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人教A版 高中数学必修4第一章 1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象 - 课件中


1.5函数 y=Asin(?x+?) 的图象

1.正弦函数y=sinx是最基本、最简单的 三角函数,在物理中,简谐运动中的单 摆对平衡位置的位移y与时间x的关系、 交流电的电流y与时间x的关系等都是形 如 y ? A sin( ?x ? ? )的函数.我们需要了解 它与函数y=sinx的内在联系.

?、A是影响函数图象形态的重要 2.

?、 参数,对此,我们分别进行探究.

1、函数 y=Asinx与y=sinx的图象的联系

例1:在同一坐标系,作函数y=2sinx和y=
图象,并指出它们的图象与y=sinx的关系

1 sinx 的 2

解:列表:
x
sin x 2 sin x
0 0 0 0
? 2

?

3? 2

2? 0 0 0

1

0 0 0

?1

2

?2

1 sin x 2

1 2

?1 2

描点、作图: y 2 1 O

y=2sinx y=sinx 2? ?
2

1 y = sinx ?1

x

?2

y 2 1

比较这两个函数与函 数y=sinx的图象的形 状和位置,你有什么 发现?

2?
O ? x

?1
?2 y=2sinx的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所有点 的纵坐标伸长到原来的 2倍。 1 y= 2sinx的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所有 点的纵坐标缩短到原来的 1 倍。 2

函数y=Asinx (A >0且A≠1)的图象可以 看作是把 y=sinx 的图象上所有点的纵坐 标伸长 (当A>1时)或缩短(当0<A<1时) 到 原来的A倍(横坐标不变) 而得到的。 y=Asinx ,x∈R的值域为[-A,A],最大值 为A,最小值为-A.这种变换称为振幅变换 。

2.函数 y=sinωx与y=sinx的图象的联系 例 2 :在同一坐标系内,作函数 y=sin2x 和 y=sin 1 2 x图象,并指出它们的图象与y=sinx的关系。 解:

1 对于函数 y ? sin x 2 1. 列表:

x
1 x 2
sin 1 x 2

0 0 0

?
?
2

2?
?

3?
3? 2

4? 2? 0

1

0

-1

2. 描点:
y

1
2? ? 3? 4? x

O
?1

对于函数y=

sin 2 x 1. 列表:

x
2x sin 2 x

0 0 0

?
? 2

4

?

2
?

3? 4
3? 2

?
2? 0

1

0

?1

2. 描点: 2 y
1 2? O ? 3? x

?1
?2

y 1

比较这两个函数与函 数y=sinx的图象的形 状和位置,你有什么 发现?

2?
O ?

3?

4? x

?1
y=sin 1 x的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所有 2 点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)。 y=sin 2x的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所有 1 点的横坐标缩短到原来的 2 倍(纵坐标不变)。

函数y=sin?x (? >0且?≠1)的图象

可以看作是把 y=sinx 的图象上所有点的
横坐标缩短(当?>1时)或伸长(当0<?<1时)

1 到原来的 倍(纵坐标不变) 而得到的。
这种变换称为周期变换

?

3.函数y=sin(x+φ ) 与y=sinx的图象的联系
) 例3:在同一坐标系内,作函数 3 ? 和 y ? sin( x ? 4 ) 图 象,并指出它们的 图象与y=sinx的关系。 y ? sin( x ?

?

解:

x x
x? ? x

? ?
3 4
? ?

? ? ? 3 4
0 0
0 0
1 O ?1 y

5 ?? 6 4
? ? 2 2
1 1

4 ? 3 ? 3 4
? ?
0 0

11 ? 5? 6 4
3? ? 3 2 2
-1 -1

7? ? 7 3 4
2 ? 2 ?
0 0

sin(x x? ? )) sin( 3 4
?

?
4

?
3

2? ?

x

函数y=sin(x+φ)图象
?

?
4

1

O

?
3

2?
?

x

?1
1 O

?

?
4

?
3

2?
?

x

?1

y ? sin( x ? ? )的图象,可以看作是把正 弦曲线 y ? sin x 上所有的点向左(当

?>0时)或向右(当 ?<0时)平行 移动|? |个单位长度而得到.这种变换
称为平移变换。

y ? sin x

纵 向

















A



y ? A sin x

(振幅变换)

横坐标伸长为原来的

1

?



y ? sin ?x (周期变换)

右 ? <0) (


向 左 (? >0) 平 移

|? |

y ? sin(x ? ? ) (平移变换)

思考:
我们学习了三种函数 y=sin(x±?), y=sin(?x),y=Asinx 的图象和函数 y=sinx 图象的关系,那么 y=Asin(?x+?) (A>0,?>0)的图象和函数 y=sinx 的图 象有何关系呢?

4、y=Asin(?x+?)(A>0,?>0)的图象和函数y=sinx的图象关系

例4.画出函数 y=3sin(2x+π/3),x∈R的简图

解:

x

?

?
6

?
12

?
3

列表
y

2x+3 3sin(2x+ 3 )
3

0
?

?

2

? 0

7 ? 12 3 ? 2

5 ? 6

2? 0

0 3

-3

对y=sinx的图象 经过怎样的移动 可以得到上题中 数图象?
? 12

?

