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空间向量与立体几何经典题型


例题 1. 已知 A, B, C 三点不共线, 对平面外任一点, 满足条件 OP ? 试判断:点 P 与 A, B, C 是否一定共面?

1 2 2 OA ? OB ? OC , 5 5 5

分析:要判断点 P 与 A, B, C 是否一定共面,即是要判断是否存在有序实数对 x , y ,使

AP ? x AB?

y AC或对空间任一点 O ,有 OP ? OA ? xAB ? yAC 。
解:由题意: 5OP ? OA ? 2OB ? 2OC , ∴ (OP ? OA) ? 2(OB ? OP) ? 2(OC ? OP) , ∴ AP ? 2PB ? 2PC ,即 PA ? ?2PB ? 2PC , 所以,点 P 与 A, B, C 共面. 点评: 在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候, 首先要选择恰当的 充要条件形式,然后对照形式将已知条件进行转化运算. 例题 2. 如图,已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面互相垂直,点 M , N 分别在对角

1 1 BD , AN ? AE .求证: MN // 平面 CDE . 3 3 分析:要证明 MN // 平面 CDE ,只要证明向量 NM 可以用平面 CDE 内的两个不共线的向 量 DE 和 DC 线性表示. 1 证明:如图,因为 M 在 BD 上,且 BM ? BD ,所以 3 1 1 1 1 1 MB ? DB ? DA ? AB .同理 AN ? AD ? DE , 3 3 3 3 3 又 CD ? BA ? ? AB ,所以 MN ? MB ? BA ? AN
线 BD , AE 上,且 BM ?

1 1 1 1 2 1 2 1 ? ( DA ? AB) ? BA ? ( AD ? DE ) ? BA ? DE ? CD ? DE .又 CD 与 3 3 3 3 3 3 3 3 DE 不共线, 根据共面向量定理, 可知 MN ,CD ,DE 共面. 由于 MN 不在平面 CDE 内,所以 MN // 平面 CDE .
点评:空间任意的两向量都是共面的. 考点二 证明空间线面平行与垂直 例题 3. 如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4, AA1=4,点 D 是 AB 的中点, (I)求证:AC⊥BC1; (II) 求证:AC 1//平面 CDB1; 分析: (1)证明线线垂直方法有两类:一是通过三垂线定理或 逆定理证明,二是通过线面垂直来证明线线垂直; (2)证明线

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面平行也有两类:一是通过线线平行得到线面平行,二是通过面面平行得到线面平行. 解法一: (I)直三棱柱 ABC-A1B1C1,底面三边长 AC=3,BC=4AB=5, ∴ AC⊥BC,且 BC1 在平面 ABC 内的射影为 BC,∴ AC⊥BC1; (II)设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连结 DE,∵ D 是 AB 的中点,E 是 BC1 的中点,∴ DE//AC1,∵ DE ? 平面 CDB1,AC1 ? 平面 CDB1,∴ AC1//平面 CDB1; 解法二:∵直三棱柱 ABC-A1B1C1 底面三边长 AC=3, BC=4,AB=5,∴AC、BC、C1C 两两垂直,如图,以 C 为坐标原点,直线 CA、CB、C1C 分别为 x 轴、y 轴、 z 轴,建立空间直角坐标系,则 C(0,0,0) ,A(3,0, 0) ,C1(0,0,4) ,B(0,4,0) ,B1(0,4,4) ,D( 2,0) (1)∵ AC =(-3,0,0) , BC1 =(0,-4,0) ,∴ AC ? BC1 =0,∴AC⊥BC1. (2)设 CB1 与 C1B 的交战为 E,则 E(0,2,2).∵ DE =(- 4) ,∴ DE ? A
1

z C
1 1

B E

C A

B

y

3 , x 2

3 ,0,2) , AC1 =(-3,0, 2

1 AC1 ,∴DE∥AC1. 2
转化 转化

点评:平行问题的转化: 面面平行 线面平行 线线平行;

主要依据是有关定义及判定定理和性质定理. 例 题 4. ( 北 京 市 东 城 区 2007 年 综 合 练 习 ) 如 图 , 在 棱 长 为 2 的 正 方 体

ABCD ? A1 B1C1 D1中, O为BD1的中点 , M为BC的中点 , N为AB
的中点,P 为 BB1 的中点. (I)求证: BD1 ? B1C ; (II)求证 BD1 ? 平面MNP ; (III)求异面直线 B1O与C1 M 所成角的大小. 分析: 本小题考查直线与平面垂直, 二面角等基础知识, 考查空间想象能力和推理论证能力. 解法一: (I)连结 BC1 由正方体的性质得 BC1 是 BD1 在
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平面 BCC1B1 内的射影

且B1C ? BC1 ,
所以 BD1 ? B1C (II)又 MN ? PM ? M ,

? BD1 ? 平面MNP.
(III)延长 CB到Q, 使BQ ? BM , 连结B1Q, OQ

则QM // C1 B1 , 且QM ? C1 B1 . ? B1Q // C1 M .
? ?OB1Q是异面直线 B1O与C1 M所成的角 .
由于正方体的棱长为 2,

则B1O ? 3 , B1Q ? B1 B 2 ? BQ 2 ? 5 , 设底面ABCD的中点为O1 , 可求得OQ ? OO12 ? O1Q 2 ? 6 . cosOB1Q ? ( 3) 2 ? ( 5 ) 2 ? ( 6 ) 2 2? 3 ? 5 ? 15 15
15 . 15

即异面直线 B1O与C1 M 所成角的大小为 arccos 解法二: (I)如图建立空间直角坐标系. 则 B(2,2,0) ,C(0,2,0) B1(2,2,2) ,D1(0,0,2).

