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2013-1 海淀区高三年级第一学期期末练习(理科)参考答案


海淀区高三年级第一学期期末练习 数 学 (理) 2013.1

参考答案及评分标准
说明: 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数. 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 A 2 C 3 A 4 B 5 D 6 A 7 C

8 D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分, 共 30 分) 9. x 2 ? y 2 ? 4 10. 8;2n?1 ? 2 11. 135

12. 4 2

13. ?1

14.

3 π; 0,2,3,4 4

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 解: (I)因为 f ( x) ? 3sin cos ? cos2

x x 1 ? 2 2 2 3 cos x ? 1 1 ? sin x ? ? 2 2 2 3 1 ? sin x ? cos x 2 2 π ? sin( x ? ) 6

x 2

??????6 分

(2kπ ? 又 y ? sin x 的单调递增区间为 π π π ? x ? ? 2 kπ ? 2 6 2

π π , 2kπ ? ) , (k ? Z) 2 2

所以令 2kπ ?

解得 2kπ ?

2π π ? x ? 2 kπ ? 3 3 2π π , 2kπ ? ) , (k ? Z) 3 3
??????8 分

所以函数 f ( x ) 的单调增区间为 (2kπ ?

数学参考答案第 1 页,共 7 页

(Ⅱ) 因为 f ( B ? C ) ? 1, 所以 sin( B ? C ? ) ? 1 ,

π 6 π π 7 π 又 B ? C ? (0, π) , B ? C ? ? ( , ) 6 6 6 π π π 所以 B ? C ? ? , B ? C ? , 6 2 3 2π 所以 A ? 3 sin B sin A ? 由正弦定理 b a 1 把 a ? 3, b ? 1 代入,得到 sin B ? 2 π π 又 b ? a , B ? A,所以 B ? ,所以 C ? 6 6

??????10 分

??????12 分 ??????13 分

16.(本小题满分 13 分) 解: (I)这辆汽车是 A 型车的概率为

30 ? 0.6 30 ? 20
这辆汽车是 A 型车的概率为 0.6 (II)设“事件 Ai 表示一辆A型车在一周内出租天数恰好为 i 天” , “事件 B j 表示一辆B型车在一周内出租天数恰好为 j 天” ,其中 i, j ? 1,2,3,...,7 则该公司一辆 A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率为 ??????3 分

P( A1B3 ? A2 B2 ? A3B1 ) ? P( A1B3 ) ? P( A2 B2 ) ? P( A3B1 ) ? P( A1 ) P( B3 ) ? P( A2 ) P( B2 ) ? P( A3 ) P( B1 )
5 2 0 1 0 2 0 3 0 1 4 ? ? ? ? ? 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 9 ? 1 2 5 ?

??????5 分 ??????7 分

该公司一辆 A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率为

9 125

??????9 分 (Ⅲ)设 X 为 A 型车出租的天数,则 X 的分布列为 4 1 2 3 X 0.35 0.05 0.10 0.30 P 设 Y 为 B 型车出租的天数,则 Y 的分布列为 5 0.15 6 0.03 7 0.02

数学参考答案第 2 页,共 7 页

Y

P

1 0.14

2
0.20

3
0.20

4 0.16

5 0.15

6 0.10

7 0.05

E ( X ) ? 1 ? 0.05 ? 2 ? 0.10 ? 3 ? 0.30 ? 4 ? 0.35 ? 5 ? 0.15 ? 6 ? 0.03 ? 7 ? 0.02 =3.62

E (Y ) ? 1 ? 0.14 ? 2 ? 0.20 ? 3 ? 0.20 ? 4 ? 0.16 ? 5 ? 0.15 ? 6 ? 0.10 ? 7 ? 0.05
=3.48
??????12 分

一辆 A 型车一个星期出租天数的平均值为 3.62 天, 一辆 B 车型一个星期出租天数的平均值为 3.48 天,所以选择 A 类型的出租车的利润较大 , 建议购买 A 型车 ??????13 分 17.(本小题满分 14 分) (I) 连接 A1C 交 AC1 于点 O ,连接 EO 因为 ACC1 A1 为正方形,所以 O 为 A1C 中点, 又 E 为 CB 中点,所以 EO 为 ?A1BC 的中位线, 所以 EO / / A1B 又 EO ? 平面 AEC1 , A1B ? 平面 AEC1 所以 A1B / / 平面 AEC1 ??????4 分 ??????2 分

