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对数函数与指数函数的导数(1)




题:

3.5 对数函数与指数函数的导数(1)

教学目的: 1.理解掌握对数函数的导数的两个求导公式. 2.在学习了函数四则运算的求导法则与复合函数求导法则的基础上, 应用对 数函数的求导公式,能求简单的初等函数的导数
王新敞
奎屯 新疆

教学重点:应用对数函数的求导公式

求简单的初等函数的导数. 教学难点:对数函数的导数的记忆,对数函数求导公式的灵活运用. 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入:
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
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王新敞
奎屯

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1. 常见函数的导数公式:

C ' ? 0 ; ( x n )' ? nxn?1 ; (sin x)' ? cos x ; (cos x)' ? ? sin x
2.法则 1 法则 2

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[u( x) ? v( x)]' ? u ' ( x) ? v ' ( x) .
[u( x)v( x)]? ? u '( x)v( x) ? u( x)v '( x) , [Cu( x)]? ? Cu '( x)
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法则 3

? u ? u ' v ? uv ' (v ? 0) ? ? ? v2 ?v?
'

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3.复合函数的导数: 设函数 u= ? (x)在点 x 处有导数 u′x= ? ′(x), 函数 y=f(u) 在点 x 的对应点 u 处有导数 y′u=f′(u),则复合函数 y=f( ? (x))在点 x 处也有 导数,且 y' x ? y'u ?u' x 或 f′x( ? (x))=f′(u)

? ′(x).

4.复合函数的求导法则 复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变 量对自变量的导数 5.复合函数求导的基本步骤是:分解——求导——相乘——回代. 二、讲解新课:
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⒈对数函数的导数(1) (ln x )' ? : 证明:∵

1 x

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y ? f ( x) ? ln x



?y ? ln( x ? ?x) ? ln x ? ln

x ? ?x ?x ? l n1 ? ) , ( x x
x



?y 1 ?x 1 x ?x 1 ?x ? l n1 ? ) = ( ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ?x ?x ?x x x ?x x x x ?y 1 1 1 1 ?x ?x y ' ? l i m ? l i m n1 ? ) ?x ? ln[lim (1 ? ) ?x ] ? ln e ? . l ( ?x ? 0 ? x x x x ?x?0 x x ?x?0 x
x x





(ln x)' ?

1 . x
1
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1 x 附:重要极限 lim(1 ? ) ? e 或 lim(1 ? x) x ? e x ?? x ?0 x
2.对数函数的导数(2) (log a x)' ? : 证明:根据对数的换底公式

1 log a e x

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(log a x)' ? (

ln x 1 1 1 )' ? ? ? l o ag . e ln a ln a x x

根据对数函数的求导公式以及函数的四则运算的求导法则、复合函数的求 导法则,我们可以求一些简单函数的导数. 三、讲解范例: 例 1 求 y ? ln(2x ? 3x ? 1) 的导数.
2

解: y′=[ln(2x2+3x+1)]′=

1 4x ? 3 (2x2+3x+1)′= 2 2 x ? 3x ? 1 2 x ? 3x ? 1
2

例 2 求 y ? lg 1 ? x 2 的导数. 解法一:y′=(lg

1? x2

)′=

1 1? x
2

lge·(

1? x2

)′

=

lg e 1? x2
=

·

1 ? 1 lg e 1 ·(1-x2) 2 (1-x2)′= · ·(-2x) 2 1? x2 2 1? x2

? x lg e x lg e ? 2 1? x2 x ?1

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分析:对数函数,可以先把它化简,然后根据求导法则进行求导 解法二:∵ y=lg

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1 1 ? x 2 ? lg(1-x2) 2

∴y′=[

1 1 1 lg(1-x2)]′= lge(1-x2)′ 2 2 2 1? x
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=

x lg e lg e ·(-2x)= 2 2 x ?1 2(1 ? x )

说明:真数中若含乘方或开方、乘法或除法的,均可先变形再求导. 实际上,解法 1 中 y ? lg u , u ? 属于多重复合.而解法 2 中 y ? 法显得简单,不易出错. 例 3 求函数 y=ln(

v , v ? 1 ? x 2 ,取了两个中间变量,

1 lg u , u ? 1 ? x 2 ,仅有一次复合,所以其解 2

x 2 ? 1 -x)的导数.

