当前位置:首页 >> 数学 >>

北京市各地2015届高三上学期考试数学理试题分类汇编:导数及其应用


北京市各地 2015 届高三上学期考试数学理试题分类汇编 导数及其应用
1、(昌平区 2015 届高三上学期期末)已知函数 f (x) =ln x-a2x2+ax (a∈ R ). ( I ) 当 a=1 时,求函数 f (x)的单调区间; ( II ) 若函数 f (x)在区间 (1,+∞)上是减函数,求实数 a 的取值范围.

eax ,a?R

. 2、(朝阳区 2015 届高三上学期期末)设函数 f ( x) ? 2 x ?1
3 时,求函数 f ( x) 的单调区间; 5 1 (Ⅱ) 设 g ( x) 为 f ( x ) 的导函数, 当 x ? [ , 2e] 时, 函数 f ( x ) 的图象总在 g ( x) 的图象的上方, 求a e
(Ⅰ)当 a ? 的取值范围.

3、(大兴区 2015 届高三上学期期末)已知 f ( x) ?

ax ? 2 ( a ? 0) . ( x ? 1) 2

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求 f ( x)在 x ? 1 处的切线方程; (Ⅱ)确定函数 f ( x)的单调区间,并指出函数 f ( x) 是否存在最大值或最小值.

4、 (东城区 2015 届高三上学期期末) 已知函数 f ( x) ? ax ? (2a ? 1) ln x ? 其中 a ? R . (Ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间;

2 2 ,g ( x) ? ?2a ln x ? , x x

(Ⅲ)若存在 x ? [ , e ] ,使得不等式 f ( x) ? g ( x) 成立,求 a 的取值范围.
2

1 e

5、(丰台区2015届高三上学期期末)已知函数 f ( x) ? x ? e (I)求函数 f ( x) 的极小值;

?x

?1 .

(II)如果直线 y ? kx ? 1 与函数 f ( x) 的图象无交点,求 k的取值范围.

1

6、(海淀区 2015 届高三上学期期末)已知函数 f ( x) ? a cos x ? x sin x , x ? [ ? (Ⅰ)判断函数 f ( x ) 的奇偶性,并证明你的结论; (Ⅱ)求集合 A ? {x | f ( x) ? 0} 中元素的个数; (Ⅲ)当 1 ? a ? 2 时,问函数 f ( x ) 有多少个极值点?(只需写出结论)

π π , ]. 2 2

7、(石景山区 2015 届高三上学期期末)已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? a x (a ? R且a ? 0) .
2 2

(Ⅰ)若 x = 1 是函数 y = f ( x) 的极值点,求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间.

8、 (西城区 2015 届高三上学期期末) 共点 P,且在点 P 处的切线相同.

已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx(a ? 0) 和 g ( x) ? ln x 的图象有公

(Ⅰ)若点 P 的坐标为 ( , ?1) ,求 a, b 的值; (Ⅱ)已知 a ? b ,求切点 P 的坐标.

1 e

(a ? R) . 9、(北京四中 2015 届高三上学期期中)已知函数 f ( x) ? (1? x ) ? 2a ln(1 ?x)
2

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 a ? 1 , x ? [0,1] ,求函数 y ? f ( x) 图象上任意一点处切线斜率 k 的取值范围 .

10、(北京四中 2015 届高三上学期期中)已知函数 f ( x) ? ln(2ax ? 1) ?

x3 ? x 2 ? 2ax(a ? 0). 3

(Ⅰ)若 x ? 2 为 f ( x) 的极值点,求实数 a 的值; (Ⅱ)若 y ? f ( x) 在 ?3, ?? ? 上为增函数,求实数 a 的取值范围.

11、(朝阳区 2015 届高三上学期期中)已知函数 f ( x) =

x2 ,a x- a

R.

2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x ) 在 (1, 2) 上是单调函数,求 a 的取值范围.

