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广东省2014届高三六校第二次联考数学试题 理


广东省 2014 届高三六校第二次联考数学试题
一、选择题.本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的.请把答案填在答题卡的相应位置. 1.设 A ? {0, 2}, B ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0} ,则 A ? B =
2

( D. {0,1, 2} (

/>


A. {0, ?2, ?4}

B. {0, 2, ?4}

C. {0, 2, 4}

2.命题“ ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定是 A. ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 C. ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 1 ? 0



B. ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 D. ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ( D. y ? ? x
2

3.下列函数中,既是偶函数又在区间 (0, ??) 上递增的函数为 A. y ? x
3



B. y ? log 2 x

C. y ?| x |

4.一个物体的运动方程为 s ? 1 ? t ? t 2 ,其中 s 的单位是米, t 的单位是秒,那么物体在 3 秒末的瞬时速度是 A. 7 米/秒 B. 6 米/秒 C. 5 米/秒 D. 8 米/秒 ( C. [3, 4] D. [4,5] ( ) )

5.函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点位于 A. [1, 2] 6.“ sin ? ? B. [2,3]

1 1 ”是“ cos 2? ? ”的 2 2

A.充分而不必要条件
x

B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ( )
A1 D1 B1 C1

1 7.函数 f ( x) ? a ? (a ? 0, a ? 1) 的图象可能是 a

D A B

C

A

B

C

D

8.如图: 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 , 棱长为 1, 黑白二蚁都从点 A 出发, 沿棱向前爬行, 每走一条棱称为 “走 完一段”.白蚁爬行的路线是 AA1 ? A1 D1 ??, 黑蚁爬行的路线是 AB ? BB1 ??. 它们都遵循如下规则: 所爬行的第 i ? 2 段所在直线与第 i 段所在直线必须是异面直线 (其中 i ? N * ) .设黑白二蚁走完第 2014 段后,

各停止在正方体的某个顶点处,这时黑白蚁的距离是 A. 1 B.

(

) D. 0

2

C. 3

二、填空题.本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 . 请把答案填在答题卡的相应位置. 9.函数 f ? x ? ?

lg ? 4 ? x ? x ?3

的定义域为____________.
y
x

10.若函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a (a ? 0, 且 a ? 1) 的反函数, 且函数 y ? f ( x) 的图像经

3

过点
O
π 3

( a , a ) , 则 f ( x) ? ____________.

π 6

5π 6

x

? f ( x ? 2), x ? 2 ? 11.已知函数 f ( x ) ? ?? 1 ? x ,则 f (?3) 的值为____________. ?? ? , x ? 2 ?? 2 ?
12.如图是函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), ( A ? 0, ? ? 0,| ? |?
x

-3

?
2

) 的图象,则其解析式是____________.

13.由曲线 y ? e 与直线 x ? 0 、直线 y ? e 所围成的图形的面积为____________. 14.设函数 f ( x) ? lg ? ax 2 ? x ? (b 2 ? b ? ) ? (a ? 0) ,若对任意实数 b ,函数 f ( x) 的定义域为 R ,则 a 的取 2 值范围为____________. 三、解答题.本大题共 6 小题,共 80 分 . 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 . 15.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (1)求 f ? ?

? ?

1 ? ?

2 sin( x ?

?
12

) , x?R

? ?? ? 的值; ? 6?
4 5

(2)若 sin ? ? ? , ? ? ?

? ? 3? ? , 2? ? ,求 f (2? ? ) . 3 ? 2 ?

16.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? x ? 6 x ? 5 , x ? R
3

(1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)求函数 f ( x) 在区间 ? ?2, 2? 上的最值.

17.(本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x , x ? R (1)求函数 f ? x ? 的最小正周期,并求 f ? x ? 在区间 ? ? , ? 上的最小值; ? 4 6? (2)在 ?ABC 中,a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, A 为锐角,若 f ? A? ? f ? ? A? ? 的面积为 2 3 ,求 a .

? ? ??

3 ,b ? c ? 7 , ?ABC 2

18.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x (a ? R)
2

(1)若函数 f (x) 在 x ? 1 处的切线垂直 y 轴,求 a 的值; (2)若函数 f (x) 在区间 (1,??) 上为增函数,求 a 的取值范围; (3)讨论函数 g ( x) ? f ( x) ? (a ? 2) x 的单调性.

