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接收机的分析总结


接收机的分析总结 一 模拟域外差式接收机 基本原理
通信系统中发送和接收设备是系统的核心, 通信系统中发送和接收设备是系统的核心 其中所用的信号处理技术和电路技术 都在迅速发展。从总体上说 发送和接收设备是为了使基带信号在信道中有效和 从总体上说,发送和接收设备是为了使基带信号在信道中有效和 可靠地传输而设置的。它的主要任务是对基带信号进行处理 使之适宜于所采用 它的主

要任务是对基带信号进行处理,使之适宜于所采用 信道的传输特性。 下面是一种典型的发送、接收设备的组成框图 。下面是一种典型的发送 接收设备的组成框图。

超外差接收机是利用本地产生的振荡波与输入信号混频, 超外差接收机是利用本地产生的振荡波与输入信号混频 将输入信号频率变换为 某个预先确定的频率的方法。 某个预先确定的频率的方法 超外差原理最早是由 E.H.阿姆斯特朗于 1918 年 提 阿姆斯特朗于 出的。这种方法是为了适应远程通信对高频率 弱信号接收的需要,在外差原理 这种方法是为了适应远程通信对高频率、弱信号接收的需要 的基础上发展而来的。外差方法是将输入信号频率变换为音频 而阿姆斯特朗提 外差方法是将输入信号频率变换为音频,而阿姆斯特朗提 出 的方法是将输入信号变换为超音频 的方法是将输入信号变换为超音频,所以称之为超外差。1919 年利用超外差 1919 原理制成超外差接收机。 。这种接收方式的性能优于高频(直接)放大式接收 放大式接收,所 以至 今仍广泛应用于远程信号的接收 并且已推广应用到测量技术等方面。 今仍广泛应用于远程信号的接收,并且已推广应用到测量技术等方面
(t) 混频器 (t) 本地振荡器 (t)

超外差的原理如上图所示。它是利用本地振荡器产生的正弦信号 (t)与输入信 超外差的原理如上图所示 号 (t)在混频器中混频, ,得到中频信号 (t),中频信号是预先确定的 中频信号是预先确定的,通常取 中频频率 = - 。如果输入信号载波频率变化 则应该改变本地振荡频率,使 如果输入信号载波频率变化,则应该改变本地振荡频率

之仍能保持混频后的中频频率不变。 超外差接收机的完整方框图如下所示:
中频放大 器

高频放大器

混频器

解调器

低频放大器

本地振荡器

自动增益控制

接收机的输入信号 uc 往往十分微弱(一般为几微伏至几百微伏),而检波器需 要有足够大的输入信号才能正常工作。 因此需要有足够大的高频增益把 uc 放大。 早期的接收机采用多级高频放大器来放大接收信号,称为高频放大式接收机。后 来广泛采用的是超外差接收机,主要依靠频率固定的中频放大器放大信号。 和高频放大式接收机相比,超外差接收机具有一些突出的优点。 ① 容易得到足够大而且比较稳定的放大量。 ② 具有较高的选择性和较好的频率特性。 这是因为中频频率 fi 是固定的, 所以中频放大器的负载可以采用比较复杂、但性能较好的有源或无源网络,也可 以采用固体滤波器,如陶瓷滤波器(见电子陶瓷)、声表面波滤波器(见声表面 波器件)等。 ③ 容易调整。 除了混频器之前的天线回路和高频放大器的调谐回路需要与 本地振荡器的谐振回路统一调谐之外, 中频放大器的负载回路或滤波器是固定的, 在接收不同频率的输入信号时不需再调整。 超外差接收机的主要缺点是电路比较复杂,同时也存在着一些特殊的干扰, 如像频干扰、组合频率干扰和中频干扰等(见混频器)。例如,当接收频率为 fc 的信号时,如果有一个频率为 f=f1+fi 的信号也加到混频器的输入端,经混频后 也能产生|f1-f|=fi 的中频信号,形成对原来的接收信号 fc 的干扰,这就是像 频干扰。解决这个问题的办法是提高高频放大器的选择性,尽量把由天线接收到 的像频干扰信号滤掉。另一种办法是采用二次变频方式,原理图如下:

