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2013年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及解答


中学 生 数 学 ? 0 3 8月 上 ? 4 1期 ( 中 ) 21 年 第 7 高  

教 

学  

21 0  3年北  市 中 学 生 数 学 竞赛 高 一 年级  京 初 赛 试 题 及 解 答 


寸 

篱  赛 
窝  

r />、

选 择题 ( 分 3 满 6分 )  

1 已知集合 A一 { , , , , )B{ , , , , ) 则集合 C {n 6 l EA, EB, 关 于 z的方  . 12 34 5 , 2 34 56 , 一 ( ,)  n b 且
程 z +2 z 。   a +6 一0有 实 根 ) 元 素 个 数 为 ( 的  
( )  A 7 ( 8 B)   ( 9 C)  

) .  
( )0 D 1 

解  当 a ,>0时 ,。 a +b :0有实 根 的充要条 件 为 口 . >O 6 z +2 x   ≥6   设 集合 D- {n 6 l ∈A, ∈B} D 的 元 素个 数 为 5 — 2 - ( ,) n -   b , ×5 5个 , c 而   是 D 的子集 , 因此 , 集合 c的元 素如 右 面的整 点 图 1中的黑点 所示 :  
因此 , C的元 素个 数 等于 1 . 0  

2 已 ̄ / 4 一 ̄8 一2 贝 2 一口 /- . k 2 一a / 一n ,  4 + ̄8 Z ̄v ( - :  
( 7 A)   ( 8 B)   ( 9 C)   ( 1  D) 0

) .  

解 

+ 

一 (— - ) 一  / 4  ̄2 —a 。  
一  

二 


2 4— 8   2 =     =8
图 1  

3 如 图 2所 示 , 形 AB D 的对 角 线 BD 经 过 坐标 原 点 O, 形 的 边  . 矩 C 矩

分别 平行 于坐 标轴 , c在 反 比例 函数 一坠  的 图像 上 若 A 点 的坐 标  点


\ 
为 ( , ) 则 是等 于 ( 一2 一2 ,  
( 2 A)   ( 1 B)  

\~ 、 

) .  
( 0 C)   ( 一1 D) .  

0     G \  
一   ) .  

解  因为矩 形 的对角 线平 分矩形 的面积 , 以矩形 C G 的面积 =矩  所 H0 形 0F E 的面积 一 J  × J   . 3 +1 O×GC , A 一2 J 一2 一4 即 忌 一O J =4 因此 k . 一1  

4 定义 在 R上 的偶 函数 f( ) 满 足 ,( +1 一一厂  ) 且 在 区间[ ,] 递增 , ( . z, z ) ( , 一1 0 上 则  
( f 3 < f v ) 厂 2  A) ( ) ( 3 < ( ) / ( ) 2 < 厂 3 < f /) B 厂( ) ( ) G 3 

( ) () () (3  c 厂 3 <厂 2<厂 √ )



( ) () G3 <, 3  D - 2<f /) () 厂

根 据题 意 , z = 一f( +1 一一 [ ( () x ) 一厂  +2 ] ) 一厂( +2 , z ) 因为 厂( 是 偶 函数 , 厂 a   ) 即 ()

厂 一口 , , 3 一厂 1 一, 一1 , () (),√ ) ( 3 =f 2 √ ) (3 )而一1 ( )则 () () ( ), 2 一厂 0 , (3 一厂 一√ ) (一 3 一厂 √ —2 .  
5 由 1 始 的连续  个正 整数 相乘 , . 开 简记 为 !一1 ×… × 如 3 x2  ,   1=1 ×3 , 0 =   ×2 —6 1  = 1= 1

<  一2 0 厂 z 在 区 间[ ,] 递增 , 以 _ 3  ̄ f v ) 厂 2 . < ,() 一1 o 上 所 厂 ) (3 <- ) ( / (  

XXXX   89l380等则 + + + + + + 等 ( )   456 ×   O 60 ,       斋    于 . 23   X XX =2 等   X7 8    
( ) 1  A   9 7 (  0 9 B) 3   5 (  0 1   c) 3 9 4 (  0 2 D) 3 1 4
.  



因 为  n  一  一    -1 1一

两 一 ,    

●  ● 

所  + + + + + + . 以   暑         
网址 : XSc p.n in t Z S. b tck. e   ● 

2  ●电箱sire 8  子: co.n 邮z hun  x nnt saa. @j1c

中 学 生 数 学 ? 0 3 8月上 ? 4 1期 ( 中 ) 21 年 第 7 高  

c一 c一  c一 c一 c一  c一  c一    + 豇+  +  + 击+ 六+     1       寺   一c  一  + c 一  , c 一    +   + c1   + 一 c一 ,c一 c  + 寺+六     

一  

数  学 

: 一  一 1 4 3 0 4 3 0  8  一 0 2   0 2 ‘ 1 : 

6如图 3 正方形 A C 内接于O0, . , B D P为劣弧 三 j上一点 , A交 B 于  j P D
点M, PB交 AC 于点 N , 记  P = , MN上 P 则 2 o 。一tn 的值 等  AC 若 A, c s   a6
于(   ) .  

竞   赛 
之 

(1 A  )
‘ . .  。 . . 

( B )  

(丢 c  )

(   D. )
图 3  

亩  

解  ‘ 四边 形 AB D 是正 方形 , .   C  
AC B= 4 。 DB上AC, 5,  
A PB 一  A CB 一 45 , 。 

‘ M N L PA, :    
。 . . 

M N P 一  A PB 一 45 , 。 

. 

M P— M N .  





。 AC为 圆的直 径 ,  
. 

‘ .

APC一 9 。  0,

。 . . 

P、 、 C 四点 共 圆. M O、  
AM ?A P— AO ?AC.  

‘ . . 

因此

2 o 2- tn cs  - a 0= 2?AO2一丽 一   MN  
:   二  :   AM 。  

— —


. 

 

一 

:  

二  AM 。  

:  



A P  M N - AM: 一    
— — —

A P    - PM AM   :: . : 1  “ 

二 、 空题 ( 填 满分 6 4分)   “1 t   。  。 。  。  。  。   5。   “ E  的值. L 求  n3  ×t n 9 ×t n 42 ×t n 4  ×t    8 ×t n。1 ×t n5 。 L’ a   6 a   3  a     a   5 a 4  n     a a 4


解  注意 到 s  +sn(0-a 一sn +CS 一1s 。5:寺 , i d i 9。 ) i n     O  ,i 4 。=   n :
为 正整 数 时 ,a   tn口×tn ( 0 -a 一tna×c t 一 (a a oa  a 9。 ) a  o  口 tn ×ct) 一1 tn 5 一1  , 4。 , a
. sn 3 。 sn 3 。 sn 4 。 sn 4 。 sn  0 + sn 5 。 sn 6 。 r i   0 + i 0 5 + i   0 + i 0 5 + i 0 。 i 。 5 + i   0    5
t n3 。 t n。 。 t n  。 t n 4 。 t n 4 。 t n 5 。 t n5 。 a 6 × a 39 × a 42 × a   5 × a   8 × a 。 1 × a 4  

寸 

2 厂( ) . z 是定 义 在 R 上 的奇 函数 , 当 ≥ 0时 , ( )   x ( 常数 ) 求 厂 一1 ) 厂 z 一2 +2 +bb为 , ( 0 的值.   解  因为 厂 z 为定 义 在 R 上 的奇 函数 , 以 厂 0 = 0 即 2+2 +6 , b=一1 由奇 函  () 所 ( )= , 。 ×0 —0 得 = = = . 数 的性质 厂( x 一 一,( ) 有  - ) z, 若 x 0 即 一z < , >O 则 一厂  ) ( x 一2 一2 一1 即 厂( )=一2  z ( <0 . , ( 一厂 - ) 一 z , z= : 一 +2 +1 z )  
所以 厂( 1 ) 一 2 一 2 1 + 1 1 4 . 一 0一   × O — 03  

●  ●  ● 

网址 : XScp ck nt ZS.b t ni e . .  

● 

2 ?电箱。i t 9 子:@ 。 . 邮    。   。    n

中 学 生 数 学 ? 0 3年 8月 上 ? 4 1 ( 中 ) 21 第 7期 高  

3若实数 z  满足方程 . ,,  

干 

+  

一, 4试确定( +3 一3)¨ 5     z 的末位数 z 0  

寸 学

教  字 .   学   解  易见  ≥7贝 ,  

i ≥4而   , 

≥o又 z  z , ,, 满足方程  

+  

竞   赛 
■- l , 

_ ,  鬲 丽 4 所

_ ,  4 且

所 以 z一7 x+y z ,5 +3 - 3 ) , - =O (x y z ¨一1 。。这 个数 的末 位数 字为 4 4∞ , .   4 如 图 4 正 方形 AB D 被 分成 了 面积 相 等 的 8个 三 角 形 , 果 AG一 . , C 如  

富  ̄  , 正方 形 ABCD 面积 的值.   / 求  
设正 方形 AB D 的边 长为 a, C  

解  如 图 5 过 F作 KL/ DC, AB 的 中点 N , 长 G 交 AH 于 P, , / 取 延 N  

由f / DCIABH 的面 积都是 正方 形 AB D面积的   f k : 、 C 专,


图 4  

所 以  C —BH —  BC a I 一 

. 

由AADF的面 积 一△ DC 的面积 的 2 , L 倍 得 
1   1  

÷AD×KF一2 ×÷C D×C . I  
所以 KF= 2 I C =  口 .  

所 以 F为 DI中点 .  

易见 , £是 AF 的 中点 , 由AF AG、 △FHG 的面积 相等 , 得 AP—PH, 可 即 
F P为 △F AH 的一条 中线 , 因此 F、 N 是一 条 直线. P,  

图 5  

吲 理 司 i H G 的 延 长 线 必 过 A E 的 中 点 E , 以 HE 为 △ F H 的 另 一 条 中 线 , 线   P 与   i [, 所 A 中

HE 的交 点 G : AF Y J  ̄ AH 的重心 , P=1F G G
.  

1  

注意F P为梯形A 。的中位线,P c所以F 一 H工 F ∥B , P 
= = - a十  — 1 a 3 2 F p 一  所 以 GN = GPq PN 一  a

.  

一至 

一  



所 以 GP— 

A=_ 据 股 理有 G () () 2 5  2 以21. N _根 勾 定 ,A。 号  警 2 , 02 , 口 2 萋 , = + 一5 即 一5 所 = 8   a   a  
5 已知实数  、 .  满足  一 = /   .3   =, =  , 、 n 为质数. m -3  若 。 n 的最大值为 n 最小值为 b 试  , .
确定 a —b的值.   解 设  一3 = 户为质 数) n = ( = .  
一  丽 +   .

① 
② 

由 m-n  而 , - = 得 

把② 式代 入① 式得 ( 而 +    n =p,  ̄ / ) 一3 。 整理 得  2     n 一2

+p- 1 =0  - 0 ,

●  ◆  ● 







A一 4 — 8 0 p+ 8 ≥ O ‘ 0 ,.  .

≤ 1. 5 







P的 最 大 值 a 1 , 小 值 6 2  = 3最 — ,

网址 : X Sc p.n i e ZS b t k nt . c .  

● 

3 ?电箱 @。 t 0 子:  。 . 邮 n 。  i      

中 学 生 数 学 ? 0 3年 8月 上 ? 4 1 ( 中 ) 21 第 7期 高  


?

