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2.1.2-1指数函数的概念


2. 1.2-1 指数函数的概念教案

【教学目标】 1. 理解指数函数的概念,能画出具体指数函数的图像; 2. 在理解指数函数概念、性质的基础上,能应用所学知识解决简单的数学问题; 3. 通过类比,回顾归纳从图象和解析式两个角度研究函数性质的方法; 4. 感受数学思想方法之美,体会数学思想方法只重要 【教学重难点】 教学重点:指数函数概念、图象和性质 教学难

点:对底数的分类,如何由图象、解析式归纳指数函数的性质 【教学过程】 1、创设情境、提出问题 师:如果让 1 号同学准备 2 粒米,2 号同学准备 4 粒米,3 号同学准备 6 粒米,4 号同 学准备 8 粒米,……,按这样的规律,50 号同学该准备多少粒米? 学生:回答粒数 师:如果改成 1 号同学准备 2 粒米,2 号同学准备 4 粒米,3 号同学准备 8 粒米,4 号同学 准备 16 粒米,……, 按这样的规律,51 号同学该准备多少粒米? 师:大家能否估计一下 50 好同学准备的米有多重吗? 教师公布事 先估算的数据:51 号同学准备的大米约有 1.2 亿吨 师:1.2 亿吨是什么概念?相当于 2007~2008 年度我国全年的大米产量! 以上两个问题中,每位同学所需准备的米粒数用 y 表示,每位同学的座号数用 x 表示,y 与 x 之间的关系分别是什么? 学生很容易得出 y=2x 和 y = 2 ( x ? N )学生可能漏掉 x 的范围,教师要引导学生思考具
x

*

体问题中 x 的取值范围。 2、新知探究 (1)指数函数的定义 师:在本章开头的问题中,也有一个与 y = 2 类似的关系式 y ? 1.073 ( x ? N 且 x
x

x

*

? 20 )
x * * x 请思考以下问题①y = 2 ( x ? N )和 y ? 1.073 ( x ? N 且 x ? 20 )这两个解析式有

什么共同特征?②他们能否构成函数?③是我们学过的哪个函数?如果不是, 你能否根据该 函数的特征给它起个恰当的名字?引导学生观察,两个函数中底数是常数,指数 是自变量. 师:把这两个函数归为一般形式就是我们今天要学习的函数,我们把它称作指数函数. (2)让学生讨论并给出指数函数的的定义。对底数得分类,可将问题分解为: ①若 a<0,会有什么问题? ②若 a=0,会有什么问题? ③若 a=1,又会怎样? 学生讨论教师适时点拨形成对问题的严谨认识 师:为了避免上述各种情况的发生,所以规定 a>0 且 a≠1 接下来教师可以让学生写几个指数函数,同时教师在黑板写一些解析式让学生判断,如
1

y ? 2 ? 3x , y ? 32 x , y ? ?2x .
3、 指数函数的性质 (1) 提出两个问题 ① 目前研究函数一般可以包括哪些方面? ② 研究函数可以怎么研究?用什么方法、从什么角度研究? 目的: ①让学生知道图象法不是研究函数的唯一方法, 由此引导学生从图象和解析式两个角 度对函数进行研究;②对学生进行数学思想方法的有机渗透。 (2) 分组活动,合作学习 师:下面我们就从图象和解析式这两个角度对指数函数进行研究. 让学生分成两大组,每组再分小组,最后汇集结论写下来以便讨论 (3) 交流总结形成共识

0 ? a ?1

a ?1

图象
图象略 图 象略

定义域

R

值域

(0, ?? ) 过定点(0,1) 非奇非偶

性质

在 R 上是减函数

在 R 上是增函数

4、典例示范、巩固练习 例 1、 已知指数函数 (3, , 求 f( f ( x) = a x ( a ? 0, a ? 1 )的图像经过点 0 ) , 1 ()f ?) ,

f (?3) 的值.
解: 因为
1

3 (3, , 所以 f (3) ? ? , 即a ?? f ( x) = a x ( a ? 0, a ? 1 )的图像经过点 ?)

解得

a ? ? 3 ,于是 f ( x) ? ? 3 ,所以 f (0) ? 1, f (1) ? 3 ? , f (?3) ?

x

1

?

2

变式: (1)在同一直角坐标系中画出 y ? 3x 和 y ? ( ) 的大致图象,并说出这两个函 数的性质; (2)求下列函数的定义域:① y ? 2
x ?2

1 3

x

;② y ? ( ) x

1 2

1

5、课堂小结 师:通过本节课的学习,你对指数函数有什么认识?你有什么收获? 生:总结指数函数的性质,教师要引导学生谈谈对函数研究的学习,即怎么研究一个函数 【板书设计】 一、对数函数概念 二、例题 例1 变式 1 【作业布置】课本练习 2.1A 组 5.