BD1 ? (?2,?2,2), B1 D ? (?2,0,?2),
??????3 分

BD1 ? B1C ? 4 ? 0 ? 4 ? 0. BD1 ? B1C

? BD1 ? B1C
(II) M (1,2,0), P(2,2,1), N (2,1,0) ,

MP ? (1,0,1), MN ? (1,?1,0), ? BD1 ? MP ? ?2 ? 0 ? 2 ? 0, BD1 ? MN ? ?2 ? 2 ? 0 ? 0,

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? BD1 ? MN , BD1 ? MP. 又MN ? PM ? M ,

? BD1 ? 平面MNP .
(III) O(1,1,1), C1 (0,2,2),设异面直线 B1O与C1 M所成的角为 ?,

则B1O ? (?1,?1,?1),C1M ? (1,0,?2). B1O ? C1M ? ?1?1 ? (?1) ? 0 ? (?1) ? (?2) ? 1.
? cos? ? | B1O ? C1 M | | B1O | ? | C1 M | ? 1 3? 5 ? 15 5 .

即异面直线 B1O与C1 M 所成角的大小为 arccso

15 5

.

点评:证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交直线垂直即可.这些从本题证法中都能 十分明显地体现出来 考点三 求空间图形中的角与距离 根据定义找出或作出所求的角与距离,然后通过解三角形等方法求值,注意“作、证、 算”的有机统一.解题时注意各种角的范围:异面直线所成角的范围是 0°<θ≤90°,其方 法是平移法和补形法;直线与平面所成角的范围是 0°≤θ≤90°,其解法是作垂线、找射 影;二面角 0°≤θ≤180°,其方法是:①定义法;②三垂线定理及其逆定理;③垂面法 另 也可借助空间向量求这三种角的大小. 例题 5. (河南省开封市 2007 届高三年级第三次质量检测)在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,
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AA1=1,AD=DC= 3 . (1)求直线 A1C 与 D1C1 所成角的正切值; (2)在线段 A1C 上有一点 Q,且 C1Q= 角的大小.

1 C1A1,求平面 QDC 与平面 A1DC 所成锐二面 3

分析:求线面角关键是作垂线,找射影,求异面直线所成的角采用平移法 小也可应用面积射影法,向量法办
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求二面角的大

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解法一: (I)? C1 D1 // CD,

? ?A1CD 为异面直线 A 1 C 与 D1C 1 所成的角
连 A 1 D,在 Rt△A 1 DC 中,CD= 3 ,A 1 D=2,
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? tan?A1CD ?

2 3 . 3

(II)过 Q 作 EF(在平面 A 1 C 1 内)使 EF//A 1 B 1 ,

? EF // CD
连 B1C、CF、DF, (面 EFCD 即平面 QDC;面 A1B1CD 即平面 A1DC)

? DC ? 面BCC1 B1 , ? DC ? B1C, DC ? CF ,

? ?B1CF 即为二面角 A1—DC—Q 的平面角.

CF CQ 1 1 ? C1Q ? C1 A1 , ?C1QF ~ ?A1QE,? 1 ? 1 ? . 3 A1 E QA1 2

? C1 F ?

3 2 3 2 3 , B1F ? .又B1C ? 2, CF ? CC12 ? C1F 2 ? , 3 3 3 CB12 ? CF 2 ? B1F 3 在?B1CF中, cos ?B1CF ? ? , 2CB1 ? CF 2
? ?B1CF ? 30? ,即所求二面角大小为 30°

解法二: (I)同解法一(I) (II)建立空间直角坐标系,

则D(0,0,0), C (0, 3 ,0), A1 ( 3 ,0,1), C1 (0, 3 ,1). 1 3 2 3 ? C1Q ? C1 A1 ,? Q( , ,1), 3 3 3 设平面A1CD, 平面QCD的一个法向量分别为

n1 ? ( x1 , y1 , z1 ), n 2 ? ( x 2 , y 2 , z 2 ) ? ?n1 ? DC ? 0, ? y1 ? 0, 由? ?? ? ? 3 x1 ? z1 ? 0 ?n1 ? DA1 ? 0 令x1 ? 1,? z1 ? ? 3. ? n1 ? (1,0,? 3 ). ? y 2 ? 0, ? ?n2 ? DC ? 0, ? 由? ?? 3 x 2 ? z 2 ? 0. ? n ? DQ ? 0 ? ? 2 ? 3 令x 2 ? 1,? z 2 ? ?
? n2 ? (1,0,? 3 ) 3

3 . 3

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? cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 | n1 | ? | n2 |

?

1?1 3 ? , 2 2 2? 3

?? n1 , n2 ??

?
6

.

即平面 QDC 与平面 A1DC 所成锐二面角为

? 6
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点评:本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法,综合性较强 移法求异面直线所成的角,利用三垂线定理求作二面角的平面角,是常用的方法.

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用平

例题 6. (福建省福州三中 2008 届高三第三次月考)如图,正三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的所有 棱长都是 2 , D 是棱 AC 的中点, E 是棱 CC1 的中点, AE 交 A1D 于点 H .
B1 B

(1)求证: AE ? 平面A 1BD ; (2)求二面角 D ? BA1 ? A 的大小(用反三角函数表示) ; (3)求点 B1 到平面 A 1BD 的距离。
A1 C1 E H A D C

分析:本题涉及立体几何线面关系的有关知识, 本题实质上求解角度和距离,在求此类问题 中, 要将这些量处于三角形中,最好是直角三角形,这样有利于问题的解决, 此外用向量也是 一种比较好的方法. 解答: (1)证明:建立如图所示,

AE ? (?2,?1,0) A1 D ? (?1,2,0) BD ? (0,0,? 3)
∵ AE ? A1 D ? 2 ? 2 ? 0

AE ? BD ? 0 ? 0 ? 0(? 3) ? 0
∴ AE ? A1 D, AE ? BD 即 AE⊥A1D, AE⊥BD ∴AE⊥面 A1BD

(2)设面 DA1B 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 由 n1 ? A1 D ? 0 n1 ? BD ? 0 ? ?

? z1 (? 3 ) ? 0 ?? x1 ? ?2 y1 ? 0

∴取 n1

? (2,1,0)

设面 AA1B 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z 2 ),则由 n2 ? A1 B ? 0, n2 ? A1 A ? 0

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?? x ? 2 y 2 ? 3 z 2 ? 0 ?? 2 ? 取n2 ? (3,0, 3 ) ?2 y 2 ? 0

? n1 , n2 ??

6 5 ? 12

?

