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福建省三明一中实验班2015-2016学年高二上学期第一次月考数学试卷(理科) Word版含解析


2015-2016 学年福建省三明一中实验班高二(上)第一次月考数学试卷(理科)

一、选择题(本题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题只有一个选项符合题意,请将 正确答案填入答题卷中. ) 1.若将两个数 a=8,b=17 交换,使 a=17,b=8,下面语句正确的一组是( )

A.

B.


C.

D.

2.从装有红球、白球和黑球各 2 个的口袋内一次取出 2 个球,则与事件“两球都为白球” 互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球; ②两球恰有一白球; ③两球至少有一 个白球”中的哪几个?( )

A.①② B.①③ C.②③ D.①②③

3.设平面 α 与平面 β 相交于直线 m,直线 a 在平面 α 内.直线 b 在平面 β 内,且 b⊥m, 则“α ⊥β ”是“a⊥b”的( A.充分不必要条件 )

B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

4.若下列程序执行的结果是 3,则输入的 x 的值是(

)

A.3

B.﹣3 C.3 或﹣3

D.0

5. 已知两点 M (﹣2, 0) 、 N (2, 0) , 点 P 为坐标平面内的动点, 满足 则动点 P(x,y)的轨迹方程为( A.y2=8x B.y2=﹣8x )

=0,

C.y2=4x D.y2=﹣4x

6.如果在一次试验中,测得(x,y)的四组值分别是 A(1,3) 、B(2,3.8) 、C(3,5.2) 、 D(4,6) ,则 y 与 x 的回归直线方程是( )

A.y=x+1.9 B.y=1.04x+1.9 C.y=0.95x+1.04 D.y=1.05x﹣0.9

7.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出 s 的值为(

)

A.﹣1 B.0

C.1

D.3

8.过椭圆 程是( )

+

=1 内的一点 P(2,﹣1)的弦,恰好被 P 点平分,则这条弦所在的直线方

A.5x﹣3y﹣13=0 B.5x+3y﹣13=0 C.5x﹣3y+13=0 D.5x+3y+13=0

9.已知一组数据 x1,x2,x3,x4,x5 的平均数是 2,方差是 ,那么另一组数据 3x1﹣2,3x2 ﹣2,3x3﹣3,3x4﹣2,3x5﹣2 的平均数和方差分别为( )

A.2, B.4,3 C.4, D.2,1

10.分别在区间和内任取一个实数,依次记为 m 和 n,则 m>n 的概率为( A. B. C. D.

)

11. 设 F1、 F2 是椭圆

的左、 右焦点, P 为直线 x= )

上一点, △F2PF1

是底角为 30°的等腰三角形,则 E 的离心率为( A. B. C. D.

12.下列命题中真命题的个数是( ①? x∈R,x >x ;
4 2

)

②若 p∧q 是假命题,则 p、q 都是假命题; ③命题“? x∈R,x +2x +4≤0”的否定为“? x0∈R,x0 +2x0 +4>0”
3 2 3 2

A.0

B.1

C.2

D.3

二、填空题(本题 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知三个数 12(16) ,25(7) ,33(4) ,将它们按由小到大的顺序排列为__________.

14.已知椭圆的方程是

(a>5) ,它的两个焦点分别为 F1,F2,且|F1F2|=8,弦 AB

(椭圆上任意两点的线段)过点 F1,则△ABF2 的周长为__________.

15. 若命题“? x∈R, 使得 x2+ (a﹣1) x+1<0”是真命题, 则实数 a 的取值范围是__________.

16.给定下列命题: ①若 k>0,则方程 x2+2x﹣k=0 有实数根; ②“若 a>b,则 a+c>b+c”的否命题;

③“矩形的对角线相等”的逆命题; ④“若 xy=0,则 x、y 中至少有一个为 0”的否命题. 其中真命题的序号是__________.

三、解答题(共 6 题,70 分) ,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.用秦九韶算法求多项式 f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1,当 x=2 时的值.

18.设命题 p: (4x﹣3)2≤1;命题 q:x2﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0,若¬p 是¬q 的必要不 充分条件,求实数 a 的取值范围.