12 、 ( 东 城 区 示 范 校 2015 届 高 三 上 学 期 综 合 能 力 测 试 ) 已 知 定 义 在 ?1, ? ?? 上 的 函 数

f ?x? ? x ? ln x ? 2 , g ?x? ? x ln x ? x 。
(I)求证: f ?x ? 存在唯一的零点,且零点属于(3,4); (II)若 k ? Z 且 g ?x ? ? k ?x ? 1? 对任意的 x ? 1 恒成立,求 k 的最大值。

13、(海淀区 2015 届高三上学期期中)已知函数 f ( x) ? 2a ln x ? x2 ? 1 . (Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (Ⅱ)若 a ? 0 ,求函数 f ( x ) 在区间 [1, ??) 上的最大值; (Ⅲ)若 f ( x) ? 0 在区间 [1,??) 上恒成立,求 a 的最大值.

参考答案
1、解:(Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? ln x ? x ? x ,定义域是 (0, ??) .
2

f ' ( x) ?

1 ? 2x ?1, x

' ' 由 f ( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 ;由 f ( x) ? 0 ,解得 x ? 1 ;

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ? 0,1? ,单调递减区间是 ?1, ?? ? . …………………5 分 (Ⅱ)(法一) 因为函数 f ( x ) 在区间 (1, ??) 上是减函数,所以 f ' ( x) ? 0 在 ?1, ?? ? 上恒成立, 则 f ( x) ?
'

1 ? 2a 2 x ? a ? 0 ,即 g ( x) ? 2a2 x2 ? ax ?1 ? 0 在 ?1, ?? ? 上恒成立 . …………………7 x

分 ① 当 a ? 0 时, g ( x) ? ?1 ? 0 ,所以 a ? 0 不成立.
2 2 2 ② 当 a ? 0 时, g ( x) ? 2a x ? ax ?1, ? ? 9a ? 0 ,对称轴 x ?

…………………9 分

a . 4a 2

3

1 ? a ? ? 或a ? 1 ? g (1) ? 0 2 ? ? g (1) ? 2a ? a ? 1 ? 0 ? ? ? 2 ,即 ? ,解得 ? ? a 2 ?1 ? ? a ? 4a ? a ? 0或a ? 1 ? ? 4a 2 ? ? 4
所以实数 a 的取值范围是 a ? ?

1 ,a ?1. 2

…………………13 分

(法二) f ( x) ?
'

1 ?2a 2 x 2 ? ax ? 1 ? 2a 2 x ? a ? ,定义域是 (0, ??) . x x

①当 a ? 0 时, f ( x) ? ln x 在区间 (1, ??) 上是增函数,所以 a ? 0 不成立. …………………8 分 ② a ? 0 时,
2 2 令 f ' ( x) ? 0 ,即 2a x ? ax ? 1 ? 0 ,则 x1 ? ?

1 1 , x2 ? , 2a a

…………………9 分

' (i)当 a ? 0 时,由 f ( x) ? 0 ,解得 x ?

1 , a

所以函数 f ( x ) 的单调递减区间是 ?

?1 ? , ?? ? . ?a ?
1 ? 1 ,解得 a ? 1 . a
…………………11 分

因为函数 f ( x ) 在区间 (1, ??) 上是减函数,+所以 (ii)当 a ? 0 时,由 f ( x) ? 0 ,解得 x ? ?
'

1 , 2a

所以函数 f ( x ) 的单调递减区间是 ? ?

? 1 ? , ?? ? . ? 2a ?
1 1 ? 1 ,解得 a ? ? . 2a 2
…………………13 分

因为函数 f ( x ) 在区间 (1, ??) 上是减函数,所以 ? 综上实数 a 的取值范围是 a ? ? 或a ? 1 .

1 2

e 5 (3x 2 ? 10 x ? 3) 3 2、(Ⅰ)解:当 a ? 时, f ?( x) ? . 5 5( x 2 ? 1)2 1 2 由 f ?( x) ? 0 得 3x ? 10 x ? 3 ? 0 ,解得 x ? 或 x ? 3 ; 3 1 2 由 f ?( x) ? 0 得 3x ? 10 x ? 3 ? 0 ,解得 ? x ? 3 . 3
所以函数 f ( x) 的单调增区间为 (??, ) , (3, ??) ,单调减区间为 ( ,3) . ……………..5 分

3x

1 3

1 3

4

(Ⅱ)因为 g ( x) ? f ?( x) ?

eax (ax 2 ? 2 x ? a) , ( x 2 ? 1)2

又因为函数 f ( x ) 的图象总在 g ( x) 的图象的上方,

eax eax (ax2 ? 2 x ? a) 1 ? 所以 f ( x) ? g ( x) ,即 2 在 x ? [ , 2e] 恒成立. 2 2 e x ?1 ( x ? 1)
eax ? 0 ,所以 a( x2 ? 1) ? 2 x ? ( x2 ? 1) ,所以 (a ?1)( x2 ? 1) ? 2x . 又因为 2 x ?1
又 x ? 1 ? 0 ,所以 a ? 1 ?
2

2x . x ?1
2

设 h( x ) ?

