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高中数学课件第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词


第三节

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

结束

第三节

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

1.简单的逻辑联结词

命题中的“且”、“ 或 ”、“ 非 ”叫做逻辑联结词.

2.全称量词和存在量词
(1)全称量词:<

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“所有的”“任意一个”,用符号“? ”表示.
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(2)存在量词:

“存在一个”“至少有一个”,用符号“ ? ”表示.

(3)全称命题:
含有 全称量词 的命题,叫做全称命题;“对M中任意一 个x,有p(x)成立”可用符号简记为:?x∈M,p(x) .

(4)存在性命题:
含有存在量词 的命题,叫做存在性命题;“存在M中的 一个x0,使p(x0)成立”可用符号简记为: ?x0∈M,p(x0) .

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3.含有一个量词的命题的否定

命题
?x∈M,p(x)

命题的否定
?x0∈M,綈p(x0)
?x∈M,綈p(x)

?x0∈M,p(x0)

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结束

1.对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词, 改写成含量词的完整形式,再写出命题的否定.
2.p或q的否定易误写成“綈p或綈q”;p且q的否定易 误写成“綈p且綈q”.

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结束

[试一试]
1.若ab=0,则a=0或b=0,其否定为________.

答案:若ab≠0,则a≠0且b≠0
2.(2013· 四川高考改编)设 x∈Z,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数集. 若命题 p: ?x∈A,2x∈B, 则綈 p 为________.

解析:由命题的否定易知选C,注意要把全称量词改为 存在量词.

答案:?x∈A,2x?B
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1.含逻辑联结词命题真假判断:
(1)p∧q中一假即假.

(2)p∨q中一真必真.
(3)綈p真,p假;綈p假,p真.
2.含量词的命题的否定方法是“改量词,否结论”, 即把全称量词与存在量词互换,然后否定原命题的结论.
3.判断命题的真假要注意:全称命题为真需证明,为 假举反例即可;存在性命题为真需举一个例子,为假则要证 明全称命题为真.
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[练一练]
? π? 1.(2013· 南通二模)命题“?x∈ ?0,2 ? ,tan ? ?

x>sin x”的否

定是________.

解析:根据存在性命题与全称命题之间的关系可知原
? π? 命题的否定是:?x∈?0,2 ?,tan ? ?

x≤sin x.

? π? 答案:?x∈?0,2 ?,tan ? ?

x≤sin x

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结束

1 2 2.已知命题p:?x0∈R,x 0 + 2 ≤2,命题q是命题p的否定, x0 则命题p、q、p∧q、p∨q中是真命题的是________.

解析:p是真命题,则q是假命题.
答案:p、p∨q

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1.(2014· 皖南八校联考)下列命题: 1 2x0 2x0 ①存在x0∈R,sin +cos = 2 2 2 ②任意x∈(0,π),sin x>cos x
③任意x∈(0,+∞),x2+1>x
2 ④存在x0∈R,x0 +x0=-1,

其中真命题的序号是________.

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x 2x 解析:对于①:?x∈R,sin +cos =1,故①为假命题; 2 2
2

π 1 3 对于②:存在x= ,sin x= ,cos x= ,sin x<cos x,故② 6 2 2 为假命题;对于③:x 命题;对于④:x
2 2

? 1? 2 3 +1-x= ?x-2? + >0恒成立,③为真 4 ? ?

? 1? 2 3 +x+1= ?x+2? + >0恒成立,不存在x0∈ 4 ? ?

R,使x2 0+x0=-1成立,故④为假命题.

答案:③
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2.(2014· 苏北三市质检)由命题“?x∈R,x2+2x+m≤0” 是假命题,求得实数m的取值范围是(a,+∞),则实数a =________.

解析:由题意得命题“?x∈R,x2+2x+m>0”是真命 题,所以Δ=4-4m<0,即m>1,故实数m的取值范围是 (1,+∞),从而实数a的值为1.
答案:1

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[类题通法]

全称命题与存在性命题真假的判断方法

命题名称

真假


判断方法一
所有对象使命题真 存在一个对象使命题假 存在一个对象使命题真 所有对象使命题假
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判断方法 二 否定为假 否定为真 否定为假 否定为真

全称命题
假 真 存在性命题 假
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[典例]

(2012· 辽宁高考改编)已知命题p:?x1,x2∈

R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)≥0,则綈p是________

[解析]

全称命题的否定为存在性命题,即若p为“?

x∈M,q(x)”,则綈p为“?x∈M,綈q(x)”.
[答案] ?x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0

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[类题通法]
全称命题与存在性命题的否定与命题的否定有一定的区 别,否定全称命题和存在性命题时,一是要改写量词,全称 量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词;二是要否 定结论,而一般命题的否定只需直接否定结论即可.

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[针对训练]

写出下列命题的否定并判断其真假:

(1)p:不论m取何实数值,方程x2+mx-1=0必有实数根;
(2)p:有的三角形的三条边相等;

(3)p:菱形的对角线互相垂直;

(4)p:?x0∈N,x2 0-2x0+1≤0.

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结束

解:(1)綈p:存在一个实数m0,使方程x2+m0x-1=0没有实数 根.
2 因为该方程的判别式Δ=m0 +4>0恒成立,故綈p为假命题.