(Ⅱ)以 A 为原点, AB 为 x 轴, AC 为 y 轴, AA1 为 z 轴建立空间直角坐标系 所以 A(0,0,0), A1 (0,0,2), B(2,0,0), B1 (2,0,2), C(0,2,0), C1 (0,2,2), E (1,1,0), 设 M (0,0, m)(0 ? m ? 2) ,所以 B1M ? (?2,0, m ? 2), C1E ? (1, ?1, ?2) , 因为 B1M ? C1E ,所以 B1M ? C1E ? 0 ,解得 m ? 1 ,所以 AM ? 1 (Ⅲ)因为 AE ? (1,1,0), AC1 ? (0,2,2) , 设平面 AEC1 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , ??????8 分

? ?x ? y ? 0 ? AE ? n ? 0 则有 ? ,即 ? , ?y ? z ? 0 ? ? AC1 ? n ? 0
令 y ? ?1, 则 x ? 1, z ? 1 ,所以可以取 n ? (1, ?1,1) , 因为 AC ? 平面 ABB1 A1 ,取平面 ABB1 A1 的法向量为 AC ? (0,2,0) 数学参考答案第 3 页,共 7 页 ??????10 分 ??????11 分

所以 cos ? AC , n ??

AC ? n 3 ?? 3 | AC || n |
3 3

??????13 分

平面 AEC1 与平面 ABB1 A1 所成锐二面角的余弦值为 18. (本小题满分 13 分) 解:因为 f ( x ) ?

??????14 分

e ax , x ?1
??????2 分

所以 f '( x ) ?

aeax ( x ? 1) ? eax eax [a( x ? 1) ? 1] eax [ax ? (a ? 1)] ? ? ( x ? 1)2 ( x ? 1)2 ( x ? 1)2
?(a ? 1) ? ?( a ? 1) (0 ? 1)2

所以 f '(0) ?

又 f (0) ? ?1 ,所以 f ( x ) 在 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? ?(a ? 1) x ? 1 当 a ? 1 时,所以 f ( x ) 在 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? ?2 x ? 1 (II)当 a ? 0 时, f '( x ) ? ??????4 分

?1 ?0 ( x ? 1)2

又函数的定义域为 {x | x ? 1} 所以 f ( x ) 的单调递减区间为 ( ??,1),(1, ??) 当 a ? 0 时,令 f '( x) ? 0 ,即 ax ? (a ? 1) ? 0 ,解得 x ? ??????6 分

a ?1 a

??????7 分

当 a ? 0 时, x ?

a ?1 ? 1, a

所以 f ?( x) , f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f '( x) f ( x)

( ??,1)
?

1
无定义

(1,

a ?1 ) a
?

a ?1 a
0 极小值

(

a ?1 , ??) a

?

所以 f ( x) 的单调递减区间为 ( ??,1) , (1,

a ?1 ), a
??????10 分

单调递增区间为 (

a ?1 , ??) a
数学参考答案第 4 页,共 7 页

当 a ? 0 时, x ?

a ?1 ?1 a

所以 f ?( x) , f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f '( x) f ( x)

( ??,

a ?1 ) a

a ?1 a
0 极大值

(

a ?1 ,1) a
?

1
无定义

(

a ?1 , ??) a
?

?

所以 f ( x) 的单调递增区间为 ( ??,

a ?1 ), a
??????13 分

单调递减区间为 (

a ?1 ,1) , (1, ??) a

19. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)将 E ? 2, 2? 代入 y 2 ? 2 px ,得 p ? 1 所以抛物线方程为 y 2 ? 2 x ,焦点坐标为 ( ,0)
2 y12 y2 (Ⅱ)设 A( , y1 ) , B ( , y2 ) , M (?2, yM ), N (?2, yN ) , 2 2

1 2

??????3 分

直线 l 方程为 x ? my ? 2 与抛物线方程联立得到 ?

? x ? my ? 2
2 ? y ? 2x

,消去 x ,得:

y 2 ? 2my ? 4 ? 0
则由韦达定理得:

y1 y2 ? ?4, y1 ? y2 ? 2m
直线 AE 的方程为: y ? 2 ?