2.1.2-1 指数函数的概念学案
课前预习学案 一. 预习目标 1. 通过预习理解指数函数的概念 2. 简单掌握指数函数的性质 二. 预习内容 1.一般地,函数 叫做指数函数. 2.指数函数的定义域是 ,值域 . 3.指数函数 y ? 4.指数函数 y ?

a a

x

(a ? 0, a ? 1) 的图像必过特殊点 (a ? 0, a ? 1) ,当

. 时,

x

时,在 (??,??) 上是增函数;当

在 (??,??) 上是减函数. 三.提出疑惑 通过以上自我预习你还有什么疑惑请写在下面的横线上 课内探究 学案 一. 学习目标 1. 理解指数函数的概念能画出具体的指数函数图象 2. 在理解指数函数概念、性质的基础上,能运用所学知识解决简单的数学问题 学习重点:指数函数概念、图象和性质 学习难点:对底数的分类,如何由图象、解析式归纳指数函数的性质 二. 学习过程 探究一 1.函数 y ? (

a

2

? 3a ? 3) ? a 是指数函数,则有(

x



A.a=1或a=2 B.a=1 C.a=2 D.a>0且 a ? 1
3

1 2.关于指数函数 y ? 2 和 y ? ( ) 2
x

x

的图像,下列说法不正确的是(



A.它们的图像都过(0,1)点,并且都在x轴的上方. B.它们的图像关于y轴对称,因此它们是偶函数. C.它们的定义域都是R,值域都是(0,+ ? ) .

1 D.自左向右看 y ? 2 的图像是上升的, y ? ( ) 的图像是下降的. 2 3.函数 f ( x) ? ? a ? 1? 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围是(
x
2 x

x



A、 a ? 1

B、 a ? 2

C、 a ? 2
1 ) ,则f(2)= 8

D、 1 ? a ? 2


4.指数函数f(x )的图像恒过点(-3, 5.函数 y ? 32?3x 的单调递增区间是
2



探究二
例1:指出下列函数那些是指数函数: (1) y ? ( 6 )
x

4

x

(2) y ?

x

4

(3) y ? ? ( 7

4

x

(4) y ? (

?4) (5) y ??
x

x

y ? 4x

2



y?

x

x



8



y ? (2a ?1) (a ?

1 , a ? 1) 2

例2:求下列函数的定义域与值域: (1) y ?
1 x?4

2

2 (2) y ? ( ) 3

?x

(3) y ?

4 ?2

x

x ?1

?1

(4) y ? 10

2x ?1 x ?1

例3:将下列各数从小到大排列起来:

4

(

2 , 3 , ,( 2 , 3 ,(5 , 5 ) ( ) 3 ) ( ) ) (?2) , ( ) 3 5 5 2 6 3
2 3 3

?

1 3

1 2

1 2

2 3

0

?

1 3

三.当堂检测 1.下列关系式中正确的是(



A. (

1 ) 2

2 3



2

?1..5

<(

1 ) 2

1 3

B. (

1 ) 2

1 3

<(

1 ) 2
1 3

2 3



2

?1..5

C.

2
5

?1..5

<(

1 ) 2

2 3

<(

1 ) 2

1 3

D.

2

?1..5

<(

1 ) 2
?x

<(

1 ) 2

2 3

2.若-1<x<0,则下列不等式中正确的是( A. C.
?x





5 < 0 .5
?x

x

x

B. D.

5 < 0 .5 < 5 0 .5 < 5
x ?x

x

x

5 <5

x



0 .5

x



5

x

3.下列函数中值域是(0,+ ? )的函数是( A. y ?



2

1 x

B. y ?

2

x

?1

C. y ?

2

x

?1

4.函数 y ?

1 的值域是( 2 ?1
x

1 D. y ? ( ) 2

2? x

) C、? ?1, ?? ? D、(??, ?1) ? ? 0, ???

A、? ??,1?

B、? ??,0? ? ? 0, ???
课后练习与提高

1.函数 y ?

a

x

? m ? 1(a ? 0, a ? 1) 图 像 在 不 在 第 二 象 限 且 不 过 原 点 , 则 m 的

取值范围是( ) A.a>1 b.a>1且m<0 C.0<a<1且m<0 D.0<a<1 2.设0<a<b<1,则下列不等式中正确的是( ) A.

a

a



b

b

B.

b

a



b

b

C.

a

a



b

a

D.

b

b



a

a

3.已知 x>0,函数 y=(a2-8)x 的值恒大于 1,则实数 a 的取值范围是________. 4.若 f (5
2 x ?1

) ? x ? 2 ,则 f (125) ?



5.已知函数 y ? (

1

2

x

1 3 ? )x ?1 2

(1)求f(x)的定义域; (2)讨论f(x)的奇偶性;

5

6


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