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2014考前集训-立体几何教师版


2014 考前集训(必考知识点详解)

平行,垂直及距离

知识点 1.线面及面面平行的证明 证明线线平行的常用思想:①内错角、同位角、同旁内角;②平行的传递性(平行四边形) ; ③三角形、梯形的中位线定理及相似比。

a ? ?? a // ? ? ? ? 线面平行判定定理: b ? ? ? ? a // ? ;线面平行性质定理: a ? ? ? ? a // b a // b ? ? ? ? ? b? ? ? a ? ? ,b ? ? , a ? b ? A? a ? ? , b ? ? , a ? b ? A? ? 面面平行判定定理: ? ? ? // ? ,或 c ? ? , d ? ? , c ? d ? B ? ? ? // ? ; a // ? , b // ? ? ? a // c, b // d ?
面面平行性质定理:① ? // ? , a ? ? ? a // ? ;② ? // ? , ? ? ? ? a, ? ? ? ? b ? a // b 证明思想:线线平行 ? 线面平行 ? 面面平行 1.如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, D, E, F 分别是 AB, BB1 , A1 B1 的中点, AA1 ? AC ? CB ? 证明(1) BC1 / / 平面 A1CD ; (2)平面 A1CD // 平面BC1 F

2 AB . 2

A1
B1
E

C1

A

C

D

B

2.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB / / CD , CD ? 2 AB , E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,求 证:(1) BE / / 平面 PAD ;(2) PA // 平面BEF 【答案】 因为 AB∥CD,CD=2AB,E 为 CD 的中点 所以 AB∥DE,且 AB=DE 所以 ABED 为平行四边形, 所以 BE∥AD,又因为 BE ? 平面 PAD,AD ? 平面 PAD 所以 BE∥平面 PAD.

1

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平行,垂直及距离

3.如图,在四面体 A ? BCD 中, AD ? 平面 BCD , BC ? CD, AD ? 2, BD ? 2 2 . M 是 AD 的中点, P 是 BM 的中点,点 Q 在线段 AC 上,且 AQ ? 3QC .证明: PQ // 平面 BCD ; 【答案】 解:证明(Ⅰ)方法一:如图 2,取 MD 的中点 F ,且 M 是 AD 中点,所以

A

AF ? 3FD . 因为 P 是 BM 中点 , 所以 PF / / BD ; 又因为(Ⅰ) AQ ? 3QC 且
P

M Q B C (第 3 题图) D

AF ? 3FD ,所以 QF / / BD ,所以面 PQF / / 面 BDC , 且 PQ ? 面 BDC , 所
以 PQ / / 面 BDC ;

方 法 二 : 如 图 7 所 示 , 取 BD 中 点 O , 且 P 是 BM 中 点 , 所 以

1 PO / / MD ;取 CD 的三等分点 H ,使 DH ? 3CH ,且 AQ ? 3QC , 2 1 1 所 以 QH / / AD / / MD , 所 以 P O / / Q? H P /Q/ , O且 H 4 2
OH ? BCD ,所以 PQ / / 面 BDC ;

4. 如图,在三棱锥 S ? ABC 中, AS ? AB ,过 A 作 AF ? SB ,垂足为 F ,点 E,G 分别是棱 SA ,SC 的中 点.求证:平面 EFG // 平面 ABC ; S 【答案】证明:∵ AS ? AB , AF ? SB ∴F 分别是 SB 的中点 ∵E.F 分别是 SA.SB 的中点 ∴EF∥AB G E 又∵EF ? 平面 ABC, AB ? 平面 ABC ∴EF∥平面 ABC F 同理:FG∥平面 ABC C 又∵EF ? FG=F, EF.FG ? 平面 ABC∴平面 EFG // 平面 ABC A

B

2

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平行,垂直及距离

5.如图 4,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中, D, E 分别是 AB, AC 边上的点, AD ? AE , F 是 BC 的中

点, AF 与 DE 交于点 G ,将 ?ABF 沿 AF 折起,得到如图 5 所示的三棱锥 A ? BCF ,其中 BC ? (1) 证明: DE //平面 BCF ; (2) 证明: CF ? 平面 ABF ; (3) 当 AD ?

2 . 2

2 时,求三棱锥 F ? DEG 的体积 VF ? DEG . 3
A

A

G

E

D

G

D

E
F

C

B

F 图 4

C
B 图 5

【答案】(1)在等边三角形 ABC 中, AD ? AE

?

AD AE ? DB EC ,在折叠后的三棱锥 A ? BCF 中

也成立,? DE / / BC ,? DE ? 平面 BCF ,

BC ? 平面 BCF ,? DE / / 平面 BCF ;

(2)在等边三角形 ABC 中, F 是 BC 的中点,所以 AF ? BC ①,

BF ? CF ?

1 2.

