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2 流体运动的控制方程


航空工程先进数值计算技术 ——应用计算流体力学 ——应用计算流体力学
教 师:屈秋林 办公室:新主楼C1114 办公室:新主楼 电 话:82339592 电 邮:qql@buaa.edu.cn

计算流体力学 以计算机为硬件平台,采用计算数学方 流动控制方程(PDE)离散化,求得空 法将流动控制方程 流动控制方程 间和时间离散点上的流动物理量,达到再现 真实流动目的的一门流体力学分支。

2. 流体运动的控制方程
2.1 系统和控制体的概念 2.2 质量守恒方程 2.3 动量守恒方程 2.4 能量守恒方程 2.5 牛顿流体的本构关系 2.6 流体运动控制方程的统一形式

2.1 系统和控制体的概念
系统的定义
包含着确定不变的物质的任何集合,称为系统。在流体力 学中,系统是指由任何确定的流体质点组成的流体团。

系统的基本特点
(1)系统边界随流体一起运动; (2)在系统的边界上没有质量的交换; (3)在系统的边界上受到外界的表面力; (4)在系统的边界上存在能量的交换。

系统概念对应Lagrange观点,即以确定的流 体质点系统作为研究对象,研究系统各物理 量的关系。
例如,F=ma,F指作用于系统上所有外力的合力。

流体微团: 流体微团:
宏观上足够小、微观上足够大的流体分子集合体 。

控制体的定义
被流体所流过,相对于某个坐标系而言,固定不变的任何 体积称为控制体。控制体的边界,称为控制面。控制体是 不变的,但占据控制体的流体质点随时间是变化的。

控制体的基本特点
(1)控制体的边界相对于坐标系而言是固定的; (2)在控制面上可以发生质量交换; (3)在控制面上受到外界作用于控制体内流体上的力; (4)在控制面上存在能量的交换。

控制体概念对应Euler观点,即以通过确定 的体积的流体质点作为研究对象,研究控制 体内流体各物理量的关系。。
例如,F=ma,F指控制体边界面上所有作用于水体上外力 的合力。

微元控制体: 微元控制体:
流体内部一个微小的几何体。

T S

N

( x,
E
δy

y, z )

δz
y z x

W

B
δx

p ( x, y , z , t ) ρ ( x, y , z , t ) T ( x, y , z , t ) r u ( x, y , z , t )

微元控制体足够小, 微元控制体足够小,用泰勒展开的前两项 来代替控制体面上的值而足够精确

?p 1 p? δx ?x 2

?p 1 p+ δx ?x 2

2.2 质量守恒方程
质量守恒的基本概念(微元控制体)
微元控制体内质量增加率=进入微元控制体内 的净质量流率

微元控制体内的质量增加率为
? ?ρ ( ρδ xδ yδ z ) = δ xδ yδ z ?t ?t

ρw +
? ( ρv) 1 ρv + ? δy ?y 2

? ( ρ w) 1 ? δz ?z 2

y

z x

? ( ρu ) 1 ρu ? ? δx ?x 2

( x,

y, z )

ρu +

? ( ρu ) 1 ? δx ?x 2

ρv ?
? ( ρ w) 1 ? δz ?z 2

? ( ρv) 1 ? δy ?y 2

ρw ?

进入微元控制体内的净质量流率
? ? ( ρu ) 1 ? ? ? ( ρu ) 1 ? ? δ x ? δ yδ z ? ? ρ u + ? δ x ? δ yδ z ? ρu ? ?x 2 ? ?x 2 ? ? ? ? ? ( ρv) 1 ? ? ? ( ρv) 1 ? + ?ρv ? ? δ y ? δ xδ z ? ? ρ v + ? δ y ? δ xδ z ?y 2 ? ?y 2 ? ? ? ? ? ( ρ w) 1 ? ? ? ( ρ w) 1 ? + ?ρw ? ? δ z ? δ xδ y ? ? ρ w + ? δ z ? δ xδ y ?z 2 ? ?z 2 ? ? ? ? ? ( ρu ) ? ( ρ v ) ? ( ρ w) ? ? = ?? + + ( ρ ui ) δ xδ yδ z ? δ xδ yδ z = ? ?y ?z ? ?xi ? ?x

质量守恒方程为
?ρ ? + ( ρ ui ) = 0 ?t ?xi

上式即为可压缩、非定常流动的质量守恒方 程,也叫连续方程。

对于不可压缩流动,质量守恒方程为
?ui =0 ?xi

2.3 动量守恒方程
动量守恒定律和能量守恒定律是关于流体微团 定义的,微团的每一个宏观物理量 φ (单位质 量流体所具有的某一物理量)都是空间和时间 的函数。
φ = φ ( x, y , z , t )

