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立体几何平行垂直证明


立体几何中平行与垂直的证明
1.已知正方体 ABCD—A1B1C1D1, O 是底 ABCD 对角线的交点. 求证: (1)C1O//平面 AB1D1; (2)A1C⊥平面 AB1D1.

【变式一】如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 求证: D1 E ⊥

AD ? AA1 ? 1, AB ? 1 ,点 E



在棱 AB 上移动。

A1 D ;
A1

D1 B1

C1

【变式二 A】如图平面 ABCD⊥平面 ABEF, ABCD 是正方形,ABEF 是矩

1 形,且 AF ? AD ? 2, G 是 EF 的中点, 2
(1)求证平面 AGC⊥平面 BGC; (2)求空间四边形 AGBC 的体积。

D

C

A

E

B

【变式二 B】. 如图,在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱) ABC ? A 1B 1C1 中,

AB ? 8 ,
A1 B1 C1

AC ? 6 , BC
(Ⅰ )求证:

? 10 , D 是 BC 边的中点.
(Ⅱ )求证:

AB ? A1 C ;

AC 1 ∥

面 AB1D ;
A

【变式三】如图组合体中,三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的侧面 ABB1 A 1 是圆柱的轴截面, C 是圆柱底面圆周上不与 (Ⅰ)求证:无论点 C 如何运动,平面 (Ⅱ)当点 C 是弧

B

D

C

A 、 B 重合一个点.

A1 BC ? 平面 A1 AC ;
D C

AB

的中点时,求四棱锥 A 1 ? BCC1 B 1 与圆柱的体积比.

【变式四】如图,四边形 ABCD 为矩形,AD⊥平面 ABE,AE=EB=BC=2, F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE. (1)求证:AE⊥BE;

F M A E B

(2)设 M 在线段 AB 上,且满足 AM=2MB,试在线段 CE 上确定一点 N,使得 MN∥平面 DAE. 【变式五】如图 5 所示,在三棱锥 P ?

ABC 中, PA ? 平面 ABC ,
、 C 都在球 O 的球面上。

AB ? BC ? CA ? 3 , M
(1)证明:平面 PAB



AB 的中点,四点 P 、 A 、 M

? 平面 PCM

; (2)证明:线段 PC 的中点为球 O 的球心;

2.如图所示,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB=BB1,AC1⊥平面 A1BD,D 为 AC 的中点。 (I)求证:B1C//平面 A1BD;

(II)求证:B1C1⊥平面 ABB1A (III)设 E 是 CC1 上一点,试确定 E 的位置,使平面 A1BD⊥平面 BDE,并说明理由。

? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD ,三角形 ACD 为等边三角形, AD ? DE ? 2 AB , F 为 CD 的中点 (1)求证: AF // 平面 BCE ; (2)求证:平面 BCE ? 平面 CDE ;
3.如图,已知 AB
P

4.如图,四棱锥 P ?

ABCD 中, PA ? 底面 ABCD , AB ? AD , AC ? CD , ?ABC ? 60? , PA ? AB ? BC , E 是 PC 的中点. (1)求证: CD ? AE ; (2)求证: PD ? 面 ABE .
5.如图,四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,PA=AB,底面 ABCD 为直角梯形,∠ ABC=∠BAD=90°,PA=BC=

E A C B D

1 AD. 2

(I)求证:平面 PAC⊥平面 PCD; (II)在棱 PD 上是否存在一点 E,使 CE∥平面 PAB?若 存在,请确定 E 点的位置;若不存在,请说明理由.

6.如图,在四棱锥 S ? ABCD 中, SA ? AB ? 2 , SB ? SD ? 2

2 ,底面 ABCD 是菱形,且 ?ABC ? 60? , E 为

S

CD 的中点. (1)证明: CD ? 平面 SAE ; (2)侧棱 SB 上是否存在点 F ,使得 CF / / 平面 SAE ?并证明你的结论.

A E B

D

C


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