? 在三棱锥 A ? BCF 中,

BC ?

2 2 ,? BC 2 ? BF 2 ? CF 2 ?CF ? BF ②

? BF ? CF ? F ?CF ? 平面ABF ;
(3)由(1)可知 GE / / CF ,结合(2)可得 GE ? 平面DFG .

1 1 1 1 1 ?1 3 ? 1 3 ?VF ? DEG ? VE ? DFG ? ? ? DG ? FG ? GF ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 3 2 3 ? ? 3 2 ? 3 324

3

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? P ,使 6 .如图,在直三棱柱 ABC ? A 1 ? 1 ,延长 A1C1 至点 1B 1C1 中, ?BAC ? 90 , AB ? AC ? AA

C1 P ? A1C1 ,连接 AP 交棱 CC1 于 D .求证: PB1 // 平面BDA1 ;
解法:连结 AB1 与 BA1 交于点 O,连结 OD, ∵C1D∥平面 AA1,A1C1∥AP,∴AD=PD,又 AO=B1O, ∴OD∥PB1,又 OD?面 BDA1,PB1?面 BDA1, ∴PB1∥平面 BDA1.

7.在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为平行四边形, EF // AB, FG // BC, EG // AC, AB ? 2EF . 若 M 是线段 AD 的中点,求证: GM // 平面ABFE; 【解析】 (Ⅰ)连结 AF,因为 EF∥AB,FG∥BC, EF∩ F G =F, 所 以 平 面 EFG∥ 平 面 ABCD, 又 易 证

?EFG ∽ ?ABC ,

FG EF 1 1 1 ? ? ,即 FG ? BC ,即 FG ? AD ,又 M 为 AD BC AB 2 2 2 1 的中点,所以 AM ? AD ,又因为FG∥BC∥AD,所以FG 2
所以 ∥AM,所以四边形 AMGF 是平行四边形,故 GM∥FA,又因为GM ? 平面ABFE,FA ? 平面ABFE,所以GM∥平面ABFE. 知识点二:线线,线面,及面面垂直: 1.线面垂直的证明: ?1? 判定定理; ? 2 ? 如果两条平行线中一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个 平面; ? 3? 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面;

4

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平行,垂直及距离

2.线面垂直的性质定理:① ?

?l ? ? ?l ?a ?a ? ?

②?

?a ? ? ? a // b ?b ? ?

③ ?

?a ? ? ? ? // ? ?a ? ?

④两个唯一性:过一点垂直于同一平面的直线有且只有一条 过一点垂直于同一直线的平面有且只有一个 3.面面垂直的证明: ?1? 计算二面角的平面角为 90 ? ;

? 2 ? 判定定理:

? ?? ? ? ? ? ? l? ? 面面垂直的性质定理: ??a ? ? a ?? ?
a?l

a ? ?? ??? ? ? a ? ??

? ? 等腰三角形中线即为高 ? ? 菱形对角线互相垂直 ? 判定 判定 ??? ? 线面垂直 ??? ??? ? 面面垂直.这三者之间的关系 注: ? ? 线线垂直 ??? ? ? 性质 性质 勾股垂直 ? 直径所对的圆周角为直 角? ?
非常密切,可以互相转化,从前面推出后面是判定定理,而从后面推出前面是性质定理. 1. 证明:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,A1C⊥平面 BC1D
D1 C1 B1

证明:连结 AC

? BD? AC

AC 为 A1C 在平面 AC 上的射影

A1

? BD?A1C
2.

? ? ? A1C?平面BC1 D 同理可证A1C?BC1 ?

D A B

C

如图,已知空间四边形 ABCD 的边 BC ? AC , AD ? BD ,引 BE ? CD , E 为垂足,作 AH ? BE

于 H ,求证: AH ? 平面BCD . 证明:取 AB 中点 F ,连 CF 、 DF ,∵ AC ? BC ,∴ CF ? AB . 又∵ AD ? BD ,∴ DF ? AB ,∴ AB ? 平面CDF ,又 CD ? 平面CDF , ∴ CD ? AB 又 CD ? BE , ∴ CD ? 平面A B E , CD ? AH , 又 AH ? BE , ∴

AH ? 平面B C D .
3.如图, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, A1O⊥平面 ABCD, AB ? AA1 ? 2 . 证明:(1) A1C⊥平面 BB1D1D; (2)证明: A1BD // 平面 CD1B1; (3) 求三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积.

5

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平行,垂直及距离

D1 A1 B1

C1

D A O B

C

解 :(1) ? A1O ? 面ABCD, 且BD ? 面ABCD,? A1O ? BD ; 又 因 为 , 在 正 方 形 AB CD 中, AC ? BD;且A1O ? AC ? A, 所以BD ? 面A1 AC且A1C ? 面A1 AC,故A1C ? BD . 在正方形 AB CD 中,AO = 1 .