。 超外差接收机各波形如下所示: 超外差接收机各波形如下所示

上面介绍了接收机主要是超外差接收机的总体原理, 上面介绍了接收机主要是超外差接收机的总体原理 下面我将对接收机各个部分 进行详细展开具体介绍。 。 ( 1) 滤波器 滤波器可以按不同的方法进行分类,按所用器件的特点可分为无源 滤波器可以按不同的方法进行分类 按所用器件的特点可分为无源 和有源滤波器。无源滤波器是有无源器件构成,如由电阻 和有源滤波器 如由电阻、电感和 电容组成的 RLC 滤波器以及晶体滤波器和表面声滤波器等 滤波器以及晶体滤波器和表面声滤波器等。 但最常用的是按其频率特性进行划分,可以分为低通 但最常用的是按其频率特性进行划分 可以分为低通、高通、带 通、带阻滤波器 带阻滤波器,它们的理想幅频特性曲线如下所示: :

滤波器的特性可用下面的图示表示

Vi (s) vi (t)

输入 阻抗

滤波器
, h(t) H(s)
滤波器的复频域传输函数可表示为

输出 o 阻抗 v0 (t )

V (s)

H (s ) =


Vo(s ) N (s ) b0s m + b1s m ?1 + ? + bm = = Vi(s ) D(s ) s n + a1s n ?1 + ? + an

式中,N(s) )成为分子多项式,D(s)成为分母多项式 成为分母多项式。式中所有 系数均为整数。 系数均为整数 其复频域传输函数经常用其零、极点表示 其复频域传输函数经常用其零

为使滤波器稳定,所有极点必须位于 s 平面的左半平面 为使滤波器稳定 平面的左半平面。 将 s=jω 代入 H(s)可以得到其幅频特性 H (j ω ) 和相频特性 θ (ω ) 关系 H (j ω ) = H (j ω ) e j θ(ω ) 下面我主要介绍一下由电感器和电容器组成的 LC 滤波器 它具有 滤波器。 对元件变化的灵敏度低、性能稳定、物理概念清晰、理论分析严格 对元件变化的灵敏度低 理论分析严格、 有大量工程设计数据表格提供使用而设计方便等诸多优点。 有大量工程设计数据表格提供使用而设计方便等诸多优点 1.LC 并联谐振回路 LC



回路的固有谐振频率为

ω0 =
1

1

LC
ωL L 1 = 0 = C Rs ω0CR s

回路的品质因数 Q:

Q =

Rs

由电路图可以看出并联电流的流向分为两路,当频率特定时会产生谐振现象。由 分析: ? V I R ( jωP ) = o = I i ( jωP ) R I c ( jωP ) =
? Vo = jQ p I i ( jωP ) jX c ? V I L ( jωP ) = o = ? jQ p I i ( jωP ) jX L

可以得出谐振频率

ωP =

1

LC

?(

Rs 2 1 ) = ω0 1 ? 2 L Q

串联谐振回路的分析与并联谐振回路相同,不再赘述。 2.一般滤波器的分析 一般滤波器的分析 前面提到的都是理想滤波器的模型,但实际中是不可能实现的。实际 实现时,只能采用逼近理想特性的方法。 逼近的常用方法有以下几种: 巴特沃斯逼近法,用这种方法实现的滤波器,其频率特性在整个 通频带内,幅频特性的起伏最小或最平。 切比雪夫逼近法,用这种方法实现的滤波器,其频率特性在整个 通频带内,幅频特性的起伏以震荡的形式均匀分布。 贝塞尔逼近法,用这种方法实现的滤波器,其频率特性在整个通 带内,相频特性的起伏最小或最平。 椭圆函数逼近法,用这种方法实现的滤波器,其频率特性中的幅 频特性具有陡峭的边缘或狭窄的过渡频带。 ( 2) 高频放大器

高频放大器分为大信号和小信号两类。 大信号(发射机)多用于发射机的中间级和末级用作功率放大,对 它的要求主要是输出较大的功率并具有较高的效率。

振荡器

倍频器

缓冲级

放大级

调制器

功率 放大器

低频 放大

低频 功放

小信号(接收机)多用于接收集中的高频和中频放大,对它的主要要求是:增益 高、噪声低、同频带宽和工作稳定性的好等。

输入 回路

高频 放大

混频器

中频 放大

解调器
自动 增益 控制

低频 放大

本地 振荡器

接下来主要分析晶体管的高频小信号等效电路和参数, 下面是共发射极放大器双 极型晶体管混合π型等效电路。

通常双极型晶体管的高频特性,可以用下述参数描述: 通常双极型晶体管的高频特性 截止频率 共发射极电路的电流放大系数β随工作频率的上升而下降 当 共发射极电路的电流放大系数 随工作频率的上升而下降, β值下 降至低频值 的1?√2时的频率称为β截止频率,用 表示。数学表 示式为

