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简单几何体的表面积和体积


诸城市超然中学一轮复习作业

组编:张学兵

审核:邱裕善

备, 思, 理

2012.11.22

立体几何第二节 空间几何体的表面积和体积作业
1.纸制的正方体的六个面根据其实际方位分别标记为上、下、东、南、西、北,现在沿 该正方体的一些棱将正方体剪开,外面朝上展平,得到如下图所示的平面图形,则标“△” 的面的方位是( )

A.南

B.北

C.西

D.下

2.(2010·河南省南阳市调研)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切, 32π 已知这个球的体积为 ,那么这个三棱柱的体积是( 3 A.96 3 B.48 3 C.24 3 )

D.16 3 )

π π 3.若圆锥轴截面的顶角 θ 满足 <θ < ,则其侧面展开图中心角 α 满足( 3 2 A. π π <α < 4 3 π π B. <α < 3 2 C. π <α <π 2 D.π <α < 2π

4. (2010·陕西文, 8)若某空间几何体的三视图如下图所示, 则该几何体的体积是(

)

A.2

B.1

2 C. 3

D.

1 3

1

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5.一空间几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积为(

)

A.2π +2 3

B.4π +2 3

2 3 C.2π + 3

2 3 D.4π + 3

6.(2011·山东济南一模)一个几何体的三视图如下图所示(单位长度:cm),则此几何 体的表面积是( )

2

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2

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2

A.(80+16 2)cm

2

B.84cm

2

C.(96+16 2)cm

D.96cm

7.(2011·湖州模拟)如下图所示,已知一个多面体的平面展开图由一个边长为 1 的正方 形和 4 个正三角形组成,则该多面体的体积是________.

8.一个底面半径为 1,高为 6 的圆柱被一个平面截下一部分,如图(1)所示,截下部分 的母线最大长度为 2,最小长度为 1,则截下部分的体积是________.

9.圆柱内切球的表面积为 4π ,则圆柱的表面积为________. 10. (2010·合肥市质检)已知 P 在矩形 ABCD 的边 DC 上,AB=2,BC=1,F 在 AB 上且

DF⊥AP,垂足为 E,将△ADP 沿 AP 折起,使点 D 位于 D′位置,连接 D′B、D′C 得四棱锥 D′
-ABCP.

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(1)求证:D′F⊥AP; (2)若 PD=1,且平面 D′AP⊥平面 ABCP,求四棱锥 D′-ABCP 的体积. 11.如下图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2.动点 E,F 在棱 A1B1 上,点 Q 是棱 CD 的中 点, 动点 P 在棱 AD 上. 若 EF=1, DP=x, A1E=y(x, y 大于零), 则三棱锥 P-EFQ 的体积( )

A.与 x,y 都有关 B.与 x,y 都无关 C.与 x 有关,与 y 无关 D.与 y 有关,与 x 无关 12.某几何体的三视图如下图所示,则它的体积为( )

2π A.8- 3

π B.8- 3

C.8-2π

D.

2π 3

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立体几何第二节 空间几何体的表面积和体积自助餐
1 如图(1)所示,一只装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由半径为 1cm 和半径为 3cm 的两个圆柱组成的简单几何体.当这个几何体如图(2)水平放置时,液面高度为 20cm,当这个 几何体如图(3)水平放置时,液面高度为 28cm,则这个简单几何体的总高度为( )

A.29cm

B.30cm

C.32cm

D.48cm

2. 一个几何体的三视图及部分数据如下图所示,左视图为等腰三角形,俯视图为正方 形,则这个几何体的体积等于( )

A.

1 3

2 B. 3

C.

15 6

D.

62 24

3 一等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的表面积为 24π , 一圆锥与此圆柱一个底面重合, 顶点在另一个底面上,则此圆锥的表面积为________. 4 圆锥的高为 4,侧面积为 15π ,其内切球的表面积为________.

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5.如下图是以正方形 ABCD 为底面的正四棱柱被一平面所截得的几何体,四边形 EFGH 为截面,且 AB=BC= 2,AE=1,BF=DH=2,CG=3.