15 5

由图可知二面角 D—BA1—A 为锐角, ∴它的大小为 arcos

15 5

(3) B1 B ? (0,2,0) ,平面 A1BD 的法向量取 n1 ? (2,1,0) 则 B1 到平面 A1BD 的距离 d= |

B1 B ?n1 | n1 |

|?

2 5

?

2 5 5

点评:立体几何的内容就是空间的判断、推理、证明、角度和距离、面积与体积的计算,这 是立体几何的重点内容,本题实质上求解角度和距离,在求此类问题中,尽量要将这些量处于 三角形中,最好是直角三角形,这样计算起来,比较简单,此外用向量也是一种比较好的方法, 不过建系一定要恰当,这样坐标才比较好写出来. 考点四 探索性问题 例题 7. (2007 安徽·文) 如图,在三棱锥 V ? ABC 中,VC ⊥底面ABC , AC ⊥ BC , D 是 AB 的中点,且 AC ? BC ? a ,∠VDC ? ? ? 0 ? ? ? (I)求证:平面 VAB ⊥ 平面 VCD ;

? ?

π? ?. 2?



C π . A 6 D 解法 1: (Ⅰ)∵ AC ? BC ? a ,∴△ ACB 是等腰三角形,又 D 是 AB 的中点, ∴ CD ? AB ,又 VC ? 底面 ABC .∴VC ? AB .于是 AB ? 平面 VCD . 又 AB ? 平面 VAB ,∴ 平面 VAB ? 平面 VCD . (Ⅱ) 过点 C 在平面 VCD 内作 CH ? VD 于 H ,则由(Ⅰ)知 CD ? 平面 VAB . 连接 BH ,于是 ?CBH 就是直线 BC 与平面 VAB 所成的角. π 依题意 ?CBH ? ,所以 6
(II)试确定角 ? 的值,使得直线 BC 与平面 VAB 所成的角为 在 Rt△CHD 中, CH ?



2 a sin ? ; 2
π a ? , 6 2

在 Rt△BHC 中, CH ? a sin

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∴sin ? ?
∵0 ? ? ?
故当 ? ?

2 . 2
π π ,∴? ? . 4 2

π π 时,直线 BC 与平面 VAB 所成的角为 . 4 6

CV 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立如图所示的空间 解法 2: (Ⅰ)以 CA,CB ,

0,, 0) A(a, 0,, 0) B(0,a,, 0) D ? , , 0 ?,V ? 0, 0, 直角坐标系,则 C (0, ? 于是, VD ? ? , , ?a a ?2 2 ?

?a a ?2 2

? ?

? ? ?

? 2 a tan ? ? ?, 2 ?

? 2 ?a a ? a tan ? ? , CD ? ? , , 0 ? , AB ? (?a,a, 0) . ? 2 ?2 2 ? ?

从而 AB · CD ? (?a,a, 0) ·? ,, 0? ? ?

?a a ?2 2

? ?

1 2 1 2 a ? a ? 0 ? 0 ,即 AB ? CD . 2 2

· VD ? (?a,a, 0) ·? ,, ? 同理 AB
即 AB ? VD .又 CD

?a a ?2 2 ?

? 2 1 2 1 2 a tan ? ? ? ? a ? a ?0 ? 0, ? 2 2 2 ?

VD ? D ,∴ AB ? 平面 VCD .

又 AB ? 平面 VAB . ∴ 平面 VAB ? 平面 VCD . (Ⅱ)设平面 VAB 的一个法向量为 n ? ( x,y,z ) , z 则由 n · AB ? 0,n · VD ? 0 . V

??ax ? ay ? 0, ? 得 ?a a 2 az tan ? ? 0. ? x? y? ?2 2 2
可取 n ? (11 , ,2 cot ? ) ,又 BC ? (0, ? a, 0) , A

C D

B

y

π n · BC a 2 x ? ? sin ? , 于是 sin ? 2 6 2 n· BC a · 2 ? 2 cot ?
即 sin ? ? 故交 ? =

π π 2 ∵ 0 ? ? ? ,∴? = . 4 2 2

π π 时,直线 BC 与平面 VAB 所成的角为 . 4 6

解法 3: (Ⅰ)以点 D 为原点,以 DC,DB 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴,建立如图所示
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0,, 0) A ? 0, ? 的 空间 直角 坐标 系,则 D(0,

? ? ?

? ? ? ? ? 2 2 2 a, 0? ,B ? 0, a, 0? ,C ? ? a, 0, 0? ? ? ? ? ?, 2 ? ? 2 ? ? 2 ?

? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 V? ? a , 0 , a tan ? a , 0 , a tan ? a , 0 , 0 ,于是 DV ? ? ? , DC ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ?, 2 2 ? ? ? ? ? ?

AB ? (0,2a, 0) .
从而 AB · DC ? (0,2a, 0)· ? ?

? ? ?

? 2 a, 0, 0? ? ? 0 ,即 AB ? DC . 2 ? ? 2 2 a, 0, a tan ? ? ? ? 0 ,即 AB ? DV . 2 2 ?

· DV ? (0, 2a, 0) ? ? 同理 AB
又 DC

? ? ?

DV ? D ,∴ AB ? 平面 VCD . 又 AB ? 平面 VAB , ∴ 平面 VAB ? 平面 VCD .
(Ⅱ)设平面 VAB 的一个法向量为 n ? ( x,y,z ) ,

? 2ay ? 0, ? 则由 n · AB ? 0,n · DV ? 0 ,得 ? 2 2 ax ? az tan ? ? 0. ?? ? 2 2
? ? 2 2 ? a , ? a , 0 0, 1) ,又 BC ? ? 可取 n ? (tan ?, ? ? 2 ?, 2 ? ?
V

2 a tan ? π n · BC 2 ? 2 ? sin ? , 于是 sin ? 2 6 2 n· BC a · 1 ? tan ?
π π π ∵0 ? ? ? , ∴? = . 即 sin ? ? , 2 2 4 π 故交 ? ? 时, 4 π 即直线 BC 与平面 VAB 所成角为 . 6
考点五 折叠、展开问题 例题 8. (2006 年辽宁高考) 已知正方形 ABCD
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C D A x

