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2007年高考模拟热点交汇试题汇编之数列与不等式(30题)


2007 年高考模拟热点交汇试题汇编之数列与不等式(30 题) (命题者的首选资料)
1. 已知函数 f ( x) ? x ? ln ?1 ? x ? ,数列 ?an ? 满足 0 ? a1 ? 1,

1 1 an?1 ? f ? an ? ; 数列 ?bn ? 满足 b1 ? , bn ?1 ? (n ? 1)bn , n ? N * .求证:

2 2
(Ⅰ) 0 ? an?1 ? an ? 1; (Ⅱ) an ?1 ?

an 2 ; 2

(Ⅲ)若 a1 ?

2 , 则当 n≥2 时, bn ? an ? n! . 2
*

解: (Ⅰ )先用数学归纳法证明 0 ? an ? 1 , n ? N . (1)当 n=1 时,由已知得结论成立; (2)假设当 n=k 时,结论成立,即 0 ? ak ? 1 .则当 n=k+1 时, 因为 0<x<1 时, f ?( x) ? 1 ?

1 x ? ? 0 ,所以 f(x)在(0,1)上是增函数. x ?1 x ?1

又 f(x)在 ?0,1? 上连续,所以 f(0)<f( ak )<f(1),即 0< ak ?1 ? 1 ? ln 2 ? 1 . 故当 n=k+1 时,结论也成立. 即 0 ? an ? 1 对于一切正整数都成立.————4 分 又由 0 ? an ? 1 , 得 an?1 ? an ? an ? ln ?1 ? an ? ? an ? ? ln(1 ? an ) ? 0 ,从而 an?1 ? an . 综上可知 0 ? an?1 ? an ? 1. ————6 分

(Ⅱ )构造函数 g(x)=

x2 x2 ? ln(1 ? x) ? x , 0<x<1, -f(x)= 2 2

由 g ?( x) ?

x2 ? 0 ,知 g(x)在(0,1)上增函数. 1? x

又 g(x)在 ?0,1? 上连续,所以 g(x)>g(0)=0.

an 2 an 2 ? f ? an ? >0,从而 an ?1 ? . ————10 分 因为 0 ? an ? 1 ,所以 g ? an ? ? 0 ,即 2 2
(Ⅲ 因为 b1 ? )

1 1 n ?1 b , bn ?1 ? (n ? 1)bn ,所以 bn ? 0 , n?1 ? , 2 2 2 bn

所以 bn ?

bn bn?1 b2 1 ? ? ? b1 ? n ? n ! bn?1 bn?2 b1 2

————①, ————12 分

由(Ⅱ an ?1 ? )

an 2 a a a a a a a a a , 知: n?1 ? n , 所以 n = 2 ? 3 ? n ? 1 2 ? n ?1 , 2 2 an 2 a1 a1 a2 an?1 2 2

因为 a1 ?

2 , n≥2, 0 ? an?1 ? an ? 1. 2

a1 a2 an ?1 a1n 2 ? a12 1 ? ? a1 < n ?1 < n = n ————②. ————14 分 所以 an ? 2 2 2 2 2 2
由① 两式可知: bn ? an ? n! .————16 分 ②

2.已知 ? 为锐角,且 tan? ?
2

2 ?1 ,

函数 f ( x) ? x tan 2? ? x ? sin( 2? ? ⑴ 求函数 f (x) 的表达式; ⑵ 求证: a n ?1 ? a n ; 求证: 1 ?

?
4

) ,数列{an}的首项 a1 ?

1 , a n ?1 ? f (a n ) . 2



1 1 1 ? ??? ? 2 (n ? 2 , n ? N * ) 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an
又∵ ? 为锐角

解:⑴ tan 2? ?

2 tan? 2( 2 ? 1) ? ?1 2 1 ? tan ? 1 ? ( 2 ? 1) 2

∴ 2? ?

?
4

∴ sin( 2? ? ∵ a1 ?

?
4 1 2

) ?1

f ( x) ? x 2 ? x
∴ a2 , a3 ,?an 都大于 0

2 ⑵ an?1 ? an ? an 2 ∴ an ? 0

∴ a n ?1 ? a n



1 a n?1


?

1 1 1 1 ? ? ? a ? a n a n (1 ? a n ) a n 1 ? a n
2 n

1 1 1 ? ? 1 ? an a n a n?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? ? ??? ? 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an a1 a2 a2 a3 an an?1



?

1 1 1 ? ? 2? a1 a n?1 a n?1
1 2
2

∵ a2 ? ( ) ? ∴ an?1 ? a3 ? 1

1 3 3 3 ? , a3 ? ( ) 2 ? ? 1 , 又∵ n ? 2 an?1 ? an 2 4 4 4
∴1 ? 2 ?

1 a n ?1

?2

∴1 ?

1 1 1 ? ??? ?2 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? an

? 3.(本小题满分 14 分)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ? 2an ? 1 n ? N

?

?

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足 4 1 4 (Ⅲ)证明:
b ?1 b2 ?1 b3 ?1

4

?4bn ?1 ? (an ? 1) bn ,证明: ?an ? 是等差数列;

1 1 1 2 ? ??? ? ?n ? N? ? a2 a3 an?1 3

解: (1)? an?1 ? 2an ? 1 ,? an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ????????2 分 故数列 {an ? 1} 是首项为 2,公比为 2 的等比数列。????????3 分

? an ? 1 ? 2n , an ? 2n ? 1 ????????????????4 分
(2)? 4b1 ?14b2 ?14b3 ?1 ?4bn ?1 ? (an ? 1) bn ,? 4
( b1 ? b2 ??? bn ? n )

? 2 nbn ?????5 分

2(b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? 2n ? nbn ① 2(b1 ? b2 ? ? ? bn ?b n?1 ) ? 2(n ? 1) ? (n ? 1)bn?1 ②
②—①得 2bn?1 ? 2 ? (n ? 1)bn?1 ? nbn ,即 nbn ? 2 ? (n ? 1)bn?1 ③????????8 分

? (n ? 1)bn?1 ? 2 ? nbn?2 ④
④—③得 2nbn?1 ? nbn ? nbn?1 ,即 2bn?1 ? bn ? bn?1 ????????9 分 所以数列 {bn } 是等差数列 (3)?

1 1 1 1 1 ? n?1 ? n?1 ? ????????????11 分 a n 2 ? 1 2 ? 2 2 a n?1

设S ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ,则 S ? ? ??? ? ( ? ??? ) ? ? (S ? ) a 2 a3 an?1 a 2 2 a 2 a3 an a2 2 a n ?1

????13 分

S?

2 1 2 1 2 ? ? ? ? ????????????14 分 a 2 an?1 3 a n?1 3
q p ? 2 f ( x), 其中 f ( x) ? ln x, 且g (e) ? qe ? ? 2. (e 为自然对数的底数) x e

4.设 g ( x) ? px ?

(I)求 p 与 q 的关系; (II)若 g (x) 在其定义域内为单调函数,求 p 的取值范围; (III)证明: ① f (1 ? x) ? x

( x ? ?1) ;

ln 2 ln 3 ln n 2n 2 ? n ? 1 ② 2 ? 2 ??? 2 ? (n∈N,n≥2). 4(n ? 1) 2 3 n
解: (I)由题意 g ( x) ? px ?

q ? 2 ln x, x

q q q ? 2,? pe ? ? 2 ? qe ? ? 2, e e e 1 1 ? ( p ? q)e ? ( p ? q) ? 0,? ( p ? q)(e ? ) ? 0, e e 1 而e ? ? 0,? p ? q.?????????????3分 e 又g (e) ? pe ?
(II)由(I)知: g ( x ) ? px ?

p ? 2 ln x x

g ?( x) ? p ?

p 2 px2 ? 2 x ? p ? ? , x2 x x2

令 h(x)=px2-2x+p.要使 g(x)在(0,+∞)为单调函数,只需 h(x)在(0,+∞)满足: h(x)≥0 或 h(x)≤0 恒成立.????????????4 分 ① p ? 0时, h( x) ? ?2 x ,

? x ? 0,? h( x) ? 0,? g ?( x) ? ?

2x ? 0, x2

∴g(x)在(0,+∞)单调递减, ∴p=0 适合题意.??????????????????5 分 ②当 p>0 时,h(x)=px2-2x+p 图象为开口向上抛物线, 称轴为 x=

1 ∈(0,+∞). p

∴h(x)min=p-

1 . p

只需 p-

1 ≥0,即 p≥1 时 h(x)≥0,g′(x) ≥0, p

∴g(x)在(0,+ ∞)单调递增,∴p≥1 适合题意.??????????7 分 ③当 p<0 时,h(x)=px2-2x+p 图象为开口向下的抛物线, 其对称轴为 x=

1 , ? (0,+∞) p

只需 h(0)≤0,即 p≤0 时 h(0)≤(0,+ ∞)恒成立. ∴g′(x)<0 ,∴g(x)在(0,+ ∞)单调递减, ∴p<0 适合题意. 综上①②③可得,p≥1 或 p≤0.??????????????9 分 (III)证明:①即证:lnx-x+1≤0 (x>0), 设 k ( x) ? ln x ? x ? 1, 则k ?( x) ?