在RT?A1OA中,A1O ? 1.

设B1 D1的中点为E1,则四边形 A1OCE1为正方形,所以 A1C ? E1O .

又BD ? 面BB1 D1 D, E1O ? 面BB1 D1 D, .且BD ? E1O ? O,所以由以上三点得 A1C ? 面BB1 D1 D .
【答案】解: (2) 设 B1 D1线段的中点为 O1 .

? BD和B1 D1是ABCD ? A1 B1C1 D1的对应棱? BD // B1 D1

.

同理, ? AO和A1O1是棱柱ABCD ? A1 B1C1 D1的对应线段
? AO // A1O1且AO // OC ? A1O1 // OC且A1O1 ? OC ? 四边形A1OCO1为平行四边形
? A1O // O1C.且A1O ? BD ? O, O1C ? B1 D1 ? O1 ? 面A1 BD // 面CD1 B1 .(证毕)
(3) ? A1O ? 面ABCD? A1O是三棱柱A1 B1 D1 ? ABD的高 . 在正方形 AB CD 中,AO = 1 . 在RT?A1OA中,A1O ? 1.

三棱柱 A1 B1 D1 ? ABD 的体积 V A1B1D1 ? ABD ? S ?ABD ? A1O ?
4.

1 ? ( 2 ) 2 ?1 ? 1. 2

如图所示,直角 ?ABC 所在平面外一点 S ,且 SA ? SB ? SC . (1)求证:点 S 与斜边 AC 中点 D 的连线 SD ? 面 ABC ; (2)若直角边 BA ? BC ,求证: BS ? AC . 证明:(1)在等腰 ?SAC 中, D 为 AC 中点,∴ SD ? AC .取 AB 中点 E ,连 DE 、 SE . ∵ ED // BC , BC ? AB ,∴ DE ? AB .又 SE ? AB ,∴ AB ? 面 SED , ∴ AB ? SD . ∴ SD ? 面 ABC ( AB 、 AC 是面 ABC 内两相交直线) . (2) ∵ BA ? BC , ∴ BD ? AC . 又 ∵ SD ? 面 ABC , ∴ SD ? BD . ∵ SD ? AC ? D ,∴ BD ? 面 SAC .
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平行,垂直及距离

5. 如图1所示, ABCD 为正方形, SA ⊥平面 ABCD ,过 A 且垂直于 SC 的平面分别交 SB,SC,SD 于 E,F,G .求证: AE ? SB , AG ? SD . 证明:∵ SA ? 平面 ABCD,∴ SA ? BC .∵ AB ? BC ,∴ 面 SAB.又∵ AE ? 平面 SAB,

BC ? 平

∴ BC ? AE .∵ SC ? 平面 AEFG ,∴ SC ? AE .∴ AE ? 平面 SBC .∴ AE ? SB .同理可证 AG ? SD . 6. 如图, PA ? 平面 ABCD,ABCD 是矩形,M、N 分别是 AB、PC 的中点,求证:

MN? AB
证:取 PD 中点 E,则 EN ? DC ? EN

1 2

// AM ? AE / / MN
CD?AE ? ? ? CD / / AB ? ? MN?AB AE / / MN ? ?

P N D A C

又 ? CD?AD? ? ? CD?平面PAD ? PA?平面AC ? ? AE ? 平面PAD?

M

B

7.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,若 AB / / CD , AB ? AD , CD ? 2 AB ,平面 PAD ? 底面

ABCD , PA ? AD , E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,求证:
(1) PA ? 底面 ABCD ;;(2)平面 BEF ? 平面 PCD 证明:(1)因为平面 PAD⊥平面 ABCD,且 PA 垂直于这个平面的交线 AD 所以 PA 垂直底面 ABCD. (2)因为 AB⊥AD,而且 ABED 为平行四边形 所以 BE⊥CD,AD⊥CD,由(I)知 PA⊥底面 ABCD, 所以 PA⊥CD,所以 CD⊥平面 PAD 所以 CD⊥PD,因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点 所以 PD∥EF,所以 CD⊥EF,所以 CD⊥平面 BEF,所以平面 BEF⊥平面 PCD. 8.如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是正方形, PD ? 底面ABCD , 点 E 在棱 PB 上.求证:平面 AEC ? 平面PDB ; 证明:∵四边形 ABCD 是正方形,∴AC⊥BD,∵ PD ? 底面ABCD , ∴PD⊥AC,∴AC⊥平面 PDB,∴平面 AEC ? 平面PDB .