B

y

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E 、F 分别是 AB 、CD 的中点,将 ADE
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沿 DE 折起,如图所示,记二面角 A ? DE ? C 的大小为 ? (0 ? ? ? ? ) (I) 证明 BF // 平面 ADE ;

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(II)若 ACD 为正三角形,试判断点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 是否在直线 EF 上,证 明你的结论,并求角 ? 的余弦值
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分析:充分发挥空间想像能力,抓住不变的位置和数量关系,借助模型图形得出结论,并给 出证明. 解析: (I)证明:EF 分别为正方形 ABCD 得边 AB、CD 的中点,

? EB//FD,且 EB=FD, ? 四边形 EBFD 为平行四边形
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? BF//ED.
EF ? 平面AED, 而BF ? 平面AED ,? BF // 平面 ADE
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(II)如右图,点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上,过点 A 作 AG 垂直于平面 BCDE, 垂足为 G,连结 GC,GD
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? ACD 为正三角形,? AC=AD.

? CG=GD.
G 在 CD 的垂直平分线上, ? 点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上, 过 G 作 GH 垂直于 ED 于 H,连结 AH,则 AH ? DE ,所以 ?AHD 为二面角 A-DE-C 的平 面角
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即 ?AHG ? ? .

设原正方体的边长为 2a,连结 AF,在折后图的 ? AEF 中,AF= 3a ,EF=2AE=2a,即 ? AEF 为直角三角形, AG ? EF ? AE ? AF .

? AG ?

2 3 a. a 在 Rt ? ADE 中, AH ? DE ? AE ? AD ? AH ? 2 5 a 2 5
, cos ? ?

? GH ?

GH 1 ? AH 4

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点评:在平面图形翻折成空间图形的这类折叠问题中,一般来说,位于同一平面内的几何元 素相对位置和数量关系不变:位于两个不同平面内的元素,位置和数量关系要发生变化,翻 折问题常用的添辅助线的方法是作棱的垂线。 考点六 球体与多面体的组合问题 例题 9.设棱锥 M—ABCD 的底面是正方形,且 MA=MD,MA⊥AB,如果Δ AMD 的面积 为 1,试求能够放入这个棱锥的最大球的半径. 分析:关键是找出球心所在的三角形,求出内切圆半径.
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解: ∵AB⊥AD,AB⊥MA, ∴AB⊥平面 MAD, 由此,面 MAD⊥面 AC. 记 E 是 AD 的中点,从而 ME⊥AD. ∴ME⊥平面 AC,ME⊥EF. 设球 O 是与平面 MAD、平面 AC、平面 MBC 都相切的球. 不妨设 O∈平面 MEF,于是 O 是Δ MEF 的内心. 设球 O 的半径为 r,则 r= 设 AD=EF=a,∵SΔ AMD=1. ∴ME=

2S △MEF EF ? EM ? MF

2 2 2 2 .MF= a ? ( ) , a a

r=

2 a? 2 2 ? a 2 ? ( )2 a a



2 = 2 -1。 2?2 2

当且仅当 a=

2 ,即 a= 2 时,等号成立. a

∴当 AD=ME= 2 时,满足条件的球最大半径为 2 -1. 点评:涉及球与棱柱、棱锥的切接问题时一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面,把空 间问题化归为平面问题, 再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系。 注意多边形内切 圆半径与面积和周长间的关系;多面体内切球半径与体积和表面积间的关系。 一、

方法总结

1.位置关系: (1)两条异面直线相互垂直 证明方法:○ 1 证明两条异面直线所成角为 90?;○ 2 证明两条异面直线的方向量相互垂 直。 (2)直线和平面相互平行 证明方法: 1 证明直线和这个平面内的一条直线相互平行; 2 证明这条直线的方向量和 ○ ○ 这个平面内的一个向量相互平行;○ 3 证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。 (3)直线和平面垂直 证明方法: 1 证明直线和平面内两条相交直线都垂直, 2 证明直线的方向量与这个平面 ○ ○
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内不共线的两个向量都垂直;○ 3 证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。 (4)平面和平面相互垂直 证明方法:○ 1 证明这两个平面所成二面角的平面角为 90?;○ 2 证明一个平面内的一条直 线垂直于另外一个平面;○ 3 证明两个平面的法向量相互垂直。 2.求距离: 求距离的重点在点到平面的距离, 直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到 平面的距离,一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。 (1)两条异面直线的距离

求法:利用公式 d

?

| AB · n| |n|

(其中 A、B 分别为两条异面直线上的一点, n 为这两

条异面直线的法向量) (2)点到平面的距离 求法:○ 1 “一找二证三求” ,三步都必须要清楚地写出来。○ 2 等体积法。○ 3 向量法,利

用公式 d

?

| AB · n| |n|

(其中 A 为已知点,B 为这个平面内的任意一点, n 这个平面的法向

量) 3.求角 (1)两条异面直线所成的角 求法:○ 1 先通过其中一条直线或者两条直线的平移,找出这两条异面直线所成的角,然 后通过解三角形去求得; 2 通过两条异面直线的方向量所成的角来求得, 但是注意到异面直 ○ 线所成角得范围是 (0, 相应的锐角。 (2)直线和平面所成的角 求法:○ 1 “一找二证三求” ,三步都必须要清楚地写出来。○ 2 向量法,先求直线的方向 量于平面的法向量所成的角α ,那么所要求的角为

?
2

] ,向量所成的角范围是 [0, ? ] ,如果求出的是钝角,要注意转化成

?
2

? ? 或? ?

?
2



共 23 页 第 12 页

(3)平面与平面所成的角 求法:○ 1 “一找二证三求” ,找出这个二面角的平面角,然后再来证明我们找出来的这 个角是我们要求的二面角的平面角,最后就通过解三角形来求。 ○ 2 通过射影面积来求

cos? ?