1 1? x ?1 ? . x x

当 x∈(0,1)时,k′(x)>0,∴k(x)为单调递增函数; 当 x∈(1,∞)时,k′(x)<0,∴k(x)为单调递减函数; ∴x=1 为 k(x)的极大值点, ∴k(x)≤k(1)=0. 即 lnx-x+1≤0,∴lnx≤x-1.????????????11 分 ②由①知 lnx≤x-1,又 x>0,

. ? ln x x ? 1 1 ? ? 1? x x x

? n ? N *, n ? 2时, 令x ? n 2 , 得 ln n 2 1 ? 1? 2 . 2 n n ln n 1 1 ? 2 ? (1 ? 2 ), 2 n n ln 2 ln 3 ln n 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? (1 ? 2 ? 1 ? 2 ? ? ? 1 ? 2 ) 2 2 3 2 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [(n ? 1)] ? ( 2 ? 2 ? ? ? 2 )] ? [(n ? 1) ? ( ? ??? )] 2 2 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 ? [n ? 1 ? ( ? ? ? ? ? ? ? )] 2 2 3 3 4 n n ?1 1 1 1 ? [n ? 1 ? ( ? )] 2 2 n ?1 2n 2 ? n ? 1 ? 4(n ? 1)

∴结论成立.????????????????????????????14 分 5.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足: Sn ? (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 b0 ?

a . (an ? 1) (a 为常数,且 a ? 0, a ? 1 ) a ?1

2Sn ? 1 ,若数列 {bn } 为等比数列,求 a 的值; an 1 1 ? ,数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn, 1 ? an 1 ? an ?1

(Ⅲ)在满足条件(Ⅱ)的情形下,设 cn ? 求证: Tn ? 2n ? .

1 3 a ?1 解: (Ⅰ)? S1 ? (a1 ? 1), ∴ a1 ? 0, a a a 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? an ? an?1 , a ?1 a ?1
an ? a ,即 {an } 是等比数列. ∴ an ? a ? an?1 ? an ; an ?1
??????4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, bn ?

2?

a (a n ? 1) (3a ? 1)a n ? 2a a ?1 ,若 {bn } 为等比数列, ?1 ? an a n (a ? 1)
3a ? 2 3a 2 ? 2a ? 2 , b3 ? , a a2

则有 b2 2 ? b1b3 , 而 b1 ? 3, b2 ? 故(

3a ? 2 2 3a 2 ? 2a ? 2 1 1 ) ? 3? ,解得 a ? ,再将 a ? 代入得 bn ? 3n 成立, 2 a a 3 3 1 所以 a ? . 3
(III)证明:由(Ⅱ)知 an ? ( )n ,所以 cn ?

1 3

1 1 3n 3n?1 ? ? n ? n ?1 1 1 1 ? ( )n 1 ? ( )n ?1 3 ? 1 3 ? 1 3 3

3n ? 1 ? 1 3n ?1 ? 1 ? 1 1 1 ? n ?1 ?1? n ? 1 ? n ?1 n 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 2 1 ? 2?( n ? n?1 ) , 3 ? 1 3 ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 由 n ? n , n?1 ? n?1 得 n ? n?1 ? n ? n?1 , 3 ? 1 3 3 ?1 3 3 ? 1 3 ?1 3 3 1 3 1 1 所以 cn ? 2 ? ( n ? n?1 ) ? 2 ? ( n ? n?1 ) , 3 ?1 3 ?1 3 3 1 1 1 1 1 1 从而 Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? [2 ? ( ? 2 )] ? [2 ? ( 2 ? 3 )] ? ?[2 ? ( n ? n?1 )] 3 3 3 3 3 3 ?

1 1 1 1 1 1 ? 2n ? [( ? 2 ) ? ( 2 ? 3 ) ? ? ? ( n ? n?1 )] 3 3 3 3 3 3 1 1 1 ? 2n ? ( ? n?1 ) ? 2n ? . 3 3 3 1 即 Tn ? 2n ? . 3
6.已知数列 ?an ? 满足

??????????14 分

a1 ? 5 , a2 ? 5 , an?1 ? an ? 6an?1 (n ? 2) .
(1)求证: ?an?1 ? 2an ? 是等比数列; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)设 3n bn ? n(3n ? an ) ,且 b1 ? b2 ? ? bn ? m 对于 n ? N 恒成立,求 m 的取值范 解: (1)由 an+1=an+6an-1,an+1+2an=3(an+2an-1) (n≥2) ∵ 1=5,a2=5 a ∴ 2+2a1=15 a 故数列{an+1+2an}是以 15 为首项,3 为公比的等比数列 …………5 分 n n+1 (2) (1) an+1+2an=5· 由 得 3 由待定系数法可得(an+1-3 )=-2(an-3n) - - an-3n=2(-2)n 1 故 an=3n+2(-2)n 1=3n-(-2)n ………9 分 2 (3)由 3nbn=n(3n-an)=n[3n-3n+(-2)n]=n(-2)n,∴ n=n(- )n b 3 2 2 2 2 令 Sn=|b1|+|b2|+…+|bn|= +2( )2+3( )3+…+n( )n 3 3 3 3 2 2 2 2 2 + S =( )2+2( )3+…+(n-1)( )n+n( )n 1 3 n 3 3 3 3 …………11 分
?



2 2 [1-( )n] 3 1 2 22 23 2n 2 n+1 3 2 2 2 得 Sn= +( ) +( ) +…+( ) -n( ) = -n( )n+1=2[1-( )n]-n( )n+1 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 1- 3 2 2 ∴Sn=6[1-( )n]-3n( )n+1<6 3 3 要使得|b1|+|b2|+…+|bn|<m 对于 n∈ 恒成立,只须 m≥6 N


…14 分

7.已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 2a ? 1 (a 是常数,且 a ? ?1 ) an ? 2an?1 ? n 2 ? 4n ? 2 , (n ? 2) ,数列 ?bn ? 的首项 b1 ? a , bn ? an ? n 2 ( n ? 2 ) 。 (1)证明: ?bn ? 从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列; (2)设 S n 为数列 ?bn ? 的前 n 项和,且 ?S n ? 是等比数列,求实数 a 的值; (3)当 a>0 时,求数列 ?an ? 的最小项。

解: (1)∵ bn ? an ? n 2 ∴ bn?1 ? an?1 ? (n ? 1) 2 ? 2an ? (n ? 1) 2 ? 4(n ? 1) ? 2 ? (n ? 1) 2

? 2an ? 2n 2 ? 2bn (n≥2) ????3 分
由 a1 ? 2a ? 1得 a2 ? 4a , b2 ? a2 ? 4 ? 4a ? 4 , ∵ a ? ?1 ,∴ b2 ? 0 ,????4 分 即 {bn } 从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列。????5 分 (2) Sn ? a ?

(4a ? 4)(2n?1 ? 1) ? ?3a ? 4 ? (2a ? 2)2n ????8 分 2 ?1

Sn (2a ? 2)2n ? 3a ? 4 3a ? 4 当 n≥2 时, ? ? 2? n ?1 Sn?1 (2a ? 2)2 ? 3a ? 4 (a ? 1)2n?1 ? 3a ? 4
∵ {S n } 是等比数列, ∴ S n (n≥2)是常数, S n ?1 ∴3a+4=0,即 a ? ?

4 。????11 分 3

(3)由(1)知当 n ? 2 时, bn ? (4a ? 4)2n?2 ? (a ? 1)2n , 所以 an ? ?

? 2a ? 1

(n ? 1)

n 2 ?(a ? 1)2 ? n (n ? 2)

,????13 分

所以数列 ?an ? 为 2a+1,4a,8a-1,16a,32a+7,?? 显然最小项是前三项中的一项。????15 分 当 a ? (0, ) 时,最小项为 8a-1;

1 4

1 时,最小项为 4a 或 8a-1;???16 分 4 1 1 当 a ? ( , ) 时,最小项为 4a; 4 2 1 当 a ? 时,最小项为 4a 或 2a+1;????17 分 2 1 当 a ? ( , ??) 时,最小项为 2a+1。????18 分 2
当a ?

