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安徽省黄山市2013届高三(屯溪一中等)三校联考数学(理)试题


黄山市 2013 届高三三校联考 数学试题(理科)
总分 150 分 时间 120 分钟 注意事项:答题前,考生务必将自己的班级、姓名、考试号写在答题纸的密封线内.答题时,答案写 在答题纸上对应题目的空格内,答案写在试卷上无效. 第 I 卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的)

(1 ? i ) 2 ? 3 ?i ( 1、复数
1 3 ? ? i 2 A. 2



1 3 ? i 2 B. 2

C. ?1 ? 3i

D. 1 ? 3i

2、已知集合 ( ) A. (?2,3]

A ? ? x x ? 1 ? 2?

1 ? ? B ? ? y y ? x ? , x ? R且x ? 0 ? x ? ? ,则 ? CR B ? ? A = ,
C. (?2, ?1) D. [?2, ?1) )条件.

B.

[? 2 , 3 ]

3、 a =3 ”是“直线 ax-2 y -1=0 与直线 6 x-4 y +c=0 平行”的( “ A.充要
3

B.充分不必要

C.必要不充分

D.既不充分也不必要

A ? ? x 2 ? 1dx
4、已知
0

,则 A =(



A.0

B.6

C.8

22 D. 3
2

y2 x ? ?1 m 5、已知 m 是两个正数 2 , 8 的等比中项,则圆锥曲线 的离心率为(
3 5 A. 2 或 2 3 B. 2 3 D. 2 或 5



C. 5

6、设函数

f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ?


? ?? ? 2? x? ? A ? 0, ? ? 0, ? ? ? ? ? 2 2 ? 的图像关于直线 3 对称,它 ,?

的周期是 ? ,则(

A.

f ? x?

1 的图像过点(0, 2 ) x =的一条对称轴方程为
n

B.

f ? x?

? ? 2? ? ?12 , 3 ? ? 上是减函数 在?

C.

f ? x?

?
12

? 5? ? ,0? ? f ? x? ? 12 ? D. 的一个对称中心是

?x 1 ? ? ?3 ? 2 x ? 的展开式中,只有第 5 项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是( ) 7、在 ?
A. -7 B. 7 C. -28 D. 28

8、已知数列﹛ A、1509.5

an

﹜满足

an?1 ?

1 1 2 ? an ? an a1 ? 2 2 ,则该数列前 2013 项和等于( ,且
C、1509 D、1508



B 、1508.5

10、已知抛物线方程为 y =4 x ,直线 l 的方程为 x-y +4=0 ,在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为

2

d1

,到直线 L 的距离为

d2

,则

d1 +d 2

的最小值为(



5 2 +2 A、 2

5 2 +1 B、 2

5 2 -2 C、 2

5 2 -1 D、 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题(每小题 5 分,共 5 小题,满分 25 分) 11 、 如 果 执 行 右 侧 的 程 序 框 图 , 那 么 输 出 的

S?

.[

开始 k=1

S ?0
k ≤ 20?



? 是 12 、 一 几何体
S ? S ? 2k

输出 S 结束

k ? k ?1

个几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示,则该 的表面积为 .[体积分别为 .[

5 2 ? ?x ? t ? x ? 5 cos ? ? 4 (t ? R) (0≤? <? ) ? ? ?y ? t ? y ? sin ? 13、已知两曲线参数方程分别为 ? 和? ,它们的交点坐标
为 .[来源

?x ? 1 ? ? x +y ? 5 ? ax +by +c ? 0 14、已知 x,y 满足 ? ,记目标函数 Z =2 x+y 的最大值为 7,最小值为 1,
则 a:b:c 的值是 15、下列说法中正确的是 .[来 .[来

2 2 ①“若 am ? bm ,则 a ? b ”的逆命题为真;

②线性回归方程对应的直线 y ? bx ? a 一定经过其样本数据点

?

?

?