? a— b: 1 .   1 

6 如 图 6 在AAB . , C的边 B 上有 一 点 D , C ZADB是 锐 角 , Q 分别  P、


教 
睇  

 ̄ B 、 C AA D AA D的外心, 且四边形 A D P Q面积是AA C面积的÷.   B 求
解 如 图 7 连结 P 易证 △AQp o , Q, c ADQP,  

s Z ADB 的值 . i n  

由 知  已得

一, 詈  
一(   ) 所 以AQ一   , ,  
. 

篱   赛  
0'  
_。  

易 证 : AP △ Q∽ △ ABC, 以  所

富  
.  

连 结 Q 作 OHJAC于 H , C, _ 则  A B= Ac + ( D一÷    O   D =去  D = = AD一 — ÷  b+ — ÷A e= ZAQ = ̄AQ h= =   C H A B= c  GA   A D = =  A D+  1 D = = =
所 以  sn ADB— sn AQH 一  一  . i ̄ i   

图7  

7 S  ) 示 自然数 z的数字 和 , .( 表 试确 定方 程 z +S  ) ( +S S - ) 0 3的解 集. ( ( ) 一2 1 z  

解  显然 x 0 3 而 S( 最大 值为 2 , s I ) 大值 为 1 , 此 5 最 小值 为 2 1 —3 — <2 1 ,  ) 8 s( ( ) 最 z O因 1 2 03 8  
1 7 . 此 1 7 ≤ x 2 1 , 易 试 验 得  95 因 95 < 0 3容


2 0 S( o 3 一 5, S( 0 3 ) 5, 0 3 5 5 2 1   0 3, 2 o ) S( 2 0 ) 一 2 0 + + — 0 3;

一 1 9 S( 9 1 一 2 S( 1 9 ) 一 2, 9 1 2 + 2 2 1   9 1, 1 9 ) O, S( 9 1 ) 1 9 + 0 — O 3; -一 1 8 , 1 8 ) 2 S( 1 8 ) 一 5, 9 5 2 + 5 2 1 ; z 9 5 S( 9 5 一 3, S( 9 5 ) 18 + 3 — O 3  z一 1 7 , 1 7 ) 2 S( 1 7 ) 一 8, 9 9 2 + 8 2 1 . 9 9 S( 9 9 一 6, S( 9 9 ) 17 + 6 — 0 3 

除 此之 外 的 z都 不满 足方 程 , 以解集 是 { 9 9 1 8 , 9 1 2 0 } 所 1 7 ,9 5 1 9 ,0 3 .   8 直 角△ABC中 , . 内切 圆( o切 斜边 AB 于 D, BC于 £, C 于  三 ) 切 切 A F, DK上AC 于 K , 作 DP_ BC于 P, 知 AD— , D一, 试 确 定 矩 形  上 . 已   B z , C KDP 的面 积 ( 用  ,  来 表示 ) .   解 设 内切圆半径为 r连结 O O O 如图 8则 , D, E, F, , O D=O E=O F=r .  
图 8  

由切 线长 定理 得

AD—AF—m, D=B B E— C  , E=C F=r .  
.  

i A C的半周长为 ,  ̄ B   面积为 s 则  =r , = + +n 所以 s   ±  = ,   一
即  2 S= r + r    + r m — r r  + ( +  + ) +  — r - . pq mn 



因为 S p, 入上 式得 —r 代

S—   .  

因为 DK∥BC, 以 所
所以 s AK=S △ ̄ 一

AADKo AABC, o  
×   一   x -——?  -m-’ ---- -—  - ——-~ —-- -—
( + )     ( + )      ’

m 

 

同可 SPsB 击 一   理 得 A—A     × B A D C X
因此 , 矩形 C P的面积: 一 丽3  一 KD = =     mn  

一  

m n3  

( + ) ’   。 

z   一 2m  ,  

( + )    

( 北京教 学会 普 及委 员会提供 )  

◇  ●  ● 

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● 

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