(1)证明:截面四边形 EFGH 是菱形; (2)求几何体 C-EFGH 的体积. π 6 如下图在△ABC 中,∠B= ,AB=BC=2,P 为 AB 边上一动点,PD∥BC 交 AC 于点 D, 2 现将△PDA 沿 PD 翻折至△PDA′,使平面 PDA′⊥平面 PBCD.

(1)当棱锥 A′-PBCD 的体积最大时,求 PA 的长; (2)若点 P 为 AB 的中点,E 为 A′C 的中点,求证:A′B⊥DE.

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立体几何第二节
1. A 2. B 3 D 4.B

空间几何体的表面积和体积作业答案
5.C 6. A

[解析] 其直观图如下图所示,由三视图知,棱锥底面是边长为 4 的正方形,高为 2,棱 柱与棱锥同底,高为 4,因此棱锥的顶点到底边的距离是 2 +2 =2 2cm,
2 2

1 2 故该几何体的表面积为 S=( ×4×2 2)×4+(4×4)×5=80+16 2(cm ). 2 7. 2 6 8. 3π 2

[解析] 根据对称性把它补成如图(2)所示的圆柱,这个圆柱的高是 3,体积是所求几何 1 3π 3π 2 体体积的 2 倍,故所求的几何体的体积是 ×π ×1 ×3= .故填 . 2 2 2 9. 6π
2

[解析] 设球半径为 R(R>0),则圆柱的底面半径为 R,高为 2R,由条件知,4π R =4π , ∴R=1. ∴圆柱的表面积 S=2π ·R +2π R·2R=6π R =6π .
2 2

10. (1)求证:D′F⊥AP; (2)若 PD=1,且平面 D′AP⊥平面 ABCP,求四棱锥 D′-ABCP 的体积.

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[解析] (1)∵AP⊥D′E,AP⊥EF,D′E∩EF=E, ∴AP⊥平面 D′EF,∴AP⊥D′F. (2)∵PD=1,∴四边形 ADPF 是边长为 1 的正方形, ∴D′E=DE=EF= 2 , 2

∵平面 D′AP⊥平面 ABCP,D′E⊥AP,∴D′E⊥平面 ABCP, 1 3 ∵S 梯形 ABCP= ×(1+2)×1= , 2 2

1 2 ∴VD′-ABCP= ×D′E×S 梯形 ABCP= . 3 4

[来源:Ks5u.com]

11 [答案] 1 C[解析] 设 P 到平面 EFQ 的距离为 h, 则 VP-EFQ= ×S△EFQ·h, 由于 Q 为 CD 的中点, 3

∴点 Q 到直线 EF 的距离为定值 2,又 EF=1,∴S△EFQ 为定值,而 P 点到平面 EFQ 的距离,即

P 点到平面 A1B1CD 的距离,显然与 x 有关与 y 无关,故选 C.
12. [解析] A 由三视图知,原几何体为如下图所示一正方体挖去一个与正方体等高底面是正

1 2π 3 2 方形的内切圆的圆锥,则其体积为 V=2 - π ×1 ×2=8- .故选 A. 3 3

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立体几何第二节 空间几何体的表面积和体积自助餐答案
1[答案] A [解析] 如图(2),设下面圆柱高度为 H,则上面小圆柱内液面高度 20-H,又设余下部 分为 h,则图(3)中,下面圆柱高度为 h+20-H,故上面圆柱液面高度为 28-(h+20-H)=H +8-h,由两圆柱内液体体积相等得

9π H+π (20-H)=π (h+20-H)+9π (H+8-h), ∴h=9,几何体总高度为 20+9=29cm. [点评] 抓住问题的关键环节可以有效的提高解题的速度,本题中若设几何体的总高度
2 2

为 H, 由几何体的总容积一定, 内装液体的体积一定可得: π ×3 ×(H-28)=π ×1 ×(H-20), ∴H=29(cm),解题过程就简捷多了. 2. [答案] A [解析] 由三视图知,这是一个正四棱锥,其底面为正方形,一条侧棱垂直于底面其长 2 1 2 2 1 ,体积 V= × ( ) ×2= . 2 3 2 3

