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已知向量m =(cosx,-1),向量n=(√3sinx,


已知向量 m =(cosx,-1),向量 n=(√3sinx,-1/2 ),函数 f(x)=( m +n )?m . (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期 T; (Ⅱ)已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A,B,C 的对边,A 为锐角,a=1,c=√2 , 且 f(A)恰是 f(x)在[0,π /2 ]上的最大值,求 A,b 和△ABC 的面积.

考点:余弦定理;平面向量数量积的运算;三角函数中的恒等变换应用;三角函
数的周期性及其求法;正弦定理.

专题:计算题. 分析:(I)根据向量数量积的坐标公式,并且结合三角函数的降次公式和辅助
角公式化简,得 f(x)=sin(2x+π /6)+2,再结合三角函数的周期公式,即可 得到 f(x)的最小正周期 T; (II)根据(I)的表达式并且 A 为锐角,得当 A=π /6 时,f(x)有最大值 3, 结合余弦定理和题中数据列式,解出 b=1 或 b=2,最后利用正弦定理可得△ABC 的面积.

解答:解:(Ⅰ)∵m+n=(cosx+√3sinx,-3/2)
∴(m+n)?m=cosx(cosx+√3sinx)+3/2=1/2(1+cos2x)+√3/2sin2x+3/2…(2 分) ∴f x) (1+cos2x) ( =1/2 +√3/2sin2x+3/2=√3/2sin2x+1/2cos2x+2=sin 2x+π /6) ( +2…(5 分). ∴f(x)的最小正周期 T=2π /2=π .…(6 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知:f(A)=sin(2A+π /6)+2 ∵A 为锐角,π /6<2A+π /6<7π /6 ∴当 2A+π /6=π /2 时,即 A=π /6 时,f(x)有最大值 3,…(8 分) 由余弦定理,a2=b2+c2-2bccosA, ∴1=b +3-2×√3×b×cosπ /6,∴b=1 或 b=2,…(10 分) ∵△ABC 的面积 S=1/2bcsinA ∴当 b=1 时,S=1/2×1×√3×sinπ /6=√3/4;当当 b=2 时, S=1/2×2×√3×sinπ /6=√3/2.…(12 分) 综上所述,得 A=π /6,b=1,S△ABC=√3/4 或 A=π /6,b=2,S△ABC=√3/2.
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点评:本题是一道三角函数综合题,着重考查了运用正余弦定理解三角形、三角
函数的周期性及其求法、 三角恒等变形和平面向量数量积的运算等知识点,属于 中档题.


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