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湖北省部分重点中学2013届高三第一次联考数学(理)试题及答案word版


湖北省部分重点中学 2013 届高三第一次联考数学(理)试题 第一部分 选择题

一、选择题:本大题共有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的。请把它选出后在答题卡上规定的位置上用铅笔涂 黑。 1. 已知集合 M ? {x | ?2 ? x ? 4} , N ? {x | y ? ln(log 1 x

? 1), 则M ? N 等于
?

A. {x | ?2 ? x ? ? } B. {x | ? ? x ? 4} C. {x | 0 ? x ? ? } D. {x | 0 ? x ? 4} 2.下列命题中,真命题是 A. ?x0 ? R,sin x0 ? 1 C. B.命题“ ?x ? R, 2x ? x2 ”的否定是“ ?x ? R, 2x ? x2 ”

1 ? 1 的充要条件是 x ? 1 D. f ( x) ? M 是函数 f ( x) 的最大值为 M 的充分条件 x

3. 若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 A.

1 3

B. C.1

2 3

D.2

4. 要得到函数 y ? sin x ? cos x 的图象,只需将函数 y ? cos x ? sin x 的图象 A.向左平移

? 个单位长度 4 ? 个单位长度 2

B.向右平移

C.向右平移 ? 个单位长度 D.向左平移

3? 个单位长度 4

5.已知平面 ? , ? 直线 l ,若 ? ? ? , ? ? ? ? l 则 A.垂直于平面 ? 的平面一定平行于平面 ?

B.不平面 ? , ? 都平行的直线一定平行于直线 l C.平行于直线 l 的直线不平面 ? , ? 都平行 D.垂直于平面 ? 的直线一定平行于平面 ? 6.函数 f ( x) 是 R 上的增函数,且 f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) 则 A. a ? b ? 0 B. a ? b ? 0 C. a ? b ? 0 D. a ? 0, b ? 0 7. f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 在 x ? 1 处取最大值,则 A. f ( x ? 1) 一定是奇函数 C. f ( x ? 1) 一定是奇函数 8 函数 f ( x) ? ? B. f ( x ? 1) 一定是偶函数 D. f ( x ? 1) 一定是偶函数

?1 ( x为有理数) ,则下列结论错误的是 ?0 (x为无理数)
B .方程 f ( f ( x)) ? x 的解为 x ? 1 D.方程 f ( f ( x)) ? f ( x) 的解为 x ? 1

A. f ( x) 是偶函数 C. f ( x) 是周期函数

9.已知定义域为 (0, ??) 的单调函数 f ( x) ,若对任意的 x ? (0, ??) ,都有

f [ f ( x) ? log 1 x] ? 3 ,则方程 f ( x) ? 2 ? x 的解的个数是
2

A3
10 已知数列

B2

C1

D0

A: 1 , a 2 ,..., an (0 ? a1 ? a 2 ? ... ? an , n ? 3) 具有性质 P : 对任意 i, j (1 ? i ? j ? n) , a

a j ? ai 不 a j ? ai 两数中至少有一个是该数列中的一项,现给出以下四个命题:
① 数列 0,2,4,6 具有性质 P; ②若数列 A 具有性质 P,则 a1 ? 0 ; ③若数列 A 具有性质 P 且 a1 ? 0 ,则 an ? an?k ? ak (k ? 1, 2,...,(n ?1)); ④若数列 a1 , a 2 , a3 (0 ? a1 ? a 2 ? a3 ) 具有性质 P,则 a3 ? a1 ? a 2 其中真命题有 A 4个 B3 个 C 2个 D1 个

第二部分

非选择题

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分。 11.设 Sn 是等比数列 {an } 的前项和,若 S1 , 2S2 ,3S3 成等差数列,则公比 q 等于 __________ 12.设 a, b, c 是单位向量,且 a ? b ? c 则向量 a, b 的夹角是_________ 13.已知函数 f ( x) ? x3 ? sin x , x ? (?1,1) ,如果 f (1 ? m) ? f (1 ? m2 ) ? 0, ,则 m 的取 值范围是_________ 14.点 A 是函数 f ( x) ? sin x 的图象不轴的一个交点(如图所示),若图中阴影部分的 面积等于矩形 OABC 的面积,那么边 AB 的长 等于_________

? ??

?

? ?

? ?

