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广东省东莞市2015届高三数学小综合专题练习 函数与导数 理


2015 届高三理科数学小综合专题练习——函数与导数
一 选择题 1. 已知幂函数

f ? x ? ? x?m


2

? 2 m?3

(m ? ) ? 0, ?? ? 上是单调增函数,则 Z 为偶函数,且在区间

f ? 2?
A2

>
的值为( B4

C8

D 16

2.已知命题 A p?q

" " x ? 2" 的充分不必要条件 p : 对任意 x ? R ,总有 2 x ? 0 ; q : "x ? 1是
) C ?p ? q D p ? ?q ) D d ? a?c ) B ?p ? ?q

则下列命题为真命题的是(

3.已知 b ? 0 , A d ? ac

log5 b ? a,lg b ? c,5d ? 10 ,则下列等式一定成立的是(
B a ? cd C c ? ad ”的单调递增函数是(
x

7.下列函数中,满足“

f ( x ? y) ? f ( x) f ? y ?

A

f ? x? ? x

1 2

B

f ? x ? ? x3

?1? f ? x? ? ? ? ?2? C

D

f ? x ? ? 3x

f ? x ? ? log 1 ? x 2 ? 4 ?
8.函数 A
2

的单调递增区间是( B

) D

? 0, ?? ?

? ??,0?
x

C

? 2, ???

? ??, ?2?

二 填空题

(x + 1)e > 1 ,则 ? p 为 1.已知命题 p : " x > 0 ,总有
(2 x ? e )dx ? 2.定积分 ?
x 0 1

.

.

??4 x2 ? 2, ?1 ? x ? 0 f ? x? ? ? f ( x ) x ? [ ? 1,1) ? x,0 ? x ? 1 R 2 3.设 是定义在 上的周期为 的函数, 当 时, ,
3 f ( )= 则 2 _
4.已知函数

_.

f ( x) = x 2 + 3x

f (x)- a x - 1 = 0 , x ? R .若方程 恰有 4 个互异的实数根,则
? 1?

实数 a 的取值范围为__________.

5.已知

f ( x) ? ln

? 1 ? x ? x ? ,则 f ?ln 3? ? f ?? ln 3 ?? ?
2

.

-1-

三 解答题

1.已知函数

f ? x? ?

x ?1? a a?x .

1 ? ? a ? , a ? 1? ? f ? x? 2 ? 时,求函数 f ? x ? 的值域; ⑴ 当函数 的定义域为 ?
⑵ 设函数

g ? x ? ? x2 ? ? x ? a ? f ? x ?

,求函数

g ? x?

的最小值.

2.已知函数

f ? x ? ? 2x ? ? ? 2? x ? ? ? R ?

f ? x? 当 ? ? ?1 时,求 的零点的值;
若函数

f ? x?

为偶函数,求实数 ? 的值;

1 ? f ? x? ? 4 x ??0,1? ⑶ 若不等式 2 对任意的 恒成立,求实数 ? 的取值范围.

3.已知函数 ⑴ 若 ⑵ 若 区间

f ? x ? ? lg ? x ?1?

. ,求 x 的取值范围;

0 ? lg ? 2 ? 2x ? ? lg ? x ?1? ? 1
g ? x?

y ? g ? x? g ? x? ? f ? x? 是以 2 为周期的偶函数,且当 0 ? x ? 1 时,有 ,求函数 在

?1, 2? 上的值域.

-2-

4. 设函数 ⑴ 求

f ? x ? ? ln x ? x2 ? ax
的单调递减区间;

, x ? 1 是函数

f ? x?

的极值点.

f ? x?

⑵ 设

g ? x ? ? f ? x ? ? x2 ? 3x

,求证:当 x ? 2 时,
n ?1

g ? x? ?

1 2 ? x ? 1? 4 ;

⑶ 在⑵的条件下,求证:对 n ? N ,
*

1 3n2 ? 5n ? ? ? n ? 1?? n ? 2? k ?2 g ? k ?

.

f ( x) ? ln x ?
5.设函数

m ,m? R x .