分析:由复合函数求导法则:y′x=y′u·u′x 对原函数由外向内逐个拆成 几个简单的基本初等函数. 解:y ? ?

1 x2 ?1 ? x
( x

? ( x 2 ? 1 ? x )? ?
1 x2 ? 1 ? x

1 ? 1 [ ( x 2 ? 1) 2 ? 2 x ? 1) x2 ? 1 ? x 2

1

?

1 x2 ? 1 ? x

x2 ? 1

? 1) ?

?

x ? x2 ? 1 x2 ? 1

??

1 x2 ? 1

例 4 若 f(x)=ln(lnx),那么 f′(x)|x=e= A.e B.

.(B) D.以上都不对

1 e

C.1

解:f′(x)=[ln(lnx)]′=

1 1 ·(lnx)′= x ln x ln x

王新敞
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f′(x)|x=e=

1 1 = e ? ln e e

王新敞
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例 5 y=ln[ln(lnx)]的导数是 (C)

A.

1 x ln(ln x)

B.

1 1 C. ln x ln(ln x) x ln x ln(ln x)

D.

1 ln(ln x)

解:y′=

1 1 1 [ln(lnx)]′= · (lnx)′ ln(ln x) ln(ln x) ln x

=

1 1 1 1 · · = ln(ln x) ln x x x ? ln x ln(ln x)

所以用复合函数的求导法则时, 要由外向内逐层求导,直到不能求导为止. 例 6 求 y=ln|x|的导数. 解:当 x>0 时,y=lnx. y′=(lnx)′=

1 ; x 1 1 (-1)= , ?x x

当 x<0 时,y=ln(-x),y′=[ln(-x)]′=

∴y′=

1 x

错误方法:y′=(ln|x|)′=

1 ,|x|可以看成 ln|x|的中间变量,对|x|还要求 | x|

导.所以以后遇到要求含有绝对值的函数的导数时,首先要把绝对值去掉,分情 况讨论. 例 7 求 y=loga 解:y′=(loga

1? x2

的导数. )′=

1? x2

1 1? x
2

logae·(

1? x2

)′

?

1 ? log a e 1 x log a e ? (1 ? x 2 ) 2 ? 2 x ? 1? x2 1? x2 2
(ln x ) n

王新敞
奎屯

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例 8(仅教师参考)求 y= x

的导数.

分析:这类函数是指数上也是含有 x 的幂函数.这样用以前学过的幂函数的 求导公式就行不通了. 以前指数是常数的幂函数.像形如(u(x))v(x)的函数的求导, 它的方法可以是两边取自然对数,然后再对 x 求导.

解:y= x lny=ln x

(ln x ) n

两边取自然对数.

(ln x ) n

=(lnx)n·lnx=(lnx)n+1.

(ln x) n 1 n 两边对 x 求导, y′=(n+1)(lnx) ·(lnx)′=(n+1) x y
(n ? 1)(ln x) n (n ? 1)(ln x) n (ln x ) (ln x ) ∴y′= ·y= ·x =(n+1)(lnx)n· x x x
n n

?1

.

四、课堂练习: 求下列函数的导数. 1.y=xlnx 解:y′=(xlnx)′=x′lnx+x(lnx)′=lnx+x·
王新敞
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1 =lnx+1 x

2.y=ln

1 1 1 1 1 - - 解:y′=(ln )′= ( )′=x·(-1)·x 2=-x 1=- . 1 x x x x x
王新敞
奎屯 新疆

3.y=loga(x2-2). 解:y′=[loga(x2-2)]′=

2 x log a e log a e 2 (x -2)′= . 2 x ?2 x2 ? 2

4.y=lg(sinx) 解:y′=[lg(sinx)]′=
王新敞
奎屯 新疆

lg e lg e (sinx)′= cosx=cotxlge. sin x sin x

5.y=ln

1? x .