β =

β0
1+j

f fβ

β =

β0
1 +( f



2 )

fβ =

1 2π rb 'e(C b 'e + C b 'c )

特征频率 是指| |=1 时的频率。 。

fT = fβ β02 ? 1 ≈ β0fβ
由 的表示式可以推得: =f| | : 最高振荡频率 双极性晶体管的功率增益 ,并表示为 fmax ≈ 并表示为:
以上三个频率的关系是: 以上三个频率的关系是 =1 时的工作频率称为最高震荡频率

1 2π

gm 4rb 'bC b 'eC b 'c
≥ ≥

具有以上基础知识之后,接着讨论高频小信号宽带放大器的工作特性 具有以上基础知识之后 接着讨论高频小信号宽带放大器的工作特性。 下面是其共发射极 共发射极高频等效电路转变示意图:

由理论公式进行推导,应用密勒定理得到:

C1 = (1 ? A ) Cb′c ? 1? C2 = ?1 ? ? Cb′c ? A? ? ? V ′ A = o ≈ ? g m RL >> 1 ? Vbe

VO
?V0

Rs′ =

( Rs + rbb′ )rb′e Rs + rbb′ + rb′e
? ?

C in = C b ′e + C 1 ≈ C b ′e ? 1 + g m R L′ D = 1 + g m R L′

C b ′c ? ? = DC b ′e C b ′e ?

C b ′c = 1 + ωT R L′C b ′c:密勒效应因 因子 C b ′e

利用以上结果,可推出共射电路的增益带宽积 可推出共射电路的增益带宽积,如下:

GBP = A0ωh
A0 = ′ ? g m RL R +r 1 + s bb′ rbb′

V1
ωh =

Rs + rbb′ + rb′e 1 1 = = Cin Rs′ DCb′e ( ( Rs + rbb′ ) || rb′e ) DCb′e ( Rs + rbb′ ) rb′e

V2 Vi

GBP = A0ωh =

′ ′ g m RL ωT RL = ′ DCb′e ( Rs + rbb′ ) 1 + ωT RLCb′c Rs + rbb′

由以上公式可以得出如下结论:为获得较大的 GBP 和 ωh 值,应选入 C b 'c 小、 rb 'b 由以上公式可以得出如下结论 应选入 小而 ωT 高的晶体管; ; 增大 R L' , 可以增大 因而 R L' 的选择应兼顾 , 但由于 D 因子增大 ωh 将减小, 因子增大,

和 ωh 的要求;管子选完后,为提高 ωh 值,信号源内

阻 应尽可能小,即放大器的输入信号尽量接近恒压源 即放大器的输入信号尽量接近恒压源。 共基极放大点路的分析与此类似,不再重复赘述。 共基极放大点路的分析与此类似 本部分另外很重要的一个内容是自动增益控制电路 AGC) 本部分另外很重要的一个内容是自动增益控制电路(AGC)的实现 自动增益控制电路( 自动增益控制电路是一种在输入信号幅度变化很大的情况下, 自动增益控制电路是一种在输入信号幅度变化很大的情况下 使输出号 幅度在较小范围内变化的一种自动控制电路。 幅度在较小范围内变化的一种自动控制电路 典型结构如下: :

它实际上是一个负反馈低频控制系统。 它实际上是一个负反馈低频控制系统

VO
?V0
mi = Vi max Vi min mo = Vo max Vo min

总的增益放大倍数为:

GC =

Amax Amin

Vo min Vi max V V m = i min = i min = i Vo max Vo max mo Vi max Vo min

而进入通信系统接收端的信号,除有用信号外,还包含各种干扰与噪声,通信 系统内部也会产生干扰与噪声。这些干扰与噪声对系统传输信号的能力,特别是 处理弱信号的能力,将产生极为不利的影响。燥声中很重要的一种是热噪声,它 属于随机噪声的一种。 i 1 2

V

V

V

vn(t) t

电阻热噪声的频率覆盖范围很宽, 一般认为其频率由 0 到正无穷, 但单位频带的 电阻热噪声 噪声功率则非常小,其数值可由下式确定:

Wv ( f ) =

4kTR ?f ? 1+? ? ?α ?
2

(V

2

Hz

)

在有效频带内得到:
2 v n = 4kTR ?f

为了便于电路的噪声特性分析, 实际电阻器一般被等效为一理想无噪声电阻与噪 声功率源相串联的电路。

串联等效电路得到:

2 2 2 v n = v n1 + v n 2

= 4kT ( R 1 + R 2 ) ?f = 4kTR ?f

并联分析类似,不在赘述。 噪声系数是一个很重要的概念,它的定义是, 网络输入信噪比和输出信噪比的比 噪声系数 值。 P / Pni Fn = si Pso / P no 下面研究一下无源四端网络噪声系数的计算。

匹配状态时,得到:

Fn =

Pno R 1 = = 1+ s = L G pm Pni G pm R1

网络级联时,得到级联噪声系数为:

( 3)

F ?1 F ?1 FnN ? 1 Fn = Fn1 + n 2 + n3 +?+ G pm1 G pm1G pm 2 G pm1 ? G pm( N ?1) 非线性电路及其分析方法

常用的元件有三种:线性元件、非线性元件和时变参量元件。非线 性元件的参数与通过它的电流或施于其上的电压有关。非线性电路 至少包含一个非线性器件,而且该器件必须工作于非线性状态,常 用的有振荡器、功率放大器、倍频器以及各种调制和解调电路。工 程上常常采用一些近似的分析方法。
电压: 电压: v 电阻: 电阻: v = Ri 微分电导: 微分电导: g d = di dv 电流: 电流: i

电容: 电容: q = Cv 微分电容: C d = 微分电容: dq dv

电感: 电感: ? = Li 微分电感: Ld = 微分电感: d? di

记忆电阻 电荷: 电荷: q 磁链: 磁链: ?

非线性电路的输出信号中将会产生输入信号中所没有的新的频率成 分,也可能不再出现输入信号中原有的某些频率成分。这是非线性电路的 重要特性。 幂级数分析法 将非线性电阻性电路的输出输入特性用一个 N 阶幂级数近似表 示,借助幂级数的性质,实现对电路的解析分析。 i = f(v ) 设非线性元件的特性用非线性函数 来描述。 i = f(v ) f(v ) 的各阶导数存在,则该函数可以展开成以下 如果 ? 幂级数: i = a0 + a1v + a2v 2 + a3v 3 + ? ? Vo 附近的各 在静态工作点 ? 若函数 i = f(v ) 阶导数都存 在,也可在静态工作点 Vo 附近展开为幂级数。这样得到 的幂级数即泰勒级数:

i = b0 + b1(v ? V 0 ) + b2(v ? Vo )2 + b3(v ? Vo )3 + ?
由此展开可进行各次谐波的存在性分析。 折线分析法 由分析三极管的导通和截止状态,可以得到:
i (t ) = ?
? ? ?0 ?

g (v i (t ) ? Vth ) = g (ωBt + Vim cosωt ? Vth ) cos V ? cos θ i(t ) = I m 1 ? cos θ

这是一次谐波的计算方法,进行高次展开,可以可到计算高次谐波次数的方法。 作图如下,表明各次谐波系数的变化。

、 典型的非线性电路还有功率放大器、 模拟相乘器等等。 下面对模拟相乘器 模拟相乘器进行介 模拟相乘器 绍。模拟相乘器是完成两个模拟信号瞬时值相乘功能的电路或器件。它在模拟运 算、信号处理、测量、通信及则自动控制等领域有着广泛的应用。 相乘器的输出电压为

? v vo (t ) = I 0 RC th? x ? 2V ? T
典型的相乘电路如下所示:

? ? vy ?th? ? ? 2V ? ? T

? ? ? ?

