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重庆市三峡名校联盟2013届高三联考 数学文


三峡名校联盟高 2013 级 3 月联考 数学试题(文科)
第Ⅰ卷(选择题,50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={3,4},B={1,2,3},则( ? A)∩B U 等于 A.{3} B.{l,2} C

.{1,3} D.{l,2,3} 2.设数列 ?an ? 是等差数列,且 a2 ? a3 ? a4 ? 15 ,则这个数列的前 5 项和 S 5 = A. 10 B. 15 C. 20 D. 25
1 2 正视图 2 2 侧视图

3.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 A.

1 3

B.

1
D. 2
俯视图

C. 2 4. 下列关于命题的说法正确的是

(第 3 题图)

A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为:”若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”
2 2

B.“ A ? ? ”是“

A ? B ? ? ”的充分不必要条件
x ? R ,均有 x2 ? x ? 1 ? 0 ”

2 C.命题“ ? x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?

D.命题“若

x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题
2

5. 函数 f ( x) ? cos ( x ?

?

A 周期为 ? 的奇函数

) ? cos 2 ( x ? )( x ? R) 是 4 4

?

B.周期为 ? 的偶函数

C,周期为 2? 的奇函数

D.周期为 2? 的偶函数

6.已知向量 a , b 满足| a |=2,| b |=3,|2 a + b |= 37 ,则 a 与 b 的夹角为 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 7.设不等式组 ?

?0 ? x ? 2 表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一点,则此点到坐标原点 0? y?2 ?
B. 1 ?

的距离大于 1 的概率为 A.

1 2

? 4

C.

1 4
-1-

D. 1 ?

?
16

8.已知直线 l , m ,平面 ? , ? ,且 l ? ? , m ? ? ,给出四个命题:

① ? ∥? ,则 l ? m ; 若

② l ? m ,则 ? ∥? ;③ ? ? ? ,则 l ∥ 若 若 m;④ l ∥ 若 m,则 ? ? ? .其中真命题的个数 是 A.4 B.3 C.2 D.1 9. 已知点 P 是双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 和圆 x2 ? y 2 ? a2 ? b2 的一个交点, 1 , F2 是 F 2 a b

双曲线的两个焦点, ?PF2 F ? 2?PF F2 ,则双曲线的离心率为 1 1 A. 3 ? 1

B。

3 ?1 2

C.2

D.

1 2

10.设函数 y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 上的导函数为 f ?( x ) , f ?( x ) 在区间 ( a, b) 上的导函数为

f ??( x) ,若在区间 ( a, b) 上 f ??( x) ? 0 恒成立,则称函数 f ( x) 在区间 ( a, b) 上的“凸函
数”。 已知 f ( x) ?

1 4 1 3 3 2 x ? mx ? x , 若对任意的实数 m 满足 m ? 2 时, 函数 f ( x ) 12 6 2

在区间 ( a, b) 上为“凸函数”,则 b ? a 的最大值为 A.4 B.3 C. 2 D.1

第Ⅱ 卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应 位置. 5i 11.复数 的虚部为 1 ? 2i
12.阅读右图所示的程序框图, 运行相应的程序, 若输入的 X 的值为 2, 则输出的结果是 13.对于有线性相关关系的变量x,y,测得一组数据如下表: x y 2 20 4 40 5 60 6 70 8 80

根据上表得它们的回归直线方程为 y ? 10.52 x ? a , 据此模型来预

?

?

测当x=20时,y的估计值为

? a x ?5 ( x ? 6), ? 14.已知函数 f ( x ) ? ? 是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值 a ?(4 ? ) x ? 4 ( x ? 6), ? 2
范围是 15.已知过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 且斜率为 3 的直线与抛物线交于 A, B 两点,且
2

-2-

AF ? BF ,则

AF ? BF

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及 演算步骤.
16. (本小题满分 13 分,第Ⅰ 6 分,第Ⅱ 7 分) 问 问 在数列 ?a n ? 中, a1 ? 1, a n ?1 ? a n ? c(c 为常数, n ? N ) ,且 a1 , a 2 , a5 成公比不等于 1 的等
?