2x 1 ,则 a ? 1 ? h( x)min ( x ? [ , 2e]) 即可. x ?1 e
2

又 h?( x) ?

2(1 ? x2 ) 2(1 ? x 2 ) 1 1 ? ? 0 ,注意到 x ? [ , 2e] ,解得 ? x ? 1 ; .由 h ( x) ? 2 2 2 2 e e ( x ? 1) ( x ? 1) 2(1 ? x 2 ) 1 ? 0 ,注意到 x ? [ , 2e] ,解得 1 ? x ? 2e . 2 2 e ( x ? 1)
?1 ? ?e ?

由 h?( x) ?

所以 h( x) 在区间 ? ,1? 单调递增,在区间 ?1, 2e? 单调递减. 所以 h( x) 的最小值为 h ( ) 或 h(2e) .

1 e

2e 4e 4e 2e ? 2 , h(2e) ? 2 ,作差可知 2 , e ?1 4e ? 1 4e ? 1 e ? 1 4e 所以 a ? 1 ? 2 . 4e ? 1
因为 h( ) ?
2

1 e

所以 a 的取值范围是 (??,

4e2 ? 4e+1 ). 4e2 ? 1 x?2 , ( x ? 1) 2

……………..13 分

3、(Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ?

f ?( x) ?
f (1) ?

?( x ? 1)( x ? 3) ( x ? 1)4

…………2 分

3 1 , f ?(1) ? ? 4 2

…………3 分

5

所以直线方程为 y ? 即y?? (Ⅱ) f ?( x) ?

3 1 ? ? ( x ? 1) , 4 2
…………4 分

1 5 x? 2 4

a( x ? 1)2 ? (ax ? 2)2( x ? 1) ?( x ? 1)(ax ? a ? 4) = ( x ? 1) 4 ( x ? 1)4
(?1, ??)
…………2 分

其中 a ? 0 , x ? (??, ?1) 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 ? 1) 当 1 ?

4 a

x
f ?( x)
f ( x)

4 ? ?1,即 0 ? a ? 2 时, a 4 4 (??,1 ? ) 1? a a
小于 0 递减 等于 0 极小值

4 (1 ? , ?1) a
大于 0 递增

(?1, ??)
小于 0 递减

4 4 4 f ( x) 的增区间是 (1 ? , ?1) ,减区间是 (??,1 ? ) 和 (?1, ??) ,当 x ? 1 ? 时,取得极小值 a a a 4 4 ) , f ( x? 时 f (1 ? ) 。 又 x ? ( ?1 , ? ? ) 0 ? f (? 1 , 所 ) 以 f ( x) 有 最 小 值 a a
4 a2 f (1 ? ) ? ; a 4(a ? 2)
…………6 分

2) 当 a ? 2 时, f ( x) 的减区间是 (??, ?1) 和 (?1, ??) , f ( x) 无最大值和最小值。 …………7 分 3)当 a ? 2 时, f ( x) 的增区间是 (?1,1 ? ) ,减区间是 (??, ?1) 和 (1 ? , ??) ,当 x ? 1 ? 时,取得极大值 f (1? ) 。又 x ? ( ??, ?1) 时, f ( x) ? 0 ? f (1?

4 a

4 a

4 a

4 a

4 ),所以 f ( x) 有最大值 a

4 a2 f (1 ? ) ? 。 a 4(a ? 2)
4、

…………9 分

6

5、解:(I)函数的定义域为 R .因为 f ( x) ? x ? e

?x

?1 ,

7

所以 f ?( x) ?

ex ?1 . ex

令 f ?( x) ? 0 ,则 x ? 0 .

x
f ?( x ) f ( x)

(??, 0)

0 0 最 小值

(0, ??)