19.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

x(1 ? ln x) , ( x ? 1) x ?1

(1)设 x0 为函数 f ( x) 的极值点,求证: f ( x0 ) ? x0 ; (2)若当 x ? 1 时, x ln x ? (1 ? k ) x ? k ? 0 恒成立,求正整数 k 的最大值. ...

20.(本小题满分 14 分) 设函数 f n ( x) ? ?1 ?

x x2 xn ? ? ? ? , ( x ? R, n ? N * ) 1! 2! n!
?1 ? ?2 ?

(1)证明对每一个 n ? N * ,存在唯一的 xn ? ? ,1? ,满足 f n ( xn ) ? 0 ; (2)由(1)中的 xn 构成数列 ? xn ? ,判断数列 ? xn ? 的单调性并证明; (3)对任意 p ? N , xn , xn ? p 满足(1),试比较 xn ? xn ? p 与
*

1 的大小. n

2014 届六校十月联考理科数学参考答案
一.选择题 1 D 二.填空题 9. ? x | x ? 4且x ? 3? 10. log 1 x
2

2 C

3 C

4 C

5 B

6 A

7 D

8 B

11.

1 8

12. y ? 3sin(2 x ? 三.解答题

?
3

)

13. ____1____

14. (1, ??)

15.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (1)求 f ? ?

2 sin( x ?

?
12

) , x?R

? ?? ? 的值; ? 6?
4 5

(2)若 sin ? ? ? , ? ? ? 解: (1)? f ( x) ?

? ? 3? ? , 2? ? ,求 f (2? ? ) . 3 ? 2 ?

2 sin( x ?

?
12

)

? f (? ) ? 2 sin(? ? ) 6 6 12

?

?

?

??2 分 ??4 分 ??5 分

? 2 sin(? ) ? ? 2 sin( ) 4 4
? ?1
(2)? sin ? ? ?

?

?

4 ? 3? ? , ? ? ? , 2? ? 5 ? 2 ?

? cos ? ? 1 ? sin 2 ? ?

3 5

??7 分 ??8 分 ??9 分 ??10 分

? sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ?

24 25 7 cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? ? 25

? f (2? ? ) ? 2 sin(2? ? ) 3 4 ? 2(sin 2? cos

?

?

? cos 2? sin ) 4 4 24 7 31 =? ? ?? 25 25 25

?

?

??12 分

16.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x ? 6 x ? 5 , x ? R
3

(1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)求函数 f ( x) 在区间 ? ?2, 2? 上的最值. 解:(1)? f ( x) ? x ? 6 x ? 5
3

? f '( x) ? 3x 2 ? 6
令 f '( x) ? 0, ? x ? ? 2

??2 分 ??3 分

f '( x), f ( x)随着x 的变化情况如下表:

x
f '( x) f ( x)

(??, ? 2)

? 2
0 极

(? 2, 2)
— 0

2

( 2, ??)

?
单调递 增

?
单调递增

极小 单调递减 值 ??5 分

大值

由上表可知 f ( x) 的单调递增区间为 ( ??, ? 2) 和 ( 2, ??) , 单调递减区间为 ( ? 2, 2) . ??6 分

(2)由(1)可知函数 f ( x) 在 ? ?2, ? 2 ? 上单调递增,在 ? ? 2, 2 ? 上单调递减,

?

?

?

?

在 ? 2, 2 ? 上单调递增,

?

?

??7 分 ??8 分 ??9 分 ??10 分 ??11 分

? f ( x) 的极大值 ? f (? 2) ? 5 ? 4 2 f ( x) 的极小值 ? f ( 2) ? 5 ? 4 2
又? f (2) ? 1 ? 5 ? 4 2 ? f (? 2) ,

f (?2) ? 9 ? 5 ? 4 2 ? f ( 2)

?函数 f ( x) 在区间 ? ?2, 2? 上的最大值为 5 ? 4 2 ,最小值为 5 ? 4 2 . ??12 分

17.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x , x ? R (1)求函数 f ? x ? 的最小正周期,并求 f ? x ? 在区间 ? ?

? ? ?? 上的最小值; , ? 4 6? ?

(2)在 ?ABC 中,a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, A 为锐角,若 f ? A? ? f ? ? A? ? 的面积为 2 3 ,求 a . 解:(1) f ? x ? ? sin 2 x ? 3 sin x cos x ?