( x1 , y1 )



( x2 , y2 )

, ,

( xn ,yn )



的一个点;
2 2 ③命题“存在实数 x ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“对任意实数 x ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ”

? ④用数学归纳法证明(n+1)(n+2) (n+n)= 2 ?1? 3? (2n ? 1) ( n ? N )时,从“k”到“k+1”的证明,

n

左边需增添的一个因式是 2(2k+1) 。 三、解答题(共 6 小题,满分 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16、 (本小题满分 12 分) 已知向量

?? ? m = ?1, cos? x ? ,n = sin ? x, 3

?

?? ? ? , ? >0 ) f (x)=m ? n ,且 f (x) 图象上一个最 ( ,函数

?? ? ? 7? ? , -2 ? ? ,2? ? ?. 高点的坐标为 ? 12 ? ,与之相邻的一个最低点的坐标为 ? 12
(1)求 f (x) 的解析式;
2 2 2 a (2) 在△ABC 中, ,b,c 是角 A、 C 所对的边, B、 且满足 a +c -b =ac , 求角 B 的大小以及 f (A)

的取值范围.

17、 (本小题满分 12 分) 为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取 14 件 和 5 件,测量产品中微量元素 x,y 的含量(单位:毫克).下表是乙厂的 5 件产品的测量数据: 编号 1 2 3 4 5

x y

169 75

178 80

166 77

175 70

180 81

(1)已知甲厂生产的产品共 98 件,求乙厂生产的产品数量; (2)当产品中的微量元素 x,y 满足≥175 且 y≥75,该产品为优等品,用上述样本数据估计乙厂 生产的优等品的数量; (3)从乙厂抽出的上述 5 件产品中,随即抽取 2 件,求抽取的 2 件产品中优等品数 ? 的分布列及 其均值(即数学期望).

18、 (本小题满分 12 分)

D 如图 1, 平面四边形 ABDC 关于直线 AC 对称,?A ? 60 ,?C ? 90 ,CD ? 2 , ?A D 沿 把 B B
? ?

折起 (如

3 图 2) ,使二面角 A-BD-C 的余弦值等于 3 .对于图 2,
(1)求 A,C 两点间的距离; (2)证明:AC⊥平面 BCD; (3)求直线 AC 与平面 ABD 所成角的正弦



. 19、 (本小题满分 13 分)

x2 y 2 6 ? 2 ?1 2 b 已知椭圆 C: a ( a ? b ? 0 )的离心率为 3 , F 为椭圆在 x 轴正半轴上的焦点, M , N
???? ???? ? ???? ??? ? ???? ??? AM ? AN ? 106 ? ? A ? ?4, 0 ? 3 ; 两点在椭圆 C 上,且 MF ? FN ( ? ? 0 ) ,定点 ,且 MN ? AF ,
(1)求椭圆 C 的方程;

???? ???? (2)GH 是过 F 点的弦,且当 AH ? AG ? tan ?GAH 的值为 6 3 ,求出直线 GH 的方程。

20(本小题满分 13 分) 已知各项均为正数的数列

{a n }

的前 n 项和

Sn

满足:

S1 ? 1, 且6S n ? (an ? 1)( an ? 2), n ? N * .
(1)求数列 (2)设数列 求证:

{a n }

的通项公式; 为数列

{bn }满足a n (2 bn ? 1) ? 1, 记Tn

{bn }

的前 n 项和,

2Tn ? 1 ? log 2 (an ? 3).

21、 (本小题满分 13 分) 已知函数 f (x)=ax + ln (x+1) .
2

a =(1)当

1 4 时,求函数 f (x) 的单调区间;

?x ? 0 ? x ? ? 0,+? ) f (x) 图象上的点都在 ? y -x ? 0 所表示的平面区域内,求实 (2)当 时,函数
取值范围.

数a的

2 4 8 2n (1+ )(1+ )(1+ ) ?[1+ n -1 ]<e * 2?3 3? 5 5?9 (2 +1)(2n +1) (3)求证: (其中 n ? N ,e 是 自然对数的

底数) .

黄山市 213 届高三三校联考理科数学参考答案及评分标准 选择题 1 A 填空题 2 C 3 C 4 D 5 D 6 D 7 B 8 A 9 B 10 D

11、420 15、③④ 三、解答题

12、 4 ? 2 2? ? 2?