跟随流体微团,物理量 φ 相对于时间的导数定 义为物质导数 物质导数
Dφ ?φ ?φ dx ?φ dy ?φ dz = + + + Dt ?t ?x dt ?y dt ?z dt ?φ ?φ ?φ ?φ = +u +v +w ?t ?x ?y ?z ?φ ?φ = + ui ?t ?xi

单位体积流体中物理量 φ 的物质导数为
Dφ ?φ ?φ ρ =ρ + ρ ui Dt ?t ?xi

对于流体力学问题,欧拉方法最有意义 ,因此我们要推导物质导数在流体微团 和微元控制体之间的关系。

对于微元控制体,单位体积中所含物理 量 φ 随时间的增加率与净流出率之和为
? ( ρφ ) ? ? ?φ ? ?ρ ? ? ?φ ? + ( ρφ ui ) = ρ ? + ui ? + φ ? + ( ρ ui )? ?t ?xi ?xi ? ? ?t ? ?t ?xi ? ? ?φ ?φ ? Dφ = ρ ? + ui ?=ρ ?xi ? Dt ? ?t

微元控制体内φ随时间的增加率+微元控 制体内φ的净流出率=流体微团内φ的物质 导数

x方向动量
u,

y方向动量
v,

Du ρ , Dt Dv ρ , Dt Dw ρ , Dt DE ρ , Dt

r ? ( ρu ) + ? ? ρ uV ?t

(

)

z方向动量
w,

r ? ( ρv) + ? ? ρ vV ?t

(

) ) )

能量
E,

r ? ( ρ w) + ? ? ρ wV ?t

(

r ?(ρE) + ? ? ρ EV ?t

(

动量守恒的基本概念(流体微团)
流体微团的动量增加率=流体微团所受到的 合力

流体微团所受到的两种类型的力
表面力:压力和粘性力 体积力:重力、电磁力

微元控制体内流体微团受到的表面力: 压力p和9个粘性剪切应力τij(下标i表示 垂直于i轴的平面,下标j表示该平面上平 行于j轴的方向)

微元控制体在x方向的表面力(W/E面)
?? ?τ xx 1 ? ? ?p 1 ? ? ?? p ? ?x 2 δ x ? ? ?τ xx + ?x 2 δ x ? ? δ yδ z ? ? ?? ?? ? ? ?τ xx 1 ? ? ?p 1 ? ? + ?? ? p + δ x ? + ?τ xx + δ x ? ? δ yδ z ?x 2 ? ? ?x 2 ? ? ? ? ? ?p ?τ xx ? = ?? + ? δ xδ yδ z ? ?x ?x ?

微元控制体在x方向的表面力(T/B面, N/S面)
?τ zx 1 ? ?τ zx 1 ? ?τ zx ? ? δ z ? δ xδ y + ?τ zx + δ z ? δ xδ y = δ xδ yδ z ? ? τ zx ? ?z 2 ? ?z 2 ? ?z ? ?

?τ yx 1 ? ?τ yx 1 ? ?τ yx ? ? ? ? τ yx ? δ y ? δ xδ z + ?τ yx + δ y ? δ xδ z = δ xδ yδ z ?y 2 ? ?y 2 ? ?y ? ?

单位体积内微元控制体在x方向的表面力 的合力为
?p ?τ xx ?τ yx ?τ zx ? + + + ?x ?x ?y ?z

则的动量方程为
Du ?p ?τ xx ?τ yx ?τ zx =? + + + + Sx ρ Dt ?x ?x ?y ?z

Dv ?p ?τ xy ?τ yy ?τ zy ρ =? + + + + Sy Dt ?y ?x ?y ?z
Dw ?p ?τ xz ?τ yz ?τ zz =? + + + + Sz ρ Dt ?z ?x ?y ?z

Dui ?p ?τ ij ρ =? + + Si Dt ?xi ?x j

2.4 能量守恒方程
能量守恒定律的基本概念(流体微团)
流体微团能量的增加率=外界对流体微团所 做的净功+流体微团热量的净增加率 单位质量流体的总能量为
1 2 E = e + ui 2

流体微元表面力的做功(x方向上)为 ?? ? ( pu ) 1 ? ? ? (τ xxu ) 1 ? ? δx ? τ u? δx pu ?
?? ? ? xx ? ? ?x 2 ? ? ?x 2 ? ? ?? ? ? ? δ yδ z ? ? ? pu + ? ( pu ) 1 δ x ? + ? τ xx u + ? (τ xx u ) 1 δ x ? ? ? ? ? ? ? ?x 2 ? ? ?x 2 ? ? ? ?

