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高一数学寒假作业(三)


高一数学寒假作业(三)命题人:李宗军
一、选择题: 1.若空间两条直线 a 和 b 没有公共点,则 a 与 b 的位置关系是( A. 共面 B. 平行 C. 异面 D. 平行或异面 2.若直线经过 A (2 A.45°
3 , 9)、B(4



3 , 15)两点, 则直线 A B 的倾斜角是(

>)

B.60°

C.120°

D.135° ( )

3.幂函数 f (x) 的图象过点 ? 4, ? ,那么 f (8) 的值为

? ?

1? 2?

A.

2 4

B. 64

C. 2 2

D.

1 64

4. 已知集合 A= y y ? log 2 x, x ? 1 , B= ? y y ? ( ) , x ? 1? ,则 A ? B =( )
x

?

?

? ?

1 2

? ?

A.( 0 , 1 )

B.( 0 ,

5. 直线 mx ? y ? m ? 2 ? 0 经过一定点,则该点的坐标是( A. (?1,2) B. (1,2) C. (2,?1)

1 ) 2

C.(

1 , 1 ) 2

D. ? ) D. ( 2,1)

6.已知两直线 m、n,两平面 α、β,且 m ? ? , n ? ? .下面有四个命题( ) 1)若 ? // ? , 则有m ? n ; 3) 若m // n, 则有? ? ? ; 其中正确命题的个数是 A.0 B.1 2) 若m ? n,则有? // ? ; 4) 若? ? ? ,则有m // n .

C.2

D.3

7.若直线 l1 : ax ? (1 ? a) y ? 3 ? 0 与直线 l 2 : (a ? 1) x ? (2a ? 3) y ? 2 ? 0 互相垂直,则 a 的值 是 A. ? 3 B. 1 C. 0 或 ?

3 2
5 6 5

D. 1 或 ? 3

8.有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位 cm ) ,则该几 何体的表面积及体积为: A. 24? cm , 12? cm
2 3

5 6 侧视图

5

B. 15? cm , 12? cm
2

3

正视图

第1页

俯视图

C. 24? cm , 36? cm
2
x

3

D.以上都不正确
2

9.设函数 f ( x) ? 3 ? x ,则函数 f ( x) 有零点的区间是 A. ? 0,1? B. ?1, 2 ? C. ? ?2, ?1? ) D. 32 3? D. ? ?1, 0?

10. 设正方体的表面积为 24,那么其外接球的体积是( A. ?

4 3

B.

8? 3

C. 4 3?

2 11. 已知函数 f ? x ? ? 2 x ? mx ? 5 , m ? R ,它在 (??, ?2] 上单调递减,则 f ?1? 的取值范围

是 A. f (1) ? 15 B. f (1) ? 15 C. f (1) ? 15
x



) D. f (1) ? 15

12.已知 lg a ? lg b ? 0 ,则函数 f ( x) ? a 与函数 g ( x) ? ? log b x 的图象可能是

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.函数 f ( x) ?

1 的定义域是_________ log 2 (1 ? x)

; ; ;

14.过点(1,0)且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线方程是

15.已知正四棱锥 V - ABCD 的底面面积为 16,一条侧棱长为 2 11 ,则它的斜高为

8 16 .已知 函数 y ? log a ( x ? 3) ? ( a ? 0, a ? 1 )的 图像 恒过定 点 A ,若点 A 也 在函 数 9 x f ( x) ? 3 ? b 的图像上,则 b = 。
三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知△ABC 的三个顶点分别为 A(2,3),B(-1,-2) ,C(-3,4) ,求 (Ⅰ)BC 边上的中线 AD 所在的直线方程; (Ⅱ)△ABC 的面积。

第2页

18. (本小题满分 12 分) 如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N、G 分别是 A1A,D1C,AD 的 中点.求证: (Ⅰ)MN//平面 ABCD; (Ⅱ)MN⊥平面 B1BG.