4? 3

(1,
13、

2 5 ) 5

14、 (?4) :1: 5

1 3 ?? ? ? 2( sin ? x ? cos ? x) f ( x) ? m ? n ? sin ? x ? 3 cos ? x 2 2 16.解: (1)

? 2sin(? x ? ) 3 .

?

--------------------------------------2 分

?? ? ? 7? ? , ?2 ? ? , 2? ? f ? x? 12 ? ,与之相邻的一个最低点的坐标为 ? 12 ?. ? 图象上一个最高点的坐标为 ?

?

T 7? ? ? 2? ? ? ? ?? ?2 2 12 12 2 ,?T ? ? ,于是 T .

---------------5 分

f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 3 . 所以

?

---------------------------------6 分

2 2 2 (2)? a ? c ? b ? ac ,

? cos B ?

a 2 ? c2 ? b2 1 ? 2ac 2 ----------------------------------7-分

又0? B ?? ,

?B ?

?

? f ( A) ? 2sin(2 A ? ) 3. 3 -----------------------------------------8 分

?

?B ?

?
3

?0 ? A ?

2? ? ? 5? ? 2A ? ? 3 .于是 3 3 3 ,

? sin(2 A ? ) ? ? ?1,1? 3 .
所以

?

------------------------------------------------10 分

f ( A) ? ? ?2, 2?

.---------------------------------------------------------12 分

14 5 ? x ,所以 x ? 35 。------------2 分 17.解:(1)设乙厂生产的产品数量为 x 件,由题意得 98 2 ? 35 ? 14 (2)由题意知乙厂生产的优等品的数量为 5 件---------------4 分
(3)由题意知 ? ? 0,1,2

P (? ? 0) ?

C 32 C 1C 1 C2 3 6 3 1 ? P (? ? 1) ? 3 2 2 ? ? P (? ? 2) ? 2 ? 2 2 10 5 C 5 10 C5 C 5 10 ---------------7 分

所以随机变量 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3 10
E? ? 0 ?

3 5
3 6 1 4 ? 1? ? 2 ? 10 10 10 = 5

1 10
---------------10 分

所以随机变量 ? 的均值

---------------12 分

18 、

(2)由(1)知 F(2,0), 设直线 GH 的方程为 x ? my ? 2 . G( x1 , y1 ), H ( x 2 , y 2 ) ,因为

???? ???? AH ? AG ? tan ?GAH
---------------7 分

? AH ? AG sin ?GAH ? 2S ?GAH ? 6 3







S ?G

A

?3 3 H

有因为

S ?GAH ?

1 AF y1 ? y 2 ? 3 y1 ? y 2 2 y ? y2 ? 3 2 , 所以 1 , ( y1 ? y 2 ) ? 4 y1 y 2 ? 3 (?) 式 即

---------------9 分

? x ? my ? 2 ? 2 y2 4m 2 ?x ? ?1 y ? y2 ? ? 2 , y1 y 2 ? ? 2 ?6 (m 2 ? 3) y 2 ? 4my ? 2 ? 0 ,所以 1 2 m ?3 m ?3 由? 得
---------------10 分
4 2 代入 (?) 式得 m ? 2m ? 1 ? 0 ,所以 m ? ?1 ---------------11 分

故直线 GH 的方程为 x ? y ? 2 ? 0或x ? y ? 2 ? 0 ---------------13 分 20、解: (1)当 n=1 时,有 6a1 ? (a1 ? 1)( a1 ? 2).

解得 a1 ? 1(与a1 ? S1 ? 1矛盾, 舍去), 或a1 ? 2.

1分

当 n ? 2 时,有

?6 S n ? (a n ? 1)( a n ? 2), ? ?6 S n ?1 ? (a n ?1 ? 1)( a n ?1 ? 2)

两式相减得 3分

2 2 6a n ? a n ? a n?1 ? 3(a n ? a n?1 ), 即(a n ? a n ?1 )( a n ? a n?1 ? 3) ? 0.

由题设 故数列

a n ? a n?1 ? 0, 从而a n ? a n?1 ? 3 ? 0,即an ? a n?1 ? 3.

