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平面及其基本性质


立体几何

问题1 你能过任意一点引三条互相垂直的
直线吗?
如图

问题2 你能用六根火柴在桌面上搭出四个
三角形吗?
如图

问题3 你能画出一个四边形,使它的两条
对角线所在的直线不相交吗?
总结

C

O B

A
返回

C

O

A B

返回

空间图形分为:平面图形

立体图形

立体图形与平面图形的区别与联系:

联系:从集合论角度,二者都是点的集合;
区别:(1)平面图形的点都在同一个平面内, 立体图形的点不全在同一个平面内; (2 )平面图形由点、线构成,立体图形 由点、线、面构成; (3)考虑问题要着眼于整个空间而不能 局限与一个平面

(4)立体图形中有些点在同一平面内,对平面 图形的研究是立体图形的基础,立体图形常常转 化为平面图形来研究. (5)过去所学的平面图形中的结论在立体图形 中是否正确?要经过验证

9.1 平面及其基本性质

一、平面的概念和表示法
D

C

A

?

B

?

B

?
A

B

?

?

?A

二、如何理解平面?
平面是一个描述而不是定义的原始概念。

(1)平面是绝对平的;
(2)平面没有厚度;

(3)平面是无限延展的;
(4)平面和点、线一样是今后研究空间图 形的基础,也是空间图形的一个重要组成 部分;

(5)平面可以看作是空间的一些特殊点组 成的集合,它是一个无限集;
(6)无限的平面----将它所在的无限的空 间分成两部分,如果想从平面的一侧到另 一侧,必须穿过这个平面;

(7)有限的图形-----平行四边形,用它表 示平面,只是一种表示法,绝不能认为平 行四边形就是平面;
(8)画线原则-----“看得见的画实线,看 不见的画虚线”;

三、平面的基本性质
问题1 如果把尺和桌面分别看成一条直线
和一个平面, (1)若尺的两个端点都在桌面上,问尺 所在直线上各点会不会都在桌面所在平面 内?

(2)若尺的一个端点不在桌面上,问尺 所在直线与桌面所在平面的关系如何?

公理1 如果一条直线上的两 点在一个平面内,那么这条 直线上所有的点都在这个平 面内。
确定直线在不在平面内的依 据

注意:直线有两点在平面内,则直线上
所有点都在这个平面内;直线上有一点不 在平面内,则直线上只有一个点在这个平 面内或全不在这个平面内;

问题2
(1)把书的一角放在桌面上,问书所在平 面与桌面所在平面有几个公共点? (2)把教室的门及其所在的墙看成两平 面,当门开着时,它们的公共点的分布如 何?

公理2 如果两个平面有一个 公共点,那么它们还有其他 公共点,且所有这些公共点 的集合是一条过这个公共点 的直线。 判断两平面相交的依据,也 是证明三点共线的依据。

注意:两个不重合的平面有公共点,则
两平面有一条过公共点的直线。两平面的 公共点一定不可能是孤立的点;

问题3
(1)把门销插上,门便不动,为什么? (2)测量仪的支架为什么只需三支脚?

公理3 经过不在同一直线上 的三点,有且只有一个平面

确定平面的依据
A B

C

推论1: 经过一条直线和这条直 线外一点,有且只有一个平面。

?

B

A C

已知:点A,直线a,A?a.
求证:过点A和直线a可以确定一个平面.

?

a

A

推论2:

经过两条相交直线, 有且只有一个平面。

推论3: 经过两条平行直线, 有且只有一个平面

确定平面的依据

例1:两两相交且不过同一点的三条直线
必在同一个平面内。(如图)

已知:AB∩AC=A,AB∩BC=B,AC∩BC=C
求证:直线AB,BC,AC共面

A

B

C

证法二: 因为A?直线BC上, 所以过点A和直线BC确定平面α.(推论1) 因为A∈α,B∈BC,所以B∈α. 故AB ?α, 同理AC ?α, 所以AB,AC,BC共面.
A B C

证法三:
因为A,B,C三点不在一条直线上,

所以过A,B,C三点可以确定平面 ? .(公理3)
因为A∈α,B∈α,所以AB? ?.( ?公理1) 同理BC ? ?,AC ? ? , 所以AB,BC,CA三直线共面.

A
B

C

课堂小结: (1)平面的概念及如何理解? (2)平面的表示法;

(3)平面的基本性质:
3个公理、3个推论;应用;

( 4 ) 3 种语言的相互表示、相互转化;


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