?

?

所以当 x ? 0 时函数有极小值 f ( x)极小值 ? f (0) ? 0 . ……………6 分 (II)函数 f ( x) ? x ? 1 ?

1 . ex 1 当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 ? 1 ? 0 ? 0 , y ? k ? 0 ? 1 ? ?1 , e
所以要使 y ? kx ? 1 与 f ( x) 无交点,等价于 f ( x) ? kx ? 1 恒成立. 令 g ( x) ? x ? 1 ? 所以 g ?( x) ?

1 ? (kx ? 1) ,即 g ( x) ? (1 ? k ) x ? e? x , x e

(1 ? k )e x ? 1 . ex
1 ? 0 ,满足 y ? kx ? 1 与 f ( x) 无交点; ex

①当 k ? 1 时, g ( x ) ? ②当 k ? 1 时, g (

1 1 1 1 ) ? (1 ? k ) ? e1?k ? e1?k ? 1 . k ?1 k ?1

1 ? 0 , e1? k ? 1 , 而 1? k
所以 g (

1

1 ) ? 0 ,此时不满足 y ? kx ? 1 与 f ( x) 无交点. k ?1

③当 k ? 1 时,令 g ?( x) ?

(1 ? k )e x ? 1 ? 0 ,则 x ? ? ln(1 ? k ) , ex

当 x ? (??, ? ln(1 ? k )) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (??, ? ln(1 ? k )) 上单调递减; 当 x ? (? ln(1 ? k ), ??) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (? ln(1 ? k ), ??) 上单调递增;

8

当 x ? ? ln(1 ? k ) 时, g ( x)min ? g (? ln(1 ? k )) ? (1 ? k )(1 ? ln(1 ? k )) . 由 (1 ? k )(1 ? ln(1 ? k )) ? 0 ,得 1 ? e ? k ? 1 , 即 y ? kx ? 1 与 f ( x) 无交点. 综上所述,当 k ? (1 ? e,1] 时, y ? kx ? 1 与 f ( x) 无交点.……………13 分 6、解:(Ⅰ)函数 f ( x ) 是偶函数,证明如下: 对于 ?x ? [? ………………1 分 ………………2 分

π π π π , ] ,则 ? x ? [? , ] . 2 2 2 2

因为 f (? x) ? a cos(? x) ? x sin(? x) ? a cos x ? x sin x ? f ( x) , 所以 f ( x ) 是偶函数. (Ⅱ)当 a ? 0 时,因为 f ( x) ? a cos x ? x sin x ? 0 , x ? [ ? 所以 集合 A ? {x | f ( x) ? 0} 中元素的个数为 0. 当 a ? 0 时,令 f ( x) ? x sin x ? 0 ,由 x ? [ ? 得 x ? 0. 所以 集合 A ? {x | f ( x) ? 0} 中元素的个数为 1. ………………6 分 ………………4 分

π π , ] 恒成立, 2 2
………………5 分

π π , ], 2 2

当 a ? 0 时,因为 f '( x) ? ?a sin x ? sin x ? x cos x ? (1 ? a) sin x ? x cos x ? 0, x ? (0, ) ,

π 2

π 2 π π 因为 f (0) ? a ? 0, f ( ) ? ? 0 , 2 2 π 所以 f ( x) 在 (0, ) 上只有一个零点. 2
所以 函数 f ( x) 是 [0, ] 上的增函数. 由 f ( x) 是偶函数可知,集合 A ? {x | f ( x) ? 0} 中元素的个数为 2.