?
6

0

? 3

7 ? 12

5 ? 6

x

例4.画出函数 y = 3sin(2x+π/3)的简图
?? 解:y = sinx ?? ? ? ? ?
各点向左平移 个单位 3

?

y ? sin( x ?

?
3

) ????? ????? ??

各点(纵坐标不变 ) 横坐标缩短到原来的

1 2

y ? sin( 2 x ? ) ??????????? ?? y ? 3 sin( 2 x ? 3 ) 3 y
各点( 横坐标不变 )纵坐标伸长到原来的 3倍

?

?

3

1
?
3

?

?

?0 ?
6

12

? 2

5 ? 6

?

5? 3

2?

x

一般地,函数 y ? A sin( ?x ? ? )(A>0, ?)的图象,可以由函数 y ? sin x >0 的图象经过怎样的变换而得到? 先把函数 y ? sin x 的图象向左(右)平移 |?|个单位长度,得到函数 y ? sin( x ? ? )的 图象;再把曲线上各点的横坐标变为原 1 来的 ? 倍,得到函数 y ? sin( ?x ? ? ) 的图 象;然后把曲线上各点的纵坐标变为原 来的A倍,就得到函数 y ? A sin( ?x ? ? ) 的图象.

上面我们学习了函数 y=Asin(?x+?) 的图象可由 y=sinx 图象 平移变换→周期变换→振幅变换 的顺序而得到,若按下列顺序可以得到 y=Asin(?x+?)的图象吗? ⑴ 周期变换→平移变换→振幅变换 ⑵ 振幅变换→平移变换→周期变换 ⑶ 平移变换→振幅变换→周期变换

或:y = sinx ???????????? y ? sin 2 x ?? ?? ? ? ??
各点(纵坐标不变 ) 横坐标缩短到原来的
各点向左平移 个单位 6

1 2

?

? ( 横坐标不变 )纵坐标伸长到原来的 3倍 ? ?各点 y ? 3 sin( 2 x ? ) ?? y ? sin( 2 x ? ) ?????????? 3
3

y
3

1
?0 ?
6

7 5 ? ? 12 6

?

12

? 2

?

2?

x

函数y = Asin(ωx+φ),x∈R的图象可由y=sinx经 过如下变换得到: y =sinx
1

各点沿x轴平移( φ>0 左移, φ<0 右移)

? 个单位

y =sin(x+φ )

各点横坐标伸长(0< ω<1)或缩短(ω>1)到 各点纵坐标

原来的 ? 倍(纵标坐标不变)

y =sin(ωx +φ )

伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍(横坐标不变)

y=Asin(ωx+φ)

或:
1

y =sinx 各点横坐标伸长(0< ω<1)或缩短(ω>1)到原来的
(纵标坐标不变)
? 右移) ? 个单位

? 倍

y =sinωx

各点沿x轴平移( φ>0 左移, φ<0

y =sin(ωx +φ )

各点纵坐标伸长(A>1

或缩短(0<A<1)到原来的A倍(横坐标不变)

y=Asin(ωx+φ)

y ? sin x

1 ? 例1、画出函数y ? 2sin( x ? )的图像 3 6
将图像向右平移 个单位 6

?

y ? sin( x ?

?

6

)

将横坐标伸长到原来的 3倍,纵坐标不变 x ? y ? sin( ? ) 3 6

将纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变 x ? y ? 2sin( ? ) 3 6

y ? sin x

1 ? 例1、画出函数y ? 2sin( x ? )的图像 3 6
将纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变

y ? 2sin x
将横坐标伸长到原来的 3倍,纵坐标不变

x y ? 2sin 3

将图像向右平移 个单位 2 x ? y ? 2sin( ? ) 3 6

?

练习:
1. 要得到y=3sin(x/2 +π/6),的图象只要 将y=sinx 作怎样的平移?
横坐标伸长为原来的 2倍 解:y=sinx ????? y=sin(xπ/6) ? ??????? ?? 倍 y=sin(1/2x- π/6) ?纵坐标伸长为原来的 ?????3 ? ? y=3sin(1/2x- π/6)

向右平移 ? 个单位 6

2. 将y=2sin2x的图象作怎样的变换可得 到y=2sin(2x-π/4),的图象?
? 解:向右平移 个单位 8

3. 将y=3sin(3x +π/4)的图象向__右_____平 ? 移______ 个单位便可得到y=2sin3x的图象. 4.已知函数y=2sin(2x +π/3)的图象每点的纵 坐标伸长到原来的 2 倍后 , 再将每点向左平 ? 移 个单位 ,然后再将所得图象上每一点的 6 横坐标伸长到原来的3倍,求所得图象的解 析式.
解:y=sin(2x +π/3)

12

y=6sin(2x +π/3)

y=6sin[2(x +π/6)+ π/3]= 6sin(2x +2π/3 ) y=6sin[2(x/3) +2π/3 ]=6sin(2x/3 +2π/3 )

课堂小结
本节课我们进一步探讨了三角函数 各种变换的实质和函数 y=Asin(?x+?) (A>0,?>0)的图象的画法.并通过改变 各种变换的顺序而发现:平移变换应在 周期变换之前,否则得到的函数图象不 是函数 y=Asin(?x+?)的图象由 y=sinx 图象的得到.


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