S 射影 S原

(在其中一个平面内找出一个三角形,然后找这个三角形在另外一个平面的

射影,那么这个三角形的射影面积与原三角形面积之比即为 cosα ,注意到我们要求的角为 α 或π -α ) ;○ 3 向量法,先求两个平面的法向量所成的角为α ,那么这两个平面所成的二 面角的平面角为α 或π -α 。 我们现在来解决立体几何的有关问题的时候, 注意到向量知识的应用, 如果可以比较容 易建立坐标系,找出各点的坐标,那么剩下的问题基本上就可以解决了,如果建立坐标系不 好做的话,有时求距离、角的时候也可以用向量,运用向量不是很方便的时候,就用传统的 方法了! 4.解题注意点 (1)我们现在提倡用向量来解决立体几何的有关问题,但是当运用向量不是很方便的 时候,传统的解法我们也要能够运用自如。 (2)我们如果是通过解三角形去求角、距离的时候,做到“一找二证三求” ,解题的过 程中一定要出现这样一句话, “∠α 是我们所要求的角” 、 “线段 AB 的长度就是我们所要求的 距离”等等。让人看起来一目了然。 (3)用向量来求两条异面直线所成角时,若求出 cosα =x,则这两条异面直线所成的 角为α =arccos|x| (4)在求直线与平面所成的角的时候,法向量与直线方向量所成的角或者法向量与直 线的方向量所成角的补交与我们所要求的角互余,所以要 锐角,就用

?
2

? ? 或? ?

?
2

,若求出的角为

?
2

? ? ,若求出的钝角,就用 ? ?

?
2



(5)求平面与平面所成角的时,若用第○ 2 、○ 3 种方法,先要去判断这个二面角的平面 角是钝角还是锐角,然后再根据我们所作出的判断去取舍。

二、

强化训练

(一) 选择题 1.空间有四个点,如果其中任意三个点都不在同一条直线上,那么经过其中三个点的平面
共 23 页 第 13 页

A.可能有 3 个,也可能有 2 个 C.可能有 3 个,也可能有 1 个 2.下列命题中正确的个数是(

B.可能有 4 个,也可能有 3 个 D.可能有 4 个,也可能有 1 个 )

①三角形是平面图形 ②四边形是平面图形 ③四边相等的四边形是平面图形 A.1 个 B.2 个 C.3 个 ④矩形一定是平面图形 D.4 个 ( )

3.设 a、b 是两条不同的直线,α 、β 是两个不同的平面,则下列四个命题 ①若 a ? b, a ? ? , 则b // ? ②若 a // ? ,? ? ? , 则a ? ?

③ a ? ? ,? ? ? , 则a // ? 其中正确的命题的个数是 A.0 个 B.1 个

④ 若a ? b, a ? ? , b ? ? , 则? ? ? ( C.2 个 D.3 个 )

4.如图所示,已知正四棱锥 S—ABCD 侧棱长为 2 ,底

面边长为 3 ,E 是 SA 的中点,则异面直线 BE 与 SC 所成角的大小为 A.90° C.45° B.60° D.30° ( )

5.设有如下三个命题:甲:相交直线 l 、m 都在平面α 内,并且都不在平面β 内;乙:直 线 l 、m 中至少有一条与平面β 相交;丙:平面α 与平面β 相交. 当甲成立时, A.乙是丙的充分而不必要条件 C.乙是丙的充分且必要条件 B.乙是丙的必要而不充分条件 D.乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件

共 23 页 第 14 页

6.若 a,b,l 是两两异面的直线,a 与 b 所成的角是 则 ? 的取值范围是 A.[

? ,l 与 a、l 与 b 所成的角都是 ? , 3
( )

? 5?
6 , 6

]

B.[

? ? , ] 3 2

C.[

? 5?
3 , 6

]

D.[

? ? , ] 6 2

7 在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中, 底面是边长为 2 的正方形, 高为 4, 则点 A1 到截面 AB1D1 的距离是( )
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A 8
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8 3

B

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3 8

C

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4 3
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D

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3 4

在直二面角 α—l—β 中,直线 a ? α,直线 b ? β,a、b 与 l 斜交,则( ) A a 不和 b 垂直,但可能 a∥b B a 可能和 b 垂直,也可能 a∥b C a 不和 b 垂直,a 也不和 b 平行 D a 不和 b 平行,但可能 a⊥b 9 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 为 DD1 的中点,O 为底面 ABCD 的中心,P 为棱 A1B1 上任意一点,则直线 OP 与直线 AM 所成的角是( )
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A

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?
6

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B

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?
4

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C

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?
3

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D

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?
2

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10.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,O 是底面 A1B1C1D1 的中心,则 O 到平面 AB C1D1 的距离为 (B) A、
1 2

D1 A1

O
A1

C1 B1

B、

2 4

C、

2 2

D、

3 2

11.△ABC 的顶点 B 在平面 a 内,A、C 在 a 的同一侧,AB、 BC 与 a 所成的角分别是 30°和 45°,若 AB=3,BC= 4 2 ,AC=5, 则 AC 与 a 所成的角为 (A)60° (B)45° (C)30° (D)15° A
A1

D
A1

C
A1

B
A1

12.矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B-AC-D,则 四面体 ABCD 的外接球的体积为 A. ( C. )

125 ? 12

B.

125 ? 9

125 ? 6

D.

125 ? 3

(二)填空题 13 设 X、Y、Z 是空间不同的直线或平面,对下面四种情形,使“X⊥Z 且 Y⊥Z ? X∥Y” 为真命题的是_________(填序号) ①X、Y、Z 是直线;②X、Y 是直线,Z 是平面;③Z 是直线,X、Y 是平面;④X、Y、 Z 是平面. 14 已知∠AOB=90° ,过 O 点引∠AOB 所在平面的斜线 OC,与 OA、OB 分别成 45° 、60° , 则以 OC 为棱的二面角 A—OC—B 的余弦值等于______ 15.正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为 2∶3,则这个三棱锥的侧面和底面所成二面 角的度数为_________ 16.空间四点 A、B、C、D 中,每两点所连线段的长都等于 a,动点 P 在线段 AB 上,动点 Q 在线段 CD 上,则 P 与 Q 的最短距离为_________ O
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D
A B