19.某产品的广告支出 x(单位:万元)与销售收入 y(单位:万元)之间有下表所对应的 数据. 广告支出 x(单位:万 元) 销售收入 y(单位:万 元) (1)画出表中数据的散点图; (2)求出 y 对 x 的线性回归方程; (3)若广告费为 9 万元,则销售收入约为多少万元? 12 28 42 56 1 2 3 4

20.汽车厂生产 A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如 下表(单位:辆) ; 轿车 A 舒适型 标准型 100 300 轿车 B 150 450 轿车 C z 600

按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆. (Ⅰ)求 z 的值; (Ⅱ)用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本,将该样本看成一个总体, 从中任取 2 辆,求至少有 1 辆舒适型轿车的概率;

(Ⅲ) 用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆, 经检测它们的得分如下: 9.4, 8.6, 9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这 8 辆轿车的得分看成一个总体,从中任取一个数,求 该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率.

21.从高三抽出 50 名学生参加数学竞赛,由成绩得到如图的频率分布直方图. 试利用频率分布直方图求: (1)这 50 名学生成绩的众数与中位数. (2)这 50 名学生的平均成绩. (答案精确到 0.1)

22.已知椭圆

的离心率为

,直线

与椭圆相交于 A,B 两

点,点 M 在椭圆上,

.求椭圆的方程.

2015-2016 学年福建省三明一中实验班高二(上)第一次月考数学试卷(理科)

一、选择题(本题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题只有一个选项符合题意,请将 正确答案填入答题卷中. ) 1.若将两个数 a=8,b=17 交换,使 a=17,b=8,下面语句正确的一组是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】赋值语句. 【专题】图表型. 【分析】要实现两个变量 a,b 值的交换,需要借助中间量 c,先把 b 的值赋给中间变量 c, 再把 a 的值赋给变量 b,把 c 的值赋给变量 a. 【解答】解:先把 b 的值赋给中间变量 c,这样 c=17,再把 a 的值赋给变量 b,这样 b=8, 把 c 的值赋给变量 a,这样 a=17. 故选 B 【点评】本题考查的是赋值语句,考查逻辑思维能力,属于基础题.

2.从装有红球、白球和黑球各 2 个的口袋内一次取出 2 个球,则与事件“两球都为白球” 互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球; ②两球恰有一白球; ③两球至少有一 个白球”中的哪几个?( )

A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【考点】互斥事件与对立事件. 【专题】整体思想;综合法;概率与统计. 【分析】结合互斥事件和对立事件的定义,即可得出结论 【解答】解:根据题意,结合互斥事件、对立事件的定义可得,事件“两球都为白球”和事 件“两球都不是白球”; 事件“两球都为白球”和事件“两球中恰有一白球”; 不可能同时 发生,故它们是互斥事件. 但这两个事件不是对立事件,因为他们的和事件不是必然事件.

故选:A 【点评】本题考查互斥事件与对立事件.首先要求理解互斥事件和对立事件的定义,理解互 斥事件与对立事件的联系与区别. 同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件, 属简单 题.

3.设平面 α 与平面 β 相交于直线 m,直线 a 在平面 α 内.直线 b 在平面 β 内,且 b⊥m, 则“α ⊥β ”是“a⊥b”的( A.充分不必要条件 )

B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;平面与平面垂直的性质. 【专题】简易逻辑;立体几何. 【分析】通过两个条件之间的推导,利用平面与平面垂直的性质以及结合图形,判断充要条 件即可. 【解答】解:由题意可知 α ⊥β ,b⊥m? a⊥b,另一方面,如果 a∥m,a⊥b,如图, 显然平面 α 与平面 β 不垂直.所以设平面 α 与平面 β 相交于直线 m,直线 a 在平面 α 内.直线 b 在平面 β 内,且 b⊥m,则“α ⊥β ”是“a⊥b”的充分不必要条件. 故选 A.

【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断,平面与平面垂直的性质,考查空 间想象能力与作图能力.

4.若下列程序执行的结果是 3,则输入的 x 的值是(

)

A.3

B.﹣3 C.3 或﹣3

D.0

【考点】选择结构. 【专题】阅读型. 【分析】先根据算法语句写出分段函数,然后讨论 x 的正负,根据函数值求出自变量即可 【解答】解:根据条件语句可知是计算 y= 当 x<0,时﹣x=3,解得:x=﹣3 当 x≥0,时 x=3,解得:x=3 故选 C. 【点评】本题主要考查了分段函数,以及条件语句,算法语句是新课标新增的内容,在近两 年的新课标地区高考都考查到了,这启示我们要给予高度重视.