当 m ? e ( e 为自然对数的底数)时,求

f ? x?

的最小值;

讨论函数

g ? x? ? f ?? x? ?

x 3 零点的个数;

b ? a ? 0,
⑶ 若对任意

f ?b? ? f ? a ? ?1 b?a 恒成立,求 m 的取值范围.

参考答案 一 选择题 1.D 2.D 二 填空题 1.

3.B

4.D

5.D

x ?x0 ? 0 ,使得 (x0 + 1)e 0 ? 1 ; 2. e ; 3.1

4. 0 < a < 1 或 a > 9

5.0

三 解答题

-3-

1 x ?1? a 1? ?a ? x? 1 ?? x? ? f ?0 2 f ? x? ? ? ? ?1 a ? x ? ? a?x a?x a?x , 1.解:⑴

所以函数

f ? x?

1 ? ? a ? , a ? 1? ? 2 ? 上单调递增(也可以用定义作差) 在区间 ?

1 f ? x ?min ? f (a ? ) ? ?3, f ? x ?max ? f (a ? 1) ? ?2 2
所以函数

f ? x?
2

的值域为

??3, ?2? .

2 ? ? x ? x ? 1 ? a, ? x ? a ? 1? g ? x? ? x ? x ?1? a ? ? 2 ? ? x ? x ? 1 ? a, ? x ? a ? 1? , ⑵

a?


1 1 1 1 3 (??, ? ) (? , ??) g ? x ?min ? g (? ) ? ? a 2 时,函数在 2 递减,在 2 2 4 递增, ;

1 3 ?a? 2 2 时,函数在 (??, a ? 1) 递减,在 (a ? 1, ??) 递增, g ? x ?min ? g (a ?1) ? (a ?1) ; 当2 a?


3 1 1 1 5 (??, ) ( , ??) g ? x ?min ? g ( ) ? a ? 2 时,函数在 2 递减,在 2 2 4. 递增, f ? x ? ? 2x ?
?x

2.解: (1)当 ? ? ?1 时, ⑵

1 1 f ? x ? ? 2x ? x ? 0 x x 2 ,令 2 ,得 2 ? 1, x ? 0 ;

f ? ?x ? ? f ? x ?

,故 2

x ?x ? ? ? 2x ? 2x ? ? ? 2? x ,整理得: ? 2 ? 2 ? ?1 ? ? ? ? 0

上式对于任意实数恒成立,故 ? ? 1 ;

1 ? 2 x ? ? ? 2? x ? 4 2x ? t, t ??1, 2? 2 ⑶ ,令 t?

?
t

?

1 1 1 ? ? ?t 2 ? t ??? 2; 2 恒成立,即 2 恒成立,得:

t?

?
t

?4

2 恒成立,即 ? ? ?t ? 4t 恒成立,得: ? ? 3

? 1 ? ? ? ,3? 故实数 ? 的取值范围是 ? 2 ? .
0 ? lg
3.解: (1)

2 ? 2x 2 ? 2x 2 1 ? 1,1 ? ? 10 ? ?x? x ?1 x ?1 3; ,解得: 3

-4-

(2) 因为函数

g ? x?

是以 2 为周期的偶函数, 在区间

?1, 2? 上的值域等于其在区间 ??1,0? 上的值

域,根据图像的对称性可知与函数

f ? x?

在区间

?0,1? 上值域相同,值域为 ?0,lg 2? .

4.解:解:⑴

f ?? x? ?

1 ? 2x ? a x ,

f ? ?1? ? 1? 2 ? a ? 0,?a ? ?3, f ? x ? ? ln x ? x2 ? 3x
f ?? x? ?

由 ⑵

?1 ? 1 2 x 2 ? 3x ? 1 ? 2x ? 3 ? ?0 ? ,1? x x ,且 x ? 0 得:原函数减区间为 ? 2 ? ;
,构造函数

g ? x ? ? ln x ? x2 ? 3x ? x2 ? 3x ? ln x
2

h ? x ? ? 4ln x ? x2 ?1

2 ? x ? 2? 4 h? ? x ? ? ? 2 x ? ? ?0 x x 当 x ? 2 时,
所以函数 故

h ? x ? ? 4ln x ? x2 ?1

在区间

? 2, ?? ? 单调递减,
,不等式成立;

h ? x ?max ? 4ln 2 ? 3 ? ln16 ? ln e3 ? 0
ln x ?

