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2014届高三数学(文)一轮总复习幂函数与二次函数




节 幂函数与二次函数

基础自主梳理 考向互动探究

最新考纲 1.了解幂函数的概念.
2

1 2.结合函数 y=x,y=x ,y=x ,y= x
3

,y= x 的图象,了解

1 2

它们的变化情况.

r />
3.掌握二次函数的概念、图象特征. 4.掌握二次函数的对称性和单调性,会求二次函数在 给定区间上的最值. 5.掌握二次函数、二次方程、二次不等式之间的密切 关系,提高解综合问题的能力.

1.下列函数中是幂函数的是( B )

1 ;②y=axm(a,m 为非零常数,且 a≠1); ①y= 2 x1
③y= x +x ;④y=x ;
3
2 n

③y= x +x ;④y=x ; ⑤y=(x-1) ;⑥y=2x ;⑦y=x +1. (A)①②③④ (C)②④⑤⑥ (B)①④ (D)②④⑦
3 2 2

1 3

2

n

解析:由幂函数的定义知,①、④是幂函数, 故选 B.

2.已知函数 f(x)=ax +x+5 在 x 轴上方,则 a 的取值范围是( C )

2

? 1 ? 1 ? ? (A) ? 0, (B) ? ? ?,? ? ? 20 ? ? 20 ? ? ? 1 ? (D) ? 1 ? (C) ? ,?? ? ? ? ,0 ? ? 20 ? ? 20 ?

解析:由于 f(x)=ax +x+5 在 x 轴上方, 则 f(x)>0 恒成立,

2

?a ? 0, 故有 ? ? Δ ? 1 ? 20a ? 0,
?a> 1 ,故选 C. 20

3.函数 f(x)=|x| (n∈N ,n>9)的图象可能 是( C )

9 n

*

解析:因为 f(-x)=|-x| =|x| =f(x),所以 函数 f(x)为偶函数,图象关于 y 轴对称,故排 除 A、B.令 n=18,则 f(x)=|x| ,当 x≥0 时,f(x)=x ,由其在第一象限的图象知选 C.
1 2 1 2

9 n

9 n

? 3 ? 在幂函数 f(x)的图象上, 4.已知点 ? ,3 3 ? ? 3 ? ? ?
则 f(x)的定义域为________,奇偶性为_____, 单调减区间为______. 解析:设函数 f(x)=x ,
α

? 3? 则由题意得 3 3 ? ? ? , ? 3 ? ? ?
解得α=-3,?f(x)=x . ?函数 f(x)的定义域为(-≦,0) (0,+≦). 又 f(-x)=(-x) =-x =-f(x),
-3 -3 -3

?

?

?函数为奇函数. 其单调递减区间为(-≦,0)和(0,+≦). 答案:(-≦,0)

?

(0,+≦) 奇函数

(-≦,0)和(0,+≦)

1.二次函数 (1)定义 2 函数 y=ax +bx+c(a≠0)叫做二次函数. (2)表示形式 ①一般式:y=ax +bx+c(a≠0); 2 ②顶点式:y=a(x-h) +k(a≠0),其中(h,k)为抛物 线顶点坐标; ③零点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中 x1、x2 是 抛物线与 x 轴交点的横坐标.
2

(3)图象与性质 见附表

2.幂函数 (1)幂函数的概念 α ①解析式:y=x . ②自变量是 x. ③幂指数是α . ④幂的系数是 1.

质疑探究:幂函数与指数函数有何不 同?y=(x+1) ,y=x -1,y=
3 3

x 是幂函数吗?

提示:幂函数与指数函数的本质区别就在于 自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数 位置,而指数函数的自变量在指数位置.在 所给的三个函数中只有 y= x 是幂函数.

(2)常用幂函数的图象与性质 见附表

二次函数的图象与性质 【例 1】 函数 f(x)=x -2x+2 在闭区间 [t,t+1](t ? R)上的最小值记为 g(t). (1)试写出 g(t)的函数表达式; (2)作 g(t)的图象并写出 g(t)的最小值.
2

思维导引:(1)根据对称轴与区间的相对位 置关系结合单调性求 g(t).(2)由(1)作出 g(t)图象求解. 解:(1)≧f(x)=x -2x+2=(x-1) +1, 当 t+1<1,即 t<0 时, 函数在[t,t+1]上为减函数, g(t)=f(t+1)=t +1;
2 2 2

当 0≤t<1 时,g(t)=f(1)=1; 当 t≥1 时,函数在[t,t+1]上为增函数, g(t)=f(t)=t -2t+2.
2

?t ? 1, t ? 0, ? ?g(t)= ?1,0 ? t ? 1, ?t 2 ? 2t ? 2, t ? 1. ?
2

(2)g(t)的图象如图所示: ?g(t)min=1.