8.已知函数 f(x)=

5 ? 2x ,设正项数列 ?an ? 满足 a1 =l, an?1 ? f ? an ? . 16 ? 8 x

(I)写出 a2 , a3 的值; (Ⅱ)试比较 an 与

5 的大小,并说明理由; 4
n 5 1 n - an ,记 Sn= ? bi .证明:当 n≥2 时,Sn< (2 -1). 4 4 i ?1

(Ⅲ)设数列 ?bn ? 满足 bn = 解(1) an ?1 ?

5 ? 2an 7 3 ,因为 a1 ? 1, 所以 a2 ? , a3 ? . ???????????? 2 分 16 ? 8an 8 4 (2)因为 an ? 0, an ?1 ? 0, 所以 16 ? 8an ? 0,0 ? an ? 2. ?????????????3 分 5 5 48(an ? ) a ? 5 5 ? 2an 5 3 n 4 4 ? ? ,?????????????????5 分 an ?1 ? ? ? ? 4 16 ? 8an 4 32(2 ? an ) 2 2 ? an

5 5 与 an ? 同号,??????????????????6 分 4 4 5 1 5 5 因为 a1 ? ? ? ? 0 , a2 ? ? 0, a3 ? ? 0, 4 4 4 4 5 5 ?, an ? ? 0, 即 an ? . ??????????????????????????8 分 4 4
因为 2 ? an ? 0, 所以 an?1 ? (3)当 n ? 2 时, bn ?

5 3 1 5 3 1 ? an ? ? ? ( ? an ?1 ) ? ? ? bn ?1 4 2 2 ? an ?1 4 2 2 ? an ?1

3 1 ? ? ? bn ?1 ? 2bn ?1 ,??????????????????????????10 分 2 2? 5 4
所以 bn ? 2 ? bn?1 ? 22 ? bn?2 ? ? ? 2n?1 b1 ? 2n?3 ,?????????????????12 分

1 1 ?1? 所以 Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 2 ?2?

3? n

1 (1 ? 2n ) 1 4 ? ? (2n ? 1) ????14 分 1? 2 4

9.已知 f ( x) ? loga x(0 ? a ? 1),{an } ,若数列{an}

使得2, f (a1 ), f (a2 ), f (a3 ),??, f (an ),2n ? 4(n ? N*) 成等差数列.
(1)求{an}的通项 an; (2) bn ? an ? f (an ), 若{bn}的前 n 项和是 Sn, 设 且

2a 4 2na2 n ? 4 ? 1, 求证 : S n ? ? 3. 1? a2 1? a2

解:设 2,f(a1), f(a2), f(a3),??,f(an),2n+4 的公差为 d,则 2n+4=2+(n+2-1)d ? d=2,??????????(2 分)

? f (an ) ? 2 ? (n ? 1 ? 1)d ? 2 ? nd ? 2n ? 2 ? loga an ? 2n ? 2

? an ? a 2n?2 . ????????(4 分)

(2)? bn ? an ? f (an ) ? a 2n?2 ? loga a 2n?2 ? (2n ? 2)a 2n?2 ,

? S n ? 4a 4 ? 6a 6 ? ? ? 2n ? a 2n ? (2n ? 2)a 2n?2
? a 2 S n ? 4a 6 ? 6a 8 ? ? ? (2n ? 2) ? a 2 n ? 2n ? a 2 n ? 2 ? (2n ? 2)a 2 n ? 4 (1 ? a 2 ) S n ? 4a 4 ? 2[a 6 ? ? ? a 2 n ? 2 ] ? (2n ? 2)a 2 n ? 4 ,? a ? 1, ? Sn ? 2a 4 (1 ? a 2 n ) 2a 4 ? (2n ? 2)a 2 n ? 4 2a 4 1 ? a 2 n ? ? [ ? 1 ? (n ? 1)a 2 n ], 2 2 2 2 2 (1 ? a ) 1? a 1? a 1? a

?????????????????? (8分) 2a 4 ? 1, 又0 ? a ? 1 ? 2a 4 ? a 2 ? 1 ? (2a 2 ? 1)(a 2 ? 1) ? 0, 1? a2 2 故2a 2 ? 1 ? 0, 解得,0 ? a ? .????????? (10分) 2 2a 4 ? ? 1, 又a 2 n ? 0, 1? a2 2na 2 n ? 4 2a 4 1 ? a 2 n ? Sn ? ? ( ? 1 ? a 2 n ) ????? (11分) 2 2 2 1? a 1? a 1? a 2n 1? a ? ? 1 ? a 2 n ????? (12分) 1? a2 1 1 ? ? 1????? (13分) ? ? 1 ? 3.????? (14分) 2 1 1? a 1? 2 ?
1 (b1 ? b2 ? ? ? bn ) (n=1,2,3?) ,求证{bn}为等差 n

10.(1)数列{an}和{bn}满足 a n ?

数列的充要条件是{an}为等差数列。 分) (8 (2) 数列{an}和{cn}满足 cn ? an ? 2an?1 (n ? N*) , 探究 {an } 为等差数列的充分必要条 件,需说明理由。[提示:设数列{bn}为 bn ? an ? an?2 (n ? 1,2,3?) 证明: (1)必要性 则 an ? 若{bn}为等差数列,设首项 b1,公差 d

1 n(n ? 1) n ?1 (nb1 ? d ) ? b1 ? d n 2 2 d d ∵ a n ?1 ? a n ? , ∴{an}为是公差为 的等差数列 ??4 分 2 2
充分性 若{an}为等差数列,设首项 a1,公差 d 则 b1 ? b2 ? ? ? bn ? n[a1 ? (n ? 1)d ] ? dn ? (a1 ? d )n
2

b1 ? b2 ? ? ? bn?1 ? d (n ? 1) 2 ? (a1 ? d )(n ? 1)
∴ bn ? 2dn ? (a1 ? 2d )

(n ? 2)

(n ? 2)

当 n=1 时,b1=a1 也适合 ∵bn+1-bn=2d, ∴{bn}是公差为 2d 的等差数列 ????4 分 (2)结论是:{an}为等差数列的充要条件是{cn}为等差数列且 bn=bn+1 其中 bn ? an ? an?2 (n=1,2,3?) ????4 分

11.设集合 W 是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合: ①

an ? an?2 ? a n ?1 ; 2

② an ? M .其中n ? N * , M 是与 n 无关的常数.

(1)若{an}是等差数列,Sn 是其前 n 项的和,a3=4,S3=18,证明:{Sn}∈W (2)设数列{bn}的通项为 bn ? 5n ? 2 n , 且{bn } ?W ,求 M 的取值范围; (3)设数列{cn}的各项均为正整数,且 {cn } ?W .证明:cn ? cn?1 (1)解: 设等差数列{an}的公差是 d,则 a1+2d=4,3a1+3d=18, 解得 a1=8,d=-2, 所以 S n ? na1 ? 由

n(n ? 1) d ? ?n 2 ? 9n ??????????????2 分 2

S n ? S n?2 1 ? S n ?1 ? [(?n 2 ? 9n) ? (n ? 2) 2 ? 9(n ? 2) ? 2(n ? 1) 2 ? 18(n ? 1)] 2 2

=-1<0 得

S n ? S n?2 ? S n ?1 , 适合条件①; 2
2

又 S n ? ? n ? 9n ? ?( n ? ) ?
2

9 2

81 4

所以当 n=4 或 5 时,Sn 取得最大值 20,即 Sn≤20,适合条件② 综上,{Sn}∈W??????????????????4 分 (2)解: 因为 bn?1 ? bn ? 5(n ? 1) ? 2n?1 ? 5n ? 2n ? 5 ? 2n 所以当 n≥3 时, bn?1 ? bn ? 0 ,此时数列{bn}单调递减; 当 n=1,2 时, bn?1 ? bn ? 0 ,即 b1<b2<b3, 因此数列{bn}中的最大项是 b3=7 所以 M≥7??????????????????8 分 (3)解: 假设存在正整数 k,使得 ck ? ck ?1 成立 由数列{cn}的各项均为正整数,可得 ck ? ck ?1 ? 1 ck ?1 ? ck ? 1 即

因为

ck ? ck ? 2 ? ck ?1 , 所以ck ? 2 ? 2ck ?1 ? ck ? 2(ck ? 1) ? ck ? c k ? 2 2

由 ck ?2 ? 2ck ?1 ? ck 及ck ? ck ?1 , 得ck ?2 ? 2ck ?2 ? ck ?1 ? ck ?1 , 故ck ?2 ? ck ?1 ? 1 因为

ck ?1 ? ck ?3 ? ck ? 2 , 所以ck ?3 ? 2ck ? 2 ? ck ?1 ? 2(ck ?1 ? 1) ? ck ?1 ? ck ?1 ? 2 ? ck ? 3 2
???????? 依次类推,可得 ck ?m ? ck ? m(m ? N * ) 设 ck ? p( p ? N ),则当m ? p时,有ck ? p ? ck ? p ? 0
*