5. 已知两点 M (﹣2, 0) 、 N (2, 0) , 点 P 为坐标平面内的动点, 满足 则动点 P(x,y)的轨迹方程为( A.y2=8x B.y2=﹣8x )

=0,

C.y2=4x D.y2=﹣4x

【考点】抛物线的标准方程;抛物线的定义. 【专题】计算题. 【分析】先根据 MN 的坐标求出|MN|然后设点 P 的坐标表示出关系 即可得到答案. 【解答】解:设 P(x,y) ,x>0,y>0,M(﹣2,0) ,N(2,0) , 则 由 , =0

则 化简整理得 y2=﹣8x. 故选 B



【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算,抛物线的定义.向量的坐标表示和数量积的 性质在平面向量中的应用是学习的重点和难点. 也是高考常常考查的重要内容之一. 在平时 请多多注意用坐标如何来表示向量平行和向量垂直, 既要注意它们联系, 也要注意它们的区 别.

6.如果在一次试验中,测得(x,y)的四组值分别是 A(1,3) 、B(2,3.8) 、C(3,5.2) 、 D(4,6) ,则 y 与 x 的回归直线方程是( )

A.y=x+1.9 B.y=1.04x+1.9 C.y=0.95x+1.04 D.y=1.05x﹣0.9 【考点】线性回归方程. 【专题】计算题;应用题. 【分析】根据所给的这组数据,取出这组数据的样本中心点,把样本中心点代入所给的四个 选项中验证,若能够成立的只有一个,这一个就是线性回归方程. 【解答】解:∵ = =2.5, = =4.5,

∴这组数据的样本中心点是(2.5,4.5) 把样本中心点代入四个选项中,只有 y=1.04x+1.9 成立, 故选 B. 【点评】本题考查求线性回归方程,一般情况下是一个运算量比较大的问题,解题时注意平 均数的运算不要出错,注意系数的求法,运算时要细心,但是对于一个选择题,还有它特殊 的加法.

7.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出 s 的值为(

)

A.﹣1 B.0

C.1

D.3

【考点】条件语句;循环语句. 【专题】算法和程序框图. 【分析】本题主要考查条件语句与循环语句的基本应用,属于容易题. 【解答】解:第一次运行程序时 i=1,s=3; 第二次运行程序时,i=2,s=2; 第三次运行程序时,i=3,s=1; 第四次运行程序时,i=4,s=0, 此时执行 i=i+1 后 i=5,推出循环输出 s=0, 故选 B 【点评】涉及循环语句的问题通常可以采用一次执行循环体的方式解决.

8.过椭圆 程是( )

+

=1 内的一点 P(2,﹣1)的弦,恰好被 P 点平分,则这条弦所在的直线方

A.5x﹣3y﹣13=0 B.5x+3y﹣13=0 C.5x﹣3y+13=0 D.5x+3y+13=0 【考点】椭圆的简单性质;中点坐标公式. 【专题】计算题.

【分析】设过点 P 的弦与椭圆交于 A1,A2 两点,并设出他们的坐标,代入椭圆方程联立,两 式相减,根据中点 P 的坐标可知 x1+x2 和 y1+y2 的值,进而求得直线 A1A2 的斜率,根据点斜式 求得直线的方程.

【解答】解:设过点 P 的弦与椭圆交于 A1(x1,y1) ,A2(x2,y2)两点,则

,且

x1+x2=4,y1+y2=﹣2, ∴ (x1﹣x2)﹣ (y1﹣y2)=0,

∴kA1A2=

= .

∴弦所在直线方程为 y+1= (x﹣2) , 即 5x﹣3y﹣13=0. 故选 A. 【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质和直线与椭圆的位置关系.涉及弦长的中点问题, 常用“点差法”设而不求,将弦所在直线的斜率、 弦的中点坐标联系起来,相互转化.

