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高中数学人教A版选修2-2课件:2.3 数学归纳法


2.3

数学归纳法

数学归纳法
[提出问题] 在学校,我们经常会看到这样一种现象:排成一排的自行 车,如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了,那么整排自 行车就会倒下. 问题 1: 试想, 要使整排自行车倒下, 需要具备哪几个条件?

提示: ①第一辆自行车倒下; ②任意相邻的两辆自行车, 前一辆倒下一定导致后一辆倒下. 问题 2:利用这种思想方法能解决哪类数学问题?
提示:一些与正整数 n 有关的问题.

[导入新知]

1.数学归纳法 证明一个与正整数 n 有关的命题, 可按下列步骤进行:
* 第一个值 n ( n ∈ N ) 时命 0 0 (1)(归纳奠基)证明当 n 取

题成立;
* n = k ( k ≥ n , k ∈ N ) 时命题成立, 0 (2)(归纳递推)假设

证明当 n=k+1 时命题也成立. 只要完成这两个步骤, 就可以断定命题对 从 n0 开始 的 所有正整数 n 都成立. 上述证明方法叫作数学归纳法.

2.数学归纳法的框图表示

[化解疑难]

数学归纳法中两个步骤的作用及关系 步骤(1)是命题论证的基础,步骤 (2)是判断命题的正确 性能否递推下去的保证. 这两个步骤缺一不可,如果只有步骤 (1)缺少步骤 (2), 则无法判断 n=k(k>n0)时命题是否成立;如果只有步骤(2) 缺少步骤 (1)这个基础,假设就失去了成立的前提,步骤 (2) 就没有意义了.

需要注意:步骤(2)是数学归纳法证明命题的关键.归 纳假设“n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立”起着已知的作 用,证明“当 n=k+1 时命题也成立”的过程中,必须用 到归纳假设,再根据有关的定理、定义、公式、性质等数 学结论推证出当 n=k+1 时命题也成立,而不能直接将 n =k+1 代入归纳假设, 此时 n=k+1 时命题成立也是假设, 命题并没有得证.

用数学归纳法证明等式
[例 1] 用数学归纳法证明: 1×4+2×7+3×10+?+ n(3n+1)=n(n+1)2(其中 n∈N*). [证明] (1)当 n=1 时,左边=1×4=4,右边=1×22 =4,左边=右边,等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N*)时等式成立,即 1×4+2×7+ 3×10+?+k(3k+1)=k(k+1)2.

那么,当 n=k+1 时,1×4+2×7+3×10+?+k(3k +1)+(k+1)[3(k+1)+1]=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]= (k+1)(k2+4k+4)=(k+1)[(k+1)+1]2, 即当 n=k+1 时等 式也成立. 根据(1)和(2),可知等式对任何 n∈N*都成立.

[类题通法] 用数学归纳法证明等式的方法 用数学归纳法证明与正整数有关的命题时,关键在于先 “看项”,弄清等式两边的构成规律,等式的两边各有多少 项,项的多少与 n 的取值是否有关,由 n=k 到 n=k+1 时, 等式两边会增加多少项;再“两凑”,将 n=k+1 时的式子 转化成与归纳假设的结构相同的形式——凑假设,然后利用 归纳假设, 经过恒等变形, 得到结论所需的形式——凑结论.

[活学活用] 用数学归纳法证明: n?n+1? 12 22 n2 + +?+ = . 1×3 3×5 ?2n-1??2n+1? 2?2n+1?

1×2 12 证明:(1)当 n=1 时, = 成立. 1×3 2×3 12 22 (2) 假设当 n = k 时等式成立,即有 + +?+ 1×3 3×5 k?k+1? k2 = , ?2k-1??2k+1? 2?2k+1? ?k+1?2 12 22 k2 则 + +?+ + 1×3 3×5 ?2k-1??2k+1? ?2k+1??2k+3?

k?k+1? ?k+1?2 ?k+1??k+2? = + = , 2?2k+1? ?2k+1??2k+3? 2?2k+3? 即当 n=k+1 时等式也成立. 由(1)(2)可得对于任意的 n∈N*等式都成立.

