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选修2-1 第二章 圆锥曲线 基础训练B组asjh


数学选修 2-1
一、选择题

第二章

圆锥曲线

[综合训练 B 组]

1.如果 x 2 ? ky 2 ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是( A. ?0,??? B. ?0,2? C. ?1,??? D. ?0,1?


r />2.以椭圆

x2 y2 ? ? 1 的顶点为顶点,离心率为 2 的双曲线方程( 25 16 x2 y2 ? ?1 B. 9 27
D.以上都不对



x2 y2 ? ?1 A. 16 48
C.

x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 16 48 9 27

3.过双曲线的一个焦点 F2 作垂直于实轴的弦 PQ , F1 是另一焦点,若∠ PF1Q ? 则双曲线的离心率 e 等于( A. 2 ? 1 B. 2 ) D. 2 ? 2

?
2



C. 2 ? 1

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点, A 为椭圆上一点,且∠ AF F2 ? 450 ,则 4. F1 , F2 是椭圆 1 9 7
Δ AF F2 的面积为( 1 )

A. 7

B.

7 4

C.

7 2

D.

7 5 2
2 2

5.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆 x ? y ? 2x ? 6 y ? 9 ? 0 的圆心的抛物线的 方程是( )
2 2

A. y ? 3x 或 y ? ?3x
2

B. y ? 3x

2

C. y ? ?9 x 或 y ? 3x
2

2

D. y ? ?3x 或 y ? 9 x
2 2

6.设 AB 为过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点的弦,则 AB 的最小值为( A.



p 2

B. p

C. 2 p

D.无法确定

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二、填空题
1.椭圆

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 ,则 k 的值为______________。 2 k ?8 9

2.双曲线 8kx2 ? ky 2 ? 8 的一个焦点为 (0,3) ,则 k 的值为______________。 3.若直线 x ? y ? 2 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 A 、 B 两点,则线段 AB 的中点坐标是______。 4. 对于抛物线 y 2 ? 4 x 上任意一点 Q , P (a, 0) 都满足 PQ ? a , a 的取值范围是____。 点 则

5.若双曲线

x2 y2 3 ? ? 1 的渐近线方程为 y ? ? x ,则双曲线的焦点坐标是_________. 4 m 2 x2 y 2 ? ? 1 的不垂直于对称轴的弦, M 为 AB 的中点, O 为坐标原点, a 2 b2

6.设 AB 是椭圆

则 k AB ? kOM ? ____________。

三、解答题
1.已知定点 A(?2, 3) , F 是椭圆 使 AM ? 2 MF 取得最小值。

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点,在椭圆上求一点 M , 16 12

2. k 代表实数,讨论方程 kx ? 2 y ? 8 ? 0 所表示的曲线
2 2

3.双曲线与椭圆

x2 y2 ? ? 1 有相同焦点,且经过点 ( 15, 4) ,求其方程。 27 36

4. 已知顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y ? 2 x ? 1 截得的弦长为 15 , 求抛物线的方程。

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参考答案:
一、选择题 1.D 焦点在 y 轴上,则

y 2 x2 2 ? ? 1, ? 2 ? 0 ? k ? 1 2 2 k k

2.C

当顶点为 (?4, 0) 时, a ? 4, c ? 8, b ? 4 3,

x2 y 2 ? ? 1; 16 48 y 2 x2 ? ?1 9 27

当顶点为 (0, ?3) 时, a ? 3, c ? 6, b ? 3 3,

3.C

Δ PF F2 是等腰直角三角形, PF2 ? F F2 ? 2c, PF ? 2 2c 1 1 1

PF1 ? PF2 ? 2a, 2 2c ? 2c ? 2a, e ?
4.C

c 1 ? ? 2 ?1 a 2 ?1

F1F2 ? 2 2, AF1 ? AF2 ? 6, AF2 ? 6 ? AF1
AF22 ? AF12 ? F1F22 ? 2 AF1 ? F1F2 cos 450 ? AF12 ? 4 AF1 ? 8
7 (6 ? AF1 ) 2 ? AF12 ? 4 AF1 ? 8, AF1 ? , 2

1 7 2 7 S ? ? ?2 2? ? 2 2 2 2
5.D 圆心为 (1, ?3) ,设 x ? 2 py, p ? ? , x ? ?
2 2

1 6

1 y; 3

9 2 , y ? 9x 2 p 6.C 垂直于对称轴的通径时最短,即当 x ? , y ? ? p, AB min ? 2 p 2
设 y ? 2 px, p ?
2