9.已知一组数据 x1,x2,x3,x4,x5 的平均数是 2,方差是 ,那么另一组数据 3x1﹣2,3x2 ﹣2,3x3﹣3,3x4﹣2,3x5﹣2 的平均数和方差分别为( A.2, B.4,3 C.4, D.2,1 【考点】极差、方差与标准差;众数、中位数、平均数. 【专题】计算题. 【分析】本题可将平均数和方差公式中的 x 换成 3x﹣2,再化简进行计算. 【解答】解:∵x1,x2,?,x5 的平均数是 2,则 x1+x2+?+x5=2×5=10. ∴数据 3x1﹣2,3x2﹣2,3x3﹣2,3x4﹣2,3x5﹣2 的平均数是: ′= = =4, S′2= ×, = ×=9× =3. )

故选 B. 【点评】本题考查的是方差和平均数的性质.设平均数为 E(x) ,方差为 D(x) .则 E(cx+d) =cE(x)+d;D(cx+d)=c2D(x) .

10.分别在区间和内任取一个实数,依次记为 m 和 n,则 m>n 的概率为( A. B. C. D.

)

【考点】几何概型. 【专题】计算题. 【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义,关键是要找出满足条件 m>n 的图形面积, 及在区间和内的点对应的面积,再代入几何概型计算公式求解. 【解答】解:如图,则在区间和内任取一个实数, 依次记为 m 和 n,则(m,n)表示的图形面积为 3×5=15 其中满足 m>n,即在直线 m=n 右侧的点表示的图形面积为: ,

故 m>n 的概率 P= 故选 A.



【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”,可以为线段长度、面积、体积等,而 且这个“几何度量”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.解决的步骤均为:求出满足 条件 A 的基本事件对应的“几何度量”N(A) ,再求出总的基本事件对应的“几何度量”N, 最后根据 P=N(A)/N 求解.

11. 设 F1、 F2 是椭圆

的左、 右焦点, P 为直线 x= )

上一点, △F2PF1

是底角为 30°的等腰三角形,则 E 的离心率为( A. B. C. D.

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】 利用△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形, 可得|PF2|=|F2F1|, 根据 P 为直线 x= 一点,可建立方程,由此可求椭圆的离心率. 【解答】解:∵△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形, ∴|PF2|=|F2F1| ∵P 为直线 x= ∴ ∴ 故选 C. 上一点 上

【点评】本题考查椭圆的几何性质,解题的关键是确定几何量之间的关系,属于基础题.

12.下列命题中真命题的个数是( ①? x∈R,x >x ;
4 2

)

②若 p∧q 是假命题,则 p、q 都是假命题; ③命题“? x∈R,x3+2x2+4≤0”的否定为“? x0∈R,x03+2x02+4>0” A.0 B.1 C.2 D.3

【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】转化思想;反证法;简易逻辑. 【分析】①不正确,例如取 x= ,则 ;

②由 p∧q 是假命题,则 p、q 至少有一个是假命题,即可判断出真假; ③利用命题的否定定义即可判断出正误. 【解答】解:①? x∈R,x4>x2,不正确,例如取 x= ,则 ②若 p∧q 是假命题,则 p、q 至少有一个是假命题,因此不正确; ③命题“? x∈R,x3+2x2+4≤0”的否定为“? x0∈R,x03+2x02+4>0”,正确. 因此真命题的个数是 1. 故选:B. 【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. ;

二、填空题(本题 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 已知三个数 12(16) , 25(7) , 33(4) , 将它们按由小到大的顺序排列为 33(4)<12(16)<25(7) . 【考点】进位制. 【专题】计算题;规律型;转化思想;算法和程序框图. 【分析】将各数转化为十进制数,从而即可比较大小. 【解答】解:∵将各数转化为十进制数: 12(16)=1×161+2×160=18, 25(7)=2×71+5×70=5+14=19, 33(4)=3×4 +3×4 =13, ∴33(4)<12(16)<25(7) . 故答案为:33(4)<12(16)<25(7) . 【点评】 本题主要考察了其他进制转换为十进制的方法是依次累加各位数字上的数×该数位 的权重,属于基本知识的考查.
1 0

14.已知椭圆的方程是

(a>5) ,它的两个焦点分别为 F1,F2,且|F1F2|=8,弦 AB .