C

(一) 解答题 17. 已知 ABCD ,从平面 AC 外一点 O 引向量

OE ? kOA, OF ? KOB, OG ? kOC, OH ? kOD ,
(1)求证:四点 E , F , G, H 共面; (2)平面 AC // 平面 EG . 18. 如图, P ? ABCD 是正四棱锥, ABCD ? A 1B 1C1D 1 是正方 体,其中 AB ? 2, PA ? 6 . (Ⅰ )求证: PA ? B1D1 ; (Ⅱ )求平面 PAD 与平面 BDD1B1 所成的锐二面角 ? 的大 小; (Ⅲ )求 B1 到平面 PAD 的距离. 19. 在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧棱 PA 垂直于底面,E、F 分别是 AB、PC 的中点. (1)求证: EF // 平面 PAD; (2)当平面 PCD 与平面 ABCD 成多大二面角时, 直线 EF ? 平面 PCD? 20. (安徽省合肥市 2007 年高三第三次教学质量检测) 已知,在如图所示的几何体 ABCED 中,EC⊥面 ABC,DB⊥面 ABC,CE=CA=CB=2DB,∠ACB=90°,M 为 AD 的中点。 (1)证明:EM⊥AB; (2)求直线 BM 和平面 ADE 所成角的大小。 D A
1 1

P

D A B

C

C B
1

第 18 题 图

1

1 1 4 4
1

21. (山东省济宁市 2006—2007 学年度高三年级第一次摸底考 试)如图,四面体 C—ABD,CB = CD,AB = AD, ∠BAD = 90°.E、F 分别是 BC、AC 的中点. (Ⅰ)求证:AC⊥BD; (Ⅱ)如何在 AC 上找一点 M,使 BF∥平面 MED?并说明理由; (Ⅲ)若 CA = CB,求证:点 C 在底面 ABD 上的射影是线段 BD 的中点.

共 23 页 第 16 页

22. (广东省惠州市 2008 届高三第二次调研)正方体 ABCD-A1B1C1D1 , AA1 =2 ,E 为 棱 CC1 的中点. (Ⅰ) 求证: B1D1 ? AE ; (Ⅱ) 求证: AC // 平面 B1DE ; (Ⅲ)求三棱锥 A-BDE 的体积.

D1
A1

C1

B1
D

E

C
B

强化训练题答案

A

1. 【答案】D 解析: 分类,第一类,四点共面,则有一个平面,第二类,四点不共面,因 为没有任何三点共线,则任何三点都确定一个平面,共有 4 个。.

2.【答案】B 解析:命题①是正确的,因为三角形的三个顶点不共线,所以这三点确定
平面。 命题②是错误,因平面四边形中的一个顶点在平面的上、下方向稍作运动,就形成了空间四 边形。命题③也是错误,它是上一个命题中比较特殊的四边形。 命题④是正确的,因为矩形必须是平行四边形,有一组对边平行,则确定了一个平面。 3. 【答案】B 解析:注意①中 b 可能在α 上;③中 a 可能在α 上;④中 b//α ,或 b ? ? 均有

???,
故只有一个正确命题 4. 【答案】B 解析: 平移 SC 到 S ?B ,运用余弦定理可算得 BE ? S ?E ? S ?B ?

2.

5. 【答案】C 解析:当甲成立,即“相交直线 l 、m 都在平面α 内,并且都不在平面β 内” 时,若“ l 、m 中至少有一条与平面β 相交” ,则“平面α 与平面β 相交. ”成立;若“平面 α 与平面β 相交” ,则“ l 、m 中至少有一条与平面β 相交”也成立. 6. 【答案】D 解析: 当 l 与异面直线 a,b 所成角的平分线平行或重合时,a 取得最小值 当 l 与 a、b 的公垂线平行时,a 取得最大值

? 。 2

? , 6

7 【答案】 C 解析 设 A1C1∩B1D1=O1, ∵B1D1⊥A1O1, B1D1⊥AA1, ∴B1D1⊥平面 AA1O1, 故平面 AA1O1⊥AB1D1,交线为 AO1,在面 AA1O1 内过 A1 作 A1H⊥AO1 于 H,则易知 A1H 长
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即是点 A1 到平面 AB1D1 的距离, 在 Rt△A1O1A 中, A1O1= 2 , AO1=3 2 , 由 A1O1· A1A=h· AO1,
? a A a' P ? b b' B C

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可得 A1H=
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4 。 3
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8 【答案】C 解析 如图,在 l 上任取一点 P,过 P 分别在 α、β 内作 a′∥a,b′∥b, 在 a′上任取一点 A,过 A 作 AC⊥l,垂足为 C,则 AC⊥β,过 C 作 CB⊥b′交 b′于 B,连 AB,由三垂线定理知 AB⊥b′, ∴△APB 为直角三角形,故∠APB 为锐角 9 【答案】 D 解析 (特殊位置法)将 P 点取为 A1,作 OE⊥AD 于 E,连结 A1E,则 A1E 为 OA1 的射影,又 AM⊥A1E,∴AM⊥OA1,即 AM 与 OP 成 90°角 答案 D
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10. 【答案】B

解析:取 B1C1 的中点 M,连 B1C 交 BC1 于 O ? ,取 O ? C1 的中点 N,连 MN, 则 O 到 平 面

则 MN ? BC1 又在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中 OM 平行于平面 ABC1D1.