15.已知正实数 x、 y ,记 m 为 x 和

y 中较小者,则 m 的最大值为_________ x ? y2
2

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,共 75 分。 16(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 cos B ? (1) 求 sin 2 B ? cos

3 , 4

2

A?C 的值; 2

(2) 若 b ? 3 ,求 ?ABC 面积的最大值。

17.(本小题满分 12 分)某工厂生产某种产 品,每日的成本 C (单位:万元)不日产量 x (单位:吨)满足函数关系式 C ? 3 ? x ,每日的 销售额 S (单位:万元)不日产量 x 的函数关

k ? ? 5 (0 ? x ? 6) ?3x ? 系式 S ? ? ,已知每日的利润 L ? S ? C ,且当 x ? 2 时, x ?8 ? 14 ( x ? 6) ? L ? 3.
(1)求 k 的值 (2)当日产量为多少吨时,每日的利润达到最大,并求出最大值。 18. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,

?BAD ? 60? , Q 为 AD 的中点, PA ? PD ? AD ? 2
(1)求证: AD ? 平面PQB ; (2) 若 PA ∥ 平面MQB, 平面PAD ? ABCD, 求二面角 M -BQ ? C 的大小.

19. (本小题满分 12 分)已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? 数) (1)求函数在区间 (0, e] 上的最小值; (2)设数列 {an } 的通项 an ?

a ? ln x ? 1 (其中 e 为自然对数的底 x

1 , Sn 是前 n 项和,证明: Sn ?1 ? ln n(n ? 2) . n

20(本小题满分 13 分)设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, Sn ? ? an ? 1 ( ? 为常数,

n ? 1, 2,3,... )
(1)若 a3 ? a22 求 ? 的值; (2)是否存在实数 ? ,使得数列 {an } 是等差数列?若存在,求出 ? 的值;若丌存在, 说明理由; (3)当 ? ? 2 时,若数列 {bn } 满足 bn?1 ? an ? bn ( n ? 1, 2,3,... )且 b1 ?

3 ,令 2

cn ?

an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn 。 (an ? 1)bn

21. (本小题满分 14 分)已知 a 为常数, a ? R ,函数 f ( x) ? x2 ? ax ? ln x ,

g ( x) ? ex (其中 e 是自然对数的底数)
(1)过坐标原点 O 作曲线 y ? f ( x) 的切线,设切点为 P( x0 , y0 ) ,求 x0 的值; (2)令 F ( x) ?

f ( x) ,若函数 F ( x) 在区间 (0,1] 上是单调函数,求 a 的取值范围。 g ( x)

湖北省部分重点中学 2012 年 11 月高三联考

高三数学试卷(理)答案
一、选择题:CACCB 二、填空题:11、 三、解答题: 16(本小题满分 12 分)、解:(I)因为 cos B ? 分 又 sin 2 B ? cos 2 CDDBC 12、 60 o 13、 (1, 2) 14、

1 3

2

?

15、

2 2

3 7 ,所以 sin B ? . 4 4

…1

A?C π?B ? 2sin B cos B ? cos 2 2 2 1 ? 2sin B cos B ? (1 ? cos B) 2
= 2?

7 3 1 1? 3 7 . ? + = 4 4 8 8

……6 分

(II)由已知得 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 3 ? , 2ac 4
3 ac . 2

……7 分 ……8 分

2 2 又因为 b ? 3 , 所以 a ? c ? 3 ?

2 2 又因为 a ? c ?

3 ac ? 3 ? 2ac , 2
……11 分

所以 ac ? 6 ,当且仅当 a ? c ? 6 时, ac 取得最大值. 此时 S?ABC ?

1 1 7 3 7 ac sin B ? ? 6 ? ? . 2 2 4 4

所以 ?ABC 的面积的最大值为

3 7 . 4

………13 分

17(本小题满分 12 分)、解:(Ⅰ)由题意可得:

k ? ? 2,0 ? x ? 6 ?2 x ? ……2 分 L?? x ?8 ?11? x, x ? 6 ?
因为 x = 2 时, L = 3 ,所以 3 ? 2 ? 2 ? 所以 k = 18 . (Ⅱ)当 0 < x < 6 时, L = 2 x +

k ? 2. 2?8
…5 分

…4 分

18 + 2 .所以 x- 8

L = 2 x- 8 + ( )

18 18 18 + 18= - [2(8 - x) + ] + 18 ≤ - 2 2 8 - x ? ( ) x- 8 8- x 8- x

18 = 6 .