这显然与数列{cn}的各项均为正整数矛盾! 所以假设不成立,即对于任意 n∈N ,都有 cn ? cn?1 成立.( 16 分)
*

12.数列 ?an ? 和数列 ?bn ? ( n? N+ )由下列条件确定: (1) a1 ? 0 , b1 ? 0 ; (2)当 k ? 2 时, ak 与 bk 满足如下条件:当 当

ak ?1 ? bk ?1 a ?b ? 0 时, ak ? ak ?1 , bk ? k ?1 k ?1 ; 2 2

ak ?1 ? bk ?1 a ?b ? 0 时, ak ? k ?1 k ?1 , bk ? bk ?1 . 2 2

解答下列问题: (Ⅰ)证明数列 ?ak ? bk ? 是等比数列; (Ⅱ)记数列 ?n(bk ? an )? 的前 n 项和为 Sn ,若已知当 a ? 1 时, lim
n ??

n ? 0 ,求 lim Sn . n ?? an

(Ⅲ) n(n ? 2) 是满足 b1 ? b2 ? ? ? bn 的最大整数时,用 a1 , b1 表示 n 满足的条件.

a ?b ak ?1 ? bk ?1 1 ? 0 时, bk ? ak ? k ?1 k ?1 ? ak ?1 ? (bk ?1 ? ak ?1 ) , 2 2 2 a ?b a ?b 1 当 k ?1 k ?1 ? 0 时, bk ? ak ? bk ?1 ? k ?1 k ?1 ? (bk ?1 ? ak ?1 ) , 2 2 2 1 所以不论哪种情况,都有 bk ? ak ? (bk ?1 ? ak ?1 ) ,又显然 b1 ? a1 ? 0 ,故数列 ?ak ? bk ? 是等 2
解: )当 (Ⅰ 比数列.…(4 分) (Ⅱ )由(Ⅰ )知, bn ? an ? (b1 ? a1 )( )n ?1 ,故 n(bn ? an ) ? (b1 ? a1 ) ?

1 n , 2 2n?1 2 3 n ?1 n 1 1 2 3 n ?1 n 所以 Sn ? (b1 ? a1 )( ? 2 ? 3 ? ? ? n?1 ? n ) Sn ? (b1 ? a1 )(1 ? ? 2 ? ? ? n?2 ? n?1 ) , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

所以 Sn ? (b1 ? a1 )(1 ? 又当 a ? 1 时, lim

1 2

1 1 1 n 1 2n ? 3 ? ? ? n?1 ? n ) , Sn ? (b1 ? a1 )[4(1 ? n ) ? n ] ,…(7 分) 2 2 2 2 2 2

n ? 0 ,故 lim Sn ? 4(b1 ? a1 ) .(8 分) n?? n ?? a n ak ?1 ? bk ?1 ? 0 不成立, 2

(Ⅲ )当 b1 ? b2 ? ? ? bn (n ? 2) 时, bk ? bk ?1 (2 ? k ? n) ,由(2)知 故

ak ?1 ? bk ?1 a ?b ? 0 ,从而对于 2 ? k ? n ,有 ak ? ak ?1 ,bk ? k ?1 k ?1 ,于是 an ? an ?1 ? ? ? a1 , 2 2 1 故 bn ? a1 ? (b1 ? a1 )( )n?1 ,…………(10 分) 2
an ? bn 1 ? 1 1 a ?b a ?b ? ? ?a1 ? [a1 ? (b1 ? a1 )( ) n ?1 ]? ? a1 ? (b1 ? a1 )( ) n . 若 n n ? 0 ,则 bn ?1 ? n n , 2 2? 2 2 2 2 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? bn ?1 ? bn ? ?a1 ? (b1 ? a1 )( ) n ? ? ?a1 ? (b1 ? a1 )( ) n ?1 ? ? ?(b1 ? a1 )( ) n ? 0 ,所以 bn ? bn?1 ,这 2 ? ? 2 ? 2 ?
与 n 是满足 b1 ? b2 ? ? ? bn (n ? 2) 的最大整数矛盾. 因此 n 是满足 而

an ? bn ? 0 的最小整数.(12 分) 2

an ? bn b ?a a ?b 1 ? 0 ? a1 ? (b1 ? a1 )( ) n ? 0 ? 1 1 ? 2n ? log 2 1 1 ? n , 2 2 ?a1 a1 a1 ? b1 ? n 的最小整数.(14 分) a1

因而, n 是满足 log 2

* 13.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , nan ?1 ? 2(a1 ? a2 ? ... ? an ) n ? N .

?

?

(1)求 a2 , a3 , a4 ; (2)求数列 ?an ? 的通项 an ; (3)设数列 {bn } 满足 b1 ?

1 1 2 , bn?1 ? bn ? bn ,求证: bn ? 1(n ? k ) 2 ak

解: (1) a2 ? 2, a3 ? 3, a4 ? 4 (2) nan?1 ? 2(a1 ? a2 ? ... ? an )

1 ○

(n ?1)an ? 2(a1 ? a2 ? ... ? an?1 )

2 ○

1 2 ○—○得 nan?1 ? (n ?1)an ? 2an

即: nan?1 ? (n ? 1)an ,

an?1 n ? 1 ? an n

所以 an ? a1

a2 a3 an 23 n ... ?1 ... ? n(n ? 2) a1 a2 an?1 1 2 n ?1

所以 an ? n(n ? N * ) (3)由(2)得: b1 ?

1 1 2 , bn ?1 ? bn ? bn ? bn ? bn ?1 ? ... ? b1 ? 0 , 2 k

所以 {bn } 是单调递增数列,故要证: bn ? 1(n ? k ) 只需证 bk ? 1 若 k ? 1 ,则 b1 ?

1 ? 1 显然成立 2 1 2 1 bn ? bn ? bnbn ?1 ? bn k k

若 k ? 2 ,则 bn ?1 ?

所以

1 1 1 ? ?? bn?1 bn k 1 1 1 1 1 1 k ?1 k ?1 ?( ? ) ? ... ? ( ? ) ? ? ? ?2? bk bk bk ?1 b2 b1 b1 k k
k ?1 k ?1

因此:

所以 bk ?

所以 bn ? 1(n ? k )

14. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

1 an?1 (n ? 2, n ? N ) . , an ? n 4 ?? 1? an?1 ? 2

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (Ⅱ)设 bn ?

1 an
2

,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n ;

(Ⅲ)设 c n ? a n sin

(2n ? 1)? ? ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn .求证:对任意的 n ? N , 2

Tn ?

4 . 7

解: (Ⅰ)?

1 2 1 1 ,? ? (?1) n ? ? (?1) n ? (?2)[ ? (?1) n?1 ] ,?????3 分 an an?1 an a n?1

又?

?1 1 n? ? (?1) ? 3 ,? 数列 ? ? ?? 1? ? 是首项为 3 ,公比为 ? 2 的等比数列.??5 分 a1 ? an ?
??????6 分

(?1) n ?1 1 . ? (?1) n ? 3(?2) n?1 , 即 a n ? an 3 ? 2 n ?1 ? 1
(Ⅱ) bn ? (3 ? 2 n?1 ? 1) 2 ? 9 ? 4 n?1 ? 6 ? 2 n?1 ? 1.

Sn ? 9 ?

1 ? (1 ? 4 n ) 1 ? (1 ? 2 n ) ? 6? ? n ? 3 ? 4n ? 6 ? 2n ? n ? 9 . 1? 4 1? 2
(2n ? 1)? ? (?1) n ?1 , 2

??????9 分

(Ⅲ)? sin

? cn ?

(?1) n?1 1 . ? n ?1 n n ?1 3(?2) ? (?1) 3? 2 ?1
1 1 1 1 ? ? ??? 2 n ?1 3 ?1 3? 2 ?1 3? 2 ?1 3? 2 ?1

????????10 分

当 n ? 3 时,则 Tn ?

n ?2 1 1 1 1 1 1 11 12 [1 ? ( 1 ) ] 2 ? ? ? ? ? ? ? 4 7 3 ? 2 2 3 ? 23 3 ? 2 n?1 28 1? 1 2

11 1 1 11 1 47 48 4 ? [1 ? ( ) n ? 2 ] ? ? ? ? ? . 28 6 2 28 6 84 84 7 4 ?T1 ? T2 ? T3 , ? 对任意的 n ? N ? , Tn ? . 7 ?
15. 设 数 列

?????????14 分

?an ?, ?bn ?

满 足 a1 ? b1 ? 6, a2 ? b2 ? 4, a3 ? b3 ? 3

, 且 数 列

?an?1 ? an ??n ? N ? ?是等差数列,数列 ?bn ? 2??n ? N ? ?是等比数列。
(I)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (II)是否存在 k ? N ,使 a k ? bk ? ? 0, ? ,若存在,求出 k ,若不存在,说明理由。 解(1)由已知 a2 ? a1 ? ?2 , a3 ? a2 ? ?1
?