二、填空题

5 1. 4, 或 ? 4

c2 k ? 8 ? 9 1 ? ,k ? 4 ; 当 k ? 8 ? 9 时, e ? 2 ? a k ?8 4
2

当 k ? 8 ? 9 时, e ?
2

c2 9 ? k ? 8 1 5 ? ? ,k ? ? 2 a 9 4 4

2. ?1

焦点在 y 轴上,则

y2 x2 8 1 ? ? 1, ? ? (? ) ? 9, k ? ?1 8 1 k k ? ? k k
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3. (4, 2)

? y2 ? 4x 2 , x ? 8 x ? 4 ? 0, x1 ? x2 ? 8, y1 ? y2 ? x1 ? x2 ? 4 ? 4 ? ?y ? x ? 2
中点坐标为 (

x1 ? x2 y1 ? y2 , ) ? (4, 2) 2 2

4. ? ??,2?

设 Q(

t2 t2 , t ) ,由 PQ ? a 得 ( ? a) 2 ? t 2 ? a 2 , t 2 (t 2 ? 16 ? 8a) ? 0, 4 4
2

? a t 2 ? 16 ? 8a ? 0, t 2 ? 8a ?16 恒成立,则 8a ? 1 6 0 ,?
5. (?

7 , 0 ) 渐近线方程为 y ? ?

m x ,得 m ? 3 ,c ? 2

7,且焦点在 x 轴上

6. ?

b2 a2

设 A( x , y ) , B ( 2 , y ) x 2,则中点 M ( 1 1

x1 ? x 2 y 1 y 2 ? y ? y1 , ) ,得 k AB ? 2 , 2 2 x2 ? x1
2

kOM ?

y2 ? y1 y 2 ? y12 2 2 , k AB ? kOM ? 2 2 , b2 x1 2? a y1 ? a b2 , x2 ? x1 x2 ? x12
2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1

y2 2 ? y12 b2 ?? 2 b x2 ? a y2 ? a b , 得 b ( x2 ? x ) ? a ( y2 ? y ) ? 0, 即 2 x2 ? x12 a
2 2

三、解答题

1 x2 y 2 ? ? 1 的 a ? 4, c ? 2, e ? ,记点 M 到右准线的距离为 MN 1.解:显然椭圆 2 16 12


1 ? e ? , MN ? 2 MF ,即 AM ? 2 MF ? AM ? MN MN 2

MF

当 A, M , N 同时在垂直于右准线的一条直线上时, AM ? 2 MF 取得最小值, 此时 M y ? Ay ? 3 ,代入到

x2 y 2 ? ? 1 得 M x ? ?2 3 16 12

而点 M 在第一象限,? M (2 3, 3) 2.解:当 k ? 0 时,曲线

y2 x2 ? ? 1 为焦点在 y 轴的双曲线; 4 ?8 k

2 当 k ? 0 时,曲线 2 y ? 8 ? 0 为两条平行的垂直于 y 轴的直线;

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当 0 ? k ? 2 时,曲线

x2 y 2 ? ? 1 为焦点在 x 轴的椭圆; 8 4 k

当 k ? 2 时,曲线 x2 ? y 2 ? 4 为一个圆; 当 k ? 2 时,曲线

y 2 x2 ? ? 1 为焦点在 y 轴的椭圆。 8 4 k

3.解:椭圆

y 2 x2 y2 x2 ? ? 1 的焦点为 (0, ?3), c ? 3 ,设双曲线方程为 2 ? ?1 36 27 a 9 ? a2
16 15 ? ? 1 ,得 a 2 ? 4, 或36 ,而 a 2 ? 9 , 2 2 a 9?a

过点 ( 15, 4) ,则

? a 2 ? 4 ,双曲线方程为

y 2 x2 ? ?1。 4 5

? y 2 ? 2 px , 消去 y 得 4.解:设抛物线的方程为 y ? 2 px ,则 ? ? y ? 2x ?1
2

4 x 2 ? (2 p ? 4) x ? 1 ? 0, x1 ? x2 ?

p?2 1 , x1 x2 ? 2 4

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 5 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 5 (


p?2 2 1 ) ? 4 ? ? 15 , 2 4

p2 ? p ? 3, p 2 ? 4 p ? 12 ? 0, p ? ?2, 或6 4

? y 2 ? ?4x,或y 2 ? 12x

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