(2)綈p:所有的三角形的三条边不全相等. 显然綈p为假命题. (3)綈p:有的菱形的对角线不垂直. 显然綈p为假命题. (4)綈p:?x∈N,x2-2x+1>0. 显然当x=1时,x2-2x+1>0不成立,故綈p是假命题.
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[典例]

5 (1)已知命题p:?x∈R,使sin x= ;命题q: 2

?x∈R,都有x2+x+1>0.给出下列结论: ①命题“p∧q”是真命题;
②命题“p∧綈q”是假命题;
③命题“綈p∨q”是真命题;

④命题“綈p∨綈q”是假命题, 其中正确的结论有________.(填写序号)
(2)(2014· 济宁模拟)已知命题p:关于x的方程x2-ax+4=0有实 根;命题q:关于x的函数y=2x2+ax+4在[3,+∞)上是增函数.若 p或q是真命题,p且q是假命题,则实数a的取值范围是_________.
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[解析]

5 (1)因为对任意实数x,|sin x|≤1,而sin x= >1, 2

所以p为假;因为x2+x+1=0的判别式Δ<0,所以q为真.因而 ②③正确. (2)命题p等价于Δ=a2-16≥0,即a≤-4或a≥4;命题q等 a 价于- ≤3,即a≥-12.由p或q是真命题,p且q是假命题知, 4 命题p和q一真一假.若p真q假,则a<-12;若p假q真,则- 4<a<4.故a的取值范围是(-∞,-12)∪(-4,4).
[答案]
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(1)②③

(2)(-∞,-12)∪(-4,4)
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结束

保持本例(2)条件不变,若p∧q为真,则a的 取值范围为________.

解析:p∧q为真,∴p和q均为真. ∴a的取值范围为[-12,-4]∪[4,+∞).

答案:[-12,-4]∪[4,+∞)

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[类题通法]
1.判断“p∧q”、“p∨q”、“綈p”形式命题真假 的步骤

(1)准确判断简单命题p、q的真假;
(2)依据[必会3个方法中的第一个方法]判断“p∧q”、“p ∨q”、“綈p”命题的真假.

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2.根据命题真假求参数的方法步骤
(1)先根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只 有一种情况);
(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围;

(3)最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.

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[针对训练]
1.对于下述两个命题,p:对角线互相垂直的四边形是菱 形;q:对角线互相平分的四边形是菱形.则命题“p∨ q”、“p∧q”、“綈p”中真命题的有________个.

解析:容易判断p、q均为假命题.所以“p∨q”为假命 题,“p∧q”为假命题,“綈p”为真命题,故真命题的 个数为1.

答案:1
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2.已知命题p:“?x∈[0,1],a≥ex”,命题q:“?x0∈ R,x
2 0

+4x0+a=0”,若命题“p∧q”是真命题,则实

数a的取值范围是________.

解析:“p∧q”是真命题,则p与q都是真命题.p真则? x∈[0,1],a≥ex,需a≥e;q真则x2+4x+a=0有解,需Δ =16-4a≥0,所以a≤4.p∧q为真,则e≤a≤4.

答案:[e,4]

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[课堂练通考点]
1.(2013· 盐城二模)若命题“?x∈R,x2-ax+a≥0”为真 命题,则实数a的取值范围是________.
解析:由条件得Δ=a2-4a≤0,解得0≤a≤4.

答案:[0,4]

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2.(2013· 南京二模)下列四个命题:
①“?x∈R,x2-x+1≤0”的否定;
②“若x2+x-6≥0,则x>2”的否命题; 1 ③在△ABC中,“A>30° ”是“sin A> ”的充分不必要条 2

件;
④“函数f(x)=tan(x+φ)为奇函数”的充要条件是“φ= kπ(k∈Z)”.其中真命题的序号是________.

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解析:①中,“?x∈R,x2-x+1≤0”的否定为“?x∈R, x2-x+1>0”,是真命题;②中,“若x2+x-6≥0,则x>2” 的否命题为“若x2+x-6<0,则x≤2”,是真命题,③④很显 然是假命题.

答案:①②

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3.“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的_________条件.

解析:若命题“p或q”为真命题,则p,q中至少有一个为 真命题,若命题“p且q”为真命题,则p,q都为真命题, 因此“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的必要不充分 条件.
答案:必要不充分

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4.(2013· 苏北四市联考)若命题“?x∈R,x2+ax+1<0”是真 命题,则实数a的取值范围是________.
解析:设命题p:?x∈R,x2+ax+1<0,则命题綈p:?x

∈R,x2+ax+1≥0.又命题綈p为真时,即为Δ=a2- 4≤0,解得-2≤a≤2,所以命题p是真命题时,实数a的取 值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞).

答案:(-∞,-2)∪(2,+∞)
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5.已知p:2+3=5,q:5<4,则下列结论:

①“p或q”为真,p为假;

②“p且q”为假,q为真;
③“p且q”为假,p为假;

④“p且綈q”为真,“p或q”为真.
其中正确的是________(填序号).
解析:∵p为真,∴綈p为假.又∵q为假,∴綈q为真, ∴“p且綈q”为真,“p或q”为真.

答案:④
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6.已知命题p:?x0∈(-∞,0),2x0<3x0,命题q:?x∈ (0,1),log2x<0,则下列命题:①p∧q;②p∨(綈q);③(綈p) ∧q;④p∧(綈q).其中为真命题的是________(填序号).
解析:由指数函数的图像与性质可知,命题p是假命题,由 对数函数的图像与性质可知,命题q是真命题,则命题“p∧ q”为假命题,命题“p∨(綈q)”为假命题,命题“(綈p)∧ q”为真命题,命题“p∧(綈q)”为假命题.

答案:③
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