用数学归纳法证明不等式
[例 2] 1 1 1 已知 f(n)=1+ + +?+n,当 n>1,n∈N* 2 3
n

n+ 2 时,求证:f(2 )> . 2
[证明] 1 1 1 25 2+2 (1)当 n=2 时,f(2 )=1+ + + = > , 2 3 4 12 2
2

原不等式成立; (2)假设当 n=k(k∈N*且 k>1)时不等式成立, 1 1 1 k+ 2 即 f(2 )=1+ + +?+ k> , 2 3 2 2
k

那么当 n=k+1 时, 有 f(2 1
k

k+1

1 1 1 )=1+ +?+ k+ k +? 2 2 2 +1

k+2 1 1 1 1 + k+1 = f(2 ) + k + k +?+ k + k + k> 2 2 2 +1 2 +2 2 +2 2 +1 k+ 2 k+2 1 1 1 1 +?+ k + k + k k> k+?+ k k= 2 2 2 +2 2 +2 2 +2 2 +2 k+2 1 ?k+1?+2 2k = + = . 2 2 2 2k+2k 所以当 n=k+1 时不等式也成立. 由(1)和(2)知,对任何 n>1,n∈N*不等式都成立.

[类题通法] 用数学归纳法证明不等式应注意两点 (1)证明不等式的第二步即从 n=k 到 n=k+1 的推导 过程中要应用归纳假设,有时需要对目标式进行适当的放 缩来实现; (2)用数学归纳法证明不等式时, 推论过程中有时要用 到比较法、分析法和配凑法等.

[活学活用] 1 1 1 证明不等式 1+ + +?+ <2 n(n∈N*). 2 3 n

证明: (1)当 n=1 时, 左边=1, 右边=2 1=2.显然命题成立. 1 1 1 (2)假设 n=k 时命题成立,即 1+ + +?+ <2 k. 2 3 k 则当 n=k+1 时, 1 1 1 1 1 1+ + +?+ + <2 k+ 2 3 k k+ 1 k+1 2 k· k+1+1 k+?k+1?+1 2?k+1? = < = =2 k+1, k+ 1 k+1 k+ 1 这就是说,当 n=k+1 时,不等式也成立. 根据(1)(2),可知不等式对任意正整数 n 都成立.

用数学归纳法证明整除问题
[例 3] 用数学归纳法证明:f(n)=(2n+7)· 3n+9 能被 36 整除.
[证明] 36 整除. (2)假设 n=k(k≥1,k∈N*)时,f(k)=(2k+7)· 3k+9 能被 36 整除. 当 n=k+1 时, f(k+1)=[2(k+1)+7]· 3k 1+9


(1)n=1 时,f(1)=(2×1+7)×31+9=36,能被

=3[(2k+7)· 3k+9]+18(3k 1-1)


=3f(k)+18(3k-1-1), ∵3k-1-1 是偶数. ∴18(3k-1-1)能被 36 整除. 又∵f(k)能被 36 整除,∴f(k+1)能被 36 整除. 由(1)(2)知对 n∈N*,f(n)能被 36 整除.

[类题通法] 用数学归纳法证明整除问题的方法技巧 用数学归纳法证明整除问题时, 首先要从要证的式子中 拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式 (数)整除,这是用数学归纳法证明整除问题的一大技巧.

[活学活用] 利用数学归纳法证明:x2n-y2n(n∈N*)能被 x+y 整除.
证明:(1)当 n=1 时,x2-y2=(x+y)(x-y),能被 x+y 整除, 所以命题成立. (2)假设当 n=k(k∈N*)时命题成立, 即 x2k-y2k 能被 x+y 整除. 那么,当 n=k+1 时,x2(k+1)-y2(k+1)=x2· x2k-y2· y2k-x2· y2k+ x2· y2k=x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2). 因为 x2k-y2k 与 x2-y2 都能被 x+y 整除, 所以 x2(k
+1)

-y2(k

+1)

能被 x+y 整除,

即当 n=k+1 时命题也成立. 根据(1)和(2),可知命题对任何 n∈N*都成立.