⑶ 由⑵知:当 x ? 2 时,

1 2 ? x ? 1? 4 ,

所以

1 4 4 1 ? ? 1 ? 2 ? ? 2? ? ? ln x x ? 1 ? x ? 1?? x ? 1? ? x ?1 x ? 1 ? 1 1 ? ? 1 ? 2? ? ? g ?k ? ? k ?1 k ? 1 ?



即当 k ? 2 时, 当 n ? 2 时:

1 1 1 1 1 1 ? 3n2 ? 5n ? 1 ? ? ? L ? ? 2 1 ? ? ? ? ? ? ? ln 2 ln 3 ln ? n ? 1? ? 2 n ? 1 n ? 2 ? ? n ? 1?? n ? 2 ? k ?2 g ? k ?
n ?1

又当 n ? 1 时上式也能成立 原命题得证. 5.解: (1)由题设,当 m ? e 时,

f ( x) ? ln x ?

e x ,易得函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??)

? f ?( x) ?

1 e x?e ? ? 2 x x2 x

? 当 x ? (0, e) 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 在 (0, e) 上单调递减;
-5-

? 当 x ? (e, ??) 时, f ( x) ? 0 ,此时 f ( x) 在 (e, ??) 上单调递增;

? 当 x ? e 时, f ( x) 取得极小值

f (e) ? ln e ?

e ?2 e

? f ( x) 的最小值为 2
g ( x) ? f ?( x) ? 1 3 x 1 m x 1 ? ? 2 ? ( x ? 0) m ? ? x 3 ? x( x ? 0) 3 x x 3 3 ,令 g ( x) ? 0 ,得
2 ???( x ) ? ? x ? 1 ? ? (x

(2)? 函数

? ( x) ? ? x3 ? x( x ? 0)


? 1 )x( ? 1 )

? 当 x ? (0,1) 时, ? ( x) ? 0 ,此时 ? ( x) 在 (0,1) 上单调递增; ? 当 x ? (1, ??) 时, ? ( x) ? 0 ,此时 ? ( x) 在 (1, ??) 上单调递减;
所以 x ? 1 是 ? ( x) 的唯一极值点,且是极大值点,因此 x=1 也是 ? ( x) 的最大值点,

? ? ( x) 的最大值为
m?


? (1) ? ? ? 1 ?

1 3

2 3 ,又 ? (0) ? 0 ,结合 y= ? ( x) 的图像(如图) ,可知

2 2 m? g ( x ) 3 时,函数 3 时,函数 g ( x) 有且仅有一个零点; 无零点;②当 2 3 时,函数 g ( x) 有两个零点;④ m ? 0 时,函数 g ( x) 有且只有一个零点; m? 2 2 m? 3 时,函数 g ( x) 无零点;当 3 或 m ? 0 时,函数 g ( x) 有且仅有一个零

0?m?
③当

综上所述,当

0?m?
点;当

2 3 时,函数 g ( x) 有两个零点. f (b) ? f (a) ?1 b?a 恒成立

b ? a ? 0,
对任意

等价于 f (b) ? b ? f (a) ? a 恒成立

h( x) ? f ( x) ? x ? ln x ?


m ? x( x ? 0) x

?等价于h( x) 在 (0, ??) 上单调递减

-6-

? h?( x) ?

1 m ? ?1 ? 0 x x2 在 (0, ??) 恒成立

1 1 ? m ? ? x 2 ? x ? ?( x ? ) 2 ? ( x ? 0) 2 4 恒成立

?m ?

?1 ? 1 1 1 , ?? ? m? x? ? ? x) ( =0 仅在 ? 4 (对 4 ,h 2 时成立) ,?m 的取值范围是 ? 4

-7-


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