A1 B1 M

D1 C1 N

A

G

D

B

C

19. (本小题满分 12 分) 某商场经营一批进价是每件 30 元的商品, 在市场销售中发现此商品的销售单 价 x 元与日销售量 y 件之间有如下关系: 销 售单价 x (元) 日销售量 y (件) 30 60 40 30 45 15 50 0

(Ⅰ) 在平面直角坐标系中, 根据表中提供的数据描出实数对 ? x, y ? 对应的点, 并确定 x 与 y 的 一个函数关系式 y ? f ? x ? ; (Ⅱ)设经营此商品的日销售利润为 P 元,根据上述关系式写出 P 关于 x 的函数关系式,并指 出销售单价 x 为多少时,才能获得最大日销售利润。

20. (本小题满分 12 分) 1 已知函数 f ( x) ? 2 x ? | x| . 2 (Ⅰ)若 f ( x) ? 2 ,求 x 的值; (Ⅱ)若 2 t f (2t ) ? mf (t ) ? 0 对于 t ?[ 1, 2 ] 恒成立,求实数 m 的取值范围. 第3页

21.(本小题满分 12 分) 如图,A、B、C、D 是空间四点,在△ABC 中,AB=2,AC=BC= 2 ,等边△ADB 所在的平面以 AB 为轴可转动. (Ⅰ)当平面 ADB⊥平面 ABC 时,求三棱锥 D - ABC 的体积; (Ⅱ)当△ADB 转动过程中,是否总有 AB⊥CD?请证明你的结论. D

A C

B

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 1? x , ? log 2 x 1? x

(Ⅰ)求 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)判断并证明 f ( x) 的奇偶性; (Ⅲ)在 (0,1) 内,求使关系式 f ( x) ? f ( ) 成立的实数 x 的取值范围.

1 3

第4页

高一数学寒假作业(三)参考答案及评分标准
CDADC CB 二、填空题:13. {x | x ? 1且x ? 0} 14. x ? 2 y ? 1 ? 0
一、 三、解答题: 17.解: (Ⅰ)由已知得 BC 中点 D 的坐标为 D(?2,1) ,………………………2 分 选择题:DBABA 15. 2 10 16. ?1

∴中线 AD 所在直线的方程是 分 即 x ? 2 y ? 4 ? 0 ………………………………6 分 (Ⅱ)∵ BC ?

y ? 1 x ? ( ?2) , ………………………4 ? 3 ? 1 2 ? ( ?2)

(?1 ? (?3)) 2 ? (?2 ? 4) 2 ? 2 10 ,
直 线 BC 的 方 程 是

3x ? y ? 5 ? 0 ,……………………………………………8 分
点 A 到 直 线 BC 的 距 离 是

d?

| 3? 2 ? 3 ? 5 | 3 ?1
2 2

?

14 ……………………………10 分 10
∴ △ABC 的 面 积 是

S?

1 BC ? d ? 14 .………………………………………………12 分 2
A1 B1 M D1 C1 N A G D

18、证明: (Ⅰ)取 CD 的中点记为 E,连 NE,AE. 由 N,E 分别为 CD1 与 CD 的中点可得
1 NE∥D1D 且 NE= D1D, ………………………………2 分 2 1 又 AM∥D1D 且 AM= D1D………………………………4 分 2

所以 AM∥EN 且 AM=EN,即四边形 AMNE 为平行四边形 所以 MN∥AE, 又 AE ? 面 ABCD,所以 MN∥面 ABCD……6 分 (Ⅱ)由 AG=DE , ?BAG ? ?ADE ? 90? ,DA=AB 可得 ?EDA 与 ?GAB 全等……………………………8 分 所以 ?ABG ? ?DAE , 又 ?DAE ? ?AED ? 90?,?AED ? ?BAF ,所以 ?BAF ? ?ABG ? 90?, 所以 AE ? BG ,

B

C

………………………………………………10 分 第5页

又 BB1 ? AE ,所以 AE ? 面B1BG , 又 MN∥AE,所以 MN⊥平面 B1BG …………………………………12 分 19.解: (Ⅰ)坐标系画点略 设 f ? x ? ? kx ? b ,………………………………2 分 则?

?60 ? 30k ? b ? k ? ?3 ,解得: ? ………………………………5 分 ?30 ? 40k ? b ?b ? 150
检验成立。………………………………6 分
2

? f ? x ? ? ?3x ? 150,30 ? x ? 50

(Ⅱ) P ? ? x ? 30 ? ? ? ?3x ? 150 ? ? ?3x ? 240 x ? 4500,30 ? x ? 50 ……………9 分

?对称轴x ? ?

