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对一道中考题的思考


由一道中考题反思中考复习 中考试题无疑是预测中考考试要求和命题趋势的最好资料。 通过 对中考试题及考生解答情况的分析和解读, 可以获知教学与考试是否 对应, 怎样调整教学才能使学生在应试时充分的发挥自己的知识和能 力。刚刚结束的 2011 年北京市中考数学试题中的一道几何综合题就 非常值得我们认真分析一下。 试题链接: (2011 年中考北京市数学试卷 24 题)

r />分析:这是一道几何综合题。这类题目旨在考察学生对基础知识的综 合运用水平和对复杂问题的分析推理能力。 由于题干信息适用于全题 各问,因此首先应对题干进行充分分析。这道题的题干给出了两个条 件:平行四边形和角平分线。学生应熟悉“平行+角平分线”可以得 到等腰三角形的基本图形结构,因此可以发现图中有三个等腰三角 形。通过倒角证明即可完成第一问。第二问既是对学生探究第三问提

供的思维铺垫,也是对学生合情猜想能力的考查。在本届中考中,考 生对前两问的解答完成的很好, 说明教师对基础知识的讲授和学生合 情猜想能力的培养普遍做得比较好。 对第三问的解答绝大部分学生做的都不好,使它成为最终区分考 生成绩的关键题之一。考生基本都能得到这一问的结果,但对推理过 程大都毫无头绪。 说明学生在分析推理验证自己猜想方面还需要更多 的指导和训练。比如这道中考题,既然考生已经猜到角的大小为 60 ? , 那么得到 60 ? 角常见的方式不过是: ?由于已知一个120 ? 角, 可以得到
60 ? 角,因此可以证明等角;?证明这个角所在的三角形为等边三角

形;?计算这个角的三角函数值。 下面我们就通过对阅卷中收集的得分考生的几种做法进行说明。 一、由 120 ? 角得到 60 ? 角后证明等角 法一:
辅助线:延长AB至H使AH ? AD,连接DH 或延长AB、FG交于H,连接DH 或作?HDC ? 60?,交AB延长线于H 或作DH ? AF,交AB延长线于H

A

D

C B H E G F

思路:?AHD为等边三角形? BH ? GF ? ? ??BHD ? ?GFD ? 60? ? ?BHD ? ?GFD ? ? DH ? DF ? ?BDG ? ?ADC ? ?ADH ? 120? - 60?

法二: 在BC上截取BH ? CF,连接DH、CG / 作?ADC的平分线交BC于H

A

D

C B H E G
等边?CHD DH ? CD ? ? ??BHD ? ?GCD ? 120? ? ?BHD ? ?GCD ? ?BDG ? ?HDC ? ? BH ? GC ?

F

法七: 作?ADH ? ?FDG,取DH ? DG,连接AH、HB、BG、EG

H A D

C B E G F

? DA ? DF ??HDG ? ?ADC ? 120? ? ? ??HDA ? ?GDF ? ?AHD ? ?FGD ? ? AH ? GF ? ? DH ? DG ? AH ? EG ? ? ??HAB ? ?GEB ? 120? ? ?AHB ? ?EGB ? ? AB ? BE ? ?BHD ? ?BGD( SSS) ? ?BDG ? 1 ?HDG ? 2

?DH ? DG 1 或? ? BD垂直平分HG ? ?BDG ? ?HDG ? 2 ? BH ? BG

法八: 作?ADH ? ?FDG,取DH ? DG,连接AH、HB、BG、CG

H A D

C B E G F

? DA ? DF ??HDG ? ?ADC ? 120? ? ? ??HDA ? ?GDF ? ?AHD ? ?FGD ? ? AH ? GF ? ? DH ? DG ? AH ? CG ? ? BH ? DG ? ? ??HAB ? ?GCD ? 120? ? ?AHB ? ?CGD ? ? ??ABH ? ?CDG ? AB ? CD ? 平行四边形HBGD为菱形 ? ?BDG ? 1 ?HDG ? 2

法九: 作?FDH ? ?ADB,取DH ? DB,连接GH、HF、BG、EG

A

D H C B E G F

? DF ? DA ??HDB ? ?ADC ? 120? ? ? ??HDF ? ?BDA ? ?FHD ? ?BDA ? ? AB ? HF ? ? DH ? DB ? HF ? BE ? ? ??HFG ? ?GEB ? 120? ? ?HFG ? ?BEG ? ? GF ? GE ? ?BGD ? ?HGD( SSS) ? ?BDG ? 1 ?HDB ? 2

法十:
作?FDH ? ?ADB,取DH ? DB,连接GH、HF、BG,在BC上取BI ? GF,连接DI

A

D H C B I E G F

? DF ? DA ??HDB ? ?ADC ? 120? ? ? ??HDF ? ?BDA ? ?FHD ? ?BDA ? ? AB ? HF ? ? DH ? DB ? HF ? DI ? ? HG ? DB ? ? ??HFG ? ?DIB ? 120? ? ?HFG ? ?DIB ? ? ??FHG ? ?IDB ? GF ? BI ? 平行四边形DBGH为菱形 ? ?BDG ? 1 ?HDB ? 2

法十一: 在AD上截取AH ? AB,连接BH、CG

A

H

D

C B E G
等边?ABH、?CGF DH ? CG ? ? ??BHD ? ?DCG ? 120? ? ?BHD ? ?DCG ? ?BDG ? ?ADC ? ?AHB ? ? BH ? DC ?