? ? ? (τ yxu ) 1 ? ? ? (τ yx u ) 1 ? ? + ? ? ?τ yx u ? δ y ? + ?τ yx u + δ y ? ? δ xδ z ?y 2 ? ? ?y 2 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? (τ zx u ) 1 ? ? ? (τ zx u ) 1 ? ? δ z ? + ?τ zx u + + ? ? ?τ zx u ? δ z ? ? δ xδ y ?z 2 ? ? ?z 2 ? ? ? ? ? ? =? ? ( pu ) ?x + ? ( uτ xx ) ?x + ? ( uτ yx ) ?y + ? ( uτ zx ) ?z

流体微元表面力的做功为
? ( pu ) ? ( uτ xx ) ? ( uτ yx ) ? ( uτ zx ) ? + + + ?x ?x ?y ?z ? ( pv ) ? ( vτ xy ) ? ( vτ yy ) ? ( vτ zy ) ? + + + ?y ?x ?y ?z

? ( pw ) ? ( wτ xz ) ? ( wτ yz ) ? ( wτ zz ) ? + + + ?z ?x ?y ?z

单位体积表面应力对流体微团所做的净 功为
? ( pui ) ? ( uτ xx ) ? ( uτ yx ) ? ( uτ zx ) ? + + + ?xi ?x ?y ?z + ? ( vτ xy ) ?x + ? ( vτ yy ) ?y + ? ( vτ zy ) ?z

? ( wτ xz ) ? ( wτ yz ) ? ( wτ zz ) + + + ?x ?y ?z

热流密度的定义为 为 其中热流密度的定义为T ?
qi = ?k ?xi

x,y,z方向上流入微团内的热量为
?? ?qx 1 ? ? ?qx 1 ? ? ?qx ?? qx ? ?x 2 δ x ? ? ? qx + ?x 2 δ x ? ? δ yδ z = ? ?x δ xδ yδ z ? ? ?? ??
? ?q y ?y

δ xδ yδ z

?

?qz δ xδ yδ z ?z

则单位体积内总的流入热量为
?qx ?q y ?qz ?qi ? ? ? ? =? = ?x ?y ?z ?xi ?xi ? ?T ? ?k ? ? ?xi ?

则能量方程为 ? ( pui ) DE ρ =? +
Dt ? ? ( uτ xx ) ? ( uτ yx ) ? ( uτ zx ) ? ( vτ xy ) ? ( vτ yy ) ? ( vτ zy ) ? + + + + + ? ? ?y ?z ?x ?y ?z ? ? ?x ? ? ? ( wτ yz ) ? ( wτ zz ) ? + ? ( wτ xz ) + ? + ? ? ?x ?y ?z ? ? ? ? ?T ? + ?k ? + SE ?xi ? ?xi ? ?xi

对三个动量方程进行变化
Du ?p ?τ xx ?τ yx ?τ zx =? + + + + Sx ρ Dt ?x ?x ?y ?z ×u

Dv ?p ?τ xy ?τ yy ?τ zy ρ =? + + + + Sy Dt ?y ?x ?y ?z
Dw ?p ?τ xz ?τ yz ?τ zz =? + + + + Sz ρ Dt ?z ?x ?y ?z

×v

×w

将三个变换后的动量方程相加可得动能 方程如下
? ?τ xx ?τ yx ?τ zx ? D ?1 2? ?p +u? + + ρ ? ui ? = ?ui ? Dt ? 2 ? ?xi ?x ?y ?z ? ? ?τ xy ?τ yy ?τ zy +v( + + ) ?x ?y ?z ?τ xz ?τ yz ?τ zz + w( + + ) + ui Si ?x ?y ?z

从总能量方程中将动能方程减去,可得 内能方程如下
?ui De ? ρ = ?p + Dt ?xi ?xi ? ?T ?k ? ?xi ? ?ui + ( S E ? ui Si ) ? + τ ij ?x j ?

对于不可流动
e = cT

?ui =0 ?xi

? DT ρc = Dt ?xi

? ?T ?k ? ?xi

? ?ui + ( S E ? ui Si ) ? + τ ij ?x j ?

2.5 牛顿流体的本构关系
? ?ui ?u j ? ? ?ui ?u j ? 2 ?ul ?ul τ ij = ? ? + δ ij = ? ? + δ ij ?+λ ?? ? ? ?x j ?xi ? ? ?x j ?xi ? 3 ?xl ?xl ? ? ? ?
Dui ?p ?τ ij ?p ? ρ =? + + Si = ? + Dt ?xi ?x j ?xi ?x j ?p ? =? + ?xi ?x j ? ?ui ?? ? ?x j ? ?p ? ? ?ui + =? ?? ?xi ?x j ? ?x j ? ? ? ?+ ? ?x j ? ? ? + S Mi ? ? ? ? ?u ?u j ? 2 ?u ? ?? ? i + ? ? ? l δ ij ? + Si ? ? ? ?x j ?xi ? 3 ?xl ? ? ? ?