(1)二次函数在闭区间上的最值主 要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴 定区间动,不论哪种类型,解决的关键是考查 对称轴与区间的位置关系,当含有参数时,要 依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨 论;(2)二次函数的单调性问题则主要依据二 次函数图象的对称轴进行分类讨论求解.

变式训练 1-1:(2013 合肥四校质检)已知函 数 f(x)=x -2x+2,g(x)=ax +bx+c,若 y=f(x) 的图象与 y=g(x)的图象关于点(2,0)对称, 则 a+b+c 等于( (A)5 (B)-5 ) (C)1 (D)-1
2 2

解析:易知 a+b+c=g(1),(1,g(1))在函数 g(x)的图象上,其关于点(2,0)的对称点 (3,-g(1))在函数 f(x)的图象上,将其代入 函数 f(x)的解析式中,得 g(1)=-5,故选 B.

幂函数的图象与性质
【例 2】 已知幂函数 f(x)= x
m2 ?2 m?3

(m? N )的
*

图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,求 满足 (a ? 1)
m ? 3

? (3 ? 2a)

m ? 3

的 a 的取值范围.

审题指导: 条件与待求 1.f(x)在(0,+∞)上 递减; 2.f(x)图象关于 y 轴 对称; 3. (a ? 1)
m ? 3
2

转化策略 1.m -2m-3<0,(m ? N );
*

2.m2-2m-3 是偶数; 3.由 1、2 求出 m 的值,根
m ? 3

据幂函数的单调性列出关 于 a 的不等式求解

? (3 ? 2a)

解:∵函数在(0,+∞)上递减, ∴m -2m-3<0,解得-1<m<3. ∵m ? N ,∴m=1,2.
* 2

又函数的图象关于 y 轴对称, ∴m -2m-3 是偶数, 而当 m=2 时,m -2m-3=-3 为奇数, 当 m=1 时,m -2m-3=-4 为偶数,∴m=1.
2 2 2

而 f(x)= x ∴(a+1)
1 ? 3

1 ? 3

在(-∞,0),(0,+∞)上均为减函数,
1 ? 3

<(3-2a)

等价于 a+1>3-2a>0,

或 0>a+1>3-2a 或 a+1<0<3-2a.

2 解得 a<-1 或 3

3 <a< 2

.

故 a 的取值范围为

2 ? ?a | a ? ?1或 ? a ? 3 ?

3? ?. 2?

(1)本题集幂函数的概念、图象及 单调性、奇偶性于一体,综合性较强,解此题 的关键是弄清幂函数的概念及性质.(2)解 答此类问题可分为两大步:第一步,利用单 调性和奇偶性(图象对称性)求出 m 的值或范 围;第二步,利用分类讨论的思想,结合函数 的图象求出参数 a 的取值范围.

变式训练 2 1:已知幂函数 f(x)= x (m ? N ).
*

( m2 ?m)?1

(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在 其定义域上的单调性; (2)若该函数还经过点(2, 取值范围.

2 ),试确定 m 的

值,并求满足条件 f(2-a)>f(a-1)的实数 a 的

解:(1)m +m=m(m+1),m? N ,
2 *

而 m 与 m+1 中必有一个为偶数, ∴m(m+1)为偶数. ∴函数 f(x)= x
( m2 ?m)?1

(m? N )的定义域
*

为[0,+∞),并且在定义域上为增函数. (2)∵函数 f(x)经过点(2, 2 ),


2

2 =2
*

( m2 ?m)?1

,即 2

1 2

?2

( m2 ? m )?1

.

∴m +m=2.解得 m=1 或 m=-2. 又∵m ? N ,∴m=1.

?2 ? a ? 0, 由 f(2-a)>f(a-1)得 ?a ? 1 ? 0, ? ?2 ? a ? a ? 1, ?

3 解得 1≤a< 2

.

? 3? ∴a 的取值范围为 1, ? . ? 2? ?

二次函数的综合应用 【例 3】 若二次函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0)满 足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)若在区间[-1,1]上,不等式 f(x)>2x+m 恒 成立,求实数 m 的取值范围.
2

思维导引:由 f(0)=1 可得 c,利用 f(x+1)-f(x)=2x 恒成立,可求出 a,b,进而确定 f(x)的解析式.对于(2),可利用函数思想求得: 解:(1)由 f(0)=1 得,c=1. ∴f(x)=ax +bx+1. 又 f(x+1)-f(x)=2x, ∴a(x+1) +b(x+1)+1-(ax +bx+1)=2x,
2 2 2

即 2ax+a+b=2x,

?2a ? 2, ∴ ? ?a ? b ? 0,

?a ? 1, 因此,f(x)=x2-x+1. ∴? ?b ? ?1,
(2)f(x)>2x+m 等价于 x -x+1>2x+m,
2

即 x -3x+1-m>0, 要使此不等式在[-1,1]上恒成立, 只需使函数 g(x)=x -3x+1-m 在[-1,1]上的最小 值大于 0 即可. ∵g(x)=x -3x+1-m 在[-1,1]上单调递减, ∴g(x)min=g(1)=-m-1, 由-m-1>0 得,m<-1. 因此满足条件的实数 m 的取值范围是(-∞,-1).
2 2

2

二次函数与二次方程、二次不等式 统称“三个二次”,它们常有机结合在一起, 而二次函数又是“三个二次”的核心,通过二 次函数的图象贯穿为一体.因此,有关二次函 数的问题,数形结合,密切联系图象是探求解 题思路的有效方法.用函数思想研究方程、不 等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点.