介绍了上述几种非线性元件后,下面展开分析重点变频电路 变频电路,这是混频器 变频电路

实现的基本原理。 变频电路是一种时变参量线性电路,有两个输入信号,一个是控制信号 变频电路是一种时变参量线性电路 一个是控制信号, 通常为强信号,一个是被处理信号 一个是被处理信号,通常是弱信号。而变频电路是实现信号频谱 而变频电路是实现信号频谱 线性变换的一种电路,它完成频谱在频率轴上的搬移 控制信号由电路自身产生 它完成频谱在频率轴上的搬移。控制信号由电路自身产生 的被称作变频器,由外部输入的称为混频器 由外部输入的称为混频器。 常用的变频电路由三极管和二极管混频器的典型电路。 常用的变频电路由三极管和二极管混频器的典型电路 理想的变频过程只是将输入信号的频谱在频率轴上平移,信号频谱结构不 理想的变频过程只是将输入信号的频谱在频率轴上平移 信号频谱结构不 应发生变化。但由于实际电路的非理想工作状态 往往在变频输出信号中出现干 但由于实际电路的非理想工作状态,往往在变频输出信号中出现干 扰信号,称其为变频干扰 变频干扰。下面以接收机具体为例进行分析。 变频干扰

产生的干扰主要有如下几类: 产生的干扰主要有如下几类 中频干扰,它是指频率等于中频频率的干扰信号所形成的干扰。如果接收机 它是指频率等于中频频率的干扰信号所形成的干扰。

输入信号v c 1(t )中含有处于中频放大器通频带 B

内的分量,而高频放大器的频 而高频放大器的频

率特性不理想,不能将此信号滤出而使其到达变频器的输入端 就可能会产生中 不能将此信号滤出而使其到达变频器的输入端。就可能会产生中 频干扰。减小中频干扰的主要方法是 减小中频干扰的主要方法是:减小三极管变频特性中的 项;提高变频 器前面各级电路的选择性,抑制中频信号通过。 器前面各级电路的选择性 像频干扰,若以本振频率 为基准,则在频率轴上,正常输入信号频率 和干扰 若以本振频率 正常输入信号频率 信号频率 将分列于 两侧 两侧,并距 的距离相等(均为中频) 两者互为镜像,所 ,两者互为镜像 以这种干扰称为像频干扰。 以这种干扰称为像频干扰 抑制像频干扰的方法是提高变频器前面各级的选择性 提高变频器前面各级的选择性 和提高中频频率。 组合副波道干扰, 如果变频器前的高频放大器具有非线性特性, 如果变频器前的高频放大器具有 , 则当频率为 的干扰信号 (t)通过高频放大器时 通过高频放大器时,将产生 的各次谐波,用 n 表示。抑制 这种干扰的方法是提高高频放大器的频率选择性, 这种干扰的方法是提高高频放大器的频率选择性 减小高频放大器非线性和减少 变频器传输特性中的谐波分量。 变频器传输特性中的谐波分量 组合频率干扰,是由变频器的非线性形成的 是由变频器的非线性形成的。符合 fi = mf1 ± nfs 的组合频 率,恰为中频频率,这些组合将通过中频放大器形成干扰 减小组合频率干扰的 这些组合将通过中频放大器形成干扰。减小组合频率干扰的 方法是:合理选择变频器工作状态 合理选择变频器工作状态,减小传输特性中的谐波分量; ;限制输入信号

v c(t )的幅度;适当选择中频频率 使其避开变频过程中可能产生的组合频率。 适当选择中频频率,使其避开变频过程中可能产生的组合频率
交叉调制干扰,发生这种干扰时好像干扰电台的声音调制在欲接收电台信号 发生这种干扰时好像干扰电台的声音调制在欲接收电台信号 的载波上,是由于变频电路和高频放大器的非线性输出输入特性产生的 是由于变频电路和高频放大器的非线性输出输入特性产生的。减小干 是由于变频电路和高频放大器的非线性输出输入特性产生的 扰的主要措施是提高高频放大器和变频器输入电路的选择性, 扰的主要措施是提高高频放大器和变频器输入电路的选择性 尽可能使干扰信号 不进入变频电路或高频放大器,显示高频放大器输入信号幅度,以使高频放大器 不进入变频电路或高频放大器 以使高频放大器