3 ,b ? c ? 7 , ?ABC 2

1 ? cos 2 x 3 ? sin 2 x 2 2
??3 分

?

1 ?? ? ? sin ? 2 x ? ? 2 6? ?

所以函数 f ? x ? 的最小正周期为 T ? 因为 x ? ??

2? 2? ? ?? |? | 2

??4分

? ? 2? ? ? ? ? ?? . , ? ,所以 2 x ? ? ?? , 6 ? 3 6? ? 4 6? ?
?
6 ??

所以当 2 x ?

?
2

时,函数 f ? x ? 在区间 ??

1 ? ? ?? , ? 上的最小值为 ? . 2 ? 4 6?

??7 分

(2)由 f ? A ? ? f ? ? A ? ? 化简得: cos 2 A ? ? 由题意知: S ?ABC ?

3 ?? ?? 3 ? ? 得: 1 ? sin ? 2 A ? ? ? sin ? 2 A ? ? ? . 2 6? 6? 2 ? ?
??10 分

1 ? ? ,又因为 0 ? A ? ,解得: A ? . 2 2 3

1 bc sin A ? 2 3 , 2
??12 分
2

解得 bc ? 8 ,又 b ? c ? 7 , 由余弦定理: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? ? b ? c ? ? 2bc ?1 ? cos A ? ? 25 ,

?a ? 5 .
18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x (a ? R)
2

??14 分

(1)若函数 f (x) 在 x ? 1 处的切线垂直 y 轴,求 a 的值; (2)若函数 f (x) 在 (1,??) 为增函数,求 a 的取值范围; (3) 讨论函数 g ( x) ? f ( x) ? (a ? 2) x 的单调性. 解:(1)因为 f ( x) ? x ? a ln x ,故 f ?( x) ? 2 x ?
2

a , x

??1 分 ??3 分

函数 f (x) 在 x ? 1 处的切线垂直 y 轴,所以 f ?(1) ? 2 ? a ? 0 ? a ? ?2

(2)函数 f (x) 在 (1,??) 为增函数,所以当 x ? (1, ??) 时, f ?( x) ? 2 x ?

a ? 0 恒成立,分离参数得: x

a ? ?2 x 2 ,从而有: a ? ?2 .
(3) g ( x) ? f ( x) ? (a ? 2) x ? x ? (a ? 2) x ? a ln x
2

??7 分

g ?( x) ? 2 x ? (a ? 2) ?

a 2 x 2 ? (a ? 2) x ? a ( x ? 1)(2 x ? a) ? ? x x x
a ,因为函数 g ( x) 的定义域为 (0, ??) ,所以 2

??10 分

令 g ?( x) ? 0 ? x1 ? 1, x2 ? (1)当

a ? 0 ,即 a ? 0 时,函数 g ( x) 在 (0,1) 上递减,在 (1, ??) 上递增; ??11 分 2

(2)当 0 ?

a a ? 1 ,即 0 ? a ? 2 时,函数 g ( x) 在 (0, ) 上递增, 2 2
??12 分

在 ( ,1) 上递减,在 (1, ??) 上递增 (3)当

a 2

a ? 1 ,即 a ? 2 时,函数 g ( x) 在 (0, ??) 上递增; 2

??13 分

(4)当 增.

a a a ? 1 ,即 a ? 2 时,函数 g ( x) 在 (0,1) 上递增,在 (1, ) 上递减,在 ( , ??) 上递 2 2 2
??14 分

19.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

x(1 ? ln x) , ( x ? 1) x ?1

(1)设 x0 为函数 f ( x) 的极值点,求证: f ( x0 ) ? x0 ; (2)若当 x ? 1 时, x ln x ? (1 ? k ) x ? k ? 0 恒成立,求正整数 k 的最大值. 解:(1)因为 f ( x) ?

x ? 2 ? ln x x(1 ? ln x) , , ( x ? 1) ,故 f ?( x) ? ( x ? 1) 2 x ?1

??2 分

? x0 为函数 f (x) 的极值点, ? f ?( x0 ) ? 0 ,
即 x0 ? 2 ? ln x0 ? 0 ,于是 x0 ? 1 ? 1 ? ln x0 , 故 f ( x0 ) ? ??3 分

x0 (1 ? ln x0 ) x0 ( x0 ? 1) ? ? x0 x0 ? 1 x0 ? 1

??5 分

(2) x ln x ? (1 ? k ) x ? k ? 0 恒成立,分离参数得 k ?