………………8 分

………………10 分

综 上 所 述 , 当 a ? 0 时 , 集 合 A ? {x | f ( x) ? 0} 中 元 素 的 个 数 为 0 ; 当 a ? 0 时 , 集 合 中元素的个数为 1;当 a ? 0 时,集合 A ? {x | f ( x) ? 0} 中元素的个数为 2. A ? { x | f ( x) ? 0 } (Ⅲ)函数 f ( x ) 有 3 个极值点. 7、(Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域为 (0,??) . ………………13 分 ………………1 分

9

f '( x) =

- 2a 2 x 2 + ax + 1 1 + a - 2a 2 x = . x x

………………3 分

因为 x = 1 是函数 y = f ( x) 的极值点,所以 f '(1) = 1+ a - 2a 2 = 0 .…………5 分

1 或 a = 1. 2 1 经检验, a = 或 a = 1 时, x = 1 是函数 y = f ( x) 的极值点. 2
解得 a = -

……………6 分

- 2a 2 x 2 + ax + 1 1 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知: f '( x ) = + a - 2a x = . x x
由 a ? 0 ,令 f '( x) = 当 a > 0 时,

(2ax + 1)(- ax + 1) 1 1 = 0 ,解得 x1 = , x2 = .……9 分 x 2a a

f '( x), f ? x ? 的变化情况如下表
x
f '( x)

1 (0, ) a
+ ↗

1 a
0 极大值

1 ( , ??) a


f ( x)
1 a

∴函数 y ? f ( x) 的单调递增区间是 (0, ) ,单调递减区间是 ( , ??) ;…………11 分 当 a < 0 时,

1 a

f '( x), f ? x ? 的变化情况如下表
x
f '( x)

(0, ?
+

1 ) 2a

?

1 2a
0

(?

1 , ??) 2a


f ( x)



极大值

1 1 ) ,单调递减区间是 (? , ??) .…13 分 2a 2a 1 a b 8 、 ( Ⅰ ) 解 : 由 题 意 , 得 f( ? 错 误 ! 未 找 到 引 用 ) 2 ? ?? 1 e e e
∴函数 y ? f ( x) 的单调递增区间是 (0, ? 源。, 且 …………………1 分

f ?( x) ? 2ax ? b























g ?( x) ?

1 , x

…………………3 分

由已知,得错误!未找到引用源。 f ?( ) ? g ?( ) ,即

1 e

1 e

2a ?b ? e, e

2 解 得 a ? 2e 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 , 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。

10

b ? 3e .

…………………5 分

(Ⅱ)解:若 a ? b 错误!未找到引用源。,则 f ?( x) ? 2ax ? a 错误!未找到引用源。, g ?( x) ? 设切点坐标为 ( s, t ) ,其中 s ? 0 , 由题意,得 as 2 ? as ? ln s , ① ② …………………6 分

1 , x

2as ? a ?
由②,得 a ?

1 , s

1 1 ,其中 s ? , 2 s (2 s ? 1) s ?1 代入①,得 (*) …………………7 分 ? ln s . 2s ? 1 1 ? 0 ,且 s ? 0 , 因为 a ? s(2s ? 1) 1 所以 s ? . …………………8 分 2 x ?1 1 设函数 F ( x) ? ? ln x , x ? ( , ??) 错误!未找到引用源。, 2x ?1 2 ?(4 x ? 1)( x ? 1) 则 F ?( x) ? . …………………9 分 x(2 x ? 1) 2 1 令 F ?( x) ? 0 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 , 解 得 x ? 1 或 x ? ( 舍 ) 错 误 ! 未 找 到 引 用 4
源。. …………………10 分 当 x 变化时, F ?( x) 错误!未找到引用源。与 F ( x) 的变化情况如下表所示,

x
F ?( x)
F ( x)

1 ( ,1) 2

1 0

(1, ??)

?


?
↘ …………………12 分

所以当错误!未找到引用源。时, F ( x) 错误!未找到引用源。取到最大值 F (1) ? 0 错误!未

1 找到引用源。,且当 x ? ( ,1) (1, ??) 时 F ( x) ? 0 错误!未找到引用源。. 2
因此,当且仅当 x ? 1 错误!未找到引用源。时 F ( x) ? 0 错误!未找到引用源。. 所以方程(*)有且仅有一解 s ? 1 错误!未找到引用源。. 于是 错误!未找到引用源。 t ? ln s ? 0 , 因 源。. 此 切 点 P 的 坐 标 为

(1, 0)

















…………………13 分

11

9、解:(Ⅰ)函数的定义域为 (? 1, ?? ).
2 ?( x ? 1) 2 ? a ? 2a ? ? ? x ?1 x ?1

f '( x) ? 2( x ? 1) ?