??????6 分

2 y1 ? 2 ? x ? 2 ? ,即 y ? ? x ? 2? ? 2 , 2 y1 y1 ? 2 ?2 2
??????9 分

令 x ? ?2 ,得 yM ?

2 y1 ? 4 y1 ? 2

数学参考答案第 5 页,共 7 页

同理可得: y N ?

2 y2 ? 4 y2 ? 2

??????10 分

?8 ?4 ?2 ? 2 ? y1 ? ?4 y1 ? ? 又因为 y1 y2 ? ?4, 所以 y N ? ?4 y1 ? 2 yM ?2 y1
又 OM ? ( ?2, ym ), ON ? ( ?2,

??????12 分

?4 ), ym
π 2
??????14 分

所以 OM ? ON ? 0 ,即 OM ? ON ,即 ?MON 为定值

20. (本小题满分 14 分) 解: (I)因为 f ( x) ??1 , 且 f ( x) ??2 , 即 g ( x) ?

f ( x) ? x 2 ? 2hx ? h 在 (0, ??) 是增函数,所以 h ? 0 ??????1 分 x f ( x) h h ? x ? ? 2h 在 (0, ??) 不是增函数,而 h '( x) ? 1 ? 2 2 x x x

而 h( x ) ?

当 h( x ) 是增函数时,有 h ? 0 ,所以当 h( x ) 不是增函数时, h ? 0 综上,得 h ? 0 (Ⅱ) 因为 f ( x) ??1 ,且 0 ? a ? b ? c ? a ? b ? c 所以 ??????4 分

f (a ) f (a ? b ? c ) 4 ? = , a a?b?c a?b?c 4a , a?b?c 4b 4c , f (c) ? t ? a?b?c a?b?c 4(a ? b ? c ) ? 4, a?b?c
??????6 分

所以 f ( a ) ? d ?

同理可证 f (b) ? d ?

三式相加得 f (a ) ? f (b) ? f (c ) ? 2d ? t ? 所以 2d ? t ? 4 ? 0 因为

d d b?a ? , 所以 d ( ) ? 0, a b ab

数学参考答案第 6 页,共 7 页

而 0 ? a ? b , 所以 d ? 0 所以 d (2d ? t ? 4) ? 0 ??????8 分

(Ⅲ) 因为集合 ? ? f ( x) | f ( x) ??2 , 且存在常数k , 使得任取x ? (0, ??),f ( x) ? k , 所以 ?f ( x) ? ? ,存在常数 k ,使得 f ( x ) ? k 对 x ? (0, ??) 成立 我们先证明 f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立 假设 ?x0 ? (0, ??), 使得 f ( x0 ) ? 0 , 记
f ( x0 ) ?m?0 x0 2

?

?

f ( x) 是增函数. x2 f ( x ) f ( x0 ) ? m ,所以 f ( x) ? mx 2 所以当 x ? x0 时, 2 ? x x0 2

因为 f ( x ) 是二阶增函数,即

所以一定可以找到一个 x1 ? x0 ,使得 f ( x1 ) ? mx12 ? k 这与 f ( x ) ? k 对 x ? (0, ??) 成立矛盾
f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立

??????11 分

所以 ?f ( x) ? ? , f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立 下面我们证明 f ( x ) ? 0 在 (0, ??) 上无解 假设存在 x2 ? 0 ,使得 f ( x2 ) ? 0 ,
f ( x) 是增函数 x2 f ( x3 ) f ( x2 ) ? ? 0 ,这与上面证明的结果矛盾 一定存在 x3 ? x2 ? 0 , x32 x2 2

则因为 f ( x ) 是二阶增函数,即

所以 f ( x ) ? 0 在 (0, ??) 上无解 综上,我们得到 ?f ( x) ? ? , f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立 所以存在常数 M ? 0 ,使得 ?f ( x) ? ? , ?x ? (0, ??) ,有 f ( x ) ? M 成立

1 x 所以 M 的最小值 为 0

又令 f ( x) ? ? ( x ? 0) ,则显然有

f ( x) ?1 ? 3 在 (0, ??) 上是增函数 ,所以 f ( x ) ? ? , x2 x ??????13 分

数学参考答案第 7 页,共 7 页


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