? ?u j 2 ?ul ? ? ? δ ij ? + Si ?? ? ?xi 3 ?xl ?

2.6 流体运动控制方程的统一形式
牛顿流体的三大控制方程为
?ρ ? + ( ρ ui ) = 0 ?t ?xi

? ? ( ρ ui ) + ( ρ uiu j ) ?t ?x j ? ?ui ?? ? ?x j ? ?ui ? ? ( ρ e ) + ( ρ eui ) = ? p ?t ?xi ?xi ?p ? =? + ?xi ?x j ? ? ? ?u j 2 ?ul ? ? δ +S ? ? ?+ ? ?x ? ?x 3 ?x ij ? i j ? i l ? ? ?ui ? ? ?T ? + + ( S E ? ui Si ) ?k ? + τ ij ?xi ? ?xi ? ?x j

对质量守恒方程做如下变换
?ρ ? + ( ρ ui ) = 0 ?t ?xi

? ? ? ? ?1 ? ( ρ ?1) + ( ρui ?1) = ? 0 ? ? + 0 ?t ?xi ?xi ? ?xi ?

对动量守恒方程做如下变换
? ? ( ρ ui ) + ( ρ uiu j ) ?t ?x j ?p ? =? + ?xi ?x j ? ? ( ρ ui ) + ( ρ u j ui ) ?t ?x j ? = ?x j ? ?ui ?? ? ?x j ? ? ? ?p ? ? + ? + ?? ? ? ?xi ?x j ? ? ? ? ?u j 2 ?ul ? ? ? ? δ ij ? + Si ? ?? ? ? ?xi 3 ?xl ? ? ? ?ui ?? ? ?x j ? ? ? ?+ ? ?x j ? ? ?u j 2 ?ul ? δ ij ? + Si ? ? ?? ? ?xi 3 ?xl ?

对能量守恒方程做如下变换
?ui ? ? ? ( ρ e ) + ( ρ eui ) = ? p + ?t ?xi ?xi ?xi
e = cT

? ?T ?k ? ?xi

? ?ui + ( S E ? ui Si ) ? + τ ij ?x j ?

? ?ui 1 ? ? ? ? k ?T ? 1 ? ?ui ? ? ρT ) + ρ uiT ) = + ?? p + τ ij + ( S E ? ui Si ) ? ( ( ? ? ?t ?xi ?xi ? c ?xi ? c ? ?xi ?x j c ? ? ?

整理后的三大守恒方程如下
? ? ? ? ?1 ? ( ρ ?1) + ( ρui ?1) = ? 0 ? ? + 0 ?t ?xi ?xi ? ?xi ?
? ? ρ ui ) + ( ( ρu j ui ) ?t ?x j ? = ?x j ? ?ui ?? ? ?x j ? ? ? ?p ? ? + ? + ?? ? ? ?xi ?x j ? ?

红色部分: 红色部分: φ 紫色部分: 紫色部分: Γ 蓝色部分: 蓝色部分: S

φ

? ? ?u j 2 ?ul ? ? ? ? δ ij ? + Si ? ?? ? ? ?xi 3 ?xl ? ?

? ? ? ? k ?T ( ρT ) + ( ρ uiT ) = ? ?t ?xi ?xi ? c ?xi

? ? 1 ? ?ui ?ui 1 ? ? + ?? p + τ ij + ( S E ? ui Si ) ? ? ?x j c ? ? c ? ?xi ? ?

则通用控制方程如下
? ? ? ( ρφ ) + ( ρuiφ ) = ?t ?xi ?xi ? ?φ ?Γ ? ?xi ? ? + Sφ ?

?1? φ = ? ui ? 通用变量 ? ? ?T ? ? ?

? ? ?0? ? ? 广义扩散系数 Γ = ? ? ? ?k? ? ? ?c?

? ? ? ( ρφ ) + ( ρuiφ ) = ?t ?xi ?xi

? ?φ ?Γ ? ?xi

? ? + Sφ ?

广义源项

? ? ? ? ? ? ?p Sφ = ? ? + ?xi ?x j ? ? 1 ? ?u ? ?? p i ? c ? ?xi ? ? ?

? ? ? 0 ? ? ?u j 2 ?ul ? ? ? ? δ ij ? + Si ? ? ? ?xi 3 ?xl ? ? ? ? ? ?ui 1 ? ? + τ ij + ( S E ? ui Si ) ? ? ?x j c ? ? ?

通用控制方程各项的物理意义
? ? ? ( ρφ ) + ( ρuiφ ) = ?t ?xi ?xi ? ?φ ?Γ ? ?xi ? ? + Sφ ?

瞬态项

对流项

扩散项

源项

对于三大守恒方程的离散, 对于三大守恒方程的离散,可以转化为 对通用控制方程的离散问题。 对通用控制方程的离散问题。



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