度为 2,底面正方形对角线长为 1,∴边长为 3 [答案] 4( 5+1)π

[解析] 设圆柱底半径为 R,则 2π R +2π R·2R=24π ,∴R=2, ∴圆锥的底半径为 R=2,高为 4, 母线长 l= 2 +4 =2 5,
2 2 2
[来源:Ks5u.com]

2

∴圆锥的表面积 S=π R +π Rl=4π +4 5π =4( 5+1)π . 4 [答案] 9π [解析] 设圆锥底面半径为 r(r>0), 则母线长 l= 16+r , 由 π rl=15π 得 r· 16+r =15,解之得 r=3,∴l=5.
2 2

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设内切球半径为 R,作出圆锥的轴截面如上图,则 BD=BO1=3,PD=5-3=2,PO=4-R, ∵OD⊥PB, 3 2 2 ∴R +4=(4-R) ,∴R= , 2 ∴球的表面积 S=4π R =9π . 5. [解析] (1)证明:因为平面 ABFE∥平面 CDHG, 且平面 EFGH 分别交平面 ABFE、平面 CDHG 于直线 EF、GH,所以 EF∥GH.同理,FG∥EH. 因此,四边形 EFGH 为平行四边形. 因为 BD⊥AC,而 AC 为 EG 在底面 ABCD 上的射影, 所以 EG⊥BD. 因为 BF 綊 DH,所以 FH∥BD. 因此,FH⊥EG. 所以四边形 EFGH 是菱形. (2)解:连接 CE、CF、CH、CA, 则 VC-EFGH=V-VC-ABFE-VC-ADHE,其中 V 是几何体的体积,∵AE=1,BF=DH=2,CG=3 且几 何体是以正方形 ABCD 为底面的正四棱柱的一部分,
2

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所以该几何体的体积为 1 3

V=( 2)2×2=4,
1 1 3 2

[来源:Ks5u.com]

VC-ABFE= ×S 四边形 ABFE×BC= × (AE+BF)×AB×BC
1 = ×(1+2)× 2× 2=1. 6 同理,得 VC-ADHE=1, 所以,VC-EFGH=V-VC-ABFE-VC-ADHE=4-1-1=2, 即几何体 C-EFGH 的体积为 2. 6 [解析] (1)令 PA=x(0<x<2), 则 A′P=PD=x, BP=2-x, 因为 A′P⊥PD 且平面 A′PD ⊥平面 PBCD, 1 1 1 3 故 A′P⊥平面 PBCD.所以 VA′-PBCD= Sh= (2-x)(2+x)x= (4x-x ). 3 6 6

1 1 2 3 2 令 f(x)= (4x-x ),由 f ′(x)= (4-3x )=0,得 x= 3. 6 6 3 2 当 x∈(0, 3)时,f ′(x)>0,f(x)单调递增; 3 2 当 x∈( 3,2)时,f ′(x)<0,f(x)单调递减. 3 2 所以,当 x= 3时,f(x)取得最大值, 3 2 3 即当 VA′-PBCD 最大时,PA= . 3 (2)设 F 为 A′B 的中点,连接 PF,FE,则有

EF 綊 BC,PD 綊 BC,∴EF 綊 PD,
∴四边形 EFPD 为平行四边形,∴DE∥PF. 又 A′P=PB,所以 PF⊥A′B,故 DE⊥A′B.

1 2

1 2

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1. 如下图, 已知在多面体 ABC-DEFG 中, AB、 AC、 AD 两两互相垂直, 平面 ABC∥平面 DEFG, 平面 BEF∥平面 ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1,则该多面体的体积为( )

A.2 C.6 [答案] B
[来源:高&考%资(源#网 wxcKS5U.COM]

B.4 D.8

[解析] 补成长方体 ABMC-DEFN 并连接 CF, 易知三棱锥 F-BCM 与三棱锥 C-FGN 的体积 相等,故几何体体积等于长方体的体积 4.故选 B. [点评] 1.也可以用平面 BCE 将此几何体分割为两部分,设平面 BCE 与 DG 的交点为 H, 则 ABC-DEH 为一个直三棱柱,由条件易证 EH 綊 FG 綊 BC,平面 BEF∥平面 CHG,且△BEF≌△

CHG,∴几何体 BEF-CHG 是一个斜三棱柱,这两个三棱柱的底面都是直角边长为 2 和 1 的直
角三角形,高都是 2,∴体积为 4.