? ?

1? 2?

? 公差 d ? ?1 ? ?? 2? ? 1

………1 分

? an?1 ? an ? (a2 ? a1 ) ? (n ? 1) ?1 ? n ? 3 ? an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a1 ) ? ? ? (an ? an?1 )
? 6 ? (?2) ? (?1) ? 0 ? ? ? (n ? 4)

………2 分

?(?2) ? (n ? 4)?(n ? 1) = n 2 ? 7n ? 18 ? 6?
2

2

………4 分

由已知 b1 ? 2 ? 4, b2 ? 2 ? 2 ………5 分 所以公比 q ?

1 2
n ?1

?1? ? bn ? 2 ? ?b1 ? 2?? ? ? 2?
n

?1? ? 4?? ? ? 2?

n ?1

………6 分

?1? ? bn ? 2 ? 8 ? ? ? ………7 分 ? 2?
(2)设 f (k ) ? ak ? bk
k ?1 2 7 ? ? ?1? ? ? ? k ? k ? 9 ? ? ?2 ? 8 ? ? ? ? 2 ?2 ? ? ?2? ? ? ? 2 k 1 ?? 7 ? 49 ? ?1? k ? ? ? ? ? 8 ? ? ? ? 7 ………8 分 ?? 2 ?? 2? 4? ?2? ? ?

?

所以当 k ? 4 时, f (k ) 是增函数。………10 分 又? f (4) ?

1 1 ,所以当 k ? 2 时 f (k ) ? ,………12 分 2 2

又? f (1) ? f (2) ? f (3) ? 0 ,………13 分 所以不存在 k ,使 f (k ) ? ? 0, ? 。………14 分

? ?

1? 2?

16. 数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,前 n 项和 Sn 与 an 之间满足 a n ?

2 2S n (n ? 2). 2S n ? 1

(1)求证:数列{

1 }的通项公式; Sn

(2)设存在正数 k,使 (1 ? S1 )(1 ? S 2 )?(1 ? S n ) ? k 2n ? 1 对一切 n ? N * 都成立,

求 k 的最大值. 解: (1)证明:∵ n ? 2时,an ? S n ? S n?1 ∴ S n ? S n ?1 ????(1 分)

2 2S n 2 ,∴ (S n ? S n?1 )(2S n ? 1) ? 2S n , ? 2S n ? 1

∴ S n?1 ? S n ? 2S n S n?1 ∴

??????(3 分)

1 1 ? ? 2(n ? 2) , ??????(5 分) S n S n ?1 1 1 (6 }是以 ? 1 为首项,以 2 为公差的等差数列。 分) Sn S1 1 ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 Sn
????(7 分)

数列 {

(2)由(1)知

∴ Sn ?

1 1 , ∴ S n ?1 ? . 2n ? 1 2n ? 1

设 F ( n) ?

(1 ? S1 )(1 ? S 2 ) ?(1 ? S n ) 2n ? 1





F (n ? 1) (1 ? S n?1 ) 2n ? 1 ? F (n) 2n ? 3
2n ? 2 (2n ? 1)(2n ? 3) ? 4n 2 ? 8n ? 4 ? 1. ????(10 分) 4n 2 ? 8n ? 3

?

∴ F (n)在n ? N * 上递增,要使 F (n) ? k 恒成立,只需 [ F (n)]min ? k

2 3 3 2 2 3 ,? k max ? 3. ∴0 ? k ? 3 3
∵ [ F (n)] min ? F (1) ?

??????(12 分)

17.数列 ?a n ? , a1 ? 1, a n?1 ? 2a n ? n 2 ? 3n(n ? N ? )

⑴是否存在常数 ? 、 ? ,使得数列 ?a n ? ?n 2 ? ?n? 是等比数列,若存在,求出 ? 、 ? 的 值,若不存在,说明理由。 ⑵设 bn ?
1 ,S a n ? n ? 2 n ?1
n

? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ,证明:当 n ? 2 时,

6n 5 ? Sn ? . ( n ? 1)(2n ? 1) 3

解:设 an?1 ? 2an ? n 2 ? 3n 可化为an?1 ? ? (n ? 1) 2 ? ? (n ? 1) ? 2(an ? ?n 2 ? ?n) , 即 an?1 ? 2an ? ?n 2 ? (? ? 2? )n ? ? ? ? ??????????? (2 分)

?? ? ?1 ? 故 ?? ? 2? ? 3 ?? ? ? ? ? 0 ?

?? ? ?1 解得 ? ?? ? 1

??????????? (4 分)

∴ an?1 ? 2an ? n2 ? 3n可化为an?1 ? (n ? 1)2 ? (n ? 1) ? 2(an ? n2 ? n) ???(5 分) 又 a1 ? 12 ? 1 ? 0 ??????????????????????????(6 分) 故存在 ? ? ?1, ? ? 1

使得数列 an ? ?n 2 ? ?n ?是等比数列 ?????(7 分)
∴ an ? 2 n?1 ? n 2 ? n ,

?

⑵证明:由⑴得 an ? n ? n ? (a1 ?12 ? 1) ? 2n?1
2

故 bn ? ∵ bn ?

1 1 ? 2 n ?1 an ? n ? 2 n

?????????????????? (8 分)

1 4 4 2 2 ? 2? 2 ? ? ?????????? (9 分) 2 n 4n 4n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2 2 2 2 2 2 ? ) ∴ n ? 2时, Sn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 2 2 5 ? 1? ? ? ??????????????(11 分) 3 2n ? 1 3
现证 S n ?

6n (n ? 1)( 2n ? 1)

(n ? 2) .

当n?2 时

S n ? b1 ? b2 ? 1 ?

6n 12 4 5 4 1 5 ? ? , ? , ? , 而 (n ? 1)( 2n ? 1) 3 ? 5 5 4 5 4 4

故 n ? 2 时不等式成立 当 n ? 3 时,

??????????????????(12 分) 1 1 1 1 由bn ? 2 ? ? ? 得 n(n ? 1) n n ? 1 n

1 1 1 1 1 1 1 S n ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 2 2 3 3 4 n n ?1 1 n 6 ,且由 2n ? 1 ? 6 , ?1 ? ? 得1 ? n ?1 n ?1 2n ? 1
∴ Sn ?

n 6n ? n ? 1 (n ? 1)(2n ? 1)

?????????????? (14 分)

1 1?1? 18.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? , an an?1 ? ? ? , n ? N ? .(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 2 2? 4?
设 a>0,数列 ?bn ? 满足 b1 ? 求 a 的取值范围。

n

bn 1 ? ,若 bn ? an 对 n ? N 成立,试 , bn?1 ? ? a ? a ? 1? a ? bn ? a ?

解: (1)

an ?1an ? 2 an an ?1

1?1? ? ? 1 1 1 1 a 1 2?4? ? ,? n ? 2 ? , 又? a1 ? , a1a2 ? ? ,? a2 ? , n 2 2 4 4 an 4 1?1? ? ? 2?4?

n ?1

??an ? 是公比为
(2) b1 ?

1 ?1? 的等比数列,? an ? ? ? 2 ?2?

n

?0<a<1 ?a ? 1 1 1 1 ? a ? 2, ? ? ?? 或? 2 a ? a ? 1? 2 ?a(a ? 1) ? 2 ?-a(a-1)? 2
?

现证: a ? 2 时, bn ? an 对 n ? N 成立。 ① n=1 时, b1 ? a1 成立;

② 假设 n=k(k≥1)时, bk ? ak 成立,则 bk ?1
?

1 k bk bk 1 ? ? ? 2 ? k ?1 , a bk ? a a ? a ? bk ? a ? a ? 1? 2

即 n=k+1 时, bk ?1 ? ak ?1 也成立,? n ? N 时, bn ? an

? a 的取值范围是 ?2,??? 。
1 1?1? 19.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? , an an?1 ? ? ? , n ? N ? .(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 2 2? 4?
数列 ?bn ? 的前 n 项和 sn ? n2 , Tn ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ? ? anbn ,求证: Tn ? 3 。
n

解: (1)

an ?1an ? 2 an an ?1

1?1? ? ? 1 1 1 1 a 1 2?4? ? ,? n ? 2 ? , 又? a1 ? , a1a2 ? ? ,? a2 ? , n 2 2 4 4 an 4 1?1? ? ? 2?4?
n

n ?1

1 ?1? ??an ? 是公比为 的等比数列,? an ? ? ? 2 ?2?
(2) bn ? 2n ? 1,

Tn ?