比数列. (Ⅰ )求 c 的值; (Ⅱ )设 bn ?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n a n a n ?1

17. (本小题满分 13 分,第Ⅰ 6 分,第Ⅱ 7 分) 问 问 某校从参加市联考的甲、乙两班数学成绩 110 分以上的同学中 各随机抽取 8 人,将这 16 人的数学成绩编成如下茎叶图. (Ⅰ )茎叶图中有一个数据污损不清(用△表示) ,若甲班抽出 来的同学平均成绩为 122 分,试推算这个污损的数据是多少? (Ⅱ )现要从成绩在 130 分以上的 5 位同学中选 2 位作数学学 习方法介绍,请将所有可能的结果列举出来,并求选出的两位同学 不在同一个班的概率.
甲 8 2 2 7 △ 0 11 12 8 0 4 6 8 2 5 乙

3 1 13

14 1 17 题图

18. (本小题满分 13 分,第Ⅰ 6 分,第Ⅱ 7 分) 问 问 已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ?

1 ,x?R . 2

(Ⅰ 求函数 f (x) 的最小值和最小正周期; ) ( Ⅱ) 已 知 ?ABC 内 角 A、B、C 的 对 边 分 别 为 a、b、c , 且 c ? 3, f (C ) ? 0 ,

sin B ? 2sin A 求 a、b 的值.
19. (本小题满分 12 分,第Ⅰ 4 分,第Ⅱ 4 分,第Ⅲ 4 分) 问 问 问 如图所示,已知 AC ⊥ 平面 CDE, BD ∥ , ?ECD 为 AC 等边三角形,F 为 ED 边上的中点,且 CD ? BD ? 2 AC ? 2 , (Ⅰ )求证:CF∥ ABE; 面 (Ⅱ )求证:面 ABE ⊥ 平面 BDE; (Ⅲ )求该几何体 ABECD 的体积。 E
-3-

A

B

C

F

D

20. (本小题满分 12 分,第Ⅰ 5 分,第Ⅱ 7 分) 问 问 已知函数 f ( x) ?

a ? ln x ( x ? 1) ln x ,且 f ( x) ? g ( x) ? 。 x x

(1)若函数 f (x) 在 1, f ?1? 处的切线与 y 轴垂直,求 f ? x ? 的极值。 (2)若函数 g (x) 在 ?1, e?上的最小值为

?

?

3 ,求实数 a 的值。 2

21. (本小题满分12分,第Ⅰ 问5分,第Ⅱ 问7分) 如图, 椭圆 E :

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F2 与抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点重合, F2 作与 x 过 2 a b

轴垂直的直线与椭圆交于 S, T ,而与抛物线交于 C, D 两点,且

CD ST

?2 2.

(Ⅰ )求椭圆 E 的方程; (Ⅱ )若过 m(2,0) 的直线与椭圆 E 相交于两点 A 和 B , 设 P 为椭圆 E 上一点,且满足 OA ? OB ? t OP ( O 为坐标原 点) ,求实数 t 的取值范围.

-4-

数学参考答案与评分标准(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的. 题号 答案 1 B 2 D 3 D 4 D 5 A 6 C 7 D 8 C 9 A 10 C

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上.
11. 1 12. -3 13. 211.8 14.

? ?7 , 8

15.3

(Ⅱ )由(Ⅰ )知, a n ? 2n ? 1 . ………………………………………………7 分 ∴bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) …………10 分 a n a n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1? 1 1 1 1 1 ? ?(1 ? 3 ) ? ( 3 ? 5 ) ? ? ? ( 2n ? 1 ? 2n ? 1)? 2? ?

∴S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

1 1 n …………………………………………13 分 (1 ? )? 2 2n ? 1 2n ? 1 17(Ⅰ )设污损的数据为 x ,则甲班抽出来的同学的平均成绩为 ?
1 [(110 ? 3 ? 120 ? 3 ? 130 ? 2) ? 2 ? 2 ? 8 ? 0 ? x ? 7 ? 1 ? 3] ? 122 解得 x ? 3 8 所以这个污损的数据是 3 ……………………6 分 (Ⅱ )依据题意,甲班 130 分以上的有 2 人,编号为 A , B ,乙班 130 分以上的有 3 人,编号 为 c 、 d 、 e ,从 5 位同学中任选 2 人,所有的情况列举如下: AB , Ac , Ad , Ae , Bc , Bd , Be , cd , ce , de 共 10 种结果 ……………………………10 分 其中两位同学不在同一班的有 Ac , Ad , Ae , Bc , Bd , Be 共 6 种.。。。。。12 。。。。 6 3 所以所求概率为 ………………………………13 分 ? 10 5