6.归纳——猜想——证明
[典例]
1

(12 分)在数列{an}中,a1=2,an+1=λan+λn+

+(2-λ)2n(n∈N*),其中 λ>0. (1)求 a2,a3,a4; (2)猜想{an}的通项公式并加以证明.

[解题流程]

[活学活用] 将 正 整 数 作 如 下 分 组 : (1) , (2,3) , (4,5,6) , (7,8,9,10) , (11,12,13,14,15), (16,17,18,19,20,21),?,分别计算各组包含 的正整数的和如下: S1=1, S2=2+3=5, S3=4+5+6=15, S4=7+8+9+10=34, S5=11+12+13+14+15=65, S6=16+17+18+19+20+21=111, ? 试猜测 S1+S3+S5+?+S2n-1 的结果,并用数学归纳法证明.

解:由题意知,当 n=1 时,S1=1=14; 当 n=2 时,S1+S3=16=24; 当 n=3 时,S1+S3+S5=81=34; 当 n=4 时,S1+S3+S5+S7=256=44. 猜想:S1+S3+S5+?+S2n-1=n4. 下面用数学归纳法证明: (1)当 n=1 时,S1=1=14,等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N*)时等式成立,即 S1+S3+S5+?+ S2k-1=k4.

那么,当 n=k+1 时,S1+S3+S5+?+S2k-1+S2k+1=k4 +[(2k2+k+1)+(2k2+k+2)+…+(2k2+k+2k+1)]=k4 +(2k+1)(2k2+2k+1)=k4+4k3+6k2+4k+1=(k+1)4, 即当 n=k+1 时等式也成立. 根据(1)和(2),可知对于任何 n∈N*,S1+S3+S5+?+S2n
4 = n 都成立. -1

[随堂即时演练]
1.用数学归纳法证明“凸 n 边形的内角和等于(n-2)π”时, 归纳奠基中 n0 的取值应为 A.1 C.3 B.2 D.4 ( )

解析:边数最少的凸 n 边形为三角形,故 n0=3. 答案:C

n 2 1 - a 2.用数学归纳法证明 1+a+a2+?+an+1= (n∈N*, 1-a


a≠1),在验证 n=1 成立时,左边所得的项为 A.1 C.1+a B.1+a+a2 D.1+a+a2+a3

(

)

解析:当 n=1 时,n+1=2,故左边所得的项为 1+a+a2. 答案:B

3.用数学归纳法证明关于 n 的恒等式时,当 n=k 时,表达式 为 1×4+2×7+?+k(3k+1)=k(k+1)2,则当 n=k+1 时, 表达式为____________________.

解析:当 n=k+1 时,应将表达式 1×4+2×7+?+k(3k +1)=k(k+1)2 中的 k 更换为 k+1. 答案: 1×4 + 2×7 +?+ k(3k + 1) + (k + 1)(3k + 4) = (k + 1)(k+2)2

4.以下是用数学归纳法证明“n∈N*时,2n>n2”的过程.证 明:(1)当 n=1 时,21>12,不等式显然成立. (2)假设当 n=k(k∈N*)时不等式成立,即 2k>k2. 那么,当 n=k+1 时,2k 1=2×2k=2k+2k>k2+k2≥k2+2k


+1=(k+1)2, 即当 n=k+1 时不等式也成立. 根据(1)和(2),可知对任何 n∈N*不等式都成立.其中错误的 步骤为________(填序号).

解析: 在 2k+1=2×2k=2k+2k>k2+k2≥k2+2k+1 中用 了 k2≥2k+1,这是一个不确定的结论.如 k=2 时,k2 <2k+1. 答案:(2)

1 1 1 1 5.求证: + +?+ n=1- n(其中 n∈N*). 2 4 2 2 1 1 1 证明:(1)当 n=1 时,左边= ,右边=1- = ,左边= 2 2 2

右边,等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N*)时等式成立, 1 1 1 1 即 + +?+ k=1- k. 2 4 2 2 那么,当 n=k+1 时, 1 1 1 1 1 1 1 + +?+ k+ k+1=1- k+ k+1=1- k+1, 2 4 2 2 2 2 2 即当 n=k+1 时等式也成立. 根据(1)和(2),可知等式对任何 n∈N*都成立.

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