1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? n ?1 ? n ? ? ① 2 2 2 2 2 1 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? n ?1 ?? ②,①-②得: 2 2 2 2 2n 2 1 1 2 2 2 2n ? 1 3 2 n ? 3 2n ? 3 Tn ? ? 2 ? 3 ? ?? ? n ? n ?1 ? ? n ?1 ,?Tn ? 3 ? n 2 2 2 2 2 2 2 2 2



?Tn ? 3
20 . 设 A ( x1,y1 ) ,B(x2,y2) 是 函 数 f(x)=

1 x ? log 2 的图象上任意两点,且 2 1? x

OM ?

1 1 (OA ? OB ) ,已知点 M 的横坐标为 . 2 2
1 n 2 n n ?1 ), n ∈N*,且 n≥2,求 Sn; n

(1) 求证:M 点的纵坐标为定值; (2) 若 Sn=f( ) ? f ( ) ? ? ? f (

?2 n ?1 ?3 ? (3) 已知 an= ? 1 ? ? ( S n ? 1)(S n ?1 ? 1) ?

,其中 n∈N .

*

n?2
*

Tn 为数列{an}的前 n 项和,若 Tn<λ (Sn+1+1)对一切 n∈N 都成立,试求λ 的取值范围. (1)证明:∵ OM ?

1 (OA ? OB ), ∴M 是 AB 的中点.设 M 点的坐标为(x,y), 2 1 1 由 (x1+x2)=x= ,得 x1+x2=1,则 x1=1-x2 或 x2=1-x1. 2 2
1 1 1 1 x 1 x2 (y1+y2)= [f(x1)+f(x2)] = ( +log2 1 ? ? log2 ) 2 2 2 2 1 ? x1 2 1 ? x2
=

而 y=

=

1 x x2 (1+log2 1 ? log2 ) 2 1 ? x1 1 ? x2

1 x x (1+log2 1 · 2 ) 2 1 ? x1 1 ? x2

=

1 x· x 1 1 (1+log2 1 2 ) ( ? 0) ? , ? 1 2 x1·2 x 2 2

∴M 点的纵坐标为定值

1 . 2

(2)由(1)知 x1+x2=1,f(x1)+f(x2)=y1+y2=1,

n n ?1 ), 2 n n ?1 n?2 1 )? f( ) ??? f ( ) , Sn=f( n n n
Sn=f( ) ? f ( ) ? ? ? f (

1 n

两式相加得: 2Sn=[f( ) ? f (

1 n ?1 2 n?2 n ?1 1 ) )+[f( ) ? f ( ) )+?+[f( )? f( )) n n n n n n = 1 ?? ? ? 1 ?1? ? ? ?
n ?1

∴Sn=

n ?1 * (n≥2,n∈N ). 2

(2)当 n≥2 时,an=

1 4 1 1 ? ? 4( ? ). ( Sn ? 1)( Sn?1 ? 1) (n ? 1)(n ? 2) n ?1 n ? 2

2 1 1 1 1 ? 4 [( ? ) ? ? ? ( ? )) 3 3 4 n ?1 n ?1 2 1 1 2n )? . = ? 4( ? 3 3 n?2 n?2 2n n?2 . 由 Tn<λ (Sn+1+1)得 <λ · n?2 2 4n 4n 4 ∴λ > ? 2 ? . 2 (n ? 2) n ? 4n ? 4 n ? 4 ? 4 n 4 ∵n+ ≥4,当且仅当 n=2 时等号成立, n 4 4 1 ∴ ? ? . 4 n? ?4 4?4 2 n 1 1 因此λ > ,即λ 的取值范围是( , +∞) 2 2
Tn=a1+a2+a3+?+an= 21.已知等差数列 {an } 的首项为 a,公差为 b;等比数列 {bn } 的首项为 b,公比为 a,其中 a, b ? N ? ,且 a1 ? b1 ? a2 ? b2 ? a3
王新敞
奎屯 新疆

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若对于任意 n?N*,总存在 m?N*,使 am ? 3 ? bn ,求 b 的值; (Ⅲ)甲说:一定存在 b 使得 2
an

? bn 2 对 n?N*恒成立;乙说:一定存在 b 使得 2an ? bn 2 对

n?N*恒成立.你认为他们的说法是否正确?为什么?
解: (Ⅰ)∵

a ? b ? a ? b ? ab ? a ? 2b ,a, b ? N*, b 1 ? ? ?a ? b ? 1 , ?a ? 1 ? b ? 1 , ?a ? b ? ab  ? ? ∴ ? ∴ ? ∴ ? ?ab ? a ? 2b. ?a ? 2b . ?a ? 2 ? 2 . ? ? b ?1 b ?1 ? ? ?a ? 1, ∴ ? ∴ a=2 或 a=3. ?a ? 4 ∵当 a=3 时,由 ab ? a ? 2b 得 b ? a ,即 b1 ? a1 ,与 a1 ? b1 矛盾,故 a=3 不合题意.
王新敞
奎屯 新疆

(Ⅱ) am ? 2 ? (m ?1)b , bn ? b ? 2n?1 ,由 am ? 3 ? bn 可得 5 ? (m ?1)b ? b ? 2 ∴ b(2
n ?1

∴a=3 舍去,

∴a=2.

n?1



? m ? 1) ? 5 .∴ b 是 5 的约数,又 b ? 3 ,∴ b=5 .
2? ( n ?1)b

(Ⅲ)若甲正确,则存在 b ( b ? 3 )使 2 成立,

? b 2 ? 2 2n? 2 ,即 22?(n?1)(b? 2) ? b 2 对 n? N*恒

当 n ? 1 时, 2 ? b ,无解,所以甲所说不正确.
2 2

若乙正确,则存在 b ( b ? 3 )使 2

2?( n ?1) b

? b2 ? 22 n?2 ,即 22?( n?1)( b?2) ? b2 对 n?N*恒成立,

当 n ? 2 时, 2 ? b ,只有在 b ? 3 时成立,
b 2

而当 n ? 3 时 2 ? 3 不成立,所以乙所说也不成立.
4 2

2 2 22.正项数列 {an }满足a1 ? 1, nan ? (n ? 1)an an?1 ? an?1 ? 0(n ? 2)

(1)求 an ; (2)试确定一个正整数 N,使当 n>N 时,不等式 a1 ? a 2 ? 2a3 ? 3a 4 ? ? ? (n ? 1)a n ? 241 121 成立; (3)求证: ?1 ?

? ?

1? ? ? 1 ? a1 ? a2 ? ? ?a n . n?
2

n

解: (1) nan ? (n ? 1)an an?1 ? an?1 ? 0 ? (n ?
2

an a ? 1)( n ? 1) ? 0 an?1 an?1

又? an?1 ? 0, an ? 0, 故
a3 ?

an 1 1 1 ? , a1 ? 1, a2 ? ? an?1 n 2 2!

1 1 1 , a 4 ? ,....a n ? ????????????4 分 3! 4! n!

(2)由 (k ? 1)a k ?

k ?1 1 1 ? ? (k ? 2) k! (k ? 1)! k!

1 1 1 1 1 1 1 a1 ? a 2 ? 2a3 ? 3a 4 ? ... ? (n ? 1)a n ? 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ...[ ? ]? 2? 1! 2! 2! 3! (n ? 1)! n! n! 1 241 从而有2 ? ? , n! 121 1 1 ? ? , 即n!? 121? 5!? 120,6!? 720 , n! 121 ? n ? 5取N ? 5,n ? N时,原不等式成立 .......... 9分 .....
(3)将 (1 ?

1 n 1 n n ?1 n ? 2 n ? r ?1 1 1 ) 展开, Tr ?1 ? C r n ( ) r ? ? ? ? ? ? n n n n n n r! r!

r ? 0,1,2,?, n
1 1 1 1 1 1 (1 ? ) n ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ????14 分 n 0! 1! 2! 3! n!
23. a1 , a2 ,…, a20 是首项为 1,公比为 2 的等比数列.对于满足 0≤k≤20 的整数 k,数列
20 ? an ? k ?1 ? n ? 20 ? k ? , ? 确定.记 C= ? anbn .求: b1 , b2 ,…, b20 由 bn = ? ?an ? k ? 20 ? 20 ? k ? n ? 20 ? n ?1 ?

⑴k=1 时,C 的值(保留幂的形式); ⑵C 最小时,k 的值. (注:

?a b
n ?1

20

n n

= a1 b1 + a2 b2 +…+ a20 b20 )

简解:⑴可求得 an = 2

n?1

(1≤n≤20),k=1 时, bn = ?

? an ?1 ?1 ? n ? 19 ? , ? ? a1 ? n ? 20 ? . ?

2 39 19 2 C= +2 - . 3 3
20 ? k

⑵C=

?a a
n ?1

n n?k

+

n ? 21? k

?