(椭圆上任意两点的线段)过点 F1,则△ABF2 的周长为

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】根据椭圆方程得椭圆的焦点在 x 轴上,由焦距|F1F2|=8 得 c=4,结合 b2=25 算出 .最后根据椭圆的定义,即可算出△ABF2 的周长. 【解答】解:∵椭圆的方程是 ∴椭圆的焦点在 x 轴上, ∵焦距|F1F2|=8=2c,得 c=4 ∴a2=b2+c2=25+42,可得 . (a>5) ,

∵|AB|=|AF1|+|BF1|,由椭圆的定义,得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=2 ∴△ABF2 的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|= 故答案为: 【点评】本题给出椭圆的方程,求椭圆经过焦点的弦与右焦点构成的三角形的周长.着重考 查了椭圆的定义、标准方程与简单几何性质等知识,属于基础题. .

15.若命题“? x∈R,使得 x +(a﹣1)x+1<0”是真命题,则实数 a 的取值范围是(﹣∞,
2

﹣1)∪(3,+∞) . 【考点】二次函数的性质. 【专题】计算题. 【分析】因为不等式对应的是二次函数,其开口向上,若“? x∈R,使得 x +(a﹣1)x+1
2

<0”,则相应二次方程有不等的实根. 【解答】解:∵“? x∈R,使得 x +(a﹣1)x+1<0
2

∴x2+(a﹣1)x+1=0 有两个不等实根 ∴△=(a﹣1) ﹣4>0 ∴a<﹣1 或 a>3 故答案为: (﹣∞,﹣1)∪(3,+∞) 【点评】本题主要考查一元二次不等式,二次函数,二次方程间的相互转化及相互应用,这 是在函数中考查频率较高的题目,灵活多变,难度可大可小,是研究函数的重要方面.
2

16.给定下列命题:

①若 k>0,则方程 x +2x﹣k=0 有实数根; ②“若 a>b,则 a+c>b+c”的否命题; ③“矩形的对角线相等”的逆命题; ④“若 xy=0,则 x、y 中至少有一个为 0”的否命题. 其中真命题的序号是①②④. 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】简易逻辑. 【分析】利用判别式的符号判断①的正误;命题的否命题的真假判断②的正误;逆命题的真 假判断③的正误;通过命题的否命题的真假判断④的正误; 【解答】解:对于①,若 k>0,则方程 x2+2x﹣k=0 有实数根,∵△4+4k>0,∴方程 x2+2x ﹣k=0 有两个不相等的实数根;①正确; 对于②,“若 a>b,则 a+c>b+c”的否命题:若 a≤b,则 a+c≤b+c,满足不等式的基本性 质,∴②正确; 对于③,“矩形的对角线相等”的逆命题:对角线相等的四边形是矩形,显然不正确,例如 等腰梯形,∴③不正确; 对于④, “若 xy=0, 则 x、 y 中至少有一个为 0”的否命题: 若 xy≠0, 则 x、 y 中都不为 0. 正 确; 正确命题:①②④. 故答案为:①②④. 【点评】本题考查命题的真假的判断,命题的否定以及四种命题的关系,考查基本知识的应 用.

2

三、解答题(共 6 题,70 分) ,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.用秦九韶算法求多项式 f(x)=8x +5x +3x +2x+1,当 x=2 时的值. 【考点】算法的概念. 【专题】计算题. 【分析】利用秦九韶算法一步一步地代入运算,注意本题中有几项不存在,此时在计算时, 我们应该将这些项加上,比如含有 x 这一项可看作 0?x . 【解答】解:根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式 f(x)=8x7+5x6+0?x5+3?x4+0?x3+0?x2+2x+1
3 3 7 6 4

=( ( ( ( ( (8x+5)x+0)x+3)x+0)x+0)x+2)x+1 v0=8,v1=8×2+5=21 v2=21×2+0=42,v3=42×2+3=87 v4=87×2+0=174,v5=174×2+0=348 v6=348×2+2=698,v7=698×2+1=1397. ∴当 x=2 时,多项式的值为 1397. 【点评】一般地,一元 n 次多项式的求值需要经过 算法只需要 n 次乘法和 n 次加法. 次乘法和 n 次加法,而秦九韶

