当前位置:首页 >> 数学 >>

高数里的洛必达法则在高考数学的应用


高等数学的洛必达法则在高考的压轴题里面有很广泛 的应用 下面咱们来看看吧 一.洛必达法则 法则 1
lim f ? x ? ? 0
x ?a

若函数 f(x) 和 g(x) 满足下列条件: (1) 及 lim g ? x ? ? 0 ;
x ?a

(2)在点 a 的去心邻域内,f(x) 与 g(x) 可导且

g'(x)≠0;
? (3) lim f ? x ? ? l ,
x ?a

g?? x?

那么

lim
x ?a

g ? x?

f ? x?

? = lim f ? x ? ? l 。
x ?a

g?? x?

法则 2
x ??

若 函 数 f(x) 和 g(x) 满 足 下 列 条 件 :
x ??

(1) lim f ? x ? ? 0 及 lim g ? x ? ? 0 ; (2) ?A
0 ,f(x)

和 g(x)在 ? ??, A? 与 ? A, ??? 上可导,

且 g'(x)≠0;
? (3) lim f ? x ? ? l ,
x ??

g?? x?

那么

lim
x ??

g ? x?

f ? x?

? = lim f ? x ? ? l 。
x ??

g?? x?

法则 3
x ?a

若函数 f(x) 和 g(x) 满足下列条件: (1)
x ?a

lim f ? x ? ? ? 及 lim g ? x ? ? ? ;

(2)在点 a 的去心邻域内,f(x) 与 g(x) 可导且 g'(x)≠0;
? (3) lim f ? x ? ? l ,
x ?a

g?? x?

那么

lim
x ?a

g ? x?

f ? x?

? = lim f ? x ? ? l 。
x ?a

g?? x?

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点 之一,在解题中应注意: 1 将上面公式中的 x→a, x→∞换成 x→+∞, x→-∞, ○
x?a
?

, x ? a 洛必达法则也成立。
?

2 洛必达法则可处理 0 ,? ,0 ? ? , ○ 1 ,? ,0 ,? ? ? 型。 0 ? 3 在着手求极限以前,首先要检查是否满足 0 , ? , ○
? 0
0

0

?

0 ? ? ,1

?

, ? , 0 , ? ? ? 型定式,否则滥用洛必达法
0
0

则会出错。 当不满足三个前提条件时, 就不能用洛必 达法则, 这时称洛必达法则不适用, 应从另外途径求 极限。 4 若条件符合, 洛必达法则可连续多次使用, 直到求 ○ 出极限为止。 二.高考题处理 1.(2010 年全国新课标理)设函数 f ( x) ? e (1) (2)
x

? 1 ? x ? ax2 。

若 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间; 若当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围
x

原解: (1) a ? 0 时, f ( x) ? e

? 1 ? x , f '( x) ? ex ?1 .

当 x ? (??, 0) 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? (0, ??) 时, f '( x) ? 0 .故 f ( x) 在
(??, 0) 单调减少,在 (0, ??) 单调增加

(II) f '( x) ? e

x

?1 ? 2ax

由(I)知 e

x

? 1 ? x ,当且仅当 x ? 0 时等号成立.故

f '( x) ? x ? 2ax ? (1 ? 2a) x ,

从而当1 ? 2a ? 0 ,即 a ? 1 时, f '( x) ? 0 ( x ? 0) ,而 f (0) ? 0 ,
2

于是当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 . 由e
x

? 1 ? x( x ? 0) 可得 e? x ? 1 ? x( x ? 0) .从而当 a ?

1 时, 2

f '( x) ? ex ?1 ? 2a(e? x ?1) ? e? x (ex ?1)(ex ? 2a) ,

故当 x ? (0, ln 2a) 时, f '( x) ? 0 ,而 f (0) ?0 ,于是当 x ? (0, ln 2a) 时, f ( x) ? 0 .
1? 综合得 a 的取值范围为 ? ? ??, ? ? 2?

原解在处理第(II)时较难想到,现利用洛必达法则 处理如下: 另解( : II) 当 x ? 0 时,f ( x) ? 0 , 对任意实数 a,均在 f ( x) ? 0 ; 当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 等价于 a ? e 令 g ? x? ? e
x

x

? x ?1

x

2

x

? x ?1

x
x

2

(x>0), 则
x? ?2

h ? x ? ? xe ? 2e ? x ?

x 0 h ? ? x ? ? xe ? e ? 1 , h?? ? x ? ? xe ? ,则
x x

g ?( x) ?

xe ? 2e ? x ? 2
3

x

x

, 令
x

?0,

知 h? ? x? 在 ? 0, ??? 上为增函数, 知 h ? x ? 在 ? 0, ??? h? ? x ? ? h? ? 0? ? 0 ; 上为增函数, h ? x? ? h ?0? ? 0 ;? g ? ? x? ? 0 ,g(x)在 ? 0, ??? 上为 增函数。 由洛必达法则知, lim
x ?0?

e

x

? x ?1

x

2

? lim
x ?0?

e

x

2x

? lim
x ?0?

e

x

2

?

1 , 2

故a ? 1 2

1? 综上,知 a 的取值范围为 ? ? ??, ? 。 ? 2?

2. (2011 年全国新课标理)已知函数,曲线 y ? f ( x) 在 点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 。 (Ⅰ)求 a 、 b 的值; (Ⅱ)如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x) ? ln x ? k ,求 k 的取
x ?1 x

值范围。 原解: (Ⅰ) f '( x) ?
?(
x ?1 ? ln x) b x ? 2 2 ( x ? 1) x

由于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率为 ? 1 ,且过点 (1,1) ,故
2

? f (1) ? 1, ? ? 1 即 f '(1) ? ? , ? ? 2 ?b ? 1, ? ?a 1 ?b ? ? , ? ?2 2

解得 a ? 1 , b ? 1 。
x ?1 x

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? ln x ? 1 ,所以
f ( x) ? ( ln x k 1 (k ? 1)( x 2 ? 1) ? )? (2ln x ? )。 x ?1 x 1 ? x2 x
h( x ? )
) 2 (k ? 1 x2 ? ) ( 2? l x n x 1 ) (x ? 0 , )

考 虑 函 数
(k ? 1 2 x ? ) (? h ' x( ? ) 2 x 1x 。



k ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1)2 (i)设 k ? 0 ,由 h '( x) ? x2

知,当 x ? 1 时, h '( x) ? 0 ,
h( x) ? 0 ,可得

h ( x )递减。而 h(1)? 0故当 x ? ( 0, 1)时,

1 h( x) ? 0 ; 1 ? x2

当 x ?(1,+ ? )时,h(x)<0,可得 从而当 x>0,且 x ? 1 f(x)> ln x + k .
x ?1 x

1 1? x2 时,f(x)-( ln x + k x ?1 x

h(x)>0 )>0,即

(ii) 设 0<k<1.由于 (k ? 1)( x 像开口向下,且 ? ? 4 ? 4(k ? 1) (1,
1 1? k
2

2

? 1) ? 2 x = (k ? 1) x2 ? 2 x ? k ? 1 的图
1 ? 1 当 x? x= 1 ? k .
'

? 0 ,对称轴

)时, (k-1) (x2 +1)+2x>0,故 h (x)>0,而
1 1? k

h(1)=0,故当 x ?(1, (x)<0,与题设矛盾。 (iii) 设 k ? 1.此时 x
1 1? x2
2

)时,h(x)>0,可得

1 1? x2

h

' ? 1 ? 2x , ( x) >0, (k ? 1)( x2 ? 1) ? 2 x ? 0 ? h

而 h(1)=0,故当 x ?(1,+ ? )时,h(x)>0,可得 h(x)<0,与题设矛盾。 综合得,k 的取值范围为(- ? ,0] 原解在处理第(II)时非常难想到,现利用洛必达法 则处理如下: 另解: (II)由题设可得,当 x ? 0, x ? 1 时,k< 2 x ln x ? 1 恒
1 ? x2

成立。 令 g (x)=
x2 ? 1 ln x ? x 2 ? 1 2 x ln x ? 1 ( x ? 0, x ? 1 ),则 g ? ? x ? ? 2 ? , 2 2 1 ? x2 1? x

?

?

?

?

再令 h ? x ? ? ? x

2

? 1? ln x ? x 2 ? 1 ( x ? 0, x ? 1 ) ,则 h ? ? x ? ? 2 x ln x ?

1 ? x, x

h?? ? x ? ? 2 ln x ? 1 ?

1 x2

,易知 h?? ? x? ? 2 ln x ? 1?

1 x2

在 ? 0, ??? 上为增函

数,且 h?? ?1? ? 0 ;故当 x ? (0,1) 时,h?? ? x? ? 0 ,当 x?(1,+ ? )

时, h?? ? x? ? 0 ;
? h? ? x ?

在 ? 0,1? 上 为 减 函数 , 在 ?1, ??? 上 为 增 函 数 ; 故
h ?1? =0

h? ? x ? > h? ?1? =0
? h ? x ? 在 ? 0, ??? 上为增函数 ? 当 x ? (0,1) 时, h ? x ? ? 0 ,当 ? 当 x ? (0,1) 时, g ? ? x ? ? 0 ,当

x? (1,+ ? )时, h ? x ? ? 0 x? (1,+ ? )时, g ? ? x? ? 0 达 法 则 知

? g ? x ? 在 ? 0,1? 上为减函数,在 ?1, ?? ? 上为增函数


x ?1 x ?1


x ln x
2


x ?1

limg ? x ? ? 2lim 1 ? x
? k ? 0 ,即

? 1 ? 2lim

1 ? ln x ? 1? ?1 ? 2? ? ? ? ?1 ? 0 ?2 x ? 2?

k 的取值范围为(- ? ,0]


相关文章:
洛必达法则详述与其在高考中的实际运用
洛必达法则详述与其在高考中的实际运用_高三数学_数学_高中教育_教育专区。洛必...论_高等数学_中洛必达法... 2页 免费 洛必达法则使用中的5种常... 4页...
洛必达法则在高考解答题中的应用(高二下)
洛必达法则在高考解答题中的应用(高二下)_数学_高中教育_教育专区。洛必达法则在高考导数解答压轴题中的应用。导数结合洛必达法则巧解高考压轴题一.洛必达法则:...
高考导数(洛必达法则)
高考导数(洛必达法则)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第二部分:泰勒展开式...(0, 解:应用洛必达法则和导数 当 x ? (0, ? 2 ) 恒成立,求 a 的...
导数结合洛必达法则巧解高考压轴题
导数结合洛必达法则巧解高考压轴题_数学_高中教育_教育专区。设函数 f(x)=(...ax ? 1 (Ⅱ)应用洛必达法则和导数 由题设 x ? 0 ,此时 f ( x) ? ...
洛必达法则的一些应用
人类在 寻求真理和科学的过程不断探索和总结,对于数学的探索给了人类科学发展...阐述了该法则适用于解决函数极限的类型并举例说 明其应用,总结了洛必达法则的...
利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题
利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题_数学_高中教育_教育专区。利用洛必达...( x ), g ? ( x ) 仍满足定理的条件,则可以继续应用洛必达法则,即 lim...
利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题
利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题_数学_高中教育_教育专区。导数结合洛...a11a32 a23 下面举例说明三阶行列式在高中几何中的应用. 1.定义:设平面 ? ...
高等数学在中学数学中的应用学生版
an ? ? ln 2 n 4n 6 夷陵中学 2013 级自主招生数学补充学案—高等数学在中学数学中的应用 洛比达法则与高考数学压轴题一、 洛必达法则 设函数 f ( x) 、...
考研高数:洛必达法则求极限
考研高数:洛必达法则求极限前面介绍了求极限的四则运算法则在函数分解、抓大头和极限敛散性讨论等三个方面的 应用。 下面我们继续深入剖析洛必达法则的使用条件。...
更多相关标签:
高考数学洛必达法则 | 高数洛必达法则 | 高考数学用高数 | 洛必达法则 高考 | 洛必达法则高考能用吗 | 洛必达法则解高考题 | 高等数学洛必达法则 | 洛必达法则应用 |