和变频器基本工作于线性状态。 互相调制,如果接收机前端电路的选择性不好,致使两个或更多个干扰信号一 起加到接收机的输入端,则由于放大器的非线性作用,是干扰信号彼此混频,可 能产生频率接近有用信号频率的互调干扰分量,进入检波器差拍检波后,产生哨 叫声。用提高前端电路选择性的方法,可以有效地减少互调干扰的影响。 交调失真, 指的是频率接近有用信号频率且幅度比较大的干扰信号对接收机性 能的影响。产生的原因是由于信号的非线性。 ( 4) 正弦波振荡器原理及本地振荡信号的产生 振荡器是一种不需外加激励而能自动将直流能量变为周期性交变能 量的装置。基本构成:一个由储能元件构成的决定振荡频率的选频网 络;一个具有能量变换(或放大)作用的换能机构;一个有助于补 充元器件能量损耗和保证振荡器工作稳定的反馈电路;一个对振荡 强度具有自动调整作用的非线性元件。 事实上, 在晶体管正弦振荡器中, 晶体管既起着能量变换的作用, 又起着调整和控制振荡强度的非线性作用。 下面主要介绍互感耦合 LC 振荡电路的震荡特性

由反馈振荡器的传递函数

H 0(s ) = T(s ) =

V 0(s ) A(s ) = VS (s ) 1 ? A(s )F(S )

Vf (s ) = A(s )F (s ) Vi(s ) V 0(s ) A(s ) = VS (s ) 1 ? T(s )
得到产生震荡的条件为

H 0(s ) =

1 ? T (s ) = 0 进而得到振荡器起振条件为 震荡平衡条件为: AF>1

A(ω0 )F(ω0 ) = 1

∑ ?(ω ) = ?
0

0

+ ?f = 2n π

震荡的稳定条件包含幅度稳定和相位稳定两种 其幅度稳定条件为: ?? ?f

dA < 0 dVI

相位稳定条件为:

< 0
f = f0

另外可以用自给偏置装置加速震荡进入平衡状态的过程。 重点介绍一下反馈型振荡电路中的三点式振荡电路。 三点式振荡器是指 LC 回路 三点式振荡器 的三个端点与晶体管或场效应管三个电极直接连接的一种振荡器。

可得出三点式振荡器中三个电抗元件应该满足的要求: (1) X ce 与 X be 应为同一性质的电抗; (2) X cb 应与 X ce , X be 的电抗性质相反。 下面是典型的电容耦合 电容耦合三点式振荡器,即考毕兹振荡器。 电容耦合

另一种是自耦变压器耦合 自耦变压器耦合三点式振荡器,即哈特莱振荡器 自耦变压器耦合

震荡条件不再分析,与上同。 另一种很重要的振荡器是晶体振荡器 它指利用石英晶体的压电和反压电效应对 晶体振荡器, 晶体振荡器 正弦振荡频率进行控制的振荡器。 它的突出优点是可以产生频率稳定度和准确度 很高的正弦波振荡器。

其等效电路为:

Lq1

Lqn

Lq

C0
Cq1 Rq1 Cqn Rqn

C0
Cq Rq

晶振有并联和串联两类 并联形式电路如下:

有分析可以得到

ω0 =

1

LqC Σ

=

1

Lq

C q(C 0 + C L ) C q + (C 0 + C L )

= ωq 1 +

Cq C0 + CL

Cq C0 + CL
(1 + X )
1

<< 1
1 X +? 2

2

= 1+

ω0 ≈ ωq[1 +

] 2 C0 + CL ) (

Cq

串联型晶振和并联型晶振分析方法相同,不再重复。 ( 5) 调制与解调的分析 调制是使消息载体的某些特性随消息变化的过程。调制的作用是把消息置入消 息载体,以便于传输和处理。解调是调制的逆过程,从消息载体中还原出原来 的消息。 在通信系统中,调制是一个基本环节,可以将不同的信号分在同一信道中 传输而互不影响,例如频分复用,还可以降低干扰对信号传输的影响,例如扩

频调制。 调制按不同的分类方法可以分为很多种,这里主要介绍正弦调制。正弦调制有 幅度调制、频率调制、相位调制三种基本方式,后两种合称为角度调制。 首先介绍幅度调制, 包括标准幅度调制、 双边带幅度调制、 单边带幅度调制、 残留便带幅度调制、政教幅度调制等。下面进行一一介绍。 标准幅度调制 假定调制信号为:v f (t ) = V ?m cos ? t
载波信号为:v c(t ) = Vcm cos ωct

vAM (t ) = (Vcm + K AV?m cos ?t ) cos ωc t = Vcm (1 + mA cos ?t ) cos ωc t = Vcm cos ωc t + mAVcm cos ?t cos ωc t
1 1 = Vcm cos ωc t + mAVcm cos ( ωc + ? ) t + mAV