20

an an ? k ? 20 = 2

k

?2 ? ?

2 20 ? k

?1

22 ? 1

+2

20 ? k

?2 ? ?

? 1 220 ? 1 ? 220 k ? = ? k ?2 ? 2 2 ?1 3 ?2 ?

2 k

? 2 20 ? 1 ? 220 2k 20 k ≥2 ? ? ,当且仅当 k ? 2 时,即 2 = 2 ,k=10 时,C 最小. 2 ? 3 ?
11

24. 在数列 {an } 中, a1 ? 1,

an?1 n ? n ? 1(n ? N *) an 2
n ?1 . 2n ?1

2 (Ⅰ)试比较 an an?2 与 an ?1 的大小;

(Ⅱ)证明:当 n ? 3 时, an ? 3 ?

解: (Ⅰ)由题设知,对任意 n ? N * ,都有 an ? 0

?

an?1 n a n ? 2n n ? 1 ? 2n?1 , ? n ?1 ? ,? n? 2 ? an 2 2n an 2n?1 an an?2 2 2n n ? 1 ? 2n?1 ? )an? 1? ( ? ? 1)an?2 n n ?1 an?1 an?1 n?2 2
1

2 ? an an?2 ? an? 1 ? (

?(

n ? 1 ? 2n?1 1? n 2 2 ? 1)an?1 ? an?1 ? 0 n n 2(n ? 2 ) 2(n ? 2 )

2 ? an an?2 ? an?1 ………………………………6 分 3 9 (Ⅱ)证法 1:由已知得, a1 ? 1, a2 ? , a3 ? . 2 4 an?1 n ? ? n ? 1 ? 1,? an?1 ? an , 又 a1 ? 1,? an ? 1(n ? 2) . an 2 n ?1 n ?1 n ?1 当 n ? 3 时, an ? ( n ?1 ? 1)an ?1 ? n ?1 an ?1 ? an ?1 ? n ?1 ? an ?1 2 2 2 n ?1 ? an ? an ?1 ? n ?1 2 ?an ? a3 ? (a4 ? a3 ) ? (a5 ? a4 ) ? ?? (an ? an?1 ) 9 3 4 n? 1 ? ? 3 ? 4 ? ? n ? 1…………………………………10 分 ? 4 2 2 2

3 4 n ?1 ? 4 ? ? ? n ?1 3 2 2 2 1 3 4 n ?1 则 S ? 4 ? 5 ??? n 2 2 2 2
设S ? ①-②,得

① ②

1 1 ? 1 3 1 1 1 n ? 1 3 16 2n n ? 1 S ? 4 ? ( 4 ? 5 ? ? ? n?1 ) ? n ? ? ? n 2 2 2 2 2 2 8 1? 1 2 2 3 1 1 n ?1 n ?1 ? S ? ? ? n ? 2 ? n ?1 ? 1 ? n ?1 . 4 4 2 2 2 9 n ?1 n ?1 n ?1 ? an ? ? 1 ? n ?1 ? 2 ? 1 ? n ?1 ? 3 ? n ?1 ……………………14 分 4 2 2 2 3 9 证法 2:由已知得, a1 ? 1, a2 ? , a3 ? . 2 4 n ?1 9 (1) 当 n ? 3 时,由 3 ? n ?1 ? 2 ? ,知不等式成立。………8 分 2 4 k ?1 (2) 假设当 n ? k (k ? 3) 不等式成立,即 ak ? 3 ? k ?1 ,那么 2 k k k ?1 k (k ? 1) k ? 2 ak ?1 ? ( k ? 1)ak ? ( k ? 1)(3 ? k ?1 ) ? 3 ? 2 k ?1 ? k ?1 2 2 2 2 2 (k ? 1) ? 1 k (k ? 1) k ? 2 k ?2 要证 ak ?1 ? 3 ? ( k ?1) ?1 ,只需证 ? 2 k ?1 ? k ?1 ? ? k 2 2 2 2 k k (k ? 1) k 即证 k ?1 ? ,则只需证 2 ? k ? 1 ………………10 分 2 22 k ?1 (k ? 1) ? 1 0 1 k 0 1 因为 2k ? Ck ? Ck ? Ck ? Ck ? Ck ? k ? 1 成立,所以 ak ?1 ? 3 ? ( k ?1) ?1 成立. 2 这就是说,当 n ? k ? 1 时,不等式仍然成立. n ?1 根据(1)和(2) ,对任意 n ? N * ,且 n ? 3 ,都有 an ? 3 ? n ?1 ……14 分 2 ? 25.设无穷数列{an}具有以下性质:① 1=1;② n ? N 时, an ? an?1 . a 当
2 2 2 2 (Ⅰ )请给出一个具有这种性质的无穷数列,使得不等式 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 3 对

a2

a3

a4

an?1

2

于任意的 n ? N 都成立,并对你给出的结果进行验证(或证明) ; an 1 ,其中 n ? N ? ,且记数列{b }的前 n 项和 B ,证明: (Ⅱ)若 bn ? (1 ? n n ) an?1 an?1

?

0 ? Bn ? 2.
解: )令 (Ⅰ

a2 a12 a2 1 a2 1 1 ? 1, 2 ? , 3 ? 2 ,?, n ? n?1 , a2 a3 3 a 4 3 an?1 3

2 则无穷数列{an}可由 a1 = 1, an?1 ? 3n?1 an (n ? 1) 给出.

显然,该数列满足 a1 ? 1, an ? an?1 (n ? N * ) ,且
2 2 an a12 a2 1 1 3 1 3 ? ??? ? 1 ? ? ? ? n?1 ? (1 ? n ) ? …………6 分 a 2 a3 an?1 3 2 2 3 3

(Ⅱ ? bn ? (1 ? )

an 1 ) , an ? an?1 , ? bn ? 0. an?1 an?1 ? Bn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 0. ……………………………………8 分 a an 1 1 1 又 bn ? (1 ? n ) ? ( ? ) an?1 an?1 an?1 an an?1 ?
?(

an an?1
1 an

(
?

1 an
1

?
)(

1 an?1

)(

1 an

?

1 an?1

)

a n ?1

an a 1 1 ? n ) ? 2( ? ). a n ?1 a n ?1 an a n ?1

? Bn ? 2(

1 a1

?

1 an?1

)?

2 a1

? 2.

? 0 ? Bn ? 2.
26. 在 m(m ? 2, m ? N ? ) 个不同数的排列 ( P , P2 ,??, Pm )中, 若 ? i ? j ? m时, Pi ? Pj (即 1 1 前面某数大于后面某数)则称 P与Pj 构成一个逆序,一个排列的全部逆序的总数称为 i 该排列的逆序数,例如排列(2,40,3,1)中有逆序“2 与 1”“40 与 3”“40 与 1” , , , “3 与 1”其逆序数等于 4. 已知 n+2 (n ? N ) 个不同数的排列 ( P , P2 ,??Pn?1 , Pn?2 ) 1 的逆序数是 2. (1)求(1,3,40,2)的逆序数; (2)写出 ( Pn?2 , Pn?1 ,??, P2 , P ) 的逆序数 an 1 (3)令 bn ?
2 ?

an ? 2 an?1 ? 2 1 5 ? , 证明2n ? ? b1 ? b2 ? ?? ? bn ? 2n ? . an?1 ? 2 an ? 2 2 3
????4 分

解: (1) C4 ? 4 ? 2

2 (2)n+2 个数中任取两个数比较大小,共有 Cn?2 个大小关系 2 ? an ? Cn?2 ? 2, n ? N ?