2.如图(2),几何体 ABC-DEFG 也可看作棱长为 2 的正方体中,取棱 AN、EK 的中点 C、F,

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1 3 作平面 BCGF 将正方体切割成两部分,易证这两部分形状相同,体积相等,∴VABC-DEFG= ×2 = 2 4. 2.(2010·安徽理,8)一个几何体的三视图如下图,该几何体的表面积为( )

A.280 C.360 [答案] C [ 解析 ]

B.292 D.372

由三视 图知该几何 体是两个 长方体的组合 体,上面 的长方体的表 面积为

(6×8)×2+(8×2)×2+6×2=140. 下面的长方体的表面积为(10×8)×2+(10×2)×2+(8×2)×2-6×2=220. 故表面积为 140+220=360.选 C. 3.(2010·东营质检)用单位正方体搭几何体,使它的主视图和俯视图如下图所示,则符 合条件的几何体体积的最小值与最大值分别是( )

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A.9,13 C.10,15 [答案] D

B.7,16 D.10,16

[解析] 由俯视图知底层有七个小正方体,结合主视图知,最左边一列,最多都是三层, 最少只有一行是三层,故左边一列最多 9 个、最少 5 个;中间一列最多都是二层有 6 个,最 少只有一行二层,共 4 个;右边一列只一层一行,故最多 9+6+1=16 个,最少 5+4+1=10 个. 4.(2010·沈阳市)如下图所示,某几何体的正(主)视图与侧(左)视图都是边长为 1 的正 1 方形,且体积为 .则该几何体的俯视图可以是( 2 )

[答案] C [解析] 由正(主)视图和侧(左)视图可知, 此几何体为柱体, 易知高 h=1, 且体积 V=S×h

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1 1 = (S 为底面积),得 S= ,结合各选项知这个几何体的底面可以是边长为 1 的等腰直角三角 2 2 形,故选 C. 5.(2011·湖南十二校)四棱锥 P-ABCD 的顶点 P 在底面 ABCD 中的射影恰好是 A,其三视 图如下图,则四棱锥 P-ABCD 的表面积为________.

[答案] (2+ 2)a

2

[解析] 由三视图知,其直观图如下图.

∵CD⊥AD,CD⊥PA, ∴CD⊥平面 PAD,同理 CB⊥平面 PAB. ∴PD=PB= 2a, 1 1 2 2 2 2 其表面积 S=AB·AD+2×( AB·PA)+2×( PB·BC)=a +a + 2a =(2+ 2)a . 2 2 6.如图(1),矩形 ABCD 中,AB=2AD=2a,E 为 DC 的中点,现将△ADE 沿 AE 折起,使平 面 ADE⊥平面 ABCE,如(2). (1)求四棱锥 D-ABCE 的体积;

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(2)求证:AD⊥平面 BDE.

[解析] (1)取 AE 的中点 O,由题意知,

AB=2AD=2a,ED=EC,

∴AD=DE,∴DO⊥AE, 又∵平面 ADE⊥平面 ABCE, ∴DO⊥平面 ABCE. 在等腰 Rt△ADE 中,

AD=DE=a,DO=

2 a, 2

1 3 2 又 S 梯形 ABCE= (a+2a)a= a , 2 2 1 1 3 2 2 2 3 ∴VD-ABCE= S 梯形 ABCE·DO= · a · a= a . 3 3 2 2 4

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(2)连结 BE,则 BE= a +a = 2a,又 AE= 2a,AB=2a, ∴AB =AE +EB ,∴AE⊥EB, 由(1)知,DO⊥平面 ABCE, ∴DO⊥BE,又∵DO∩AE=O ∴BE⊥平面 ADE,∴BE⊥AD, 又∵AD⊥DE,∴AD⊥平面 BDE.
2 2 2

2

2

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