ABC1D1 距离转化为 M 到平面 ABC1D1 的距离,即 MN=

2 ,故选 B 4
C A E B F D

11. 【答案】C 解析:如图,AE⊥平面 α 于 E,CD⊥平面 α 于 D,EF∥AC,EF 交 CD 于 F,则∠ABE=300,∠CBD=450,由此得 CD=4,AE=1.5,∴EF=2.5,而 EF=AC=5 ∴∠FED=300,即 AC 与平 面 α 所成的角为 300,∴选(C)

12. 【答案】C

解析:连接矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于 O,则 AO=BO=CO=DO,

则 O 为四面体 ABCD 的外接球的圆心,因此四面体 ABCD 的外接球的半径为 为 ?( ) ?
3
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5 ,体积 2

4 3

5 2

125 ? .选 C . 6
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13 【答案】 ②③ 解析 ①是假命题, 直线 X、 Y、 Z 位于正方体的三条共点棱时为反例, ②③是真命题,④是假命题,平面 X、Y、Z 位于正方体的三个共点侧面时为反例
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14

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【答案】-

3 3

解析

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在 OC 上取一点 C,使 OC=1,过 C 分别作 CA⊥OC 交 OA

于 A,CB⊥OC 交 OB 于 B,则 AC=1, ,OA= 2 ,BC= 3 ,OB=2,Rt△AOB 中,AB2=6,

3 3 答案 - 3 3 15 【答案】 60° 解析 设一个侧面面积为 S1,底面面积为 S,则这个侧面在底面上射 1 S S1 2 S S 1 影的面积为 ,由题设得 ? , ? ,设侧面与底面所成二面角为θ ,则 cosθ = 3 ? S1 3S1 2 3 S 3
△ABC 中,由余弦定理,得 cosACB=-
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∴θ =60° 16
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答案

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60° 解析
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【答案】

2 a 2

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以 A、B、C、D 为顶点的四边形为空间四边形,且为正四面

2 a,∴PQ⊥AB, 2 同理可得 PQ ⊥ CD ,故线段 PQ 的长为 P 、 Q 两点间的最短距离,在 Rt △ APQ 中,
体,取 P、Q 分别为 AB、CD 的中点,因为 AQ=BQ=
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PQ= AQ 2 ? AP 2 ? (

3 2 a 2 2 a.答案 a) ? ( ) ? 2 2 2

新疆
源头学子 小屋
http://w ww .xjktyg.com/w xc/

特级教师 王新敞
w xckt@126.com

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2 a 2

17.解: (1)∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AC ? AB ? AD , ∵ EG ? OG ? OE ,

? k ? OC ? k ? OA ? k (OC ? OA) ? k AC ? k ( AB ? AD) ? k (OB ? OA ? OD ? OA) ? OF ? OE ? OH ? OE ? EF ? EH
∴ E , F , G, H 共面; (2)∵ EF ? OF ? OE ? k (OB ? OA) ? k ? AB ,又∵ EG ? k ? AC , ∴ EF // AB, EG // AC 所以,平面 AC // 平面 EG . 18.解:(Ⅰ ) 连结 AC , 交 BD 于点 O , 连结 PO , 则 PO⊥ 面 ABCD , 又∵AC ? BD , ∴PA ? BD , ∵BD // B1D1 , ∴PA ? B1D1 . (Ⅱ ) ∵ AO⊥ BD , AO⊥ PO , ∴ AO⊥ 面 PBD , 过点 O 作 OM⊥ PD 于点 M,连结 AM , 则 AM⊥ PD , ∴ ∠ AMO 就是二面角 A-PD-O 的平面角, 又∵ AB ? 2, PA ? 6 , ∴ AO= 2 ,PO= 6 ? 2 ? 2

OM ?

PO ? OD 2 ? 2 2 AO 2 6 ? ? , ∴tan ?AMO ? , ? ? 2 OM 2 PD 6 3
3

即二面角的大小为 arctan

6 . 2
1 1 ? hx SPAD ? AO SB1PD 3 3 6 5 , ? S?PBD ? S?PBB1 ) 解得 hx ? 5
即 有

(Ⅲ ) 用 体 积 法 求 解 : VB1 ? PAD ? VA? B1PD

1 (S?BDB1 2 6 5 即 B1 到平面 PAD 的距离为 5 2

1 1 1 hx 2 5 ? 3 2 3

19.证: (1)取 CD 中点 G,连结 EG、FG ∵E、F 分别是 AB、PC 的中点,∴EG//AD,FG//PD, ∴平面 EFG//平面 PAD, ∴ EF//平面 PAD. (2)当平面 PCD 与平面 ABCD 成 45?角时,直线 EF?平面 PCD.
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证明: ∵G 为 CD 中点, 则 EG?CD, ∵PA?底面 ABCD∴AD 是 PD 在平面 ABCD

内的射影。

∵CD?平面 ABCD,且 CD?AD,故 CD?PD

.又∵FG∥PD∴

FG?CD,故?EGF 为平面 PCD 与平面 ABCD 所成二面角的平面角,即?EGF=45?,从而得 ?ADP=45?, AD=AP.由 Rt?PAE?Rt?CBE,得 PE=CE.又 F 是 PC 的中点,∴EF?PC. 由 CD?EG,CD?FG,得 CD?平面 EFG,∴CD?EF,即 EF?CD, 故 EF?平面 PCD. 20.解法一: (1)如图,以 C 为原点,CA、CB、CE 所在的射线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系. 不妨设 BD=1,则 E(0,0,2) ,A(2,0,0) ,D(0,2,1) ,B(0,2,0) 由 M 是 AD 的中点,得 M (1,1, )

1 2

3 EM ? (1,1,? ), AB ? (?2,2,0) 2

EM ? AB ? 0得EM ? AB
(2) AD ? (?2,2,1), AE ? (?2,0,2) 设面 ADE 的法向量 n=(x,y,z) 由 AD ? n ? 0, AE ? n ? 0, 易求平面 ADE 的一个法向量为 n ? (1, 又 BM ? (1,?1, ) ? cos ? n, BM ?? ∴直线 BM 和平面 ADE 所成角为

1 ,1) 2

1 2

?
2

4 9
4 。 9

? arccos

解法二: (1)如图,过 M 作 MN⊥AB,由 DB⊥面 ABC??2 分

? ,面ABD ? 面ABC,得MN ? 面ABC ? MN // BD // CE,
∵M 是 AD 中点,N 是 AB 中点,CA=CB, ∴CN⊥AB 由三垂线定理,得 EM⊥AB (2)设 CB 和 ED 延长线交于 F,不妨设 BD=1 易求 BF ? 2, AB ? 2 2 , AD ? 3, BM ?

3 2

; DF ?

5 , AF ? 2 5

cos ?DFA ?

4 3 , sin ?DFA ? , 得S ?ADF ? 3 5 5 2 3

设 B 到面 AEF 的距离为 h,由 VD ? ABF ? VB ? ADF , 得h ?

