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数学必修五P52


P52----习题 2-3—B 1、设等比数列{an}的公比为 q,求证

a1a2...an=a1nqn(n-1)/2. 优质解答: an=a1*q
(n-1)

a1a2...an =a1*a1q*a1q2*a1q3*……*a1q =(a1) n*q
(1+2+3+……+(n-1)) (n-1)

=(a1) n*qn(n-1)/2 。

需要说明:1+2+3+……+(n-1)求和问题。
----就是求等差数列:1,2,3,….n-1 的前 n-1 项和 sn-1。 ----也就是前 n 项和减去 n。即利用 Sn=na1 + [n(n-1)d]/2 公 式。其中 a1=1,d=1.也就是

s =s -n=
n-1 n

n + n(n-1)/2-n=n(n-1)/2

1

3、设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,已知 1/3S3 与 1/4S4 的
等比中项为 1/5S5,1/3S3 与 1/4S4 的等差中项为 1,求等差数 列{an}的通项 an。

优质解答—分析---必须记住等差、等比数列的通项公式和中项公 式以及前 n 项和公式. Sn=na1 + [n(n-1)d]/2 1/3S3=1/3{3a1 + [3×(3-1)]d/2} = 1/3(3a1 + 3d)= a1 + d 1/4S4=1/4{4a1 + [4×(4-1)]d/2} = 1/4(4a1 + 6d)= a1 + 3d/2 1/5S5=1/5{5a1 + [5×(5-1)]d/2} = 1/5(5a1 + 10d)= a1 + 2d 1/3S3 与 1/4S4 的等比中项为 1/5S5, (a1 + 2d)^2 =(a1 + d)×(a1 + 3d/2) 3a1d/2 + 5d^2/2 = 0 .(1) 1/3S3 与 1/4S4 的等差中项为 1, (a1 + d)+(a1 + 3d/2)=2×1 a1 + 5d/4 = 1.(2) (1),(2)两式联立,解得:d=0 或 d=-12/5 当 d=0 时,代入(2)中,a1=1,an=1 当 d=-12/5 时,代入(2)中,a1=4 ,an=32/5-12n/5.
2

4、在数列{an}中,Sn+1=4 n+2,a1=1 (1)设 bn=an+1-2an,求证{bn}是等比数列。

a

(2)设 Cn=an/2n,求证{Cn}是等差数列。
(3)求数列{ n}的通项公式及前 n 项和公式。 优质解答(1) 证明:∵Sn+1=4an+2 ∴Sn+1-Sn=4an+2-(4an-1+2)-----说明:因为 Sn+1=4an+2 所以 Sn=4an-1+2 ∴Sn+1-Sn=an +1=4an-4an-1 an+1=4(an-an-1)

a

bn=a

n+1

-2an=2(an-2an-1)-----说明:因为 bn=an+1-2an 所以 bn-1=an-2an-1

∴bn=2an-1 即 bn/bn-1=2 ∵a1=1 ∴S2=4a1+2 a1+a2= 4a1+2 a2=3a1+2=3+2=5 ∴b1= a2-2a1=5-2=3 ∴{bn}是以首项为 3,公比为 2 的等比数列:bn=3*2 。
n-1

3

(2)(提醒说明---多问应用题中,第一个问成立--可以为第二个问服务。) ∵Cn= an/2
n

∴Cn-Cn-1= an/2 -a n-1/2 =an/2 - 2a n-1/2 = an- 2an-1/2 =
n n-1 n n n

bn-1/2

n

(说明:a
n-2 n

n-1

/2 =2a n-1/2 分子分母同时乘以 2) 。
n-1 n

=3*2 /2 =3/4 ------说明: (因为 bn=3*2 ,所以 bn-1=3*2 ) C1=a1/2=1/2 ∴{Cn}是以首项为 1/2,公差为的 3/4 等差数列。 通项公式:an=【2
n-1 n-2

n-1

+(n-1) 3*2 /4】/2

n

n

(3)由(2)知{ Cn}是以首项为 1/2,公差为的 3/4 等 差数列 Cn=1/2+(n-1)3/4= an/2 ∴an=2
n-1 n

+(n-1) 3*2 /4
n-2 n

n

∴Sn=4an-1+2=4[2 + (n-1) 3*2 /4] -----------------------------说明: 因为 Sn+1=4an+2 所以 Sn=4an-1+2 ∴Sn==2+3(n-1)2
n

4


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