{a n }

是首项为 2,公差为 3 的等差数列

a n ? 2 ? (n ? 1) ? 3 ? 3n ? 1.
3n . 3n ? 1

6分

(2)由

an (2 bn ? 1) ? 1, 得(3n ? 1)( 2 bn ? 1) ? 1, bn ? log 2

7分

3 6 9 3n Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? log 2 ( ? ? ? ? ? ). 2 5 8 3n ? 1 3 6 9 3n 2Tn ? 1 ? log 2 (a n ? 3) ? 2 log 2 ( ? ? ? ? ? ) ? 1 ? log 2 (3n ? 2) 2 5 8 3n ? 1 而 3 6 9 3n 2 3n ? 2 ? ( ? ? ??? ) ? 2 5 8 3n ? 1 2

3 6 9 3n 2 2( ? ? ? ? ? ) 3n ? 1 ? 1 ? 2 5 8 3n ? 2 3 6 9 3n 2 2( ? ? ? ? ? ) 2 5 8 3n ? 1 . cn ? 3n ? 2 令
3n ? 3 2 ( ) (3n ? 2) c n ?1 (3n ? 3) 2 9n 2 ? 18n ? 9 ? 3n ? 2 ? ? 2 ? 1. cn 3(n ? 1) ? 2 (3n ? 5)(3n ? 2) 9n ? 21n ? 10 则


9分

cn ? 0, 所以cn ?1 ? cn ,{cn }

是单调递减数列.

11 分

3 6 9 3n 2 3 2( ? ? ? ? ? ) 2( ) 2 9 2 5 8 3n ? 1 ? 1. 2 cn ? c1 ? ? ? 1.所以c n ? 3 ? 1 ? 2 10 3n ? 2 所以,
从而

2Tn ? 1 ? log 2 (an ? 3)

成立.

13 分

1 x2 a ? ? 时,f (x)=- + ln (x +1)(x >-1) 4 4 21、解: (1) f ?(x)=(x +2)(x-1) 2(x +1)

由f ?(x)>0,解得-1<x<1;由f ?(x)<0,解得x>1; 故函数f(x)的单调递增区间为(-1, ), +? 单调递减 区间为( , ) 1 +? ;
(2) x ? [0,+?),f (x) ? x恒成立, ? 即ax2 + ln (x +1)-x ? 0恒成立。
设(x)=ax2 + ln (x +1)-x(x ? 0)只需g (x) max ? 0 g 由g ?(x)=2ax+ 1 x[2ax +(2a-1)] -1= x +1 x +1
3分

当a =0时,g?(x)=


-x ,g (x)在[0,+?)上单调递减, 故g(x) ? g(0)=0成立 x+1

当a >0时,由g?(x)=0得x= 若


1 -1 2a
5分

1 1 -1<0,即a > 时g (x)在(0,+?)上单调递增, 2a 2

故此时g(x)无最大值。
若 1 1 1 1 -1 ? 0,即0<a ? 时g (x)在(0, -1)上单调递减,在( -1,?)上单调递增,故此时g(x)无最大值。 + 2a 2 2a 2a

7分

当a <0时, x ? [0,+?) ? 2ax +(2a -1)<0 ? ? g ?(x)<0,此时g(x)在[0,+?)上单调递减,g(x) ? g(0)=0


? a的取值范围是(-?,0]
9分

由(2)可知,a =0时,ln (x+1) ? x在[0,+?)上恒成立 又 2n 1 1 =2( n -1 - n ) n -1 n (2 +1)(2 +1) 2 +1 2 +1 2 4 2n )(1+ ) ?[1+ n -1 ] 2?3 3? 5 (2 +1) ? (2 n +1)

? ln[(1+ = ln (1+ <

2 4 2n )+ ln (1+ )+ ? + ln[1+ n -1 ] 2?3 3? 5 (2 +1) ? (2 n +1)

2 4 2n + + ? + n -1 2 ? 3 3? 5 (2 +1) ? (2 n +1) 1 1 1 1 1 1 =2[( - )+( - )+ ? +( n -1 - n )]<1 2 3 3 5 2 +1 2 +1 ?

2 4 8 2n (1+ )(1+ )(1+ ) ?[1+ n -1 ]<e 2?3 3? 5 5?9 (2 +1)(2n +1)
13 分


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