9. 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形,PA ? 平面 ABCD , 以 BD 的中点 O 为球心、BD 为直径的球面交 PD 于点 M .求证:平面 ABM ⊥平面 PCD ;
7

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平行,垂直及距离

证:依题设,M在以BD为直径的球面上,则BM⊥PD.因为 PA⊥平面ABCD,则PA⊥AB, 又AB⊥AD,所以AB⊥平面PAD,则AB⊥PD,因此 有PD⊥平面ABM,所以平面ABM⊥平面PCD.

P

M

A
知识点三:几何体的体积及点到面的距离

D

O B C

1. 如 图 , 四棱 锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是边长 为 2 的菱 形, ?BAD ? 60? .已知 PB ? PD ? 2, PA ?

6 .

(Ⅰ)证明: PC ? BD (Ⅱ)若 E 为 PA 的中点,求三菱锥 P ? BCE 的体积.

【答案】解:

(1)证明:连接 BD, AC 交于 O 点

? PB ? PD ? PO ? BD ? BD ? AC 又? ABCD 是菱形 而 AC ? PO ? O ? BD ⊥面 PAC (2) 由(1) BD ⊥面 PAC

? BD ⊥ PC

S△ PEC ?

2 1 1 ?3 S△ PAC ? ? 6 ? 2 3 ? sin 45? = 6 ? 3 ? 2 2 2
8

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平行,垂直及距离

VP ? BEC ? VB ? PEC ?

1 1 1 1 ? S ?PEC ? BO ? ? 3 ? ? 2 3 2 2
π . 3

2.如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD, PA ? 2 3 ,BC=CD=2,∠ACB=∠ACD= (1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF=7FC,求三棱锥 P-BDF 的体积.

(1)证明:因 BC=CD,即△BCD 为等腰三角形, 又∠ACB=∠ACD,故 BD⊥AC. 因为 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥BD. 从而 BD 与平面 PAC 内两条相交直线 PA,AC 都垂直, 所以 BD⊥平面 PAC. (2)解:三棱锥 P-BCD 的底面 BCD 的面积 S△BCD= 由 PA⊥底面 ABCD,得 VP-BCD=

1 1 2π BC·CD·sin∠BCD= ×2×2× sin = 3. 2 2 3

1 1 ·S△BCD·PA= ? 3 ? 2 3 ? 2 . 3 3 1 1 1 1 1 1 由 PF=7FC,得三棱锥 F-BCD 的高为 PA,故 VF-BCD= ·S△BCD· PA= ? 3 ? ? 2 3 ? , 8 3 8 3 8 4 1 7 所以 VP-BDF=VP-BCD-VF-BCD= 2 ? ? . 4 4 3.如图, 四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,?DAB ? 60? , AB ? 2 AD ,PD ? 底面 ABCD. (I)证明: PA ? BD ;
(II)设 PD=AD=1,求棱锥 D-PBC 的高.

解: (Ⅰ)因为 ?DAB ? 60?, AB ? 2 AD , 由余弦定理得 BD ? 3 AD 从而 BD +AD = AB ,故 BD ? AD 又 PD ? 底面 ABCD,可得 BD ? PD 所以 BD ? 平面 PAD. 故 PA ? BD
2 2 2

(Ⅱ)如图,作 DE ? PB,垂足为 E。已知 PD ? 底面 ABCD,则 PD ? BC。由(Ⅰ)知 BD ? AD,又 BC//AD, 所以 BC ? BD。故 BC ? 平面 PBD,BC ? DE。则 DE ? 平面 PBC。 由题设知,PD=1,则 BD= 3 ,PB=2,根据 BE·PB=PD·BD,得 DE=

3 3 ,即棱锥 D—PBC 的高为 . 2 2

4.如图所示,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是个边长为 2 的正方形,侧棱 PA ? 底面 ABCD ,且

PA ? 2 , Q 是 PA 的中点.
(I)证明: PC // 平面 BDQ ; (II)求三棱锥 C ? BDQ 的体积.

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5. 如 图 4 , 已 知 三 棱 锥 P ? ABC 的 则 面 PAB 是 等 边 三 角 形 , D 是 AB 的 中 点 , (2)求点 C 到平面 PAB 的距离. PC ? BC ? AC ? 2, PB ? 2 2 .(1)证明: AB ? 平面 PCD ;

6.如图 4,PA 垂直于⊙O 所在平面 ABC,AB 为⊙O 的直径,PA=AB=2,
BF ? 1 BP ,C 是弧 AB 的中点. 4

(1)证明:BC?平面 PAC; (2)证明:CF?BP; (3)求四棱锥 C—AOFP 的体积.

7. 已知四棱锥 P ? ABCD 的正视图是一个底边长为 4 、腰长为 3 的等 腰三角形,图 4、图 5 分别是四棱锥 P ? ABCD 的侧视图和俯视图. (1)求证: AD ? PC ; (2)求四棱锥 P ? ABCD 的侧面 PAB 的面积.
P
2 2

2

侧视

D A
正视

C B

2

图4

图5

10


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