当 a ? 0 时, f ?( x ) ? 0 在 (?1, ??) 上恒成立,于是 f ( x) 在定义域内单调递增. 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 得 x1 ? ?1 ? a , x2 ? ?1? a ? ?1(舍) 当 x 变化时, f ?( x), f ( x) 变化情况如下

x
f ?( x )
f ( x)

? ?1, ?1 ? a ?


?1 ? a

? ?1 ?
+

a ,+?

?

极小值

所以 f ( x) 的单调递增区间是 ?1 ? a ,+? ,单调递减区间是 ?1, ?1 ? a . 综上,当 a ? 0 时, f ( x) 单调递增区间是 ? ?1,+?? , 当 a ? 0 时, f ( x) 的单调递增区间是 ?1 ? a ,+? ,单调递减区间是 ?1, ?1 ? a . ( Ⅱ )当 a ? 1 时 , f ( x) ? (1 ? x 2) ? 2 l n (1 ? x ,)令 h( x) ? f '( x) ? 2(1 ? x) ?
h '( x ) ? 2 ?

?

?

?

?

?

?

?

?

2 ( x ? ?1) , 则 1? x

2 ? 0 ,故 h( x ) 为区间 [0,1]上增函数,所以 h( x) ? f '( x) ? [0,3] ,根据导数的几 (1 ? x ) 2

何意义可知 k ? [0, 3].
10、(Ⅰ)解: f ?( x) ?
x[2ax 2 ? (1 ? 4a) x ? (4a 2 ? 2)] 2a ? x 2 ? 2 x ? 2a ? 2ax ? 1 2ax ? 1

1分 2分 3分

因为 x = 2 为 f (x)的极值点,所以 f ?(2) ? 0 即
2a ? 2a ? 0 ,解得:a = 0 4a ? 1

又当 a = 0 时, f ?( x) ? x( x ? 2) ,当 x ? (0, 2) 时, f ?( x) ? 0, x ? (2, ??) 时, f ?( x) ? 0, 从而 x = 2 为 f (x)的极值点成立. (Ⅱ)解:∵f (x)在区间[3,+∞)上为增函数, ∴ f ?( x) ?
x[2ax 2 ? (1 ? 4a ) x ? (4a 2 ? 2)] ≥ 0 在区间[3,+∞)上恒成立. 2ax ? 1

6分 8分

①当 a = 0 时, f ?( x) ? x( x ? 2) ≥ 0 在[3,+∞)上恒成立,所以 f (x)在[3,+∞)上为增函数, 故 a = 0 符合题意.
12

9分

②当 a > 0 时, 2ax2 ? (1 ? 4a) x ? (4a2 ? 2) ≥ 0 在区间[3,+∞)上恒成立. 令 g ( x) ? 2ax2 ? (1 ? 4a) x ? (4a2 ? 2) ,其对称轴为 1 ? ∵a > 0,∴ 1 ?
1 4a

1 ? 1 ,从而 g (x)≥0 在[3,+∞)上恒成立,只要 g (3)≥0 即可, 4a
3 ? 13 3 ? 13 ≤a≤ 4 4

由 g (3) ? ?4a2 ? 6a ? 1≥ 0 ,解得: ∵a > 0,∴ 0 ? a ≤
3 ? 13 . 4

13 分
3 ? 13 ] 4

综上所述,a 的取值范围为[0,
11、(Ⅰ)

14 分[来

f (x) 的定义域为 ? x x ? a? .

f? ( x) =

x ( x - 2a ) . ( x - a)2

(1)当 a = 0 时, f ( x) ? x( x ? 0), f ? ( x) = 1 ,则 x ?? ??,0? , ? 0, ??? 时, f ( x) 为增函数; (2)当 a > 0 时,由 f ? ( x) > 0 得, x ? 2a 或 x ? 0 ,由于此时 0 ? a ? 2a , 所以 x ? 2a 时, f ( x ) 为增函数, x ? 0 时, f ( x ) 为增函数; 由 f? ( x) < 0 得, 0 ? x ? 2a ,考虑定义域,当 0 ? x ? a , f ( x) 为减函数,

