特 别 注 意 角 不 要 化 错 , 函 数 名 称 、 符 号 一 定 要 把 握 准 确 . 3 ( ) 对 an i s x+bc o s x化 简 时 , 辅 助 角 φ的 值 如 何 求 要 清 楚 .

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思考题 4 n 1 ( i s )

化简下列各式: π x-3)- 3c o ( s α+β). 2π 3 -x);

π x+3)+n 2 ( i s

n i s ?2α+β? 2 ( ) c o ( s n i s α -2

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【解析】 2 c o s

π π 1 ( ) 原 式 = n i s xc o s 3+c o s xn i s 3+n 2 i s x π 2 i s 3-n

π xc o s 3-

π 2 π 2 xn i s 3- 3c o s 3c o s x- 3s n i 3n π i s =c o ( s π π 2 π c o s3- 3s n i 3n i s ) 3+2

x+n i s (

π 2 π o s 3c o ) s 3- 3c x

x

1 3 =(2+1- 3× 2 n i s ) =0 .

3 1 x+( 2 - 3+ 3×2c o ) s

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2 ( ) 原 式 =

n [ i s

?α+β?+α]-2 c o s n i s α

?α+β?n i s α

n i s ?α+β?c o s α-c o s ?α+β?n i s α = n i s α n [ i s = ?α+β?-α] n i s β =n n i s α i s α.

【答案】 1 0 ( )

n i s β 2 ( ) n i s α

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三 角 函 数 的 化 简 要 遵 循

“三 看 ”原 则 :

1 ( ) 一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别 与 联 系 , 把 角 进 行 合 理 地 拆 分 , 从 而 正 确 使 用 公 式 . (2 ) 二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定 使 用 的 公 式 , 常 见 的 有 3 ( ) 三 看 “结 构 特 征 变 化 的 方 向 , 常 见 的 有 “切 化 弦 ”. ”, 分 析 结 构 特 征 , 可 以 帮 助 我 们 找 到 “通 分” “去 根 号 ” “降 幂 ”等.
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1.c o s A.0 C.1
答案



i s 8-n



于( 8等

) 2 B. 2 2 D.- 2

B

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2.2 ( 0 1 2 · 则a n t (

重庆)设 a n t α,a n t β是 方 程 ) B.-1 D.3
A

x2-3x+2=0 的两根,

α+β)的值为( A.-3 C.1
答案

解析 因为 a n t α,a n t β 是方程 x2-3x+2=0 的两根,所以 a n t α+a n t β=3, a n t α a n t· β=2, 而a n t ( -3,故选 A.
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a n t α+a n t β 3 α+β)= = = 1-a n t α a n t· β 1-2

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3.在△ABC 中,“c o s A=n 2 i s 角形”的( )

Bn i s C”是“△ABC 为 钝 角 三

A. 必 要 不 充 分 条 件 C.充分不必要条件
答案 C

B.充要条件 D.即 不 充 分 也 不 必 要 条 件

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解 析

在△ABC 中 , A=π-(B+C), B+C). Bn i s C, Bn i s C.

∴c o s A= -c o ( s 又∵c o s A=n 2 i s

即 -c o s Bc o s C+n i s Bn i s C=n 2 i s ∴c o ( s

π B-C)=0,∴B-C=2,∴B 为 钝 角 .

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4. 已 知 过 点 则a n t ( α+β)=( 7 A. -3 5 C.7 答案 D 1 0 ) ( , ) 7 B.3 D.1 的 直 线

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l:xa n t α-y-a 3 n t

β=0 的 斜 率 为

2,

1 解析 由题意知 a n t α=2,a n t β=-3. a n t α+a n t β α+β)= = =1. 1 1-a n t αa n t β 1-2×?-3?
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∴a n t (

1 2-3

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5.a n t 7 0 ° c o 1 s 0 °
答案 2

+ 3s n a 1 i t 7 0 ° · °

-2 c o 4 s 0 °

的值________.

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解 析 =a n t 7 0 c o ° ( 1 s 0 ° =a 2 n t 7 4 i s 0 · ° n 7 i s 0 ° =2 (c o 7 s 0 ° n 7 i s n 0 4 i ° s 0 ° =2

原 式 = a n t 7 c 0 o 1 · ° s 0 ° + 3s n 1 i0 ° ) -2 c o 4 s 0 ° n 4 i s 0 · ° -c o 4 s 0 ° ) -c o 4 s 0 ° c o 7 s 0 ° c o 7 s 0 ° c o 7 s 0 ° =2 ·c o 7 s 0 °

+ 3s n 1 i a 0 n ° t 7 0 ° -2c o 4 s 0 °

-2 c o 4 s 0 °

-c o 1 s 0 ° =2 c o 7 s 0 °

=2 .

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6.已知 n ( i s
答案 2 10

π 4 π 3π α+4)=5,且4<α< 4 .求 c o s α 的值.

解析 n ( i s

π 4 π 3π α+4)=5且4<α< 4 ,

π π ∴2<α+4< π . ∴c o ( s π α+4)=- 1-n i s
2

π 3 ?α+4?=-5.

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∴c o s α=c o ( [ s =c o ( s π α+4c o ) s

π π α+4)-4] π ( i s 4+n π α+4n i s ) π 4

3 2 4 2 2 = - 5× 2 +5× 2 = 1 0 .

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