F

法十四: 作DH ? AB于H,DI ? FG延长线于I

A

D

H B E I G

C

F

?ADH ? ?IDF ? 30?,记AB ? a,CF ? b,即DF ? AD ? a ? b, a?b a?b a?b a?b a?b 则DH ? DI,AH ? FI ? ,BH ? a ? ? ,IG ? ?b ? 2 2 2 2 2 ? ?BHD ? ?GID ? ?BDG ? ?HDI ?

二、证明这个角所在的三角形为等边三角形 法三: 连接BG、EG、CG

A

D

C B E G
等边?CGF BE ? DC ? BG ? DG ? ? ? ??BEG ? ?DCG ? 120? ? ?BEG ? ?DCG ? ? ??BGD ? ?CGF ? 60? ? EG ? CG ?

F

法四: 连接BG、CG

A

D

C B E G
等边?CGF BC ? DF ? BG ? DG ? ? ? ??BCG ? ?DFG ? 60? ? ?BCG ? ?DFG ? ? ??BGD ? ?CGF ? 60? ? CG ? FG ?

F

法五: 连接GE并延长,交AD于H,连接BH、BG

A

H

D

C B E G
平行四边形HGFD ? 等边?ABH ? AB ? BH ? BD ? BG ? ? ? ??BAH ? ?BHG ? 60? ? ?ABD ? ?HBG ? ? ??DBG ? ?ABH ? 60? ? AD ? HG ?

F

法六: 延长AB,交CG延长线于H,连接BG

A

D

C B E G F

H
? DC ? GH BD ? BG ? ? 等边?BHC ? ??DCB ? ?GHB ? ?DBC ? ?GBH ? ? ? ??DBG ? ?CBH ? 60? ? BC ? BH ?

法十二: 延长AB与FG延长线交于H,连接BG、CG

A

D

C B H
等边?CGF HG ? DC ? GB ? GD ? ? ? ??BHD ? ?GCD ? 120? ? ?BHD ? ?GCD ? ? ??BGD ? ?HGC ? ?GCF ? 60? ? BH ? GC ?

E G F

法十三: 在AD上截取AH ? AB,连接BH、BG、EG、CG

A

H

D

C B E G
等边?ABH、?CEG BH ? BE ? CD ? ? ??BHD ? ?BEG ? ?DCG ? ?BDH ? ?BGE ? ?DGC ? BD ? BG ? DG ? ? DH ? EG ? CG ?

F

三、三角函数 法十五: 作BH ? AD于H,GI ? DF于I

A

H

D

C B E G I F

?BAH ? ?IFG ? 60?,记?ADB ? ?,?GDF ? ?,AH ? a,DH ? b,即DF ? AD ? a ? b, 则AB ? 2a,HB ? 3a,GF ? CF ? (a ? b) ? 2a ? b ? a, b ? a 3a ? b 3 (b ? a) ? ,GI ? , 2 2 2 3a 3 (b ? a) tan? ? tan ? ? tan? ? , ?? tan ? tan( ? ? ) ? ? ? 3 b 3a ? b 1 ? tan? ? tan ? ? ?BDG ? ?ADF ? (? ? ? ) ? FI ? (a ? b) ?

法十六: 连接BG、CG

A

D

C B E G
记AB ? a,CF ? b,即DF ? AD ? a ? b, ?ABD中,BD 2 ? (a ? b) 2 ? a 2 ? 2(a ? b)a ? cos?BAD ? a 2 ? ab ? b 2 ?BCG中,BG 2 ? (a ? b) 2 ? b 2 ? 2(a ? b)b ? cos?BCG ? a 2 ? ab ? b 2 ?DCG中,BG 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? cos?DCG ? a 2 ? ab ? b 2 ? 等边?DBG ?

F

法十七: 连接BG,以BC所在直线为x轴,过点B垂直于BC的直线为y轴

y A D

C B E G F x

1 3 设A(?1,3 ),EG ? a,则G (2 ? a, ? a),D(1 ? a,3 ), 2 2 3 2 3 ? 3a tan?1 ? tan?2 ? tan?1 ? , ?2 ? tan ? tan?BDG ? ? tan(?1 ? ?2) ? ? ? 3 1? a 2?a 1 ? tan?1 ? tan?2

中考对教学具有较强的导向作用。 关注考试动态, 把握试题特点, 有利于增强中考复习的针对性和实效性, 对改进新课程数学教学具有 明确的指导意义。 通过对这道中考题的分析和归纳,我们可以看到,在针对中考复 习的教学中应该注意:

1、


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