1 ? 1 1 1 ?? 解:y′=(ln 1 ? x )′ ? ( 1? x) (1 ? x) 2 (?1) 1? x 1? x 2

??
6.y=ln

1 1 ? 2(1 ? x) 2( x ? 1)

x2 ?1 x 2 ? 1 )′ ?
1 x ?1
2

解:y′=(ln

( x 2 ? 1)?

?

1 ? 1 x . ? ( x 2 ? 1) 2 ? 2 x ? 2 x ?1 x2 ? 1 2

1

7.y=

x ln x -ln(x+1). x ?1 x ln x )′-[ln(x+1)]′ x ?1

解:y′=(

1 (ln x ? x ? )( x ? 1) ? x ln x( x ? 1)? 1 x ? ? 2 ( x ? 1) x ?1

?

(ln x ? 1)( x ? 1) ? x ln x 1 ? 2 ( x ? 1) x ?1 x ln x ? ln x ? x ? 1 ? x ln x ? x ? 1 ln x ? 2 ( x ? 1) ( x ? 1)2

?

x 2 a2 x ? x2 ? a2 2 8.y= . x ? a ? ? ln 2 2 a
解:y′= (

x 2 a2 x ? x2 ? a2 2 ? ? ( ln x ?a ) )? 2 2 a

1 ? 1 2 x 1 2 a2 a 1 2 2 2 ? x ? a ? ? ( x ? a ) ? 2x ? ? ? ( x ? x 2 ? a 2 )? 2 2 a 2 2 2 2 x? x ?a
1 ? 1 2 x2 a2 1 x ? a2 ? ? [1 ? ( x 2 ? a 2 ) 2 ? 2 x] 2 2 2 x 2 ? a 2 2( x ? x 2 ? a 2 )

?

?

1 2 x2 a2 x x ? a2 ? ? ? (1 ? ) 2 2 2 2 2 2 2 x ?a 2( x ? x ? a ) x ?a
x2 ? a2 ? x2 2 x ?a
2 2

?

?

a2 2( x ? x ? a )
2 2

x2 ? a2 ? x x ?a
2 2

?

2 x2 ? a2 ? a2 2 x ?a
2 2

? x2 ? a2

王新敞
奎屯

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五、 小结 : ⑴要记住并用熟对数函数的两个求导公式; ⑵遇到真数中含有乘法、 除法、乘方、开方这些运算的,可以先利用对数运算性质将函数解析式作变形 处理,然后再求导,以使运算较简便 六、课后作业:求下列函数的导数:
王新敞
奎屯 新疆

⑴ y ? log2 ( x ? 1 ? x 2 ) ; ⑵ y ? ln ⑶ y ? ln

1? x2 ; 1? x2
2

sin 2 x ; x

⑷ y ? ln sin (e ? x) .

解:⑴ y' ?

log2 e x ? 1? x2
log2 e

( x ? 1 ? x 2 )' ?

? ? 1 (1 ? x 2 )'? ?1 ? x ? 1? x2 ? 2 1? x2 ? log2 e

?
⑵y?

? log2 e x ? ; ?1 ? ?? 2 2 x ? 1? x ? 1? x ? 1? x2

1 [ln(1 ? x 2 ) ? ln(1 ? x 2 )] 2

y' ?

1 ? (1 ? x 2 )' (1 ? x 2 )' ? 1 ? 2 x 2x ? 2x ? ? ? ; ? ? ? ? 2 2 ? 2 2 ? 2 ? 1? x 1 ? x ? 2 ?1 ? x 1 ? x ? 1? x4

⑶ y' ? ⑷ y' ?

x sin 2 x x 2 x cos 2 x ? sin 2 x 1 ( )' ? ? ? 2 cot 2 x ? ; 2 sin 2 x x sin 2 x x x

[sin2 (e ? x)]' 2 sin(e ? x) cos(e ? x)(?1) ? ? ?2 cot(e ? x) sin 2 (e ? x) sin 2 (e ? x)
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

七、板书设计(略) 八、课后记:
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

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