18.设命题 p: (4x﹣3) ≤1;命题 q:x ﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0,若¬p 是¬q 的必要不 充分条件,求实数 a 的取值范围. 【考点】一元二次不等式的解法;充要条件. 【专题】计算题. 【分析】分别解出命题 p 和命题 q 中不等式的解集得到集合 A 和集合 B,根据?p 是?q 的必 要不充分条件,得到 q 是 p 的必要不充分条件,即 q 推不出 p,而 p 能推出 q.说明 P 的解 集被 q 的解集包含,即集合 A 为集合 B 的真子集,列出关于 a 的不等式,求出不等式的解集 即可得到 a 的取值范围. 【解答】解:设 A={x|(4x﹣3) ≤1},B={x|x ﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0}, 易知 A={x| ≤x≤1},B={x|a≤x≤a+1}. 由?p 是?q 的必要不充分条件,从而 p 是 q 的充分不必要条件,即 A? B, 且两等号不能同时取. 故所求实数 a 的取值范围是. 【点评】此题考查了一元二次不等式的解法,掌握两命题之间的关系,是一道综合题.
2 2

2

2

19.某产品的广告支出 x(单位:万元)与销售收入 y(单位:万元)之间有下表所对应的 数据. 广告支出 x(单位:万 元) 1 2 3 4

销售收入 y(单位:万 元)

12

28

42

56

(1)画出表中数据的散点图; (2)求出 y 对 x 的线性回归方程; (3)若广告费为 9 万元,则销售收入约为多少万元? 【考点】线性回归方程. 【专题】应用题. 【分析】 (1)根据所给的数据构造有序数对,在平面直角坐标系中画出散点图. (2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近,得到这组数据符合线性相关,求出利 用最小二乘法所需要的数据,做出线性回归方程的系数,得到方程. (3)把 x=9 代入线性回归方程,估计出当广告费为 9 万元时,销售收入约为 129.4 万元. 【解答】解: (1)散点图如图:

i 1 2 3 4

xi 1 2 3 4

yi 12 28 42 56

xi 1 4 9

2

xiyi 12 56 126 224 ,

16

(2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近,列出上列表格,以备计算于是 ,代入公式得,

=

=



=

=

=﹣2,

故 y 与 x 的线性回归方程为 =

x﹣2,其中回归系数为

, 万元.

它的意义是:广告支出每增加 1 万元,销售收入 y 平均增加 (3)当 x=9 万元时,y= ×9﹣2=129.4(万元) .

【点评】 本题考查线性回归方程的写法和应用, 本题解题的关键是正确求出线性回归方程的 系数,本题是一个基础题.

20.汽车厂生产 A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如 下表(单位:辆) ; 轿车 A 舒适型 标准型 100 300 轿车 B 150 450 轿车 C z 600

按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆. (Ⅰ)求 z 的值; (Ⅱ)用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本,将该样本看成一个总体, 从中任取 2 辆,求至少有 1 辆舒适型轿车的概率; (Ⅲ) 用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆, 经检测它们的得分如下: 9.4, 8.6, 9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这 8 辆轿车的得分看成一个总体,从中任取一个数,求 该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率. 【考点】古典概型及其概率计算公式;分层抽样方法. 【专题】概率与统计. 【分析】 (Ⅰ)根据用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆,得每个个体被抽到的概率,列出关系式,得到 n 的值 (Ⅱ)由题意知本题是一个古典概型,试验发生包含的事件数和满足条件的事件数,可以通 过列举数出结果,根据古典概型的概率公式得到结果. (Ⅲ)首先做出样本的平均数,做出试验发生包含的事件数,和满足条件的事件数,根据古 典概型的概率公式得到结果. 【解答】解: (Ⅰ)设该厂这个月共生产轿车 n 辆, 由题意得 = ,

∴n=2000, ∴z=2000﹣(100+300)﹣150﹣450﹣600=400.