240 ? 40 ? ?30,50? ………………………………11 分 2 ? ? ?3?

? 当销售单价为 40 元时,所获利润最大。………………………………12 分
20.解: (Ⅰ)当 x ? 0 时 f ( x) = 0 ,………………………………1 分 当 x > 0 时, f ( x) = 2 有条件可得, 2 即 2 - 2? 2
2x x

x

1 ,………………………………2 分 2x

x

1 = 2 ,………………………………3 分 2x
2,

1 = 0 ,解得 2 x = 1

? 2x > 0 , \ 2x = 1+
\ x = log 2 (1 +

2,

2) 。 ………………………………6 分

1 ? 1 ? ? ? (Ⅱ)当 t ?[ 1, 2 ] 时, 2 t ? 2 2t ? 2t ? ? m? 2 t ? t ? ? 0 ,………………………………8 分 2 ? 2 ? ? ?
即 m 2 2 t ? 1 ? ? 2 4t ? 1 .

?

? ?

?

? 2 2 t ? 1 ? 0 , ? m ? ?? 2 2 t ? 1 ?.

………………………………10 分

? t ?[ 1, 2 ], ? ? 1 ? 2 2 t ?[ ? 17, ? 5 ] ,
故 m 的取值范围是 [ ? 5, ? ? ) .

?

?

………………………………12 分
第6页

21.解: (Ⅰ)设 AB 的中点为 O,连接 OD,OC, 由于△ADB 是等边为 2 的三角形, \ OD ^ AB 且 OD =

3 ,………………2 分

?平面ADB ^ 平面ABC \ OD ^ 平面ABC ………………………………4 分
\ V三棱锥D- ABC = 1 SD ABC ? OD 3 1 1 创 2? 3 2 2 1? 3 3 .…………6 分 3

(Ⅱ)当△ADB 以 AB 为轴转动过程中,总有 OD ^ AB,OC ^ AB ,……………8 分 即有 AB ^ 平面COD ,故有 AB ^ CD ;………………………………10 分 当平面 ABD 与平面 ABC 重合时,由平面几何知 AB ^ CD ;……………………11 分 于是,当△ADB 转动过程中,总有 AB⊥CD。………………………………12 分

? x ? 0, ? 22 解: (Ⅰ)函数 f ( x) 有意义,需 ?1 ? x ………………………………2 分 ?1 ? x ? 0, ?
解得 ?1 ? x ? 1 且 x ? 0 , ∴函数定义域为 x ?1 ? x ? 0或0 ? x ? 1 ;………………………………4 分 (Ⅱ)函数 f ( x) 为奇函数, ∵f(-x)= f (? x) ? ?

?

?

1 1? x 1 1? x ? log 2 ? ? ? log 2 ? ? f ( x) , ……………6 分 x 1? x x 1? x

又由(1)已知 f ( x) 的定义域关于原点对称, ∴ f ( x) 为奇函数; …………………………………………… 8 分 (Ⅲ)设 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,∵

x ? x1 1 1 ? ? 2 , x1 x 2 x1 x 2
① …………… 10 分

又 x1 x2 ? 0, x2 ? x1 ? 0 ,∴

1 1 ? ?0 x1 x2



1 ? x1 1 ? x 2 2( x1 ? x 2 ) ? ? , ∵ 1 ? x1 ? 0,1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0 , 1 ? x1 1 ? x 2 (1 ? x1 )(1 ? x 2 )
第7页

∴0 ?

1 ? x1 1 ? x2 ; ? 1 ? x1 1 ? x2
log 2 1 ? x1 1 ? x2 . ? log 2 1 ? x1 1 ? x2
②…………… 12 分



由①②,得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (

1 ? x2 1 ? x1 1 1 ? ) ? (log 2 ? log 2 ) ?0, x1 x2 1 ? x2 1 ? x1

∴ f ( x) 在 (0,1) 内为减函数; 又 f ( x) ? f ( ) ,

1 3

∴使 f ( x) ? f ( ) 成立 x 的范围是 0 ? x ?

1 3

1 . …… 14 分 3

第8页


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