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3.1-3.2不等式


3.1 不等关系与不等式
常用的不等式的基本性质有: ⑴ a ? b ? b ? a ; ( 反对称性) ⑵ a ? b,b ? c ? a ? c ; (传递性) (可加性) 此法则又称为移项法则; ⑶a ? b ? a?c ? b?c, ? a ? b,c ? 0 ? ac ? bc ⑷? (可乘性) ? a ? b,c ? 0 ? ac ? bc (5) a ?

b,c ? d ? a ? c ? b ? d (同向不等式可相加) (6) (6) a ? b ? 0,c ? d ? 0 ? ac ? bd ( 正数同向不等式可相乘)

0 n? N ) ?a (7) a ? b ? (
*

? bn ? 0 0 n ? N * , n ≥ 2) ? n a ? (8) a ? b ? (
n

(乘方法则)
n

b ? 0 (开方法则 )

1 1 (9) a ? b,ab ? 0 ? ? a b

(倒数法则)

比较两个数(式子)大小

(1 ( ) 6 ? 5)与( 7 ? 6)
例1

1 与2 n其中n ? N * n ?1 ? n

例2

(1) x 2 ? 2 x ? 3与2 x 2 ? 2 x ? 4 (2) x 2 ? y 2 ? 4与2 x ? 2 y (3)(x 2 ? 7)(x 2 ? 9)与x 4 ? 64
小结:作差法的步骤:(1)作差→(2)变形→(3)定号→(4)结论 其中,变形的方法有:配方法;因式分解法;分子有理化等。
高考链接: 1.(2009 湖南高考理) 若 log 2 ? 0, ( ) ? 1, 则
a b

1 2

( )

A a<1 ,b>0 B a>1 , b<0 C 0<a<1 , b>0 D 0<a<1 ,b<0 2.(2012 广东佛山模拟)已知 ?

?
2

?? ? ? ?

?
2

,试求

? ??
2

的取值范围

3. (2013 年上海市春季高考数学试卷)如果 a ? b ? 0 ,那么下列不等式成立的是( A.



1 1 ? a b

B. ab ? b

2

C. ?ab ? ?a

2

D. ?

1 1 ?? a b

3.2 一元二次不等式及其解法
有关知识点: f ( x) ? ax ? bx ? c
2

? b ? b 2 ? 4ac 1、求根:(1)求根公式 x ? 2a

(2)十字相乘法 2、一元二次函数图象

例 1 解下列一元二次不等式

(1)3x 2 ? 5 x ? 2 (2) ? x 2 ? x ? 1 ? 0 (3)2 x ? 5 ? 3x 2
例2
2 (1) 二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的两根为-3,5,a<0,则 ax2 ? bx ? c >0 的解集为

(2) (3)

函数

y?

1 x 2 ? 2x ? 8

的定义域为__________

不等式

f ( x) ? 2x 2 ? mx ? n ? 0 的解集是{x|x>3 或 x<-2},则

3m-n=_______

一、 解含参数不等式(要进行分类讨论) 例 1 求不等式 x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 0 的解集

变式:解不等式 x 2 ? (1 ? a) x ? a ? 0

例2

解不等式 ax ? (a ? 1) x ? 1 ? 0
2

变式: ax2 ? (2a ? 1) x ? 2 ? 0


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