-5-

19 解: (1)证明:取 BE 的中点 G,连 FG∥ BD ,AC∥ BD ,故 CF∥ ? CF∥ ABE (4 AG 面 分) (2)证明:△ECD 为等边三角形 ? CF⊥ ED 又 CF⊥ ? CF⊥面 BDE BD CF∥ AG 故 AG⊥ BDE ? 面 ABE ⊥ 面 平面 BDE (8 分)

1 2

1 2

(3)几何体 ABECD 是四棱锥 E-ABCD,EH⊥ ? EH⊥ ABCD CD 面

VE ? ABCD ?

1 1 ? (1 ? 2) ? 2 ? 3 ? 3 3 2

(12 分)

20.解:(1) f ?( x) ?

1 ? (a ? ln x) 由 f ?(1) ? 0 得 a ? 1 x2

? f ?( x ) ?

ln x 得 f ( x)在? 0,1? 单减,在?1 +?? 单增 , x2

(5 ? f ( x)极小值 ? f (1) ? 1, 无极大值。 分) (2) g ( x) ?

( x ? 1) ln x a ? ln x x ln x ? a a ? ? ? ln x ? x x x x

-6-

1 a x?a ? 2 ? 2 x x x (i )当a ? 0时,g ( x)在(0,??)上单调递增,在?1,e?上单调递增,最小值 g ?( x) ? 3 3 ? a ? ? (舍去) 2 2 (ii)当a ? 0时,g ( x)在(0, a ) ?, (? a,??) ? ? 为g (1) ? ? a ? 1、 a ? 1, 即 ? 1 ? a ? 0时,g ( x)在?1,e?上 ? ,g(x)的最小值为 ? 3 3 g( ) -a ? ? a ? - (舍去) 1 ? 2 2 2、 a ? e即a ? ?e时,g ( x)在?1,e?上 ? ,g ( x)的最小值为 a 3 e g (e) ? 1 ? ? ? a ? ? (舍去) e 2 2 3 3、? ? a ? e即 ? e ? a ? ?1时,g ( x)最小值为g (? a ) ? ln(? a ) ? 1 ? ? a ? ? e 1 2
综上所述, a ? ? e 21. 解: ⑴ 焦点 F2 (1,0) , (12 分)

CD ST

? 2 2 ,? CD ? 4, ST ? 2 ,
x2 ? y2 ? 1 2

x2 y 2 b2 ? 2 ? 1, ST ? 2 2 ? 2 a2 b a

c ? 1,? a ? 2 , b ? 1

?x 2 ? 2 y 2 ? 2 ⑵? 即 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 ? y ? k ( x ? 2)
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), P( x0 , y0 )

? x1 ? x2 ? tx0 得 ? ? y1 ? y2 ? ty0

? 1 1 8k 2 x0 ? ( x1 ? x2 ) ? ? ? ? t t 1 ? 2k 2 ? 2 ? y ? 1 ( y ? y ) ? 1 ? [kx ? 2k ? kx ? 2k ] ? 1 ? ? 4k 2 1 2 ? 0 t 1 t t 1 ? 2k 2 ?

1 2 4k 4 ? 2k 2 1 8k 2 2 32k 2 2 ? x ? 2 y ? 2 [( ) ? ] 即 t ? 8 (1 ? 2k 2 ) 2 t 1 ? 2k 2 (1 ? 2k 2 ) 2
2 0 2 0

? ? (8k 2 )2 ? 4(1 ? 2k 2 )(8k 2 ? 2) ? 0即0 ? 2k 2 ? 1
1 2 ( 2k 2 ) 2 ? 2k 2 1 t ? ? 1? 2 2 8 (1 ? 2k ) (1 ? 2k 2 )
?t ? ?? 2,2? .

-7-


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