a ? x ? 2a 时, f ( x) 为减函数;
(3)当 a < 0 时,由 f ? ( x) > 0 得, x ? 0 或 x ? 2a ,由于此时 2a ? a ? 0 ,所以 当 x < 2 a 时, f ( x ) 为增函数, x ? 0 时, f ( x ) 为增函数. 由 f? ( x) < 0 得, 2a ? x ? 0 ,考虑定义域,当 2a ? x ? a , f ( x) 为减函数,

a ? x ? 0 时, f ( x) 为减函数.
综上,当 a = 0 时,函数 f ( x ) 的单调增区间为 (当 a > 0 时,函数 f ( x ) 的单调增区间为 x ? 单调减区间为 (0, a), (a, 2a) . 当 a < 0 时,函数 f ( x ) 的单调增区间为 x ? 单调减区间为 (2a, a) , (a, 0).
13

,0), (0, +

). ),

(

,0) , (2a, +

(

, 2a), (0, +

)

……………………….7 分 (Ⅱ)解: (1) 当 a ? 0 时,由(Ⅰ) 可得, f ( x ) 在 (1, 2) 单调增,且 x ? (1, 2) 时 x ? a . (2) 当 0 ? 2a ? 1 时,即 0 ? a ? 增,且 x ? (1, 2) 时 x ? a . (3)当 1 ? 2a ? 2 时,即

1 时,由(Ⅰ) 可得, f ( x ) 在 (2a, + 2

) 单调增,即在 (1, 2) 单调

1 ? a ? 1 时,由(Ⅰ) 可得, f ( x) 在 (1, 2) 上不具有单调性,不合题意. 2

(4)当 2a ? 2 ,即 a ? 1 时,由(Ⅰ) 可得, f ( x ) 在 (0, a) ,(a,2a) 为减函数,同时需注意 a ? ?1, 2? , 满足这样的条件时 f ( x ) 在 (1, 2) 单调减,所以此时 a ? 1 或 a ? 2 . 综上所述, a ?

1 或 a ? 1或 a ? 2 . 2
……………………….14 分

12、解:(I) f ?x ? ? x ? ln x ? 2 , x ? ?1, ? ?? ,则 f ?? x ? ? 1 ? 故 f ?x ? 在 ?1, ? ?? 上单调递增,(3 分) 而 f ?3? ? 1 ? ln 3 ? 0, f ?4? ? 2 ? ln 4 ? 0 , 所以 f ?x ? 存在唯一的零点 x0 ? ?3, 4?。(6 分)

1 ?0, x

(II)由(I) f ?x ? 存在唯一的零点 x0 显然满足: x0 ? ln x0 ? 2 ? 0 , 且当 x ? ?1, x0 ? 时, f ?x? ? f ?x0 ? ? 0 ;当 x ? ?x0 , ? ?? 时, f ?x? ? f ?x0 ? ? 0 , 当 x ? 1 时, g ?x ? ? k ?x ? 1? 等价于 设 h? x ? ? 则 h??x ? ?

x ln x ? x 。 x ?1

x ln x ? x ?k, x ?1

x ? ln x ? 2

?x ? 1?

2

?

?x ? 1?2

f ?x ?

,故 h??x ? 与 f ?x ? 同号,因此当 x ? ?1, x0 ? 时, h??x ? ? 0 ;

当 x ? ?x0 , ? ?? 时, h??x ? ? 0 ,所以 h?x ? 在 ?1, x0 ? 上单调递减,在 ?x0 , ? ?? 上单调递增, (10 分) 故 h?x ?min ? h?x0 ? ?

x0 ?ln x0 ? 1? x0 ?x0 ? 1? ? ? x0 , x0 ? 1 x0 ? 1

由题意有 k ? h?x ?min ? x0 ,又 k ? Z ,而 x0 ? ?3, 4?,故 k 的最大值是 3。(13 分)

14

13、解:(Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 2ln x ? x2 ? 1 .

f ?( x) ?

2 ?2( x 2 ? 1) ? 2x ? ,x ? 0. x x ?2( x 2 ? 1) ? 0. x

……………… 2 分

令 f ?( x) ?

因为 x ? 0 , 所以 x ? 1 . 所以 函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (1, ??) . (Ⅱ) f ?( x) ? ……………… 3 分 ……………… 4 分

2a ? 2( x 2 ? a) , x ? 0. ? 2x ? x x
……………… 5 分

令 f '( x) ? 0 ,由 a ? 0 ,解得 x1 ? a , x2 ? ? a (舍去).