(Ⅱ)设所抽样本中有 a 辆舒适型轿车, 由题意,得 a=2. 因此抽取的容量为 5 的样本中, 有 2 辆舒适型轿车,3 辆标准型轿车. 用 A1,A2 表示 2 辆舒适型轿车, 用 B1,B2,B3 表示 3 辆标准轿车, 用 E 表示事件“在该样本中任取 2 辆,其中至少有 1 辆舒适型轿车”, 则基本事件空间包含的基本事件有: (A1,A2) , (A1B1) , (A1B2) , (A1,B3, ) , (A2,B1) , (A2,B2) (A2,B3) , (B1B2) , (B1,B3, ) , (B2,B3) ,共 10 个, 事件 E 包含的基本事件有: (A1A2) , (A1,B1, ) , (A1,B2) , (A1,B3) , (A2,B1) , (A2,B2) , (A2,B3) ,共 7 个, 故 P(E)= 即所求概率为 , .

(Ⅲ)样本平均数 = (9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9. 设 D 表示事件“从样本中任取一数, 该数与样本平均数之差的绝对不超过 0.5”, 则基本事件空间中有 8 个基本事件, 事件 D 包括的基本事件有:9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0,共 6 个, ∴P(D)= ,即所求概率为 .

【点评】本题考查古典概型,考查用列举法来得到事件数,考查分层抽样,是一个概率与统 计的综合题目,这种题目看起来比较麻烦,但是解题的原理并不复杂.

21.从高三抽出 50 名学生参加数学竞赛,由成绩得到如图的频率分布直方图. 试利用频率分布直方图求: (1)这 50 名学生成绩的众数与中位数. (2)这 50 名学生的平均成绩. (答案精确到 0.1)

【考点】众数、中位数、平均数;频率分布直方图. 【专题】概率与统计. 【分析】 (1)由众数的概念可知,众数是出现次数最多的数.在直方图中高度最高的小长方 形框的中间值的横坐标即为所求; 由于中位数是所有数据中的中间值, 故在频率分布直方图 中体现的是中位数的左右两边频数应相等, 即频率也相等, 从而就是小矩形的面积和相等. 因 此在频率分布直方图中将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成 绩即为所求. (2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”,即所有数据的平均值,取每个小矩形底 边的中点值乘以每个小矩形的面积即可. 【解答】 解: (1)由众数的概念可知,众数是出现次数最多的数. 在直方图中高度最高的小长方形框的中间值的横坐标即为所求, 所以由频率分布直方图得众数应为 75. 由于中位数是所有数据中的中间值, 故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等, 即频率也相等, 从而就是小 矩形的面积和相等. 因此在频率分布直方图中将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的 成绩即为所求. ∵0.004×10+0.006×10+0.02×10=0.04+0.06+0.2=0.3, ∴前三个小矩形面积的和为 0.3.而第四个小矩形面积为 0.03×10=0.3,0.3+0.3>0.5, ∴中位数应位于第四个小矩形内.设其底边为 x,高为 0.03,

∴令 0.03x=0.2 得 x≈6.7,故中位数约为 70+6.7=76.7. (2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”, 即所有数据的平均值,取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积即可. ∴平均成绩为 45×(0.004×10)+55×(0.006×10)+65×(0.02×10)+75×(0.03×10) +85×(0.021×10)+95×(0.016×10)≈73.7. 【点评】本题考查众数、中位数、平均成绩的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意频 率分布直方图的合理运用.

22.已知椭圆

的离心率为

,直线

与椭圆相交于 A,B 两

点,点 M 在椭圆上, 【考点】直线与圆锥曲线的关系. 【专题】综合题. 【分析】由 ,则 a2=4b2,将

.求椭圆的方程.

代入上式,消去 y 整理可得 x2+2x+2﹣2b2=0(*) ,

则△=4﹣4(2﹣b2)>0

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M(x,y) ,则由



,M

在椭圆上代入结合(*)可求椭圆的方程 【解答】解:由 将 直线 ,则 a2=4b2,椭圆可以转化为:x2+4y2=4b2

代入上式,消去 y,得:x2+2x+2﹣2b2=0 与椭圆相交有两个不同的点 A,B

则△=4﹣4(2﹣2b2)>0 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M(x,y)





又因为 M 在椭圆上,所以

代入整理可得,x1x2+4y1y2=0 所以, x1x2+x1+x2+2=0 因为,x1+x2=﹣2,x1x2=2﹣2b ,所以 b =1 所以 【点评】 本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆的方程, 直线域椭圆上的相交的位置关系 的应用,方程思想的应用,属于基础知识的应用.
2 2

=0


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