( ) 当且仅当 2 8 - x =

18 ,即 x ? 5 时取得等号.……………………………………10 分 8- x
5.
……………………………………12 分

当 x ? 6 时, L = 11- x

所以当 x = 5 时, L 取得最大值 6 . 所以当日产量为 5 吨时,每日的利润可以达到最大值 6 万元.……13 分 18(本小题满分 12 分)、(Ⅰ)证明:连接 BD . 因为四边形 ABCD 为菱形, ?BAD ? 60? , 所以△ ABD 为正三角形.又 Q 为 AD 中点, 所以 AD ? BQ . 因为 PA ? PD , Q 为 AD 的中点, 所以 AD ? PQ . 又 BQ ? PQ ? Q , 所以 AD ? 平面 PQB . (Ⅱ)解:当 t ? ……4 分

1 时, PA ∥平面 MQB . 3

下面证明:连接 AC 交 BQ 于 N ,连接 MN . 因为 AQ ∥ BC , 所以

AN AQ 1 ? ? . NC BC 2

因为 PA ∥平面 MQB , PA ? 平面 PAC ,平面 MQB ? 平面

PAC ? MN ,
所以 MN ∥ PA .所以 所以 PM ?

PM AN 1 ? ? . MC NC 2
因为

z P M

1 1 PC ,即 t ? . 3 3

PM ?

1 PC , 3
所以

D Q A x N B y

C

PM 1 PM AN 1 ? .所以 ? ? , MC 2 MC NC 2

所以 MN ∥ PA . 又 MN ? 平面 MQB , PA ? 平面 MQB , 所以 PA ∥平面 MQB . (Ⅲ)解:因为 PQ ? AD , 又平面 PAD ? 平面 ABCD ,交线为 AD , 所以 PQ ? 平面 ABCD . 以 Q 为坐标原点,分别以 QA,QB,QP 所在的直 线为 x, y, z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系 Q ? xyz . 由 PA = PD = AD =2, 则有 A(1,0,0) , B(0, 3,0) , P(0,0, 3) . 设平面 MQB 的法向量为 n = ( x, y, z ) , 由 PA ? (1,0,? 3) , QB ? (0, 3,0) 且 n ? PA , n ? QB ,可得 ? …8 分

??? ?

??? ?

? x ? 3 z ? 0, ? 3 y ? 0.

令 z ? 1, 得 x ? 3,y ? 0 . 所以 n = ( 3,0,1) 为平面 MQB 的一个法向量. 取平面 ABCD 的法向量 m = (0,0,1) , 则 cos m,n ?

1 1 m?n ? , ? m n 2 ?1 2
……12 分 得 x?a

故二面角 M ? BQ ? C 的大小为 60°. 19(本小题满分 12 分)、解:(1) 由 f ' ? x ? ?

1 a ? ?0 x x2

若 a ? e 时, 函数 f ? x ? 在区间 ? 0, e? 是减函数 f ? e ? min ?

a ; e

0 ? a ? e 时 函数 f ? x ? 在区间 ? 0, a ? 是减函数, ? a, e? 是增函数 f ? a ?min ? ln a ;
综上所述:当 a ? e 时, f ? e ? min ?

a 当 0 ? a ? e 时 f ? a ?min ? ln a (6 分) e

(2)由(1)可知, a ? 1 时,函数 f ? x ? 在定义域的最小值为 0,

?

ln x ? 1 ?
令x ?

1 在 ?1, ?? ? 上成立 x

k ?1 1 得 ln ? k ? 1? ? ln k ? k k ?1

令 k ? 1, 2,3, ???(n ?1) 并累加得 Sn ?1 ? ln n ? n ? 2? (12 分) 20(本小题满分 13 分)、解:(Ⅰ)因为 Sn ? ? an ? 1 ,所以 a1 = ? a1 - 1 ,

a2 ? a1 ? ?a2 ? 1 , a3 ? a2 ? a1 ? ?a3 ?1 .………1 分
由 a1 = ? a1 - 1可知: ? ? 1 . 所以 a1 =

1 ? ?2 , a2 = , a3 = . ?- 1 (? - 1) 2 (? - 1)3
.所以 ? = 0 或 ? = 2 . ……3 分

因为 a3 = a

2 2,

所以

?2
(? - 1)3

=

?2
(? - 1)4

(Ⅱ)假设存在实数 ? ,使得数列 ?an ? 是等差数列,则 2a2 = a1 + a3 .………4 分

2? 1 ?2 2? 2? 2 - 2? + 1 .所以 ,即 1 = 0 , = + = (? - 1)2 ? - 1 (? - 1)3 (? - 1)2 (? - 1)3 矛盾.所以丌存在实数 ? ,使得数列 ?an ? 是等差数列.………6 分
由(Ⅰ)可得:

(Ⅲ)当 ? = 2 时, Sn ? 2an ?1 .所以 Sn?1 ? 2an?1 ? 1(n ? 2) ,且 a1 = 1 . 所以 an ? 2an ? 2an?1 ,即 an ? 2an?1 (n ? 2) .所以 an ? 0(n ?N*) ,且
an ? 2(n ? 2) . an ?1

所以,数列 {an } 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列,所以 an ? 2n?1 (n ?N*) . 因为 bn ?1 ? an ? bn ,(n ? 1, 2,3,?) ,且 b1 ?

…8 分

3 , 2

所以 bn ? an?1 ? bn?1 ? an?1 ? an?2 ? bn?2 ? ? ? an?1 ? an?2 ? ? ? a1 ? b1

?2

n?2

?2

n ?3

3 2n ? 1 ?? ?1? ? (n ? 2) . 2 2

当 n = 1 时,上式仍然成立.

2n ? 1 (n ? N*) . 所以 bn ? 2
因为 cn =

…10 分

an ,所以 cn = (an + 1)bn

2n- 1

(2n- 1 + 1)

2n + 1 2

=

2 ×2n- 1 .…11 分 (2n- 1 + 1) (2n + 1)

因为

2 n- 1 1 1 = n- 1 - n , ……12 分 n- 1 n (2 + 1) (2 + 1) 2 + 1 2 + 1

所以 Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn

1 1 1 1 1 1 2 2n - 1 = 2( + - 2 + ? + n- 1 - n ) = 1- n = n 2 2+ 1 2+ 1 2 + 1 2 +1 2 +1 2 +1 2 +1
……13 分 21(本小题满分 14 分)、解:(I) f ?( x ) ? 2 x ? a ? …2 分
x 2 ? ax0 ? ln x 0 1 ? 0 , x0 x0

1 ( x ? 0 ). x

所以切线的斜率 k ? 2 x 0 ? a ?

整理得 x02 ? ln x0 ? 1 ? 0 .

…4 分

显然, x 0 ? 1 是这个方程的解,又因为 y ? x 2 ? ln x ? 1 在 (0,??) 上是增函数,

所以方程 x 2 ? ln x ? 1 ? 0 有唯一实数解.故 x 0 ? 1 . …6 分
1 ? ln x x . …7 分

f ( x ) x 2 ? ax ? ln x ? (Ⅱ) F ( x ) ? , F ?( x ) ? g( x ) ex

? x 2 ? (2 ? a ) x ? a ? ex

设 h( x ) ? ? x 2 ? (2 ? a ) x ? a ?

1 1 1 ? ln x ,则 h?( x) ? ?2 x ? 2 ? ? 2 ? a . x x x

易知 h?( x ) 在 (0,1] 上是减函数,从而 h?( x ) ? h?(1) ? 2 ? a . (1)当 2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 时, h?( x ) ? 0 , h( x ) 在区间 (0,1) 上是增函数.
? h(1) ? 0 ,? h( x ) ? 0 在 (0,1] 上恒成立,即 F ?( x ) ? 0 在 (0,1] 上恒成立. ? F ( x ) 在区间 (0,1] 上是减函数.

所以, a ? 2 满足题意. …10 分

Kss5uu Ks55u K

(2)当 2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 时,设函数 h ?( x ) 的唯一零点为 x 0 , 则 h( x ) 在 (0, x0 ) 上递增,在 ( x0 ,1) 上递减. 又∵ h(1) ? 0 ,∴ h( x 0 ) ? 0 . 又∵ h(e ?a ) ? ?e ?2a ? (2 ? a)e ?a ? a ? e a ? ln e ?a ? 0 , ∴ h( x ) 在 (0,1) 内有唯一一个零点 x ? , 当 x ? (0, x? ) 时, h( x ) ? 0 ,当 x ? ( x?,1) 时, h( x ) ? 0 . 从而 F ( x ) 在 ( 0, x ? ) 递减,在 ( x?,1) 递增,不在区间 (0,1] 上是单调函数矛盾. ∴ a ? 2 丌合题意. 综合(1)(2)得, a ? 2 . 14 分


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