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设直线 BM 和平面 ADE 所成角为 ? , sin ? ?

h 4 ? BM 9

? ? arcsin

4 。 9

21.解: (Ⅰ)取 BD 的中点 O,连接 AO,CO,在△BCD 中, ∵BC = DC,∴CO⊥BD,同理 AO⊥BD 而 AO∩CO = O,∴BD⊥平面 AOC, 又 AC ? 平面 AOC,∴AC⊥BD. (Ⅱ)取 FC 的中点 M,连接 EM,DM, ∵E 是 BC 的中点,∴BF∥EM, ∵ EM ? 平面 MED,∴BF∥平面 MED, ∴FC 的中点 M 即为所求. (Ⅲ)∵△ABD 是等腰直角三角形,∠BAD = 90°, ∴AO = BO = DO;∵CA = CB = CD,CO 是公共边, ∴△COA≌△COB≌△COD; ∴∠COA=90°,即 CO⊥AO, 又 CO⊥BD,AO∩BD = O,∴CO⊥平面 ABD 即点 C 在底面 ABD 上的射影是线段 BD 的中点 。 22.解析:主要考察立体几何中的位置关系、体积. (Ⅰ)证明:连结 BD ,则 BD // B1D1 , ∵ ABCD 是正方形,∴ AC ? BD .∵ CE ? 面 ABCD ,∴ CE ? BD . 又 AC

CE ? C ,∴ BD ? 面 ACE .

∵ AE ? 面 ACE ,∴ BD ? AE , ∴ B1D1 ? AE . (Ⅱ)证明:作 BB1 的中点 F,连结 AF、CF、EF . ∵ E、F 是 CC1、BB1 的中点,∴ CE

B1F ,

∴四边形 B1 FCE 是平行四边形,∴ CF// B1E . ∵ E , F 是 CC1、BB1 的中点,∴ EF //BC , 又 BC // AD ,∴ EF // AD . ∴四边形 ADEF 是平行四边形,? AF // ED , ∵ AF

CF ? C , B1E

ED ? E ,

∴平面 ACF // 面 B1DE . 又 AC ? 平面 ACF ,∴ AC // 面 B1DE .

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(3) S ?ABD ?

VA? BDE

1 AB ? AD ? 2 . 2 1 1 2 ? VE ? ABD ? S?ABD ? CE ? S?ABD ? CE ? . 3 3 3

(四)创新试题 1.如图,正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,D 是 BC 的中点,AA1=AB=1. (I)求证:A1C//平面 AB1D; (II)求二面角 B—AB1—D 的大小; (III)求点 c 到平面 AB1D 的距离. 创新试题解析答案 2 1.解法一(I)证明: , 连接 A1B,设 A1B∩AB1 = E,连接 DE. 4 AB, ∵ABC—A1B1C1 是正三棱柱,且 AA1 = , ∴四边形 A1ABB1 是正方形, 6 ∴E 是 A1B 的中点, 又 D 是 BC 的中点, ∴DE∥A1C. ∵DE ? 平面 AB1D,A1C ? 平面 AB1D, ∴A1C∥平面 AB1D. (II)解:在面 ABC 内作 DF⊥AB 于点 F,在面 A1ABB1 内作 FG⊥AB1 于点 G,连接 DG. ∵平面 A1ABB1⊥平面 ABC, ∴DF⊥平面 A1ABB1, ∴FG 是 DG 在平面 A1ABB1 上的射影, ∵FG⊥AB1, ∴DG⊥AB1 ∴∠FGD 是二面角 B—AB1—D 的平面角 设 A1A = AB = 1,在正△ABC 中,DF=

3 . 4

在△ABE 中, FG ?

3 3 2 ? BE ? , 4 8 DF 6 ? , FG 3 6 . 3

在 Rt△DFG 中, tan FGD ?

所以,二面角 B—AB1—D 的大小为 arctan

(III)解:∵平面 B1BCC1⊥平面 ABC,且 AD⊥BC, ∴AD⊥平面 B1BCC1,又 AD ? 平面 AB1D,∴平面 B1BCC1⊥平面 AB1D. 在平面 B1BCC1 内作 CH⊥B1D 交 B1D 的延长线于点 H, 则 CH 的长度就是点 C 到平面 AB1D 的距离. 由△CDH∽△B1DB,得 CH ?

BB1 ? CD 5 ? . B1 D 5

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即点 C 到平面 AB1D 的距离是

5 . 5

解法二: 建立空间直角坐标系 D—xyz,如图, (I)证明: 连接 A1B,设 A1B∩AB1 = E,连接 DE. 设 A1A = AB = 1, 则 D(0,0,0), A1 (0,

3 1 3 1 1 ,1), E (? , , ), C ( ,0,0). 2 4 4 2 2

1 3 1 3 1 ? A1C ? ( ,? ,?1), DE ? (? , , ), 2 2 4 4 2

? A1C ? ?2DE,? A1C // DE.
? DE ? 平面AB1 D, A1C ? 平面AB1 D , ? A1C // 平面AB1 D.
(II)解:? A(0,

3 1 3 1 ,0), B1 (? ,0,1) , ? AD ? (0, ,0), B1 D ? ( ,0,?1) , 2 2 2 2

设 n1 ? ( p, q, r ) 是平面 AB1D 的法向量,则 n1 ? AD ? 0, 且n1 ? B1 D ? 0 , 故?

3 1 q ? 0, p ? r ? 0.取r ? 1, 得n1 ? (2,0,1) ; 2 2

同理,可求得平面 AB1B 的法向量是 n2 ? ( 3,?1,0). 设二面角 B—AB1—D 的大小为θ ,? cos? ?

n1 ? n2 15 , ? | n1 || n2 | 5

∴二面角 B—AB1—D 的大小为 arccos

15 . 5

(III)解由(II)得平面 AB1D 的法向量为 n1 ? (2,0,1) , 取其单位法向量 n ? (

2 5

,0,

1

1 ), 又DC ? ( ,0,0). 2 5

∴点 C 到平面 AB1D 的距离 d ?| DC ? n |?

5 . 5

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