变式训练 3 1: 设二次函数 f(x)=ax +bx(a≠ 0)满足条件:①f(x)=f(-2-x);②函数 f(x)的 图象与直线 y=x 相切. (1)求 f(x)的解析式; (2)若不等式π
f(x)

2

>? 1 ?
? ? ?π?

2?tx

在|t|≤2 时恒成立,

求实数 x 的取值范围.

解:(1)∵由①知 f(x)=ax +bx(a≠0)的对称 轴方程是 x=-1, ∴b=2a. ∵函数 f(x)的图象与直线 y=x 相切,

2

? y ? ax ? bx, ∴方程组 ? 有且只有一解, ?y ? x
2

即 ax +(b-1)x=0 有两个相同的实根, ∴Δ =(b-1) =0,∴b=1,
2

2

1 ∴2a=1,∴a= , 2

1 x2+x. ∴函数 f(x)的解析式为 f(x)= 2 2?tx f(x) ? 1 ? (2)∵π >1,∴π > ? ? 等价于 ?π?
f(x)>tx-2.

∵ 1 x2+x>tx-2 在|t|≤2 时恒成立等价于一次函数 2 g(t)=xt- ? 1 x 2 ? x ? 2 ? <0 在|t|≤2 时恒成立, ? ?

?2

?

? x 2 ? 2 x ? 4 ? 0, ? g (2) ? 0, ∴? 即? ? 2 ? g (?2) ? 0, ? x ? 6 x ? 4 ? 0, ?

解得 x<-3-

5 或 x>-3+ 5 , 5 )?

∴实数 x 的取值范围是(-∞,-3(-3+

5 ,+∞).

求二次函数在某个闭区间上的最值 【典例】 (12 分)(2012 临沂模拟)已知函数 f(x)=ax -|x|+2a-1(a 为实常数). (1)若 a=1,作出函数 f(x)的图象; (2)设 f(x)在区间[1,2]上的最小值为 g(a),求 g(a)的表达式.
2

满分展示:(1)当 a=1 时,

? x 2 ? x ? 1, x ? 0, ………2 分 f(x)=x -|x|+1= ? ? 2 ? x ? x ? 1, x ? 0. ?
2

作图(如图所示)

(2)当 x ? [1,2]时, f(x)=ax -x+2a-1. 若 a=0,则 f(x)=-x-1 在区间[1,2]上是减函数, g(a)=f(2)=-3.……………………………5 分
2

1 ? +2a- 1 -1, ? 若 a≠0,则 f(x)=a ? x ? ? 4a 2a ? ?

2

f(x)图象的对称轴是直线 x= 1 . 2a 当 a<0 时,f(x)在区间[1,2]上是减函数, g(a)=f(2)=6a-3.……………………………7 分 当 0< 1 <1,即 a> 1 时 f(x)在区间[1,2]上是增 2a 2 函数, g(a)=f(1)=3a-2.

1 1 当 1≤ ≤2,即 2a 4

1 ≤a≤ 2

时,

? 1 ? g(a)=f ? =2a- 1 -1………………9 分 ? 4a ? 2a ?

1 当 >2, 2a

1 即 0<a< 4

时,

f(x)在区间[1,2]上是减函数, g(a)=f(2)=6a-3.…………………………11 分
1 ? ?6a ? 3, a ? 4 , 综上可得 g(a)= ? …12 分 1 1 1 ? ? 1, ? a ? , ?2 a ? 4a 4 2 ? 1 ? ?3a ? 2, a ? 2 . ?

序化流程 第一步:讨论二次项系数 a 的取 值,确定函数类型; 第二步:对二次函数配方,找出 对称轴; 第三步:考查对称轴与区间的 相对位置关系; 第四步:考查当前位置关系下 的函数在区间上的单调性; 第五步:根据区间上的单调性 求出函数的最值; 第六步:总结、整合结果

失分警示 本题有以下几点易造成失分: (1)丢掉第一步,忽视了 a=0 的 情况; (2)未能将讨论的结果进行整 合而失分; (3)忽视对抛物线开口方向的 讨论而失分; (4)在研究二次函数的单调性 时,将对称轴与区间端点位置 关系弄反而失误

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