① 当 a ? 1 ,即 0 ? a ? 1 时,在区间 [1, ??) 上 f '( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 是减函数. 所以 函数 f ( x ) 在区间 [1, ??) 上的最大值为 f (1) ? 0 ; ……………… 7 分

② 当 a ? 1 ,即 a ? 1 时, x 在 [1, ??) 上变化时, f '( x), f ( x) 的变化情况如下表

x
f '( x)

1

(1, a )
+

a
0
a ln a - a + 1

( a,+


)

f ( x)

0



所以 函数 f ( x ) 在区间 [1, ??) 上的最大值为 f ( a ) ? a ln a ? a ? 1 . ……………… 10 分 综上所述:当 0 ? a ? 1 时,函数 f ( x ) 在区间 [1, ??) 上的最大值为 f (1) ? 0 ; 当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 在区间 [1, ??) 上的最大值为 f ( a ) ? a ln a ? a ? 1 . (Ⅲ)由(Ⅱ)可知:当 0 ? a ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 0 在区间 [1,??) 上恒成立; ……………… 11 分 当 a ? 1 时,由于 f ( x) 在区间 [1, a ] 上是增函数,

15

所以 f ( a ) ? f (1) ? 0 ,即在区间 [1,??) 上存在 x ?

a 使得 f ( x) ? 0 .
……………… 13 分

综上所述, a 的最大值为 1 .

……………… 14 分

16


相关文章:
...期末考试数学理试题分类汇编:导数及其应用
北京部分区 2016 届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编 导数及其应用 一、选择题 1、(东城区 2016 届高三上学期期中)曲线 A、x=1 B、y= 处的切线方程...
2015年全国各地高考数学试题分类汇编:导数及其应用
2015年全国各地高考数学试题分类汇编:导数及其应用_高考_高中教育_教育专区。含详细答案及解析 2015 年全国各地高考数学试题分类汇编:导数及其应用 1.(15 北京理科)...
北京市各地2015届高三上学期考试数学理试题分类汇编:函数
北京市各地2015届高三上学期考试数学理试题分类汇编:函数_高三理化生_理化生_高中教育_教育专区。北京市各地 2015 届高三上学期考试数学理试题分类汇编 函数一、选择...
...期末考试数学理试题分类汇编:导数及其应用
北京市部分区2016届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编:导数及其应用_数学_高中教育_教育专区。高考数学资料 北京部分区 2016 届高三上学期期中期末考试数学理...
北京市部分区2017届高三上学期考试数学理试题分类汇编:...
北京市部分区2017届高三上学期考试数学理试题分类汇编:导数及其应用 Word版含答案...广东省13大市2013届高三... 18页 5下载券 北京市各地2015届高三上... 暂无...
北京市部分区2017届高三上学期考试数学理试题分类汇编:...
北京市部分区2017届高三上学期考试数学理试题分类汇编:导数及其应用学生版_数学_高中教育_教育专区。北京市部分区 2017 届高三上学期考试数学理试题分类汇编 导数及其...
高三上学期考试数学理试题分类汇编:导数及其应用 Word...
高三上学期考试数学理试题分类汇编:导数及其应用 Word版含答案_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。北京市部分区 2017 届高三上学期考试数学理试题分类汇编 导数...
最新高三理科数学试题分类汇编:导数及其应用
最新高三理科数学试题分类汇编:导数及其应用_数学_高中教育_教育专区。一、选择、...(天门、仙桃、潜江市 2017 届高三上学期期末联合考试)定义在 (0, ) 上的...
...期中期末考试数学理试题分类汇编:导数及其应用(1)
北京部分区 2016 届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编 导数及其应用 一、选择题 1、(东城区 2016 届高三上学期期中)曲线 A、x=1 B、y= 处的切线方程...
2016年高考数学理试题分类汇编:导数及其应用
2016高考数学理试题分类汇编:导数及其应用_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2016 高考数学理试题分类汇编 导数及其应用 一、选择题 1、(2016 四川高考)设...
更多相关标签: