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新课标高一数学对数与对数函数复习题及解答


高一数学对数与对数函数复习题
一、 选择题 a 1.若 3 =2,则 log38-2log36 用 a 的代数式可表示为( 2.2loga(M-2N)=logaM+logaN,则
2 2

) (A)a-2 (B)3a-(1+a) (C)5a-2

2

(D)3a-a

2

/>
M 的值为( N

) (A)

1 4

(B)4

(C)1 (D)4 或 1

3.已知 x +y =1,x>0,y>0,且 loga(1+x)=m,loga (A)m+n (B)m-n (C)

1 (m+n) 2

1 y ? n, 则 log a 等于( ) 1? x 1 (D) (m-n) 2
) (D)

4.如果方程 lg2x+(lg5+lg7)lgx+lg5〃lg7=0 的两根是α、β,则α〃β的值是( (A)lg5〃lg7 (B)lg35 (C)35
? 1 2

1 35 1 3
(B)

5.已知 log7[log3(log2x)]=0,那么 x

等于(

) (A)

1 2 3

(C)

1 2 2

(D)

1 3 3

6.函数 y=lg(

2 ? 1 )的图像关于( 1? x

) (A)x 轴对称 (B)y 轴对称(C)原点对称 (D)直线 y=x 对称 )

7.函数 y=log(2x-1) 3x ? 2 的定义域是( (A) (

2 ,1) ? (1,+ ? ) 3
2

(B) (

8.函数 y=log 1 (x -6x+17)的值域是(
2
2

1 2 1 ,1) ? (1,+ ? ) (C) ( ,+ ? ) (D) ( ,+ ? ) 2 3 2 ) (A)R (B)[8,+ ? ] (C) (- ? ,-3) (D)[3,+ ? ]
) (A) (1,+ ? )(B) (- ? ,

9.函数 y=log 1 (2x -3x+1)的递减区间为(
2

3 1 1 ] (C) ( ,+ ? ) (D) (- ? , ] 4 2 2
( x ?2)

10.函数 y=(

1 x 2 +1 ) +2,(x<0)的反函数为( 2

) (A)y=- log 1
2

( x ?2)

? 1( x ? 2) (B) log 1
2

? 1( x ? 2) (C)

y=- log 1
2

( x ?2)

5 5 ( x ?2) ? 1(2 ? x ? ) (D)y=- log 1 ? 1(2 ? x ? ) 2 2 2
) (A)m>n>1 (B)n>m>1 (C)0<n<m<1 (B) ( (D)0<m<n<1

11.若 logm9<logn9<0,那么 m,n 满足的条件是(

2 ? 1 ,则 a 的取值范围是( 3 2 (C) ( ,1 ) 3
12.loga


2 ) ? (1,+ ? ) 3 2 2 (D) (0, ) ? ( ,+ ? ) 3 3
) (A) (0, ) (A)a<b<c

2 ,+ ? ) 3

13.若 1<x<b,a=log bx,c=logax,则 a,b,c 的关系是( 14.下列函数中,在(0,2)上为增函数的是( ) (A)y=log 1 (x+1)(B)y=log2 x 2 ? 1 (C)y=log2
2

(B)a<c<b (C)c<b<a (D)c<a<b

1 1 2 (D)y=log (x -4x+5) x 2


15.下列函数中,同时满足:有反函数,是奇函数,定义域和值域相同的函数是(

1? x e x ? e?x 3 (A)y= (B)y=lg (C)y=-x 1? x 2

(D)y= x )

16.已知函数 y=loga(2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是( (A) (0,1) (B) (1,2) (C) (0,2) (D)[2,+ ? )
1

17.已知 g(x)=loga x ? 1 (a>0 且 a ? 1)在(-1,0)上有 g(x)>0,则 f(x)=a

x ?1

是( )

(A)在(- ? ,0)上的增函数 (B)在(- ? ,0)上的减函数 (C)在(- ? ,-1)上的增函数 (D)在(- ? ,-1)上的减函数 b a 18.若 0<a<1,b>1,则 M=a ,N=logba,p=b 的大小是( ) (A)M<N<P (B)N<M<P (C)P<M<N (D)P<N<M 2 19. “等式 log3x =2 成立”是“等式 log3x=1 成立”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 20.已知函数 f(x)= lg x ,0<a<b,且 f(a)>f(b),则( )

(A)ab>1 (B)ab<1 (C)ab=1 (D)(a-1)(b-1)>0 二、填空题 2m+n 1.若 loga2=m,loga3=n,a = 。2.函数 y=log(x-1)(3-x)的定义域是 3.lg25+lg2lg50+(lg2) =
2 2

。 (奇、偶)函数。 。 。

。4.函数 f(x)=lg( x 2 ? 1 ? x )是

5.已知函数 f(x)=log0.5 (-x +4x+5),则 f(3)与 f(4)的大小关系为 6.函数 y=log 1 (x -5x+17)的值域为
2
2

。7.函数 y=lg(ax+1)的定义域为(- ? ,1) ,则 a= 。

8.若函数 y=lg[x +(k+2)x+

2

5 ]的定义域为 R,则 k 的取值范围是 4


9.函数 f(x)=

10x 的反函数是 1 ? 10x

10.已知函数 f(x)=( g(x)= 。 三、解答题

1 x -1 ) ,又定义在(-1,1)上的奇函数 g(x),当 x>0 时有 g(x)=f (x),则当 x<0 时, 2

1. 若 f(x)=1+logx3,g(x)=2log x 2 ,试比较 f(x)与 g(x)的大小。

2. 已知函数 f(x)=

10 x ? 10? x 。 10 x ? 10? x

(1)判断 f(x)的单调性; -1 (2)求 f (x)。

3. 已知 x 满足不等式 2(log2x) -7log2x+3 ? 0,求函数 f(x)=log2
2

x x ? log 2 的最大值和最小值。 2 4

4. 已知函数 f(x -3)=lg (1)f(x)的定义域; (3)求 f(x)的反函数;

2

x2 , x2 ? 6
(2)判断 f(x)的奇偶性; (4)若 f[ ? ( x) ]=lgx,求 ? (3) 的值。

5. 设 0<x<1,a>0 且 a ? 1,比较 loga (1 ? x) 与 loga (1 ? x) 的大小。

2

6. 已知函数 f(x)=log3

m x2 ? 8 x ? n 的定义域为 R,值域为[0,2],求 m,n 的值。 x2 ?1
1 ,求 g=log 2

7. 已知 x>0,y ? 0,且 x+2y=

1 2

(8xy+4y +1)的最小值。

2

y?
8.求函数

4 ? x2 lg(| x | ? x ) 的定义域.

9.已知函数 y ? loga (2 ? ax ) 在[0,1]上是减函数,求实数 a 的取值范围.

10.已知 f (x) ? loga (x ? 1 ? a ) ,求使 f(x)>1 的 x 的值的集合.

对数与对数函数
一、选择题 题号 答案 题号 答案 二、填空题 2.{x 1 ? x ? 3 且 x ? 2 } 1 A 11 C 2 B 12 A 3 D 13 D 4 D 14 D 5 C 15 C 6 C 16 B 7 A 17 C 8 C 18 B 9 A 19 B 10 D 20 B

1.12

?3 ? x ? 0 ? 由 ?x ? 1 ? 0 ?x ? 1 ? 1 ?

解得 1<x<3 且 x ? 2 。

3.2

4.奇

? x ? R且f (? x) ? lg( x 2 ? 1 ? x) ? lg

1 x ?1 ? x
2

? ? lg( x 2 ? 1 ? x) ? ? f ( x),? f ( x) 为奇函数。

5.f(3)<f(4) 2 2 2 2 设 y=log0.5u,u=-x +4x+5, 由 -x +4x+5>0 解 得 -1<x<5 。 又 ? u=-x +4x+5=-(x-2) +9, ∴ 2 2 y=log0.5(-x +4x+5)单调递减;当 x ? [2,5]时,y=log0.5(-x +4x+5)单调递减,∴f(3)<f(4) 6.(- ?,?3 ) 7.-1 8.- 5 ? 2 ? k ? 5 ? 2 ∵x -6x+17=(x-3) +8 ? 8 ,又 y=log
2 2

当 x ? (-1,2) 时 ,

1u 2

单调递减,∴ y ? ?3

5 5 ? y=lg[x2+(k+2)x+ ]的定义域为 R,∴ x2+(k+2)x+ >0 恒成立,则 ? (k+2)2-5<0,即 k2+4k-1<0,由此解得 4 4
- 5 -2<k< 5 -2
3

9.y=lg

x (0 ? x ? 1) 1? x

x 10x y y x (0 ? x ? 1) y= ,则 10 = ? 0,? 0 ? y ? 1, 又x ? lg ,? 反函数为 y=lg x 1? x 1? y 1? y 1 ? 10 1 (-x) 2 1 x 1 1 -1 已知 f(x)=( ) ,则 f (x)=log x,∴当 x>0 时,g(x)=log x,当 x<0 时,-x>0, ∴g(-x) 2 2 2 1 1 =log (-x),又∵g(x)是奇函数,∴ g(x)=-log (-x)(x<0) 2 2
10.-log 三、解答题 1. f(x)-g(x)=logx3x-logx4=logx x>

4 4 3x 时,f(x)=g(x);当 1<x< 时,f(x)<g(x);当 .当 0<x<1 时,f(x)>g(x);当 x= 3 3 4

4 时,f(x)>g(x)。 3

2. (1)f(x)=

102 x ? 1 , x ? R.设x1 , x2 ? (??,??) , 102 x ? 1

,且 x1<x2,f(x1)-f(x2)=

102 x1 ? 1 102 x2 ? 1 2(102 x1 ? 102 x2 ) 2x1 2x <0,(∵10 <10 2)∴f(x)为增函数。 ? ? 2 x1 2 x2 2 x1 2 x2 10 ? 1 10 ? 1 (10 ? 1)(10 ? 1)

102 x ?1 2x 1 ? y . (2)由 y= 2 x 得 10 = 1? y 10 ? 1
∵10 >0, ∴-1<y<1,又 x=
2x

1 1? y 1 1? x lg . ? f ?1 ( x) ? lg ( x ? (?1,1) )。 2 1? y 2 1? x

3. 由 2 (log2x)-7log2x+3 ? 0 解得
2

1 3 2 1 x x ∵f(x)=log2 ? log 2 ? (log 2 x ? 1) (log2x-2)=(log2x- ) - , ? log2x ? 3。 2 2 4 2 4 3 1 ∴当 log2x= 时,f(x)取得最小值- ;当 log2x=3 时,f(x)取得最大值 2。 2 4
2

4. (1)∵f(x -3)=lg

x?3 x2 ( x 2 ? 3) ? 3 ? 0 得 x2-3>3,∴ f(x)的定义域为(3,+ ? ) , ∴ f(x)=lg , 又由 。 2 2 x?3 x ?6 ( x ? 3) ? 3

(2)∵f(x)的定义域不关于原点对称,∴ f(x)为非奇非偶函数。 (3)由 y=lg

x?3 3(10 y ? 1) 3(10x ? 1) -1 , 得 x= ( x ? 0) , x>3, 解得 y>0, ∴ f (x)= ? x?3 10 y ? 1 10x ? 1

(4) ∵f[ ? (3) ]=lg

? (3) ? 3 ? (3) ? 3 ? lg 3 ,∴ ? 3 ,解得 ? (3)=6。 ? (3) ? 3 ? (3) ? 3
lg(1 ? x) lg a
-

5.∵ loga (1 ? x) ? loga (1 ? x) ?

lg(1 ? x) lg a

??

1 lg(1 ? x 2 ) ? 0 ? x ? 1, 则 lg(1 ? x 2 ),? lg a



loga (1 ? x) ? loga (1 ? x) ? 0, 即 log a(1 ? x) ? loga (1 ? x)
4

m x2 ? 8 x ? n y 6.由 y=log3 ,得 3 = 2 x ?1
2y y

m x2 ? 8 x ? n y 2 y y y ,即(3 -m)x -8x+3 -n=0. ∵x ? R,? ? ? 64 -4(3 -m)(3 -n) ? 0, x2 ?1

y 即 3 -(m+n)〃3 +mn-16 ? 0 。由 0 ? y ? 2 ,得 1 ? 3 ? 9

,由根与系数的关系得 ? 7.由已知 x=

?m ? n ? 1 ? 9 ,解得 m=n=5。 ?m n ? 16 ? 1 ? 9

1 1 -2y>0,? 0 ? y ? ,由 g=log 2 4

1 2 4 1 4 1 1 1 2 2 (8xy+4y +1)=log (-12y +4y+1)=log [-12(y- ) + ],? 当 y= ,g 的最小值为 log 1 2 2 2 6 3 6 3 2
? ?4 ? x 2 ? 0 ?? 2 ? x ? 2 ? ? ?| x | ? x ? 0 ? ?x ? 0 ?| x | ? x ? 1 ? 1 ? ?x ? 2 ? 8.解:

1 1 0?x? 或 ?x?2 2 2 ∴ 1 1 (0, ) ? ( , 2] 2 . ∴函数的定义域是 2
9.解:∵a 是对数的底数∴a>0 且 a≠1∴函数 u=2-ax 是减函数∵函数 y ? loga (2 ? ax ) 是减函数

∴a>1( loga u 是增函数)∵函数的定义域是

2 ? ax ? 0 ? x ?

2 2 (??, ) a ∴定义域是 a ∵函数在区间[0, 1]上有意义

2 [0, 1] ? ) 2 ?1? a ? 2 ? (??, a 是减函数∴ ∴a ∴1<a<2.

10.解:f(x)>1 即
?x ? 1 ? a ? 0 ?x ? a ? 1 ?? ? loga (x ? 1 ? a ) ? 1 当 a>1 时 ?x ? 1 ? a ? a ?x ? 2a ? 1 ∴解为 x>2a-1

当 0<a<1 时
?x ? 1 ? a ? 0 ?x ? a ? 1 ?? ? ?x ? 1 ? a ? a ?x ? 2a ? 1 ∵a-1<2a-1∴解为 a-1<x<2a-1

∴当 a>1 时,{x|x>2a-1} 当 0<a<1 时,{x|a-1<x<2a-1}均能使 f(x)>1 成立.

高一数学第一学期单元卷(二)必修 1
(内容:第二章基本初等函数) (满分:150 分;考试时间:100 分钟)
5

一、选择题(本大题共 12 小题. 每小题 5 分,共 60 分。 在每小题给出的四个选项中,只有一个项是符合题目要 求的) 1.指数函数 y=a 的图像经过点(2,16)则 a 的值是 A.
x





1 4
2 3 1 2

B.
1 2

1 2
1 3 1

C.2
5

D.4 ( D. 9 a
2

1 2.化简 (a b )(?3a b ) ? ( a 6 b 6 ) 的结果 3 A. 6 a B. ? a C. ? 9a
3.在区间 (0,??) 上不是增函数的是 A. y ? 2x 4.式子 B. y ? log 2 x C. y ?



(

)

2 x

D. y ? 2 x2 ? x ? 1 ( )

log8 9 的值为 log 2 3
(C) 2 (D) 3

2 3 (B) 3 2 5.已知 ab ? 0 ,下面四个等式中:
(A) ① lg(ab) ? lg a ? lg b ; 其中正确命题的个数为 A.0 B.1 ② lg

a 1 a a ? lg a ? lg b ; ③ lg( ) 2 ? lg ; 2 b b b
( ) ) D.3
0.2

④ lg(ab) ?

1 . log ab 10

C.2
0.3

6.已知 a ? log2 0.3 , b ? 2 , c ? 0.3 ,则 a, b, c 三者的大小关系是( A. b ? c ? a B. b ? a ? c C. a ? b ? c D. c ? b ? a 7.已知函数 y ? f ( x) 的反函数 f
?1

1 ( x) ? log 1 ( x ? ) ,则方程 f ( x) ? 1 的解集是( 2 2
D. {4}



A.{1}
? ?

B. {2}
1 1 1 2 3 2

C. {3}
? ?

? 8.设 ? ? ? ? 3,?2,?1,? , , ,1,2,3? ,则使 y ? x 为奇函数且在(0,+ ? )上单调递减的 ? 值的个数为

( ) A. 1

B. 2

C. 3

D. 4 )

9.图中曲线分别表示 y ? l o g a x , y ? l o gb x , y ? l o g c x , y ? l o g d x 的图象, a, b, c, d 的关系是( A. 0<a<b<1<d<c B. 0<b<a<1<c<dC. 0<d<c<1<a<b D. 0<c<d<1<a<b

10 . 函 数 f ( x) ? a x ? l o a g ( x ? 1) 在 [0,1] 上 的 最 大 值 与 最 小 值 之 和 为 a , 则 a 的 值 为 ( )A.

1 4


B.

1 2


C. 2

D. 4

11.函数 y= | lg(x-1)| 的图象是

C
6

12.给出幂函数①f(x)=x;②f(x)=x ;③f(x)=x ;④f(x)= x ;⑤f(x)= 其中满足条件 f ( 是 二、填空题(.每小题 4 分,共 16 分) 13.函数 f ( x) ?

2

3

1 . x

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x1 ? x2 )> 2 2

(x1>x2>0)的函数的个数 ( )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

1 的定义域是 log 2 ( x ? 2)



14.当 a>0 且 a≠1 时,函数 f (x)=ax-2-3 必过定点 15.函数 y ? log1 (x 2 ? 2x) 的单调递减区间是_________________.
2

.

16.关于函数 f ( x) ? lg

x2 ? 1 ( x ? 0, x ? R ) 有下列命题: |x|

y

①函数 y ? f ( x ) 的图象关于 y 轴对称; ②在区间 ( ? ?,0) 上,函数 y ? f ( x ) 是减函数; ③函数 f ( x ) 的最小值为 lg 2 ; ④在区间 (1, ? ) 上,函数 f ( x ) 是增函数. 其中正确命题序号为_______________. 三、解答题(6 小题,共 74 分)
3 (3 2 ? 3) ? ( 2 2) ?( 4 17. (本小题满分 12 分) 6 4

y=logax y=logbx
O

1

y=logcx y=logdx

x

16 ? 1 0 )2 ? 4 2 ? 80.25 ? (? 2005) 49

? 2? x x ? 1 1 18. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x ) ? ? , 求满足 f ( x ) = 的 x 的值. 4 ?log4 x x ? 1

19. (本小题满分 12 分)已知 f ( x) ? 2x , g ( x) 是一次函数,并且点 (2, 2) 在函数 f [ g ( x)] 的图象上,点 (2,5) 在 函数 g[ f ( x)] 的图象上,求 g ( x) 的解析式.

20. (本小题满分 12 分)若 0≤x≤2,求函数 y= 4

x?

1 2

? 3 ? 2 x ? 5 的最大值和最小值.

21. (本小题满分 12 分) 光线通过一块玻璃,其强度要损失 10% ,把几块这样的玻璃重叠起来,设光线原来的强度为 a , 通过 x 块玻璃后强度为 y . (1)写出 y 关于 x 的函数关系式;
7

(2)通过多少块玻璃后,光线强度减弱到原来的

1 以下? ( lg 3 ? 0.4771) 3

22. (本小题满分 14 分)已知定义域为 R 的函数 (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)判断函数 f ? x ? 的单调性; (Ⅲ)若对任意的 t ? R ,不等式

?2 x ? b f ( x) ? x ?1 是奇函数。 2 ?2

f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围.

上杭县 2007—2008 学年第一学期高一数学单元卷(二)A 参考答案
(内容:必修 1 第二章基本初等函数) 一、选择题 1.D 由 a =16 且 a>0 得 a=4 3.C 根据反比例函数性质 4.A 5.B 6.A log 8 9=
2

2.C 解:原式 ? ?9a 3

2 1 1 ? ? 2 6

b2

1 1 5 ? ? 3 6

? ?9ab0 ? ?9a

2 log 2 32 2 ? log 2 3 ? 原式= 3 3 log 2 2 3

ab>0 ? a、b 同号。当 a、b 同小于 0 时 ①②不成立; 当 ab=1 时④不成立,故只有③对。 a<0,b>1 , 0<c<1
?1

7.A 根据互为反函数的性质得 x=f

(1)=log 1 (12

1 )=1 2

8. B 根据幂函数性质得 ? 取-3,-1 两个 9.D 作直线 y=1 与四条曲线交点的横坐标即为对应函数的底数。 10.B 函数 f(x)在区间端点 0、1 处取到最大值与最小值

? f(0)+f(1)=a 得 a=
11.C x>1,y ? 0

1 2

12.A 画出各函数图象,设直线 x=x 1 ,x=x 2 与图象交点分别为 A、B 则 f(

x1 ? x2 x ?x f ( x1 ) ? f ( x2 ) ) 为 AB 弧线段与直线 x= 1 2 的交点函数值, 为线段 AB 中点函数值。观察各图象可知 2 2 2

④正确 二、填空题: 13. (2,3)

(3, ??)

?x ? 2 ? 0 ? x>2 且 x ? 3 ? ?x ? 2 ? 1
函数 y=a 过定点(0,1),利用平移求得 x -2x>0
2 x

14.(2,-2) 15.
2

? 2, ???

? x>2 或 x<0, 又对数函数的底数

1 <1 ? 原函数的递减区间即为二次函数 2

y=x -2x 的递增区间

8

16.①③④

f(x)=lg( x +

1 )是偶函数 ? ①正确 x

又函数 y= x +

1 在区间(﹣∞,-1)上递减,在区间(﹣1,0)上递增,根据复合函数单调性知(2)错,④正 x

确,由单调性知函数 y= x + 三、解答题

1 在 x= ?1 时 y 有最小值 2 ? ③正确 x

17.原式= (2 3 ? 32 ) ? (2 2 ? 2 4 ) 3 ? 4 ?
6

1

1

1

1 4

1 3 7 ? 2 4 ? 2 4 ? 1 ………6 分 4

=2 ×3 +2 — 7— 2— 1 =100 18.解:当 x∈(﹣∞,1)时,由 2 =
﹣x

2

3

………10 分 ………12 分

1 ,得 x=2,但 2 ? (﹣∞,1) ,舍去。 4
………5 分

当 x∈(1,+∞)时,由 log4x= 综上所述,x= 2 19. 解: ∴f ? g ( x)? =2

1 ,得 x= 2 , 2 ∈(1,+∞)。………10 分 4
………12 分

g(x)是一次函数 ∴可设 g(x)=kx+b (k ? 0)
kx ? b

g ? f ( x)? =k 2 +b
x

………4 分

2 k ?b ? ?2 ?2 ∴依题意得 ? ………6 分 2 ? ?k 2 ? b ? 5

即?

? 2k ? b ? 1 ? k ? 2 ………10 分 ∴ g ( x) ? 2 x ? 3 .………12 分 ?? ?4k ? b ? 5 ?b ? ?3
x? 1 2

20. 解: y ? 4

1 2 ? 3 ? 2 x ? 5 ? (2 x) ? 3 ? 2 x ? 5 ………2 分 2
………4 分

x 令 2 ? t ,因为 0≤x≤2,所以 1 ? t ? 4

则 y=

1 2 1 1 2 t ? 3t ? 5 = (t ? 3) ? 2 2 2

(1 ? t ? 4 )

因为二次函数的对称轴为 t=3 ,所以函数 y= 数. ………7 分

1 2 t ? 3t ? 5 在区间 [1,3] 上是减函数,在区间 [3,4] 上是增函 2

∴ 当 t ? 3 ,即 x=log 2 3 时 当 t ? 1 ,即 x=0 时

y min ?

1 2

………10 分

5 ………12 分 2 x ? 21.解析: (1) y ? a(1 ?10%) ( x ? N ). ………4 分 y max ?
1 1 1 y ? a, ?a(1 ? 10%) x ? a, ?0.9x ? , ………8 分 3 3 3 1 ? lg 3 x ? log 0.9 ? ? 10.4, ………10 分 ∴ x ? 11 . ………12 分 3 2lg 3 ? 1
(2)
9

22.Ⅰ)因为 f ( x ) 是奇函数,所以 f (0) =0,



b ?1 1 ? 2x ? 0 ? b ? 1? f ( x ) ? ………………………..3 分 2?2 2 ? 2 x ?1

1 ? 2x 1 1 ?? ? x (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? , x ?1 2?2 2 2 ?1
设 x1 ? x2 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
x

1 1 2x2 ? 2 x1 ? ? 2x1 ? 1 2x2 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)
x x

因为函数 y=2 在 R 上是增函数且 x1 ? x2 ∴ 2 2 ? 2 1 >0 又 (2 1 ? 1)(2 2 ? 1) >0 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) >0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 )
x x

∴ f ( x ) 在 (??, ??) 上为减函数。 (Ⅲ)因 f ( x ) 是奇函数,从而不等式:

……………8 分

f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0

等价于 f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k ) ? f (k ? 2t 2 ) ,………….10 分 因 f ( x ) 为减函数,由上式推得: t ? 2t ? k ? 2t .即对一切 t ? R 有:
2 2

3t 2 ? 2t ? k ? 0 ,

………………….12 分

从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? . ……….14 分

1 3

函数测试题
班级 姓名 学号 成绩 一、选择题: (本题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.函数 y ? 2x ?1 ? 3 ? 4x 的定义域为 ( ) A

1 3 (? , ) B 2 4

1 3 1 3 [? , ] C (??, ] ? [ ,??) 2 4 2 4


D (? ,0) ? (0,??)

1 2

2.下列对应关系 f 中,不是从集合 A 到集合 B 的映射的是( A C

A= {x x是锐角 ,f:求正弦; B A=R,B=R,f:取绝对值 },B=(0,1) A= R ,B=R,f:求平方; D
2
?

A=R,B=R,f:取倒数 ( )

3 二次函数 y ? 4x ? mx ? 5 的对称轴为 x ? ?2 ,则当 x ? 1 时, y 的值为 A ?7 4.已知 f ( x) ? ? B 1 C 17 )A 2 D 25 B 3

( x ? 6) ? x ?5 ,则 f(3)为( ? f ( x ? 2) ( x ? 6)
2

C 4

D 5

5.二次函数 y ? ax ? bx ? c 中, a ? c ? 0 ,则函数的零点个数是(
2

)A 0 个 B 1 个 C 2 个 D )

无法确定

6.如果函数 f ( x) ? x ? 2(a ?1) x ? 2 在区间 ? ??,4? 上是减少的,那么实数 a 的取值范围是( A

a ? ?3

B

a ? ?3

C

a?5
10

D

a?5

7.若 log a

2 ? 1, 则 a 的取值范围是 ( 3

) A

2 ( ,1) 3

B

2 ( ,?? ) 3

C

2 (0, ) ? (1,?? ) 3

D

2 2 (0, ) ? ( ,?? ) 3 3


8.向高为 H 的水瓶中注水,注满为止。如果注水量 V 与水深 h 的函数关系式如图所示,那么水瓶的形状是( V

O

H

h (A) (B) (C) ( D)

二、填空题: (本题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,请把答案填写在答题纸上) 9.函数 y ?
x

e x ? 1 的定义域为

;

10.若 loga 2 ? m,loga 3 ? n, a2m?n ? 个;12.函数 y ? x 2 ? ax ? 3(0 ? a ? 2)在[?1,1] 上的最大值是

; ,

11.方程 2 ? x ? 2 的实数解的个数是 最小值是 .

高中数学函数测试题答卷 一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题 4 分,共 32 分) 题号 答案 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 9. 11. 10. 12. , 。 1 2 3 4 5 6 7 8

三、解答题: (解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 13 对于二次函数 y ? ?4 x2 ? 8x ? 3 , (8 分) (1)指出图像的开口方向、对称轴方程、顶点坐标; (3)求函数的最大值或最小值; (4)分析函数的单调性。 14.一台机器的价值是 25 万元,如果每年的折旧率是 4.5%(就是每年减少它的价值的 4.5%),那么约经过几年,它 的 价 值 降 为 10 万 元 ( 结 果 保 留 两 个 有 效 数 字 ; 参 考 数 据: lg9.55 ? 0.9800,lg 0.955 ? ?0.0200,lg 0.4 ? ?0.3979 )?(8 分)

1 在(0,1)上是减函数。 (8 分) x 1? x (a ? 0且a ? 1) (8 分) 16.已知函数 f ( x) ? log a 1? x
15.求证:函数 f ( x) ? x ? (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明; 17(10分) (1)已知 f ( x ) ?

2 ? m 是奇函数,求常数m的值; 3 ?1
x

x (2)画出函数 y ?| 3 ? 1 | 的图象,并利用图象回答:k为何值时,方程| 3 x ? 1 |=k无解?有一解?有两解?

11

18. (10分)某商品在近30天内每件的销售价格p(元)与时间t(天)的函数关系是

?t ? 20, p?? ??t ? 100,

0 ? t ? 25, t ? N , 该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系是 25 ? t ? 30, t ? N .

Q ? ?t ? 40 (0 ? t ? 30, t ? N ) ,求这种商品的日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大的一天是30天中
的第几天? 高中数学函数测试题参考答案 一、选择题: BDDA CACA 二、填空题:9. (0,?? ) 三、解答题: 13.解: (1)开口向下;对称轴为 x ? 1 ;顶点坐标为 (1,1) ; (2)函数的最大值为 1;无最小值; (3)函数在 (??,1) 上是增加的,在 (1, ??) 上是减少的。 14.解:设经过x年后,它的价值降为10万元,则有 答:约经过19年后,该机器的价值降为10万元。 15.证略 16.解:原函数的定义域是(-1,1) 17.解: (1)常数m=1 (2)当k<0时,直线y=k与函数 y ?| 3 x ? 1 | 的图象无 交点,即方程无解; 当k=0或k ? 1时, 直线y=k与函数 y ?| 3 ? 1 | 的图象有唯一的交点,所以方程有一解;
x

10

12 11.

2

12.4-a, 3 -

a2 4

当 0<k<1 时, 直线 y=k 与函数 y ?| 3 x ? 1 | 的图象有两个不同交点,所以方程有两解。 18.解:设日销售金额为 y(元) ,则 y=p ? Q.
2 ? ??t ? 20t ? 800, ?y ?? 2 ? ?t ? 140t ? 4000,
2 ?? ? (t ? 10) ? 900, ?? 2 ? ?(t ? 70) ? 900,

0 ? t ? 25, t ? N , 25 ? t ? 30, t ? N .

0 ? t ? 25, t ? N , 25 ? t ? 30, t ? N .

当 0 ? t ? 25, t ? N ,t=10 时, y max ? 900(元); 当 25 ? t ? 30, t ? N ,t=25 时, y max ? 1125(元) . 由1125>900,知ymax=1125(元) ,且第25天,日销售额最大.

深圳市教苑中学高一年级期末复习综合测试(一) 第一卷
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1、点 P 在直线 a 上,直线 a 在平面α内可记为( A、P∈a,a ? α B、P ? a,a ? α ) D、P∈a,a∈α ) C、P ? a,a∈α
12

2、直线 l 是平面α外的一条直线,下列条件中可推出 l∥α的是(

A、l 与α内的一条直线不相交 C、l 与α内的无数条直线不相交 3.直线 3 x+y+1=0 的倾斜角为 ( A.50? B.120? )

B、l 与α内的两条直线不相交 D、l 与α内的任意一条直线不相交

C.60?

D. -60? )

4、在空间中,l,m,n,a,b 表示直线,α表示平面,则下列命题正确的是( A、若 l∥α,m⊥l,则 m⊥α C、若 a⊥α,a⊥b,则 b∥α 5、函数 y=log2(x2-2x-3)的递增区间是( (A)(- ? ,-1) (B)(- ? ,1)
1 2 1 3

B、若 l⊥m,m⊥n,则 m∥n D、若 l⊥α,l∥a,则 a⊥α ) (C)(1,+ ? ) (D)(3,+ ? ) )

1 ?2? ?2? 6.设函数 a ? ? ? , b ? ? ? , c ? log 2 , 则 a, b, c 的大小关系是( 3 ?3? ?3?

A.

a?b?c

B.

a?c?b

C.

c?a?b

D.

c?b?a

7、如果 ac ? 0 且 bc ? 0 ,那么直线 ax ? by ? c ? 0 不通过( A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 8, 右图表示某人的体重与年龄的关系,则 A. 体重随年龄的增长而增加 B. 25 岁之后体重不变 C. 体重增加最快的是 15 岁至 25 岁 D. 体重增加最快的是 15 岁之前
4 0 15 25 65 45

) D 第四象限 ( )

体 重 /kg

年 龄 /岁 1 9,计算 lg 700 ? lg 56 ? 3 lg ? 20(lg 20 ? lg 2) 2 2 A. 20 B. 22 C. 2 D. 18 10、经过点 A(1,2) ,且在两坐标轴上的截距相等的直线共有( ) A 1条 B 2条 C 3条 D 4条 11、已知 A(2, ? 3) ,B ( ? 3, ? 2 ) ,直线 l 过定点 P(1, 1) ,且与线段 AB 交,则直线 l 的斜率 k 的取值范围是( ) 3 3 1 3 ?k?4 A ?4? k ? B C k? D k ? ?4 或 k ? 4 4 2 4

50

12、A,B,C,D 四点不共面,且 A,B,C,D 到平面α的距离相等,则这样的平面( A、1 个 B、4 个 C、7 个 D、无数个

)

深圳市教苑中学高一年级期末复习综合测试(一) 第二卷
一,选择题答题卡 题号 1 2 3 答案 A D B

4 D

5 D

6 C

7 D

8 B

9 C

10 B

11 D

12 C

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13、 在空间四边形 ABCD 中, E, H 分别是 AB, AD 的中点, F, G 为 CB, CD 上的点, 且 CF∶CB=CG∶CD=2∶ 3,若 BD=6cm,梯形 EFGH 的面积 28cm2,则 EH 与 FG 间的距离为 有四条,则θ的范围为 (70°,90°) 。
13

8cm



14、a,b 为异面直线,且 a,b 所成角为 40°,直线 c 与 a,b 均异面,且所成角均为θ,若这样的 c 共

15,点 P(2,5)关于直线 x+y=0 的对称点坐标是

(-5,-2)

. (9,-4) .

16,m 为任意实数时,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5 必过定点 三,解答题(本大题有6小题,共70分) 17. (10分)设 a>0,且a≠1,解关于x的不等式a 2 x
2

?3 x ?1

>a x

2

? 2 x ?5

解:当0 ? a ? 1时2x 2 ? 3x ? 1 ? x 2 ? 2x ? 5
x 2 ? 5x ? 6 ? 0
?2 ? x ? 3
-------5 分

当a ? 1时2x 2 ? 3x ? 1 ? x 2 ? 2x ? 5
x 2 ? 5x ? 6 ? 0 ? x ? 2或x ? 3
-------10 分 18.(12 分) △ABC 的两顶点 A(3,7) ,B( ? 2 ,5) ,若 AC 的中点在 y 轴上,BC 的中点在 x 轴上。 (1)求点 C 的坐标; (2)求 AC 边上的中线 BD 的长及直线 BD 的斜率 。

解: (1)设 C( x, y) ,? AC的中点在y轴上, ?

3? x ? 0 ? x ? ?3 2 5? y ? 0 ? y ? ?5 2
----------6 分

又 ? BC中点在x轴上, ?

?C(?3,- 5)

(2) ? AC中点D的坐标为(0,1) ? BD ? (?2) 2 ? (5 ? 1) 2 ? 2 5

?k ?

1? 5 ? ?2 0?2

----------12 分

19. (14 分)已知函数 f(x)= log a (1)求 f(x)的定义域; (2)判断并证明f(x)的奇偶性。 (3)若 a

1? x (a ? 0, a ? 1) . 1? x

? 1, 判断f ( x)的单调性(不要求证明 )

1? x ? 0 ? ?1 ? x ? 1 1? x ? f ( x)的定义域为(?1, 1) 解: (1) ?
-----5分
14

(2) f ( x)为奇函数。 1? x 1? x ?1 ? x ? ? f (? x) ? log a ? log a ? ? ? f ( x) ? ? ? log a 1? x 1? x ?1 ? x ? ? f ( x)为奇函数
-----10分
?1

(3) f ( x)在(?1,1)上为单调增的函数
-----12分 20. (12 分)如图,? ? ? ? MN,A ?? ,C ? MN,且∠ACM= 45? ,? ? MN ? ? 为 60? ,AC=1,求 A 点到 ? 的距离。 解: 过A作AB ? ?于B,过A作AD ? MN于D, 连BD

则BD ? MN ??ADB ? 60 0

-------4 分
A D M C

在Rt?ADC中AC ? 1, ?ACM ? 450

?
B
N

? AD ?

2 2 6 4

?

---8 分

在Rt?ABD中, ?ADB ? 60 0 ? AB ? AD sin 60 0 ?

-----12 分

21. (14 分)已知长方体 AC1 中,棱 AB=BC=3,棱 BB1=4,连结 B1C,过 B 点作 B1C 的垂线交 CC1 于 E, 交 B1C 于 F. A1 D1 (1)求证 A1C⊥平面 EBD; (2)求二面角 B1—BE—A1 的正切值.

证明: (1) ? A1 B1 ? 平面B1 BCC1 ? A1 B1 ? BE又B1C ? BE ? BE ? 平面A1 B1C ? A1C ? BE 又AA1 ? 平面ABCD 且BD ? AC ? A1C ? BD ? A1C ? 平面EBD

B1

C1

E A F D

B

C

―――――――6 分

15

(2) ? A1 B1 ? 平面B1 BCC1 又B1 F ? BE ? A1 F ? BE ? ?A1 FB1是二面角 B1 ? BE ? A1的平面角
――――――――8 分

在Rt?B1 BC中BC ? 3, BB1 ? 4,? B1C ? 5,? BF ? 在Rt?BEB1中B1 F ? B1 B 2-BF 2 ? ? tan ?A1 FB1 ? A1 B1 3 15 ? ? B1 F 16 16 5 16 5

12 5

x 22. (14 分)已知 f ( x) 是定义在 ? x x ? 0? 上的增函数,且 f ( ) ? f ( x) ? f ( y) . y

(1)求 f (1) 的值; (2)若 f (6) ? 1 ,解不等式

1 f ( x ? 5) ? f ( ) ? 2 . x
---------3 分

解: (1)令x ? y, 则f (1) ? 0
36 ) ? f (36 ) ? f (6) 6 ? f (36 ) ? 2 f (6) ? 2 (2) ? f (6) ? 1且f (

----------7 分

?1? ? f ( x ? 5) ? f ? ? ? 2 ? f ( x ? 5) ? ? x? ? f ?? x ? 5?x ? ? f (36 ) ?x ? 3 ? 0 ? ?1 ?? ? 0 ?x ? ?( x ? 5) x ? 36

?1? f ? ? ? f (36 ) ? x?

--------10 分

解得0 ? x ? 4

--------12 分

2010-2011 年度第一学期高一数学试卷(2)
安徽省合肥六中 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)
16

崔 洁

1.已知 A ? ? x ? x ? 1 ? a ? 1 , a ? R? , B ? ? y ? y ? 2 ? x 2 , x ? R? ,则集合 A、B 关系是 ( A.A=B 2.设全集 U= A.A B.A ? B C.B∈A D.A ? B



y ? 3 ? ,B= ? 1? ?? x, y ? ? x ? R, y ? R? ,集合 A= ? ?? x, y ? ? y ? x ? 4? ,则 (C ?? x, y ? ? x ?1 ? ?
B. ? C. CU A D.B

U

A)

B =(

)

3.下图中表示集合 A 到集合 B 的映射 的是 ( )

A.

(1) (2)

B. (3)(4)

C. )

(1)

D. (4)

4.下列四个图象中,是函数图象的是为 (

y

y

y

y

O
(1) A.(1)

x

O
(2)

x
O
(3)

x

O
(4) D.(3) 、 (4) )
0

x

B.(1) 、 (3) 、 (4)

C.(1) 、 (2) 、 (3)

5. 在下列四组函数中, f ? x ? 与g ? x ? 表示同一函数的是 ( A. f ? x ? ? x ? 1, g ? x ? ? C. f ? x ? ? x , g ? x ? ?

x2 ? 1 x ?1

B. f ? x ? ? 1, g ? x ? ? ? x ? 1? D. f ? x ? ?
2

x2
2

x?2

x ? 2, g ( x) ?

x2 ? 4
3

6.有下列函数:① y ? x ? 3 | x | ?2 ;② y ? x , x ? (?2 , 2 ] ;③ y ? x ;④ y ? x ? 1 ,其中是偶函数的有: ( ) A.① B.①③ C.①② D.②④ )

7.若对于任意实数 x 总有 f (? x) ? f ( x) ,且 f ( x ) 在区间 (??, ?1] 上是增函数,则 (
3 A. f ( ? ) ? f ( ?1) ? f (2) 2 3 3 B. f ( ?1) ? f ( ? ) ? f (2) C . f (2) ? f ( ?1) ? f ( ? ) 2 2

3 D. f (2) ? f (? ) ? f (?1) 2

8. 设 f ( x) ? ?

? x ? 2, ( x ? 10) , 则 f (5) 的值为( ? f [ f ( x ? 6)],( x ? 10)



A. 10

B.11

C. 12

D. 13

? 1 9. 设集合 A= ?0, 1 ? , B= ? 1 ,1? , 函数 f(x)= ? x ? , x ? A 若 x 0 ? A , 且 f [ f (x 0 )] ? A ,则 x 0 的取值范围是( ? 2? ?2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ?2?1 ? x ?, x ? B,
1? A. ? ? 0, ? 4? ?

)

1 1? B. ? ? , ? ? 4 2?

1 1? C. ? ? , ? ?4 2?

3 D. ?0, ? ? 8? ? ?


二、填空题(本题 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 10. 函数 y ? 2 x ? 8 ? 1 的定义域为
x ?2

17

11. 已知 a,b 为常数,若 f ( x) ? x2 ? 4x ? 3, f (ax ? b) ? x2 ? 10x ? 24, 则 5a-b = 12.已知函数 f(x)= ? mx2 ? 6mx ? m ? 8 的定义域为R,则实数m值为 三、解答题(本题 3 小题,第 12、13 小题各 13 分,第 14 小题 14,共 40 分。 ) 12.(本题 15 分) 已知函数 f ( x) ? ? x2 ? 2 x . (1)讨论 f ( x) 在区间 (??,1] 上的单调性,并用定义法证明你的结论; (2)当 x ?[0,5] 时,求 f ( x) 的最大值和最小值.

. .

13.已知集合 A= ?x ? x ? ?3, 或x ? 1 ? ,B= ?x ? 2m ?1 ? x ? m ?1? ,且 A∩B=B,求实数 m 的取值范围.

?? x 2 ? 2 x( x ? 0) ? 14. (本题 12 分)已知奇函数 f ( x) ? ?0 ( x ? 0) . ? x 2 ? mx( x ? 0) ?
(1)求实数 m 的值,并在给出的直角坐标系中画出 y ? f ( x) 的图象; (2)若函数 f(x)在区间[-1,|a|-2]上单调递增,试确定 a 的取值范围.

2010-2011 年度第一学期高一数学试卷(2)教师版
一、选择题(每小题 5 分,共 45 分)

题号 答案

1 B

2 A

3 B

4 D

5 C

6 A

7 D

8 B

9 C

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)10. [-4,-2)∪(-2,2)∪(2,+∞). 12. {m | ?1 ? m ? 0} . 三、解答题(本题 3 小题,第 12、13 小题各 13 分,第 14 小题 14,共 40 分。 ) 13.解: (1) f ( x) 在区间 (??,1] 上为增函数,下面给予证明: 任取 x1, x2∈ (??,1] 且 x1< x2 则 f(x1)-f(x2)=( ? x12 ? 2x1 )-( ? x22 ? 2 x2 ) = x22 ? x12 ? 2x1 ? 2x2

11. 0 .

18

14.解:∵A∩B=B,∴ B ? A 当 B ? ? 时, 当 B ? ? 时,

2m ? 1 ? m ? 1 ? m ? 2

?2m ? 1 ? m ? 1 ? m ? 2 ?2m ? 1 ? m ? 1 ?m ? 2 ?? ? m ? ?4 或 ? ?? ?? 1m ? 2 ? ?m ? 1 ? ?3 ?m ? ?4 ?1 ? 2m ? 1 ?m ?1
故: m ? (??, ?4] 15、解: (1)当 x<0 时,-x>0, f (? x) ? ?( x) 2 ? 2(? x) ? ? x 2 ? 2x 又 f(x)为奇函数,∴ f (? x) ? ? f ( x) ? ? x2 ? 2 x ,∴f(x)=x +2x,∴m=2
2

(1, ??)

y=f(x)的图象如右所示

?? x 2 ? 2 x ? (2)由(1)知 f(x)= ?0 ?x 2 ? 2x ?

( x ? 0) ( x ? 0) , ( x ? 0)

由图象可知, f ( x) 在[-1,1]上单调递增,要使 f ( x) 在[-1,|a|-2]上单调递增,只需 ?

?| a | ?2 ? ?1 ?| a | ?2 ? 1

解之得 ? 3 ? a ? ?1或1 ? a ? 3

19

函数的概念与性质----训练
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分) 1、映射f:X→Y是定义域到值域的函数,则下面四个结论中正确的是 A、Y中的元素不一定有原象 C、Y可以是空集 2、下列各组函数中,表示同一函数的是 A、 y ? C、 y ? B、X中不同的元素在Y中有不同的象 D、以上结论都不对

x 2 与y ?| x |
( x ? 2)( x ? 3) 与y ? x ? 2 x?3

B、 y ? 2 lg x与y ? lg x 2 D、 y ? x 0与y ? 1

3、函数 y ?

x ? 1 的定义域是
B、[?1,+? ) C、[0,+?] D、(?1,+?)

A、(??,+?)

4、若函数 y ? f ( x ) 的图象过点(0,1), 则 y ? f ( x ? 4 ) 的反函数的图象必过点 A、 (4,—1) B、 (—4,1) C、 (1,—4) D、 (1,4)

5、函数 y ? a x ? b与函数y ? ax ? b(a ? 0且a ? 1) 的图像有可能是 y x O y x y x y x

O

O

O

A

B

C

D

6、函数 y ? ? 1 ? 4 x 2 的单调递减区间是 A、 ? ? ? , ? 2

? ?

1? ?

B、 ? ,?? ? ?2 ?

?1

?

C、 ?? ,0? ? 2 ?

? 1 ?

D、 ?0, ? 2

? 1? ? ?

7、函数 f(x) ? x ? R ? 是偶函数,则下列各点中必在 y=f(x)图象上的是 A、 ?? a, f (a) ? B、 ?? a,? f (a)? C、 ?? a,? f (?a)? D、 ?a,? f (?a)?

8、如果奇函数 f(x)在区间[3,7]上是增函数且最大值为 5,那么 f(x)在区间[-7,-3]上是 A、增函数且最小值是-5 C、减函数且最大值是-5 B、增函数且最大值是-5 D、减函数且最小值是-5

9、偶函数 y ? f ( x) 在区间[0,4]上单调递减,则有 A、 f (?1) ? f ( ) ? f (?? )

?

3

B、 f ( ) ? f (?1) ? f (?? )

?

3

C、 f (?? ) ? f (?1) ? f ( )

?

3

D、 f (?1) ? f (?? ) ? f ( )

?

3

10、若函数 f ( x) 满足 f (ab) ? f (a) ? f (b) ,且 f .(2) ? m, f (3) ? n ,则 f (72) 的值为 A、 m ? n B、 3m ? 2n C、 2m ? 3n
20

D、 m 3 ? n 2

11、已知函数 y ? f ( x) 为奇函数,且当 x ? 0 时 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 ,则当 x ? 0 时, f ( x) 的解析式 A、 f ( x) ? ? x 2 ? 2x ? 3 C、 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 B、 f ( x) ? ? x 2 ? 2x ? 3 D、 f ( x) ? ? x 2 ? 2x ? 3

12、某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程。在下图中纵轴表示离学 校的距离,横轴表示出发后的时间,则下图中的四个图象中较符合该学生走法的是 d d d0 d0 O A、 d d0 O C、 t0 t t0 t O B、 d d0 O D、 。 t0 t t0 t

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13、设 f(x)=5-g(x),且 g(x)为奇函数,已知 f(-5)=-5,则 f(5)的值为 14、函数 y ? ? 1 ? x (x≤1)反函数为 。

( x ≤ ?1) ?x ? 2 ? 2 (?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 ,则 x ? 15、设 f ( x) ? ? x ? 2x ( x ≥ 2) ?
f(x)= x 2 ? ax ? 1没有不动点,则实数 a 的取值范围是 三、解答题: (本大题共 4 小题,共 36 分) 17、试判断函数 f ( x) ? x ?



16、对于定义在 R 上的函数 f(x),若实数 x0 满足 f( x0 )= x0 ,则称 x0 是函数 f(x)的一个不动点.若函数 。

2 在[ 2 ,+∞)上的单调性. x

18、函数 y ? f ( x) 在(-1,1)上是减函数,且为奇函数,满足 f (a 2 ? a ? 1) ? f (a ? 2) ? 0 ,试 a 求的范围. 19、如图,长为 20m 的铁丝网,一边靠墙,围成三个大小相等、紧紧相连的长方形,那么长方形长、宽、各为 多少时,三个长方形的面积和最大? 20、给出函数 f ( x) ? log a

x?2 (a ? 0, a ? 1) . x?2

(1) 求函数的定义域; (2) 判断函数的奇偶性; (3) 求 f
?1

( x) 的解析式.

21

数学参考答案
一、选择题:1—12: 二、填空题:13. 15 DABCC 14. CAAAB BB 15 .

y ? 1 ? x 2 ( x ? 0)

3

16. (?1,3)

三、解答题:17.解:设 2 ? x1 ? x2 ? ?? ,则有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ?

2 2 2 2 2 x ? 2 x1 ? ( x2 ? ) = ( x1 ? x2 ) ? ( ? ) = ( x1 ? x2 ) ? ( 2 ) x1 x2 x1 x2 x1 ? x2 x x ?2 2 ) = ( x1 ? x2 )( 1 2 ). x1 ? x2 x1 ? x2

= ( x1 ? x2 )(1 ?

? 2 ? x1 ? x2 ? ?? , x1 ? x2 ? 0 且 x1 x2 ? 2 ? 0 , x1 x2 ? 0 ,
所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 所以函数 y ? f ( x) 在区间[ 2 ,+∞)上单调递增. 18.解:由题意, f (a 2 ? a ? 1) ? f (a ? 2) ? 0 ,即 f (a 2 ? a ? 1) ? ? f (a ? 2) , 而又函数 y ? f ( x) 为奇函数,所以 f (a 2 ? a ? 1) ? f (2 ? a) . 又函数 y ? f ( x) 在(-1,1)上是减函数,有

?? 1 ? a 2 ? a ? 1 ? 1 ?? 1 ? a ? 0或1 ? a ? 2 ? ? ? ?1 ? a ? 3 ?? 1 ? a ? 2 ? 1 ?1 ? a ? 3 . ?a 2 ? a ? 1 ? 2 ? a ? ? ?? 3 ? a ? 3
所以, a 的取值范围是 (1 ,3) .

20 ? 4 x 20 ? 4 x m,所以,总面积 s ? 3 x ? = ? 4 x 2 ? 20x 3 3 5 2 5 2 = ? 4( x ? ) ? 25 .所以,当 x ? 时,总面积最大,为 25m , 2 2 10 此时,长方形长为 2.5 m,宽为 m. 3 x?2 ? 0 解得: x ? ?2或x ? 2 ,所以,函数定义域为 {x | x ? ?2或x ? 2} . 20. .解: (1)由题意, x?2
19..解:设长方形长为 x m,则宽为 (2)由(1)可知定义域关于原点对称,则

f (? x) ? log a

?x?2 x?2 x ? 2 ?1 x?2 ) = ? log a = log a = log a ( = ? f ( x) . ?x?2 x?2 x?2 x?2

所以函数 y ? f ( x) 为奇函数. (3)设 y ? log a

x?2 x?2 2a y ? 2 ? a y ,解得 x ? y ,有 , x?2 x?2 a ?1

f ?1 ( x) ?
所以

2a x ? 2 a x ? 1 , x ?{x | x ? 1, x ? R} .
22

平面向量----训练
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分) 1、若向量方程 2 x ? 3( x ? 2a) ? 0 ,则向量 x 等于 A、

6 a 5

B、 ?6a

C、 6a

D、 ?

6 a 5

2、两列火车从同一站台沿相反方向开去,走了相同的路程,设两列火车的位移向量分别为 a 和 b ,那么下列命 题中错误的一个是 A、 a 与 b 为平行向量 C、 a 与 b 为共线向量 3、 AB ? BC ? AD ? A、 AD B、 CD C、 DB D、 DC B、 a 与 b 为模相等的向量 D、 a 与 b 为相等的向量

4、下列各组的两个向量,平行的是 A、 a ? (?2,3) , b ? (4,6) C、 a ? (2,3) , b ? (3, 2) 5、若 P 分 AB 所成的比为 A、 ? B、 a ? (1, ?2) , b ? (7,14) D、 a ? (?3, 2) , b ? (6, ?4)

3 ,则 A 分 BP 所成的比为 4

3 7

B、 ?

7 3

C、

3 7

D、

7 3

6、已知 a ? (6,0) , b ? (?5,5) ,则 a 与 b 的夹角为 A、 450 B、 600 C、 1350 D、 1200

7、已知 i , j 都是单位向量,则下列结论正确的是 A、 i ? j ? 1 C、 i ∥ j ? i ? j B、 i ? j
2 2

D、 i ? j ? 0 D C

8、如图,在四边形 ABCD 中,设 AB ? a , AD ? b ,

BC ? c ,则 DC ?
A、 a ? b ? c C、 a ? b ? c B、 b ? (a ? c) D、 b ? a ? c
23

A

B

9、点 A(0, m) (m ? 0) ,按向量 a 平移后的对应点的坐标是 (m,0) ,则向量 a 是 A、 (?m, m) B、 (m,?m) C、 (?m,?m) D、 (m, m)

10、在 ?ABC 中, b ? 3 , c ? 3 3 , B ? 300 ,则 a ? A、 6 11、设 F1,F2 是双曲线: A、 2 B、 2 2 B、 3 C、 6 或 3 D、 6 或 4 ,则 的值等于

的两个焦点,点 P 在双曲线上,且 C、 4 D、 8

12、已知 O 为原点,点 A ,B 的坐标分别为 ( a,0) ,(0, a ) ,其中常数 a ? 0 。点 P 在线段 AB 上,且 AP ? t AB

(0 ? t ? 1) ,则 OA ? OP 的最大值是
A、 a 2 B、 a C、 2 a D、 3a

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13、已知 M (3,?2) , N (?1,0) ,则线段 MN 的中点 P 的坐标是________。 14、设 O 是平行四边形 ABCD 的两条对角线的交点,下列向量组: (1) AD 与 AB ; (2) DA 与 BC ; (3)CA 与 DC ; (4) OD 与 OB ,其中可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底的向量组可以是 ________________。 15、已知 A(7,8) , B(3,5) ,则向量 AB 方向上的单位向量坐标是________。 16、在 ?ABC 中, AC ? 8 , BC ? 5 ,面积 S ?ABC ? 10 3 ,则 BC ? CA =________。 三、解答题: (本大题共 4 小题,共 36 分) 17、已知 a ? 3 , b ? (?1, 3) , (1)若 a ? b ,求 a ; (2)若 a ∥ b ,求 a 。 18、已知 a ? 3 , b ? 4 , a 与 b 的夹角为

3? ,求 (3a ? b) ? (a ? 2b) 。 4

19、在 ?ABC 中,求证: (a 2 ? b 2 ? c 2 ) tan A ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ) tan B ? 0 20 、设椭圆方程为 x 2 ?

y2 ? 1 ,过点 M (0,1) 的直线 L 交椭圆于 A 、 B 两点, O 是坐标原点,点 P 满足 4

OP ?

1 1 1 (OA ? OB) ,点 N 的坐标为 ( , ) 。当直线 L 绕点 M 旋转时,求: (1)动点 P 的轨迹方程; (2) 2 2 2

NP 的最大值与最小值。

数学参考答案
24

一、选择题:CDDDB CBABC 二、填空题:13、 (1,-1) 三、解答题 17、 (1) a ? (

AA 14、 (1) 、 (3) 15、 (? ,? )

4 5

3 5

16、 ? 20

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 , ) 或 a ? (? , ? ) (2) a ? ( , ? ) 或 a ? (? , ) 2 2 2 2 2 2 2 2
19、略

18、 ? 37 ? 24 2

20、 (1)设直线 L 斜率为 k,则 L 方程为 y=kx+1,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 )

? y ? kx ? 1 ? 2 由题设可得它们是方程组 ? 2 y 的解,即满足 (4 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 3 ? 0 x ? ? 1 ? 4 ?
所以 x1 ? x 2 ? ?

8 2k 1 , y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2 ? 而 OP ? (OA ? OB) = 2 2 2 4?k 4?k

(

k 4 x1 ? x 2 y1 ? y 2 , ) 。设 P 的坐班为(x,y) ,则 , ) = (? 2 4? k 4? k2 2 2

k ? ?x ? ? 4 ? k 2 消去 k 得 4 x 2 ? y 2 ? y ? 0 。 ? 4 ? y? 4? k2 ?
当 k 不存在时,A,B 中点 O 原点(0,0)也满足上式 所以动点 P 的轨迹方程是 4 x 2 ? y 2 ? y ? 0 (2)由 4 x 2 ? y 2 ? y ? 0 ,得 4 x ? ( y ? ) ?
2 2

1 2

1 1 1 ,可得 ? ? x ? 4 4 4

NP

2

= (x ?

1 2 1 1 1 1 7 ) ? ( y ? ) 2 ? ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? ? 2( x ? ) 2 ? 6 12 2 2 2 2

当x ?

1 1 1 21 时 NP 取最小值= ,当 x ? ? 时 NP 取最大值= 。 4 6 4 6

w w w . j b

三角函数图象与性质----训练
25

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分) π 1、在区间[ ,π]上, 2 A、y=sinx 是增函数,且 y=cosx 是减函数 B、y=sinx 是减函数,且 y=cosx 是增函数 C、y=sinx 是增函数,且 y=cosx 是增函数 D、y=sinx 是减函数,且 y=cosx 是减函数 2、下列函数中,最小正周期为 A、 y ? sin( 2 x ? 3、函数 y ? A、周期为

?
3

? 的是 2

)

B、 y ? tan( 2 x ?

?
3

)

C、 y ? cos( 2 x ?

?
6

)

D、 y ? tan( 4 x ?

?
6

)

2 sin 2x cos2x是

? ? ? 的奇函数 B、期为 的偶函数 C、周期为 的奇函数 2 2 4

D、期为

? 的偶函数 4

4、sin110°,sin80°,sin50°的大小关系是 A、sin110°<sin80°<sin50° C、sin80°<sin110°<sin50° B、sin50°<sin80°<sin110° D、sin50°<sin110°<sin80°

? ? ?? 5、函数 y ? cos x , x ? ?? , ? 的值域是 ? 6 2?
A、[0,1] B、[?1,1] C、[0,

3 ] 2

D、[?

1 ,1] 2

6、设 M和m 分别表示函数 y ? A、

2 3

1 cos x ? 1 的最大值和最小值,则 M ? m等于 3 2 4 B、 ? C、 ? D、-2 3 3

7、用五点法作 y ? 2 sin 2 x 的图象时,首先应描出的五点的横坐标可以是 A、 0, C、 0,

?
2 ,

,? , 4

? ? 3?
4 2 ,

3? ,2? 2 ,?

B、 0, ? ,2? ,3? ,4? D、 0,

? ? ? 2?
, , , 6 3 2 3

8、函数 y=sin (

15? 2 x ? ) 2 3

A、是奇函数不是偶函数 C、既是奇函数又是偶函数

B、是偶函数不是奇函数 D、不是奇函数也不是偶函数

9、若函数 y=sin(x+φ)为偶函数,则φ的一个取值为 A、

? 4

B、

10、要得到函数 y ? sin( x ? A、向左平移

?

? 2

C、π

D、2π

? ? 个单位 B、向右平移 个单位 12 12 ? ? C、向上平移 个单位 D、向下平移 个单位 12 12 ? 11、函数 y ? 3 sin( 2 x ? ) 的图象是轴对称图形,其中它的一条对称轴可以是 6
26

12

) 的图象,只要将函数 y=sinx 的图像

A、 y 轴

B、直线 x ? ?

?
12

C、直线 x ?

?
6

D、直线 x ?

?
3
D

12、函数 y ? cos( ? x )(0 ? x ? 2?) 的图象是 2 y y A B 0 题号 答案 1 2
2π π

?

y

C

y

x

π /2 0 5 6


x

0 8 9

π

2π x

0 12

π /2 得分



x

3

4

7

10

11

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13、函数 y=-3cos(

1 ? x+ )的振幅、周期、初相依次分别为 2 4
______________; __________ ;

_

;

14、函数 y=sinx- 3 cosx 的最小正周期是

15、函数 f ( x) ? ax ? b sin x ? 1, 若f (5) ? 7, 则f (?5) ? 16、函数 y=f(x)的图象如图所示,请根据图象写出它的三条不 同的性质:

三、解答题: (本大题共 4 小题,共 36 分) 17、已知函数 f ( x) ? 2cos2 x ? 3sin 2x ?1 求函数的最大值及周期。 18、电流 I 随时间 t 变化的函数关系式是 I (1)当 t ?

? 5 sin 100 ?t , t ? [0,??) 。

? 1 4? 1 时有最大值 , x = 时有最小值- ,求函数的解析式。 2 9 2 9 ? 20、已知 a>0,函数 y=-acos2x- 3 asin2x+2a+b,x∈[0, ].若函数的值域为[-5,1], 2
19、已知 y=Asin(ωx+φ)在同一周期内,x= 求常数 a,b 的值.

1 时,求电流 I; 200

(2)求电流 I 变化周期 T。

数学参考答案
27

一、选择题 题号 答案 1 D 2 B 3 A 4 D 5 A 6 D 7 C 8 A 9 B 10 B 11 C 12 A

二、填空题:13、3, 4 ? ,

? 4

14、 2 ?

15、-5

16、 (1)偶函数, (2)最大值 3, (3)[0, 三、解答题 17、解: f ( x) ? 1 ? cos 2x ? 3sin 2 x ?1 = 2[

? ]是单调增区间 4

3 1 sin 2 x ? cos 2 x] 2 2

=2 sin(2 x ?

?
6

)
周期 T= ?

∴最大值为 2 18、解: (1) 当 t ?

1 1 ? ) ? 5 sin ? 5 时, I ? 5 sin(100? ? 200 200 2 2? 1 ? (2) T ? 100? 50 1 ? 1 ? 19、解:A= ω=3 φ= y= sin(3x+ ) 2 2 6 6
20、解:

y ? ?a cos 2 x ? 3a sin 2 x ? 2a ? b

? ? ? ? 7? 1 ? ? ?2a sin(2 x ? ) ? 2a ? b ? x ?[0, ],? ? 2 x ? ? ,? ? ? sin(2 x ? ) ? 1,? a ? 0 6 2 6 6 6 2 6
? 有b ? ?2a sin(2 x ? ?3a ? b ? 1 ? ? 2a ? b ? 3a ? b,?函数的值域为 [?5,1],? ? ? a ? 2, b ? ?5 6 ?b ? ?5

w w w . j b 1 教 0 学 三角函数概念两角和差二倍角 ---0 资 训练 0 源 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分) w . 网 教 w c 学 w o 28 资 . m

1、下列各组角中,终边相同的角是 A、

k ? ? 与 k? ? 2 2

(k ? Z )

B、 k? ? D、 k? ?

?

C、 (2k ? 1)?与(4k ? 1)? (k ? Z )

?

k 与 ? 3 3 6 与k? ?

(k ? Z )

?
6

(k ? Z )

2、将分针拨慢 10 分钟,则分钟转过的弧度数是

? ? B、- 3 3 14? )的值等于 3、 sin( ? 3
A、 A、

C、

? 6

D、-

? 6

1 2

B、-

1 2

C、

3 2
4 5

D、-

3 2

4、点 M(-3,4)是角α终边上一点,则有

3 5 4 C、 tan ? ? ? 3
A、 sin ? ? ?

B、 cos ? ? ? D、 cot ? ?

3 4

5、若 ?满足sin 2? ? 0, cos? ? sin ? ? 0, 则?在 A、第一象限; 6、已知 sin(? ? B、第二象限; C、第三象限; D、第四象限

1 ? ) ? , 则 cos( ? ? ) ? 4 3 4 2 2 1 2 2 A、 B、 ? C、 3 3 3 sin ? ? 2 cos ? ? ?5, 那么 tan ? 的值为 7、已知 3 sin ? ? 5 cos ? 23 A、-2 B、2 C、 16
8、 sin

?

D、 ?

1 3

D、-

?

12

? 3 cos

?

23 16

12

的值是 B、 ? 2 C、 2 D、 2

A、0

9、化简

2 sin 2? cos2 ? 得 ? 1 ? cos 2? cos 2?
B、 tan 2? C、1 D、

A、 tan ?

1 2

10、在 ?ABC 中,①sin(A+B)+sinC;②cos(B+C)+cosA;③ tan 是 A、① ② B、② ③ C、② ④

B?C A A? B C tan ;④ cos sec ,其中恒为定值的 2 2 2 2

D、③ ④

11、已知 f ( x) ? 1 ? x ,化简: f (sin 2) ? f (? sin 2) ? A、 2 cos 1 B、 2 sin 1 C、- 2 cos 1 D、- 2 sin 1 角 三 正 方

12、2002 年 8 月,在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由 4 个相同的直 角形与中间的小正方形拼成的一大正方形,若直角三角形中较小的锐角为 ? ,大
29

形的面积是 1,小正方形的面积是 A、1 B、 ?
24 25

1 , 则 sin 2 ? ? cos 2 ? 的值等于 25
C、
7 25

D、 ?

7 25

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13、函数 y ? sin x cos( x ? 14、函数 y=tan(x- 15、若 ? ? ? ?

?
4

) ? cos x sin( x ?

?
4

) 的最小正周期 T=

。 .

? )的定义域是 4

若? ? ? ?

3? ,则 (1 ? tan?)(1 ? tan?) 的值是 4
. .

3? ,则 (1 ? tan?)(1 ? tan?) 的值是 4 1 ? tan ? 1 ? 2009 , 则 ? tan 2? ? 16、若 1 ? tan ? cos 2?

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

得分

13



14

15



16

三、解答题: (本大题共 4 小题,共 36 分) 17、化简

sin 2 ? cos2 ? ? ? cos2 ? csc 2 ? 2 2 sec ? ? 1 csc ? ? 1
18、已知函数 f(x)=2sinxcosx+cos2x. (1) 求 f(

? ? 2 )的值; (2) 设 ? ∈(0, ? ),f( )= ,求 sin ? 的值 4 2 2

19、已知:tanα=3,求 sin2α-3sinαcosα+4cos2α值. π π 3 5 20、已知 <α<π,0<β< ,tanα=- ,cos(β-α)= ,求 sinβ的值. 2 2 4 13

数学参考答案
一、选择题 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 C 5 B 6 D 7 D
30

8 B

9 B

10 B

11 A

12 D

二、填空题:13、 ? ; 三、解答题 17、解:

14、 ? x x ? k? ?

? ?

3 ? ?,k ? Z?; 4 ?

15、2;

16、2005

sin 2 ? cos 2 ? cos 2 ? 1 2 2 2 2 ? ? cos ? csc ? ? cos ? ? sin ? ? ? ? csc2 ? 2 2 2 sec ? ? 1 csc ? ? 1 sin ? sin 2 ?

18、解:f(x)=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x= 2 sin( 2 x ? (Ⅰ) f(

?

? ? ? ? )= 2 sin( ? ) = 2 cos =1 4 2 4 4

4

)

(Ⅱ) ∵ f( ∴? ?

? ? 2 sin(? ? ? ) ? 1 ? 2 )= ,∴ 2 sin(? ? ) ? ∴ ∵ ∈(0, ? ) 2 4 2 2 4 2

?
4

?

5? 7? ∴? ? 6 12
2 2

19、解:由 tanα=3 得 sinα=3cosα,∴1-cos α=9cos α. ∴cos2α=

1 . 10
2 2 2 2

故原式=(1-cos α)-9cos α+4cos α=1-6cos α= 解法二:∵sin α+cos α=1. ∴原式=
2 2

2 . 5

sin 2 ? ? 3 sin ? cos? ? 4 cos2 ? tan2 ? ? 3 tan? ? 4 9 ? 9 ? 4 2 ? ? ? 9 ?1 5 sin 2 ? ? cos2 ? tan2 ? ? 1
∴ sin ? ?

3 ?? ? 20、解:∵ ? ? ? ,? ? 且 tan ? ? ? 2 ? ? 4
? ? , ? ? ? ? ? ??,0? ∴ ?? ? ? ??, 2 ? ? ?

3 4 ?? ? ? ?? , cos ? ? ? ;∵ ? ? ? ,? ? , ? ? ? 0, ? 2 ? ? ? 2? 5 5
5 13

??

又∵ cos( ? ? ? ) ?

∴ sin( ? ? ? ) ?

12 ?5? 1? ? ? ? ? 13 ? 13 ?

2

4 ? 5 3 63 ∴ sin ? ? sin ?? ? ? ? ? ? ? ? ? sin( ? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? )sin ? ? ? 12 ? ? ?? ?? ? ? ? ? 13 ? 5 ? 13 5 65

鄂州市二中 2009-2010 学年度 高一数学必修一测试题
1.若集合 M ? {y | y ? 2 x }, P ? {x | y ? x ? 1} ,则 M∩P= A. { y | y ? 1} B. { y | y ? 1} ( 09.11.6 一、选择题:(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) ) D. { y | y ? 0}

C. { y | y ? 0} )
loga x

2.下列函数与 y ? x 有相同图象的一个函数是( A. y ?

x2

B. y ?

x2 x

C. y ? a

(a ? 0且a ? 1)

D. y ? loga a

x

3. 设 A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤2},在下列各图中,能表示从集合 A 到集合 B 的映射的是(



31

4 设 a ? 0.3 , b ? 2 , c ? log 2 0.3 ,则 a , b , c 的大小关系为(
2 0.3



A .c ? a ? b

B .c ? b ? a

C .a ? b ? c

D .a ? c ? b.
) A. ? 2
x

5 .定义 min{f ( x), g ( x)} 为 f ( x) 与 g ( x) 中值的较小者,则函数 f ( x) ? min{ 2 ? x2 , x} 的最大值是 (

B. ? 1

C. 1

D. 2
)A. 3 ln x ) B. 3ln x ? 4 C. 3e
x

6.若 f (ln x ) ? 3x ? 4 ,则 f ( x ) 的表达式为( 7.函数 y ? A. y ? C.

D. 3e ? 4

x2 ?1 x2 ? 1
2

( x ? ?1) 的反函数是 ( ( x ? 0) ( x ? 0)

B. y ? ? x 2 ? 1 D. y ? ? x ? 1
2

( x ? 0) ( x ? 0)
A.8 B.

y ? x ?1

8 若 f ( x) ? ?

? f ( x ? 2), ( x ? 2) 则 f ( ?3) 的值为 ?x ( x ? 2) ?2 ,

1 8

C.2

D. )

1 2

9 若函数 y ? f ( x) 在区间 ? a, b? 上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是( A.若 f (a) f (b) ? 0 ,不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; B.若 f (a) f (b) ? 0 ,存在且只存在一个实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; C.若 f (a) f (b) ? 0 ,有可能存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; D.若 f (a) f (b) ? 0 ,有可能不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; 10.求函数 f ( x) ? 2 x ? 3x ? 1 零点的个数为 (
3

) A. 4

B. 3

C. 2

D.1

11.已知定义域为 R 的函数 f(x)在区间(-∞,5)上单调递减,对任意实数 t,都有 f(5+t) =f(5-t),那么下列式子一定成立的是 ( ) A.f(-1)<f(9)<f(13) B.f(13)<f(9)<f(-1) C.f(9)<f(-1)<f(13) D.f(13)<f(-1)<f(9) 12.某学生离家去学校,由于怕迟到,一开始就跑步,等跑累了再步行走完余下的路程,若以纵轴表示离家的距离, 横轴表示离家后的时间,则下列四个图形中,符合该学生走法的是( )

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.把答案直接填在题中横线上. 13、 loga
2 ? 1 ,则 a 的取值范围是 3

14.已知实数 a , b 满足等式 ( ) ? ( ) ,下列五个关系式:
a b

1 2

1 3

32

(1) 0 ? b ? a , (2) a ? b ? 0 , (3) 0 ? a ? b , (4) b ? a ? 0 , ( 5) a ? b 其中可能成立的关系式有 . 15.如果在函数 y ? f ( x) 的图象上任取不同的两点 A 、 B ,线段 AB (端点除外)总在 f ( x ) 图象的下方,那么函 数 f ( x ) 的图象给我们向上凸起的印象,我们称函数 f ( x ) 为上凸函数;反之,如果在函数 y ? f ( x) 的图象上任取 不同的两点 A 、B , 线段 AB(端点除外) 总在 f ( x ) 图象的上方, 那么我们称函数 f ( x ) 为下凸函数. 例如:y ? ? x2 就是一个上凸函数.请写出两个 不同类型的下凸函数的解析式: .. 16.某批发商批发某种商品的单价 P(单位:元/千克) 与一次性批发数量 Q(单位:千克)之间函数的图像 如图 2,一零售商仅有现金 2700 元,他最多可购买这 种商品 千克(不考虑运输费等其他费用) . 三、解答题:.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)已知全集 U=R,集合 A ? {a | a ? 2,或a ? ?2} , 。 (C? B) B ? {a | 关于x的方程ax2 ? x ? 1 ? 0有实根},求 A ? B , A ? B , A ? 18.已知函数 f ( x) ? loga ( x ? 1) , g ( x) ? log a (4 ? 2 x) ( a ? 0 ,且 a ? 1 ) . (Ⅰ)求函数 f ( x) ? g ( x) 的定义域; (Ⅱ)求使函数 f ( x) ? g ( x) 的值为正数的 x 的取值范围.

px 2 ? 2 5 19. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 是奇函数,且 f (2) ? ? . 3 q ? 3x (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)求函数 f ( x) 在区间 [1, 4] 上的最小值. 1 x 20. 已知函数 f ( x ) ? ( ) . 3
(1) 当 x ? ? ?1,1? 时,求函数 h( x) ? f 2 ( x) ? 2af ( x) ? 3 的最小值 g (a) ;
2 2 (2) 是否存在实数 m ? n ? 3 ,使得 g (a) 的定义域为 ? n, m? ,值域为 ? ?n , m ? ? ,若存在,求出 m 、 n 的值;若不存在,

则说明理由. 21. (本小题满分 13 分) 在经济学中,函数 f ( x ) 的边际函数 Mf ( x) 定义为 Mf ( x) ? f ( x ? 1) ? f ( x) .某公司每月最多生产 100 台报 警系统装臵, 生产 x 台 ( x?N ) 的收入函数为 R( x) ? 3000 x ? 20 x (单位: 元) , 其成本函数为 C ( x) ? 500 x ? 4000 (单位:元) ,利润是收入与成本之差. (Ⅰ)求利润函数 P ( x) 及边际利润函数 MP( x) 的解析式,并指出它们的定义域;
2
?

(Ⅱ)利润函数 P ( x) 与边际利润函数 MP( x) 是否具有相同的最大值?说明理由; (Ⅲ)解释边际利润函数 MP( x) 的实际意义. 21. (14 分)已知定义域为 [0,1] 的函数 f ( x ) 同时满足以下三个条件: [1] 对任意的 x ? [0,1] ,总有 f ( x) ? 0 ; [2] f (1) ? 1 ; [3] 若 x1 ? 0 , x2 ? 0 ,且 x1 ? x2 ? 1 ,则有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立, 并且称 f ( x ) 为“友谊函数” ,请解答下列各题: (1)若已知 f ( x ) 为“友谊函数” ,求 f (0) 的值;
33

(2)函数 g ( x) ? 2 x ?1在区间 [0,1] 上是否为“友谊函数”?并给出理由. (3)已知 f ( x ) 为“友谊函数” ,假定存在 x0 ? [0,1] ,使得 f ( x0 ) ?[0,1] 且 f [ f ( x0 )] ? x0 , 求证: f ( x0 ) ? x0 .

参考答案
一、选择题: (本大题共 12 个小题;每小题 5 分,共 60 分。 ) 题 号 答 案 1 B 2 D 3 D 4 A 5 C 6 D 7 D 8 B 9 C 10 B 11 C 12 A

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 ) 2 13、a>1 或 0 ? a ? ; 14、①②⑤; 3 15、 y ? x2 , y ? 2x 16、90

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17、 (本小题满分 12 分)
2 17.解:∵ ax ? x ? 1 ? 0 有实根

∴①当 a ? 0 时, x ? 1 符合题意

(2 分)

1 ②当 a ? 0 时, ? ? (?1) 2 ? 4a ? 0 解得 a ? 4 1 综上: a ? 4 1 ∴ B ? {a | a ? } 4 1 ∴ A ? B ? {a | a ? 或a ? 2} 4
A ? B ? {a | a ? ?2}

(6 分) (8 分) (10 分) (12 分)

1 A ? (C ? B) ? {a | a ? ?2或a ? } 4

18. (本题满分 12 分)
18.解: (Ⅰ)由题意可知,

f ( x) ? g ( x) ? log a ( x ? 1) ? loga (4 ? 2 x) ,
34

……………1 分

由? ∴

?x ?1 ? 0 ? x ? ?1 , 解得 ? , ?x ? 2 ?4 ? 2 x ? 0
?1 ? x ? 2 ,

……………3 分 ……………4 分 ……………5 分

∴函数 f ( x) ? g ( x) 的定义域是 (?1, 2) . (Ⅱ)由 f ( x) ? g ( x) ? 0 ,得

f ( x) ? g ( x) ,
① ……………6 分

即 log a ( x ? 1) ? log a (4 ? 2 x) ,

当 a ? 1 时,由①可得 x ? 1 ? 4 ? 2 x ,解得 x ? 1 , 又 ?1 ? x ? 2 ,∴ 1 ? x ? 2 ; 当 0 ? a ? 1 时,由①可得 x ? 1 ? 4 ? 2 x ,解得 x ? 1 , 又 ?1 ? x ? 2 ,∴ ?1 ? x ? 1 . 综上所述:当 a ? 1 时, x 的取值范围是 (1, 2) ; 当 0 ? a ? 1 时, x 的取值范围是 (?1,1) .

……………8 分 ……………10 分

……………11 分

19. (本题满分 12 分). 19.解(1)∵f(x)是奇函数,∴对定义域内的任意的 x,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,

px 2 ? 2 px 2 ? 2 即 ,整理得: q ? 3x ? ?q ? 3x ∴q=0 ?? q ? 3x q ? 3x 5 4p ? 2 5 ?? , 又∵ f (2) ? ? ,∴ f (2) ? 解得 p=2 3 ?6 3 2x2 ? 2 ∴所求解析式为 f ( x) ? ?3x 2x2 ? 2 2 1 (2)由(1)可得 f ( x) ? = ? (x ? ) , 3 x ?3x f ( x) 在区间 [1, 4] 上是减函数. 证明如下: 设 1 ? x1 ? x2 ? 4, , 2 1 1 2 ( x ? x2 )(1 ? x1 x2 ) 则由于 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? [( x2 ? ) ? ( x1 ? )] ? ? 1 3 x2 x1 3 x1 x2 因此,当 1 ? x1 ? x2 ? 4 时, x1 x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0,1 ? x1x2 ? 0 从而得到 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 即, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴ f ( x) 在区间 [1, 4] 是减函数. 17 故,函数 f ( x) 在区间 [1, 4] 上的最小值 ? f (4) ? ? 6 1 1 20.解:(1) 设 t ? ( ) x ,∵ x ? [?1,1] ,∴ t ? [ ,3] , 3 3 1 1 则 y ? f 2 ( x) ? 2af ( x) ? 3 ? [( ) x ] 2 ? 2a( ) x ? 3 ? t 2 ? 2at ? 3 ? (t ? a) 2 ? 3 ? a 2 . 3 3 28 2 a 1 1 ? ; ;当 ? a ? 3 时, ymin ? g (a) ? 3 ? a 2 ; ; 当 a ? 时, y min ? g (a) ? 3 3 9 3
1 ? 28 2a ? 9 ? 3 (a ? 3 ) ? 1 2 ? g (a) ? 12 ? 6a. .∴ g (a) ? ? ( ? a ? 3) . ?3 ? a 3 ? ?12 ? 6a (a ? 3) ? ?

当 a ? 3 时, ymin

(2)

∵ m ? n ? 3 ,∴ g ( x) ? 12 ? 6 x ,在 ? 3, ?? ? 上是减函数.
35

2 2 ∵ g ( x) 的定义域为 ? n, m? ,值域为 ? ?n , m ? ?,

?12 ? 6m ? n2 ? ∴ ? , 2 ? ?12 ? 6n ? m

① ②

②-①得: 6(m ? n) ? (m ? n)(m ? n) , ∵ m ? n ? 3 ,∴ m ? n ? 6 .但这与“ m ? n ? 3 ”矛盾. ∴满足题意的 m 、 n 不存在.
21. 解(Ⅰ)由题意知: P( x) ? R( x) ? C ( x) ? 3000 x ? 20 x2 ? (500 x ? 4000)

? ?20 x2 ? 2500 x ? 4000 ,
其定义域为 x ? [1,100] ,且 x ? N ;
?

……………2 分 ……………3 分

MP( x) ? P( x ? 1) ? P( x)
? 2480 ? 40 x ,

? ?20( x ? 1)2 ? 2500( x ? 1) ? 4000 ? [20x2 ? 2500x ? 4000]
……………5 分
?

其定义域为 x ? [1,100] ,且 x ? N .

……………6 分

1 2 (Ⅱ) P( x) ? ?20( x ? 62 ) ? 74125 , 2 ∴当 x ? 62 或 x ? 63 时, P ( x) 的最大值为 74120 元.
∵ MP( x) ? 2480 ? 40 x 是减函数, ∴当 x ? 1 时, MP( x) 的最大值为 2440 元.

……………8 分

……………10 分

∴利润函数 P ( x) 与边际利润函数 MP( x) 不具有相同的最大值. …………11 分 (Ⅲ)边际利润函数 MP( x) ? 2480 ? 40 x 的实际意义是:生产第 x ? 1 台报警系统装臵的利润是( 2480 ? 40x ) 元. …………13 分

22.(本题满分 14 分) 22.解: (1)取 x1 ? x2 ? 0 得 f (0) ? f (0) ? f (0) ? f (0) ? 0 ,-------2 分 又由 f (0) ? 0 ,得 f (0) ? 0 --------------- 3 分

(2)显然 g ( x) ? 2x ? 1在 [0,1] 上满足[1] g ( x) ? 0 ;[2] g (1) ? 1 .-------5 分 若 x1 ? 0 , x2 ? 0 ,且 x1 ? x2 ? 1 ,则有

g ( x1 ? x2 ) ? [ g ( x1 ) ? g ( x2 )] ? 2x1 ? x2 ?1 ? [(2x1 ?1) ? (2x2 ?1)] ? (2x2 ?1)(2x1 ?1) ? 0
故 g ( x) ? 2x ? 1满足条件[1]、[2]、[3],所以 g ( x) ? 2x ? 1为友谊函数.------8 分 (3)由 [3]知任给 x2 , x1 ?[0,1] 其中 x2 ? x1 ,且有 x2 ? x1 ? 1 ,不妨设 x2 ? x1 ? ?x (?x ? 0) 则必有:
0 ? ?x ? 1) ----------------------------------9 分

所以: f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? f (?x) ? f ( x1 ) ? f (?x) ? 0 所以: f ( x2 ) ? f ( x1 ) .-------------------------------------10 分 依题意必有 f ( x0 ) ? x0 , 下面用反证法证明:假设 f ( x0 ) ? x0 ,则有 x0 ? f ( x0 ) 或 x0 ? f ( x0 )
36

(1)若 x0 ? f ( x0 ) ,则 f ( x0 ) ? f [ f ( x0 )] ? x0 ,这与 x0 ? f ( x0 ) 矛盾;----12 分 (2)若 x0 ? f ( x0 ) ,则 f ( x0 ) ? f [ f ( x0 )] ? x0 ,这与 x0 ? f ( x0 ) 矛盾; 故由上述(1) 、 (2)证明知假设不成立,则必有 f ( x0 ) ? x0 ,证毕.-------14 分

集合与函数综合训练
一、选择题:(共 10 小题,每小题 5 分) 1.集合 ?1,2,3?的真子集的个数为 ( A.5 B.6 C.7 ) D.8

2. 已知函数 f(x)= x +2x-8,则 f(x)的零点所在的大致区间是 ( A.(0.5,1) B. (1,2) 3. 下列关系式中正确的是 ( ) A. 2.5 ? {x | x ? 1} B.-3 ? N
x

3



C.(2,3)

.D.(3,4) .D. 2 ? Q )

C. {0,1} ? {1,2,3}

4. 在同一坐标系中,函数 y = 2 与 y = ( ) 的图象之间的关系是( A.关于 y 轴对称 C.关于原点对称 .B.关于 x 轴对称 .D.关于直线 y = x 对称 )

1 2

x

5.下列函数中,在区间(0,+∞)上是减函数的是( A. y = x -1
2

B. y = x

3

C. y = -3x+2

D. y = log2x )

6. 设集合 A ? {x | x 2 ? 1 ? 0}, B ? {x | log2 x ? 0 |}, 则A ? B 等于( A. {x | x ? 1} B. {x | x ? 0} C. {x | x ? ?1}

D. {x | x ? ?1或x ? 1} )

7. 已知 M ? {2, a 2 ? 3a ? 5,5} , N ? {1, a 2 ? 6a ? 10,3} ,且 M ? N ? {2,3} ,则 a 的值为( A.1 或 2 B.2 或 4
0.2
1

C.2 ) C. c ? a ? b

D.1

?1? 8. 设 a ? log 1 3 , b ? ? ? , c ? 2 3 ,则( ? 3? 2
A. a ? b ? c 9. 若函数 y ? A.(2,3) B. c ? b ? a

D. b ? a ? c

2 ? 1 的图象与直线 y ? mx 只有一个交点,则此公共点的坐标为( ) x ?1
B.(-1,0) C. (
3 ) ,5 2

D. (1,0)

10. 已知函数 y= 1 ? x ? x ? 3 的最大值为 M,最小值为 m,则

m 的值为 ( M
D.



A.

1 4

B.

1 2

C.

2 2

3 2

二、填空题:(共 3 小题,每小题 5 分)
37

13.函数 y= log1 (x ?1) 的定义域是
2

14.已知 f (2 ? x) =3x-5 , 则 f ( x) =_______

__

15. 设函数 f ( x) ? 三、解答题:

( x ? 1)( x ? a) 为奇函数,则 a ? x

16. (5 分) 解不等式 2(log 1 x) +9(log 1 x)+9≤0
2 2

2

17.(10 分) 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意 x1,x2 ? R 有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1, 求证:函数 F(x)=f(x)+1 为奇函数 18.(10 分) 医学上为研究病毒细胞的发展规律,将某种病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验,经检测得出体 8 内病毒细胞的数量与天数的关系如下表. 已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过 10 的时候小白鼠将死亡.但 注射某种药物,将可杀死其体内该病毒细胞的 98%. (1)为了使小白鼠在实验过程中不至死亡,第一次最迟应在哪一天注射该种药物? (2)在第一问的前提下,第二次最迟应在哪一天注射药物? 提示:lg2=0.3010. 天数 t 1 2 3 4 5 6 7 … 病毒细胞总数 N 1 2 4 8 16 32 64 … 第二模块考试(必修 2)

班级______________
一. 选择题 (每小题 4 分,共 48 分)

姓名____________

得分______________

1. 直线 x ? 3 y ? a ? 0 ( a 为实常数)的倾斜角的大小是( A. 30
0

).
0

B. 60

0

C. 120

0

D. 150 ).

2. 到直线 3x ? 4 y ? 1 ? 0 的距离为 2 的直线方程是( A. 3x ? 4 y ? 11 ? 0 C. 3x ? 4 y ? 9 ? 0 3. 下列说法正确的是( ).

B. 3x ? 4 y ? 11 ? 0 或 3x ? 4 y ? 9 ? 0 D. 3x ? 4 y ? 11 ? 0 或 3x ? 4 y ? 9 ? 0

A. 经过定点 P 0 ( x0 , y0 )的直线都可以用方程 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 表示. B. 经过不同两点 P ,P 1 ( x1 , y1 ) 2 ( x2 , y2 )的直线都可以用方程

y ? y1 x ? x1 ? 表示. y2 ? y1 x2 ? x1

38

b C. 经过定点 P 0 (0, )且斜率存在的直线都可以用方程 y ? kx ? b 表示.
D. 不过原点的直线都可以用方程

x y ? ? 1 表示. a b
).

4. 无论 m 为何值,直线 y ? 1 ? m( x ? 2) 总过一个定点,其中 m ? R ,该定点坐标为( A.(1, ?2 ) B.( ?1 , 2 ) C.( ?2 , ?1 ) D.( 2 , ?1 )

5. 若直线 l1 : ? m ? 3? x ? 4 y ? 3m ? 5 ? 0 与 l2 : 2x ? ? m ? 5? y ? 8 ? 0 平行,则 m 的值为( A. ?7 B. ?1或 ? 7 C. ?6 D. ?

).

13 3
D.两条相交直线

6. 一条直线与一个平面内的( A. 无数条直线

)都垂直,则该直线与此平面垂直. C. 两条平行直线 ).

B. 两条直线

7. 下列四个命题中错误的个数是(

① 垂直于同一条直线的两条直线相互平行② 垂直于同一个平面的两条直线相互平行 ③ 垂直于同一条直线的两个平面相互平行④ 垂直于同一个平面的两个平面相互垂直 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ). D.

8. 半径为 R 的球内接一个正方体,则该正方体的体积是( A. 2 2 R
3

B.

4 ? R3 3
).

C.

8 3R 3 9

3 3 R 9

9. 下列命题中错误的是(

A. 若 m // n, n ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? C. 若 ? ? ? , ? ? ? , ?

B. 若 ? ? ? , a ? ? ,则 a ? ?

? ? l ,则 l ? ? D. 若 ? ? ? , a

? =AB, a // ? , a ? AB,则 a ? ?
).

10. P 为 ABC 所在平面外一点, PB ? PC , P 在平面 ABC 上的射影必在 ABC 的( A. BC 边的垂直平分线上 C. BC 边的中线上
2 2

B. BC 边的高线上 D. ?BAC 的角平分线上
2 2

11. 圆 C1 : x ? y ? 2x ? 8 y ? 8 ? 0 与圆 C2 x ? y ? 4x ? 4 y ? 2 ? 0 的位臵关系是( A. 相交 B. 外切
2

).

C. 内切
2

D. 相离 ).

12. 直线 ?1 ? a ? x ? y ? 1 ? 0 与圆 x ? y ? 2 x ? 0 相切,则 a 的值为( A. 1, ?1 B. ?2 C. ?1 D. 1

二. 填空题(每小题 4 分,共 20 分) 13. 圆 x ? y ? 4x ? 4 y ? 6 ? 0 截直线 x ? y ? 5 ? 0 所得的弦长为__________,
2 2

14. 过点(1,2)且与直线 x ? 2 y ?1 ? 0 平行的直线的方程是 ______________. 15. 过点 A (0, 1 ) , B (2,0)的直线的方程为 ________. 16. 已知各面均为等边三角形的四面体的棱长 为 2,则它的表面积是____________. 17. 如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 中,异面
39
D C A1 B1 D1 C1

直线 A1D 与 D1C 所成的角为_______度;直线

A1D 与平面 AB1C1D 所成的角为_______度.
三. 解答题(第 18、19 题各 9 分,第 20 题 14 分,共 32 分) 18. 求经过两条直线 l1 : 3x ? 4 y ? 2 ? 0 与 l2 : 2 x ? y ? 2 ? 0 的交点 P ,且垂直于直线 l3 : x ? 2 y ? 1 ? 0 直线 l 的 方程. 19. 已知圆心为 C 的圆经过点 A (0, ?6 ) , B (1, ?5 ) ,且圆心在直线 l : x ? y ? 1 ? 0 上,求圆心为 C 的圆的 标准方程.

20. 如图:在三棱锥 S ? ABC 中,已知点 D 、 E 、 F 分别为棱 AC 、 SA 、 SC 的中点. ①求证: EF ∥平面 ABC . ②若 SA ? SC , BA ? BC ,求证:平面 SBD ⊥平面 ABC .
E D S

F C

一、 选择题 DBCDA DBCBA 二. 填空题 三. 解答题

A B

AC

13、 6 ;14、 x ? 2 y ? 5 ? 0 ;15、 x ? 2 y ? 2 ? 0 ;16、 4 3 ;17、 60 0 , 30 0 .

?3x ? 4 y ? 2 ? 0 18、解:由 ? ?2 x ? y ? 2 ? 0
∴ 点 P 的坐标是( ?2 ,2) ∵ 所求直线 l 与 l3 垂直,

? x ? ?2 解得 ? ?y ? 2

∴ 设直线 l 的方程为 2 x ? y ? C ? 0 把点 P 的坐标代入得 2 ? ? ?2? ? 2 ? C ? 0 ,得 C ? 2 ∴ 所求直线 l 的方程为 2 x ? y ? 2 ? 0
? 1 11 ? 19、 解:因为 A (0, ?6 ) , B (1, ?5 ) ,所以线段 AB 的中点 D 的坐标为 ? , ? ? , ?2 2 ?

直线 AB 的斜率

k AB ?

?5 ? ? ?6 ? ? 1, 1? 0

因此线段 AB 的垂直平分线 l ' 的方程是

40

y?

11 1? ? ? ?? x ? ? , 2 2? ?

即 圆心 C 的坐标是方程组

x? y?5 ? 0

?x ? y ? 5 ? 0 ,的解. ? ?x ? y ?1 ? 0 ? x ? ?3 , ? ? y ? ?2

解此方程组,得

所以圆心 C 的坐标是( ?3 , ?2 ). 圆心为 C 的圆的半径长

r ? AC ?
所以,圆心为 C 的圆的标准方程是

?1 ? 3? ? ?1 ? 2?
2
2 2

2

?5

? x ? 3?
∴ EF ∥ AC ,

? ? y ? 2 ? ? 25

10、解:①证明:∵ EF 是 SAC 的中位线, 又∵ EF ? 平面 ABC , AC ? 平面 ABC , ∴ EF ∥平面 ABC . ②证明:∵ SA ? SC , AD ? DC ∴ SD ? AC , ∵ BA ? BC , AD ? DC ∴ BD ? AC , 又∵ SD ? 平面 SBD , BD ? 平面 SBD , SD ∴ AC ? 平面 SBD , 又∵ AC ? 平面 ABC , ∴平面 SBD ⊥平面 ABC .
设计意图: 对做过的习题和学到的方法及时进行回顾、检验和反思整理,关注那些形似质异和形异质同的问题,尝试一题 多解和多题一解,学会用发展的眼光,联系的观点看待问题。

DB ? D ,

福鼎一中高一年段数学培优教材 高一数学备课组 第一讲 一、 基本性质: 1. 函数图像的对称性 (1) (2) 奇函数与偶函数:奇函数图像关于坐标原点对称,对于任意 x ? D ,都有 f (? x) ? ? f ( x) 成立;偶函数的图像关于 y 轴对称, 对于任意 x ? D ,都有 f (? x) ? f ( x) 成立。 原函数与其反函数:原函数与其反函数的图像关于直线 y ? x 对称。 若某一函数与其反函数表示同一函数时,那么此函数的 图像就关于直线 y ? x 对称。 41 函数的性质

(3)

若函数满足 f ( x) ? f (2a ? x) ,则 f ( x) 的图像就关于直线 x ? a 对称;若函数满足 f ( x) ? ? f (2a ? x) ,则 f ( x) 的图像就关 于点 (a, 0) 对称。

(4)

互对称知识:函数 y ? f ( x ? a)与y ? f (a ? x) 的图像关于直线 x ? a 对称。

2.函数的单调性 函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。判断一个函数的单调性一般采用定义法、导数法或借助其他函数结合单 调性的性质(如复合函数的单调性) 特别提示:函数 y ? x ? 3.函数的周期性 对于函数 y ? f ( x) , 若存在一个非零常数 T , 使得当 x 为定义域中的每一个值时, 都有 f ( x ? T ) ? f ( x) 成立, 则称 y ? f ( x) 是周期函数, T 称为该函数的一个周期。若在所有的周期中存在一个最小的正数,就称其为最小正周期。 (1) (2) (3) (4) 若 T 是 y ? f ( x) 的周期,那么 nT (n ? Z ) 也是它的周期。

a (a ? 0) 的图像和单调区间。 x

T 的周期函数。 a 若函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? a 和 x ? b 对称,则 y ? f ( x) 是周期为 2(a ? b) 的函数。
若 y ? f ( x) 是周期为 T 的函数,则 y ? f (ax ? b) (a ? 0) 是周期为 若函数 y ? f ( x) 满足 f ( x ? a) ? ? f ( x) (a ? 0) ,则 y ? f ( x) 是周期为 2a 的函数。 对于任意实数 x ,我们记不超过 x 的最大整数为 [ x ] ,通常称函数 y ? [ x] 为取整函数。又称高斯函数。又记 {x} ? x ? [ x] , 则函数 y ? {x} 称为小数部分函数,它表示的是 x 的小数部分。

4.高斯函数

高斯函数的常用性质: (1) (3) (4) (5) 对任意 x ? R, 均有 x ? 1 ? [ x] ? x ? [ x] ? 1 (2) 对任意 x ? R ,函数 y ? {x} 的值域为 [0,1)

高斯函数是一个不减函数,即对于任意 x1 , x2 ? R, 若 x1 ? x2 , 则 [ x1 ] ? [ x2 ] 若 n ? Z , x ? R, 则有[ x ? n] ? n ? [ x] , {n ? x} ? {x} ,后一个式子表明 y ? {x} 是周期为 1 的函数。 若 x, y ? R, 则 [ x] ? [ y] ? [ x ? y] ? [ x] ? [ y] ? 1
* (6) 若 n ? N , x ? R, 则 [nx] ? n[ x]

二、综合应用 例 1:设 f ( x) 是 R 上的奇函数, f ( x ? 2) ? ? f ( x),当 0 ? x ? 1时,f ( x) ? x, 求 f (7.5) 的值。 例 2:设 f ( x), g ( x) 都是定义在 R 上的奇函数, F ( x) ? a f ( x) ? b g ( x) ? 2 在区间 (0, ??) 上的最大值为 5,求 F ( x)在 ( ??,0) 上的最 小值。

? x3 ? sin x ? 2a ? 0 ? ? ? ?? 例 3:已知 x, y ? ?? , ? , a ? R, 且 ? , 则 cos( x ? 2 y) ? ______________ 1 3 ? 4 4? ?4 y ? sin 2 y ? a ? 0 ? 2
例 4:设 a ? 1, a,? 均为实数,试求当 ? 变化时,函数 y ?
x 例 5:解方程: (1) x ? log 2 (2 ? 31) ? 5

(a ? sin ? )(4 ? sin ? ) 的最小值。 1 ? sin ?

2 3 2 3 (2) ( x ? 20 x ? 38) ? 4 x ? 152 ? x ? 84 x

例 6:已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f ( y ) ? f ( x ? y ) ,当 x ? 0 时f ( x) ? 0 , f (1) ? 2 ; (1)
2 求证: f ( x) 为奇函数; (2) 求 f ( x) 在 [ ?3, 3] 上的最值; (3) 当 t ? 2 时,不等式 f (k log 2 t ) ? f (log 2 t ? log 2 t ? 2) ? 0

恒成立,求实数 k 的取值范围。 例 7:证明:对于一切大于 1 的自然数 n ,恒有 (1 ? )(1 ? ) ??? (1 ?

1 3

1 5

1 )? 2n ? 1

2n ? 1 2

例 8:设 f ( x) 是定义在 Z 上的一个实值函数, f ( x) 满足 ?

? f ( x ? y ) ? f ( x ? y ) ? 2 f ( x) f ( y ) ? f (1) ? 0
42

① ,求证: f ( x) 是周期为 4 的周期函 ②

数。 例 9:给定实数 x ,定义 [ x ] 为不大于 x 的最大整数,则下列结论中不正确的序号是 ( )

① x ? [ x ] ? 0 ② x ? [ x] ? 1

③ f ( x) ? x ? [ x]是周期函数

④ f ( x) ? x ? [ x]是偶函数

例 10:求方程 lg 2 x ? [lg x] ? 2 ? 0 的实根个数。 三、强化训练: 1. 已知 f ( x) ? a sin x ? b 3 x ? 4 (a、b 为实数) ,且 f (lg log 3 10) ? 5 ,求 f (lg lg 3) 的值。 2. 若方程 x2 ? 2a sin(cos x) ? a 2 ? 0 有唯一解,求 a 的所有取值。

0 ) ? 1 9 9 2 3. 已知函数 f ( x) 定义在非负整数集上, 且对任意正整数 x, 都有 f ( x) ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) 。 若 f(

1992) , 求 f(

的值。

4. 函数 f ( x) 定义在实数集 R 上,且对一切实数 x 满足等式 f ( x ? 2) ? f (2 ? x), f ( x ? 7) ? f (7 ? x). 设 f ( x) ? 0 的一个根是

x ? 0 ,记 f ( x) ? 0在区间? ?1000, 1000? 中的根的个数是 N,求 N 的最小值。 5. 若函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? a 对称,且关于点 M (b, c) 对称,求证 f ( x) 是周期函数。
2 6. 求数列 ?an ? 的最小项,其中 an ? 2n ? 24n ? 69 ?

a (n ? 1, 2, ???) (3n ? 22) 2 ? 3

7. 已知 f (cos x) ? 0 的解集为 [0,

?
2

] ,解不等式 f (sin x) ? 0.

8. 设 f ( x) 是定义在 (0, ??) 上的增函数,对任意 x, y ? (0, ??) ,满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) 。

f ( x) ? 0 (1)求证:①当 x ? (1, ??)时,

x ② f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) y

(2)若 f (5) ? 1 ,解不等式 f ( x ? 1) ? f (2 x) ? 2. 9. 已知 f ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1) ,求满足 f (3x 2 ? 4 x ? 5) ? f (2 x 2 ? 3x ? 1) 的 x 的值。
1024

10. 求和: 参考答案:

?[log
N ?1

2

N]

例 1:周期为 4, f (7.5) ? ?0.5 例 2:记 G ( x) ? af ( x) ? bg ( x) ,则 G ( x) 为奇函数。 F ( x) 在 (??, 0) 上的最小值为-1.
3 例 3: f (t ) ? t ? sin t 在 [?

? ?

, ] 上为增函数, cos( x ? 2 y) ? ?1 4 4

例 4: y ? (1 ? sin ? ) ? 当1 ? a ?

3(a ? 1) 3(a ?1) ? a ? 2 ,换元后研究函数 f ( x) ? x ? ? a ? 2 的单调性 1 ? sin ? x
( x ? 3(a ?1) ) ;当 a ?

7 时 ymin ? 2 3(a ? 1) ? a ? 2 3

5 7 时 ymin ? (a ? 1) ( x ? 2) 2 3

x 例 5: (1)构造 f ( x) ? x ? log 2 (2 ? 31) ,利用单调性得: x ? 5

(2)

3 2 构造递增函数 f ( x) ? x ? 4 x ,利用 f ( x ? 20 x ? 38) ? f ( x) 解得: 2 ? x ? 9

例 6: (2) f ( x)max ? 6 ;

f ( x) min ? ?6 (3) k ? 2 2 ? 1

1 1 1 (1 ? )(1 ? ) ??? (1 ? ) 3 5 2n ? 1 ,证明 f (n) 是递增数列,故 f (n) ? f (2) ? 1 例 7:构造 f (n) ? 2 2n ? 1
例 8:令 y ? 1 得 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 0 ? f ( x) ? ? f ( x ? 2) ? T ? 4 例 9:④
2 例 10: lg x ? 2 ? [lg x] ? lg x ? ?1 ? lg x ? 2

(1)当 ?1? lg x? 0 时 [lg x] ? ?1 ,代入原方程解得 x ?

1 10

1 时 (2)当 0 ? lg x ?

43

2 时 [lg x] ? 1 ? lg x ? 3 ? x ? 10 [lg x] ? 0 ? lg x ? ? 2(矛盾) (3)当 1 ? lg x ?
强化训练: 1. 3 2. a ? 0, a ? 2sin1 3. f (1992) ? f (0) ? 1992 4. 401 5. 略

3

g x ?2 时 [lg x] ? 2 ? x ? 1000 (4) 当l

9 19 7. 2k? ? x ? 2k? ? ? , k ? Z
6. 最小项为 a6 ? ?3 8. x ? (0,

1 ) 49

9. a ? 1 时 x ? ?2, x ? 3 ; 0 ? a ? 1 时 ?2 ? x ? 3
1024

10. N ?1

?[log

2

N ] ? 0 ? 1(22 ? 2) ? 2(23 ? 22 ) ? 3(24 ? 23 ) ? ??? ? 9(210 ? 29 ) ? 10 ? 8204
福鼎一中高一年段数学培优教材 高一数学备课组 第二讲 二次函数

二、 基础知识: 1. 二次函数的解析式 (1)一般式: f ( x) ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) (2)顶点式: f ( x) ? a( x ? h)2 ? k ,顶点为 (h, k ) (3)两根式: f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) (4)三点式: f ( x) ?

( x ? x1 )( x ? x3 ) ( x ? x2 )( x ? x3 ) ( x ? x1 )( x ? x2 ) f ( x3 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ( x3 ? x1 )( x3 ? x2 ) ( x2 ? x1 )( x2 ? x3 ) ( x1 ? x2 )( x1 ? x3 )

2.二次函数的图像和性质
2 (1) f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) 的图像是一条抛物线,顶点坐标是 (?

b b 4ac ? b2 , ) ,对称轴方程为 x ? ? ,开口与 a 有关。 2a 2a 4a

b b ] 上为减函数,在 [? , ??) 上为增函数; a ? 0 时相反。 2a 2a (3)奇偶性:当 b ? 0 时, f ( x) 为偶函数;若 f (a ? x) ? f (a ? x) 对 x ? R 恒成立,则 x ? a 为 f ( x) 的对称轴。
(2)单调性:当 a ? 0 时, f ( x) 在 (??, ? (4)最值:当 x ? R 时, f ( x) 的最值为 当 x ? [m, n], ?

b b 4ac ? b2 ,当 x ? [m, n], ? ? [m, n] 时, f ( x) 的最值可从 f (m), f (n), f (? ) 中选取; 2a 2a 4a

b ? [m, n] 时, f ( x) 的最值可从 f (m), f (n) 中选取。常依轴与区间 [ m, n] 的位臵分类讨论。 2a

3.三个二次之间的关联及根的分布理论:
2 二次方程 f ( x) ? ax ? bx ? c ? 0 ( a ? 0) 的区间根问题,一般情况需要从三个方面考虑:判别式、区间端点函数值的符号;对称轴与

区间端点的关系。 三、 综合应用: 例 1:已知二次函数 f ( x) 的图像经过三点 A(1, ?6) , B(?1,0) , C (2.5,0) ,求 f ( x) 的解析式。
2 例 2:已知 f ( x) ? x ? ax ? 3 ? a ,若 x ? [ ?2, 2] 时, f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围。

2 例 3:集合 A ? {( x, y) | y ? x ? mx ? 2} , B ? {( x, y ) | x ? y ? 1 ? 0, 且 0 ? x ? 2} ,若 A B ? ? ,求实数 m 的取值范围。

? x ?1? , (f) x ? ? ? b x ? c a( ? 0 ) 满足条件: (1) 当 x ? R 时, f ( x ? 4) ? f (2 ? x)且f ( x) ? x , (2) 当 x ? (0,2) 时 ? , ? 2 ? (3) f ( x) 在 R 上的最小值为 0。①求 f ( x) 的解析式;②求最大的 m(m ? 1) 使得存在 t ? R ,只要 x ? [1, m] 就有 f ( x ? t ) ? x 。

2

x 例 4:设 f (x) ?a

2

44

例 5:求实数 a 的取值范围,使得对于任意实数 x 和任意实数 ? ? [0,

?
2

] ,恒有 ( x ? 3 ? 2sin ? cos? )2 ? ( x ? a sin ? ? a cos? )2 ?

1 。 8

例 6:已知函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) ,方程 f ( x) ? x 的两根是 x1 , x2 , 且x2 ? x1 ? 例 7:设 f (x) ?ax
2

1 ,又若 0 ? t ? x1 ,试比较 f (t )与x1 的大小。 a 1 , (1)当 x ? (0, x) 1 时,证明 x ? f ( x) ? x1 ; a

? bx ? c a( ? 0) ,方程 f ( x) ? x ? 0 的两个根 x1 , x2 满足 0 ? x1 ? x2 ?

(2)设 f ( x) 的图像关于直线 x ? x0 对称,证明 x0 ? 四、 强化训练:

x1 2

1. 二次函数 y ? f ( x) 满足 f (3 ? x) ? f (3 ? x) ,且 f ( x) ? 0 又两个实根 x1 , x2 ,则 x1 ? x2 等于( ) A . 0 B 3 C. 6 D. 12 2.已知 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) ? 2 (a ? b) ,并且 ? , ? 是方程 f ( x) ? 0 的两根,则实数 a, b,? , ? 的大小关系可能是( )

A. ? ? a ? b ? ?

B. a ?? ? ? ? b

C. a ? ? ? b ? ?

D. ? ? a ? ? ? b

3.已知函数 y ? x2 ? 2 x ? 3 , x ? [0, m] 上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围是( )

A . [1, ??)

B.

[0, 2]

C.

[1, 2]

D. (??, 2]

4.设函数 f ( x) ? x 2 ? x ? a (a ? 0) ,若 f (m) ? 0, 则 f ( m ? 1) 的值的符号是________________ 5.已知 f ( x) ? x 2 ? (lg m ? 2) x ? lg n, 且 f (?1) ? ?2, f ( x) ? 2 x 对于一切实数 x 都成立,则 m ? n ? ______ 6.已知 f ( x) ? lg(ax 2 ? 2 x ? 1) 的值域是 R,则实数 a 的取值范围是______________________ 7.函数 f ( x) ? log 0.3 ( x 2 ? ax ? a) 的递增区间为 (??,1 ? 3) ,则实数 a 的值是______________

8.设实数 a , b, c 满足 ?

? a 2 ? bc ? 8a ? 7 ? 0 ,则实数 a ? _____________________ 2 2 ?b ? c ? bc ? 6a ? 6 ? 0

9.若函数 f ( x) ? ?

1 2 13 x ? 在区间 [a, b] 上的最大值为 2b ,最小值为 2a ,求区间 [a, b] 。 2 2
,方程 f ( x) ? x ? 0 的两个根 x1 , x2 , 若 x1 ? 2 ? x2 ? 4 , 设 y ? f ( x) 的对称轴为 x ? x0 , 求证 x0 ? ?1

x) ? a x 10. 设 f(

2

b ? x ?a 1( ?0 )

11.已知 f ( x) ? x 2 ? ax ?

a , x ?[0,1] , a ? 0 ,求 f ( x) 的最小值 g (a) 的表达式,并求 g (a) 的最大值。 2 1 (1 ? x 2 ) ?若存在,写出满足条 2

12.是否存在二次函数 f ( x) ,同时满足: (1) f (?1) ? 0 ; (2)对于一切 x ? R 都有 x ? f ( x) ? 件的函数的解析式;若不存在,说明理由。

2 13.设 f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) ,当 x ? [0,1] 时, | f ( x) |? 1 ,求证:适合 b ? A 的最小实数 A 的值为 8。

14.若 a ? 0 ,求证:方程 参考答案:

1 1 1 2a 2a 2 , ( 1 )有两个异号实根; ( 2 )正根必小于 ,负根必大于 ? ? ? 0 ? ? x x ? a x ? a2 3 3

例 1: f ( x) ? 2( x ? 1)( x ? 2.5)

例 2: f ( x)min

7 ? 3a (a ? 4) ? ? a2 ? ? g (a) ? 0 ? ?7 ? a ? 2 ; 其中 g (a) ? ?3 ? a ? (?4 ? a ? 4) 4 ? 7 ? a (a ? ?4) ? ?
? ??0 ? ? m ? ?1 m-1 0<?2 ? ? 2
45

2 例 3: x ? (m ? 1) x ? 1 ? 0 , x ? [0, 2] , ? f (2) ? 0 或 ?

例 4: (1)由①②得: 1 ? f (1) ? 1 ? f (1) ? 1 ; f ( x) ? (2)结合图像可以知道: m 为方程

1 ( x ? 1)2 4

1 ( x ? t ? 1)2 ? x 的两根,从而 t ? ?1, m ? 9 4

例 5:设 t ? sin ? ? cos? , t ? [1, 2] ,原不等式化为: ( x ? 2 ? t 2 )2 ? ( x ? at )2 ? 记 f ( x) ? ( x ? 2 ? t 2 )2 ? ( x ? at ) 2 ,则

1 恒成立 8

1 ? f ( x)min , 8

a 2 ? b2 ?

(a ? b)2 (2 ? t 2 ? at )2 , ? f ( x) ? 2 2
3 5 或a ? t ? 2t 2t

1 (2 ? t 2 ? at )2 ? ? ? 2t 2 ? 2at ? 3 ? 0或2t 2 ? 2at ? 5 ? 0 , 8 2
1 ? t ? 2 , ? (t ? 3 5 7 ) min ? 6 ; (t ? ) max ? 2t 2t 2

?a ? t ?
7 2

? a ? 6或a ?

例 6:提示: f (t ) ? x1 ? f (t ) ? f ( x1 ) ? at 2 ? bt ? c ? ax12 ? bx1 ? c ? a(t ? x1 )[a(t ? x1 ) ? b]

f (t ) ? x1
例 7:方法同例 6,本题使 97 年全国高考理可题。 强化训练: 1 .C 2. A 3. C 4. 正 5.

110

6.

[0,1]

7. a ? 2

8. [1,9]

9.分析对称轴: (1) b ? a ? 0 ? ?

? f (a ) ? 2b ? f ( a ) ? 2a ? a ? 1, b ? 3 , (2) a ? b ? 0 ? ? ? 无解 ? f (b) ? 2a ? f (b) ? 2b

(3) a ? 0 ? b ? ?

13 ? ? 2b ? 2 ? ? f ( a ) ? 2a

13 ? 13 ? 2b ? 2 ? a ? ?2 ? 17, b ? ? 4 ? ? f (b) ? 2a
? g (2) ? 0 可以推出结论。 ? g (4) ? 0

2 10.构造 g ( x) ? f ( x) ? x ? ax ? (b ? 1) x ? 1, ?

11.同例 2 解法 12. f ( x) ?

1 2 1 1 x ? x? 4 2 4

1 1 1 1 ? f (1) ? a ? b ? c ? f (1) ? a ? b ? c 4 4 4 4 ? 1 1 b 3 13. ? f (0) ? c ? ? f ( ) ? f (1) ? ? f (0) 2 4 4 4 ? 1 1 b 1 1 b ?f ( ) ? a? ?c f ( ) ? a? ?c ? 2 4 2 2 4 2

1 1 ? b ? 4 f ( ) ? f (1) ? 3 f (0) ?| b |? 4 | f ( ) | ? | f (1) | ?3 | f (0) |? 8 ,所以 A 的最小值为 8 2 2
14.略

46


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