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一道爱尔兰数学奥林匹克题的推广


2 0 1 3年第 8期 

1 7  



道 爱 尔 兰 数 学 奥 林 匹 克题 的 推 广 木  

中图分类号 : O1 2 2   文献标识码 : A  

欣 
文章编号 1 0 0 5—6 4 1 6 ( 2 0 1 3 ) 0 8—0 0 1 7一

O 1  

( 天津师范大学数学科学学院 , 3 0 0 3 8 7 )  

2 0 1 2年 爱 尔 兰数 学 奥 林 匹 克 有 这 样 一  道题 为 :   、   题目 记 S ( 1 7 , ) 表 示 整 数 n的各 位 数 字 

则a  = 0  

…= a 2 = n I =9 .  

再由式①得 S ( n ) ≤9 .  
从而,  =1 , a 。 =0 .   故 n= 9 0 , S ( n )=5 ( 9 0 )= 9 .   于是 , 1 1 , 一S ( I 1 , )= 9 0—9= 8 1 .  
而l 0  一1 0 ≥1 0 0—1 0= 9 0 , 矛 盾.   ( 2 ) . } j =m .‘  

之和. 证明 : 不存在正整数 n , 使得 
n一| s (  )= 9   9 9 0 .  。  

本文将此题推广为 :   推广 记 S ( / / , ) 表示 整 数 n的各 位 数 字  之 和. 则 对任 意 的 整 数 m( m >1 ) , 不 存 在 正  整数 n , 使得  n— J s (  ) = 1 0  一 1 0 .   ①  证 明 对某 个 整数 m( m >1 ) , 假设 存在  正整数 n , 使得式①成立. 记 
凡=1 0   a  +1 0   一 ’ 口   l+… + l O a1+ao ,  


由a m+ a m 一 1 +… + a 0  


l 0 m ( 口 m一 1 )+ 1 0 m 一   0 m — l + …+ a 0 +l 0 ,  

从而 , a  =1 , n   一 l =… =a 1 = 0 .   故r / , 一 S ( n ) =1 0  一1 >1 0  一l 0 , 矛 盾.  
( 3 ) 后>m .  

其中, a   , a   , …, a 。 均为不大于 9的非负整 
数, 且a ^ ≥1 .   于是 , S ( n ) =a   +a   — l +… + 口 0 .   ( 1 ) . 1 } < m.   易知 , 1 0  比 n的位 数 至少 多 1 .   由1 O 巩+a   +a ^ 一 1 +… + a o  


易知 ,   比l 0  的位数至少多 1 .  
由a  +a   一 l+… +a m+口 m 一 1+… +0 0  


1 0   a  +1 0   一   a  


1 +… +l 0 m ( 0 m—1 ) +  

l 0  

0+ 1 0,   a   1+ … + a


贝 0   a   = 1 , a   一 l =… = 口 m= 0 m 一 1 = …= 口 1 = 0 .   故 n— S ( n )=1 0  一1 >1 0  一1 0, 矛 盾.   综上 , 推广 成立.  
参考文献 :  
[ 1 ] 宋 宝莹 翻译. 2 0 1 2爱尔兰数学 奥林 匹克 [ J ] . 中等 
数学 , 2 0 1 3 ( 增刊二 ) .  

1 0   Ⅱ^+1 0   一  n  一 l+… +1 0   口2+  

1 0 ( a l +1 )+ a 0 ,  
天津 师范大学校教育基金 5 2 L J 3 6资助  收稿 日期 : 2 0 1 3- 0 7—1 2  

令  =1 , 得 

故( 2   i )  


扣(   ) :( 2   i )   (  号 )   一  

( 1 一   ) ( 1 一 ∞   ) …[ 1 一  ‘   ] = n .  
一 .   凡   一∞ 一  


2 一   (一1 ) 一 
,=

而  n  

— 

1  

Z  l  

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(   一 1 ) ( ∞   一 1 ) …[   :  
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( 2   i )   ∞  (   )  

2  一  ‘  


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