????8 分

2 2 a2 ? 2 an?1 ? 2 Cn? 2 Cn?3 n ? 1 n ? 3 2 2 (3) bn ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2? ? an?1 ? 2 an ? 2 Cn?3 Cn?2 n ? 3 n ? 1 n ?1 n ? 3

? b1 ? b2 ? ??bn ? 2n ? ?
i ?1

n

n 2 2 2 2 2 ?? ? 2n ? 1 ? ? ? i ? 1 i ?1 i ? 3 3 n?2 n?3

2 1 2 2 ?? ? ? ? ? ?0 3 2 n?2 n?3 1 5 ? 2n ? ? b1 ? b2 ? ?? ? bn ? 2n ? 2 3

????14 分

27 . 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 Sn , 且 对 于 任 意 的 n ? N , 恒 有 Sn ? 2an ? n , 设
*

. bn ? log2 ( n ? 1) a (Ⅰ)求证:数列 {an ?1} 是等比数列; (Ⅱ)求数列 ?an ? ,?bn ? 的通项公式 an 和 bn ;

2bn 4 (Ⅲ)若 cn ? ,证明: c1 ? c2 ? ? ? cn ? . an ? an ?1 3
解(1) 分)当 n ? 1 时, S1 ? 2a1 ? 1 ,得 a1 ? 1 . (6 ∵ S n ? 2an ? n ,∴当 n ? 2 时, S n?1 ? 2an?1 ? (n ? 1) , 两式相减得: an ? 2an ? 2an?1 ? 1 ,∴ an ? 2an?1 ? 1 . ∴ an ? 1 ? 2an?1 ? 2 ? 2(an?1 ? 1) , ∴ {a n ? 1} 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列. (2) 分)由(1)得 an ? 1 ? 2 ? 2 n?1 ? 2 n ,∴ an ? 2n ? 1, n ? N * . (4 ∴ bn ? log2 (an ? 1) ? log2 2 n ? n , n ? N * . (3) 分) cn ? (6
2n 2 n ?1 , c n?1 ? , an an?1 a n ?1a n ? 2

由 {an } 为正项数列,所以 {cn } 也为正项数列, 从而
c n ?1 2a n 2(2 n ? 1) 2(2 n ? 1) 1 ? ? n?2 ? n?2 ? ,所以数列 {cn } 递减. cn an?2 2 ?1 2 ?4 2

1 1 1 所以 c1 ? c2 ? ? ? cn ? c1 ? c1 ? ( ) 2 c1 ? ? ? ( ) n?1 c1 ? 2 2 2

1 1 ? ( )n 2 ?c ? 4 . 1 1 3 1? 2

另证:由 cn ?

2n 1 1 ? n ? n?1 , n n ?1 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1

所以 c1 ? c2 ? ? ? cn ? (

1 1 1 1 ? 2 )?( 2 ? 3 ) ?? 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 1 1 1 4 ? n?1 ? 1 ? n?1 ?1? . n 3 2 ?1 2 ?1 2 ?1
1

28 已知数列{a }满足 a =5,a =5,a
n 1 2

,若数列 n+1=an+6an-1(n≥2,n∈N*)

{an?1 ? ?an } 是

等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求证:当 k 为奇数时, 1 ? 1 ? 4 ; a k a k ?1 3k ?1 (Ⅲ)求证: 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 (n ? N *). a1 a 2 an 2 解(Ⅰ)∵ {an?1 ? ?an } 为等比数列, ∴

an?1 ? ?an an ? 6an?1 ? ?an (1 ? ? )an ? 6an?1 ? ? an ? ?an?1 an ? ?an?1 an ? ?an?1
an ? 6 a n ?1 6 1? ? 应为常数, ∴ ? ? 1? ? a n ? ?a n ?1
??????????2 分

? (1 ? ? ) ?

得 ? =2 或 ? =-3

当 ? =2 时,可得 {an?1 ? 2an } 为首项是 a2 ? 2a1 ? 15 ,公比为 3 的等比数列, 则 an?1 ? 2an ? 15? 3n?1 ①

当 ? =-3 时, {an?1 ? 3an } 为首项是 a2 ? 3a1 ? ?10 ,公比为-2 的等比数列, ∴ an?1 ? 3an ? ?10(?2) n?1 ② ??????4 分

①-②得, an ? 3n ? (?2) n .

(注:也可由①利用待定系数或同除 2n+1 得通项公式) (Ⅱ)当 k 为奇数时,

1 1 4 1 1 4 ? ? k ?1 ? k ? k ?1 ? k ?1 k k ?1 ak ak ?1 3 3 ?2 3 ?2 3

3 4 k ? [8 ? 7 ? ( ) k ] ? 7 ? 6k ? 8 ? 4k 2 ? k ?1 ? k ?1 k ?0 k k k ?1 k ?1 k k ?1 3 ? (3 ? 2 )(3 ? 2 ) 3 (3 ? 2 )(3 ? 2 k ?1 )


1 1 4 ? ? k ?1 a k a k ?1 3

????????8 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 k 为奇数时,

1 1 4 1 1 ? ? k ?1 ? k ? k ?1 ????10 分 ak ak ?1 3 3 3

①当 n 为偶数时,

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? 2 ? ? ? n ? (1 ? n ) ? a1 a2 an 3 3 2 2 3 3

②当 n 为奇数时,

1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ??? ? a1 a2 an a1 a2 an an?1
??????12 分

=

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? (1 ? n ?1 ) ? 3 3 2 2 3 3

29.已知 0 ? a ? 1,0 ? b ? 1 , 数列 ?xn ? 和? yn ? 满足以下条件:
(1) 求数列 ?xn ? 和? yn ? 的通项公式;

( x1, y1 ) ? (2,1),( xn?1, yn?1 ) ? (axn ?1 ? a, byn ? 2 ? 2b)

(2) 数列 ?xn ? 和? yn ? 是有限数列时, 当 a ? b 时, 求点 ( xn , yn ) 存在的范围; (3) 数列 ?xn ? 和? yn ? 是无限数列时, 当 b ? a 时, 将点 ( xn , yn ) 存在的范围用图形表示出
2

来. 解: (1) xn?1 ? axn ? 1 ? a ,

xn?1 ?1 ? a( xn ?1) , 则 xn ?1 ? an?1 ,

xn ? an?1 ? 1 .
yn ? ?bn?1 ? 2 .

yn?1 ? byn ? 2 ? 2b ,

yn?1 ? 2 ? b( yn ? 2) , 则 yn ? 2 ? ?bn?1 ,

(2) 数 列 ?xn ? 和? yn ? 是 有 限 数 列 时 , 设 项 数 为 k .

当 a ? b 时 , xn ? an?1 ? 1 ,

yn ? ?an?1 ? 2 ,

? xn ? yn ? 3, (an?1 ?1 ? x ? 2) . ? 点 ( xn , yn ) 在线段 x ? y ? 3, (ak ?1 ?1 ? x ? 2) 上.
(3) 当 b ? a 时, yn ? ?bn?1 ? 2 ? ?a2( n?1) ? 2 ? ?( xn ?1)2 ? 2 ,
2

? yn ? ?( xn ? 1) 2 ? 2 ? y ? ?( x ? 1) 2 ? 2 ? ? 即 ?1 ? xn ? 2 , 由 ?1 ? x ? 2 ?1 ? y ? 2 ?1 ? y ? 2 n ? ?
得点 ( xn , yn ) 存在的范围在如图阴影部分内.

30.设 f1(x)=

f (0) ? 1 2 ,定义 fn+1 (x)= f1[fn(x)] n = n ,a (n∈N*). f n (0) ? 2 1? x

(1) 求数列{an}的通项公式; (2) 若 T2n ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? 2na2n ,Qn= Qn 的大小,并说明理由. 解: (1)∵f1(0)=2,a1=

4n 2 ? n (n∈N*) ,试比较 9T2n 与 2 4n ? 4n ? 1

2 2 ?1 1 = ,fn+1(0)= f1[fn(0)]= , 1 ? f n ( 0) 2?2 4

2 ?1 f n ?1 (0) ? 1 1 ? f n (0) 1 ? f n ( 0) 1 f n (0) ? 1 1 ∴an+1= = = == - an. 2 f n ?1 (0) ? 2 4 ? 2 f n ( 0) 2 f n (0) ? 2 2 ?2 1 ? f n ( 0)
∴数列{an}是首项为

1 1 1 1 ,公比为- 的等比数列,∴an= ( ? )n?1. 4 2 4 2

(2)∵T2 n = a1+2a 2+3a 3+?+(2n-1)a 2 n?1+2na 2 n, ∴?

1 1 1 1 1 1 T2 n= (- a1)+(- )2a 2+(- )3a 3+?+(- )(2n-1)a2 n-1+ (? ) 2na2 n 2 2 2 2 2 2
= a 2+2a 3+?+(2n-1)a2 n-na2 n.

3 T2 n= a1+a2+a 3+?+a2 n+na2 n. 2 1? 1 2n ? ?1 ? ( ? 2 ) ? 3 4? ? +n× 1 (- 1 )2n?1= 1 - 1 (- 1 )2n+ n (- 1 )2n?1. ∴ T2n = 1 2 4 2 6 6 2 4 2 1? 2 1 1 1 n 1 1 3n ? 1 T2n = - (- )2n+ (- )2n?1= (1- 2n ). 9 9 2 6 2 9 2 3n ? 1 ∴9T2n=1- 2n . 2 3n ? 1 又 Qn=1, ( 2n ? 1) 2
两式相减,得 当 n=1 时,22 n= 4,(2n+1)2=9,∴9T2 n<Q n; 当 n=2 时,22 n=16,(2n+1)2=25,∴9T2 n<Qn;
0 1 3 n 当 n≥3 时, 2 2n ? [(1 ? 1) n ]2 ? (Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ) 2 ? (2n ? 1) 2 ,

∴9T2 n>Q n.


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