x(1 ? ln x) ? f ( x) x ?1

??7 分

则 x ? 1时, f ( x) ? k 恒成立,只需 f ( x) min ? k ,

f ?( x) ?

x ? 2 ? ln x 1 ,记 g ( x) ? x ? 2 ? ln x ,? g ?( x) ? 1 ? ? 0 , 2 ( x ? 1) x

??9 分

? g ( x) 在 (1,??) 上递增,又 g (3) ? 1 ? ln 3 ? 0, g (4) ? 2 ? ln 4 ? 0 ,

? g ( x) 在 (1,??) 上存在唯一的实根 x0 ,
且满足 x0 ? (3, 4) , ??11 分

?当 1 ? x ? x0 时 g ( x) ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 ;当 x ? x0 时 g ( x) ? 0 ,
即 f ?( x) ? 0 ,

f ( x)min ? f ( x0 ) ? x0 ? (3, 4) ,
??14 分

故正整数 k 的最大值为 3 20. (本小题满分 14 分) 设函数 f n ( x) ? ?1 ?

x x2 xn ? ? ? ? , ( x ? R, n ? N * ) 1! 2! n!
?1 ? ?2 ?

(1)证明对每一个 n ? N * ,存在唯一的 xn ? ? ,1? ,满足 f n ( xn ) ? 0 ; (2)由(1)中的 xn 构成数列 ? xn ? ,判断数列 ? xn ? 的单调性并证明; (3)对任意 p ? N , xn , xn ? p 满足(1),试比较 xn ? xn ? p 与
*

1 的大小. n

解:(1) f n?( x) ? 1 ? x ?

x2 x n ?1 ??? 2! (n ? 1)!
??2 分

显然,当 x ? 0 时, f n?( x) ? 0 ,故 f n ( x) 在 (0, ??) 上递增. 又 f n (1) ? ?1 ? 1 ?

1 1 ??? ? 0 , 2! n!

1 1 1 1 ( )2 ( )n (1 ? ( )n ) 1 1 1 1 1 2 ? ?( 1 ) n ? 0 故存在唯一 f n ( ) ? ?1 ? ? 2 ? ? ? 2 ? ?1 ? ? ( ) 2 ? ? ? ( ) n ? ?1 ? 2 1 2 2 2! n! 2 2 2 2 1? 2
的 xn ? [ ,1] ,满足 f n ( xn ) ? 0 (2)由(1)知 f n ( x) 在 (0, ??) 上递增 因为 f n ( xn ?1 ) ? ?1 ? xn ?1 ?
2 xn ?1 xn ? ? ? n ?1 2! n!

1 2

??4 分

所以 f n ?1 ( xn ?1 ) ? ?1 ? xn ?1 ?

2 xn ?1 xn x n ?1 x n ?1 ? ? ? n ?1 ? n ?1 ? f n ( xn ?1 ) ? n ?1 ? 0 2! n ! (n ? 1)! (n ? 1)!

??6 分

f n ( xn ?1 ) ? ?

n ?1 xn ?1 ? 0 ? f n ( xn ) ,由(1)知 f n ( x) 在 (0, ??) 上递增 (n ? 1)!

故 xn ?1 ? xn ,即数列 { xn } 单调递减. (3) 由(2)数列 { xn } 单调递减,故 xn ? xn ? p ? 0
2 n xn xn 而 f n ( xn ) ? ?1 ? xn ? ?? ? ?0 2! n!

??9 分

f n ? p ( xn ? p ) ? ?1 ? xn ? p ?

2 xn ? p

2!

?? ?

n xn ? p

n!

?

n? xn ? 1 p

(n ? 1)!

???

n? p xn ? p

(n ? p)!

?0

??11 分

两式相减:并结合 xn ? p ? xn ? 0 ,以及 xn ? [ ,1]

1 2

xn ? xn ? p ? ?
k ?2

n

k k xn ? p ? xn

k! x
k n? p

?

k ? n ?1 n? p

?

n? p

k xn ? p

k!

? ?

k ? n ?1 n? p

?

n? p

1 n? p 1 ? ? ? ? k ! k ? n ?1 k ! k ? n ?1 k (k ? 1) 1? 1 1 1

k ? n ?1

? ? k ?1 ? k ? ? n ? n ? p ? n ? ?
1 n
??14 分

? 1

所以有 | xn ? xn ? p |?


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