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2.4.2抛物线的简单几何性质(第2课时)


授课人:朱 欢
授课班级:高二(30)班
2013年11月26日

一、复习回顾:

直线与圆、椭圆、双曲线的位置关系的判断方法:
1、根据几何图形直接判断



2、直线与圆 锥曲线的公 共点的个数

Ax+By+c=0

解的个数 f(x,y)=0(二次方程)



判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程

得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交(一个交点)

得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0

相交

相切

相离

二、讲授新课:
问题:你能说出直线与抛物线位置关系吗?

y

x F

问题:已知直线 l:y=kx-1 和抛物线C:
y2=4x,试判断当 k 为何值时,l与C有:
①一个公共点;
k ? 0 或 k ? ?1
图像

②两个不同公共点; k ? ?1 且 k ? 0

③没有公共点.

k ? ?1

总结:
判断直线与抛物线位置关系的操作程序: 把直线方程代入抛物线方程

得到一元一次方程 直线与抛物线的 对称轴平行

得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 相切 <0 相离

相交(一个交点)

相交

变式练习: 1.过点 M (0,1) 且和抛物线 C: y 2 ? 4 x 仅有一个公共点的 y ? 1或 x ? 0或 y ? 直线的方程是__________________________. x ? 1
?y ? k x ?1 联立 ? 2 ? y ? 4x

k

消去 x 得 ky 2 ? 4 y ? 4 ? 0

点评:本题用了分类讨论的方法.若先用数 形结合,找出符合条件的直线的条数,就不会 造成漏解。

三、例题选讲:
例1(弦长问题)已知直线l:y=- x+1和抛 物线C:y2=4x交点为A、B,求AB 的长.

︱AB︱=8

A

B

说明:(1)直线被曲线截得的弦 |AB|= 1+k2 |x1-x2|
(2)过抛物线的焦点的弦 |AB|= x1+x2+p

变式练习: 1.斜率为 1 的直线 l 被抛物线 C: y 2 ? 4 x 截得的弦长 y=x-1 |AB|=8,则直线的 l 的方程是______________.

2.直线 l 和抛物线 C: y 2 ? 4 x 交于 A,B 两点,且线段 AB y=2x-3 的中点为 M(2,1),则直线的 l 的方程是__________.
B

方法小结: 直线与抛物线联立, 利用根与系数的关系求解。
跳转

A

思考? 能否在抛物线C:y2=4x上求一点,使得点 P 到直线 y=x+3 的距离最短.
解:直线与抛物线无交点,设抛物线上一点P( x0 . y0 ),
则y0 ? 4 x0
2

d?

x0 ? y0 ? 3 1?1
y0 2 ? y0 ? 3 4 2

?

x0 ? y0 ? 3 2

y

y0 2 d 将x0 ? 代入得: ? 4
?

y0 2 ? 4 y0 ? 4 ? 8 4 2

, ( y0 ? R)

O

.

F

x

?当y0 ? 2时, d min ? 2

此时P(1, 2)

另解:设直线x ? y ? m ? 0与抛物线相切 ? y2 ? 4x ? y 2 ? 4 y ? 4m ? 0 由? ? 0得 : m ? 1 此时P(1, 2) ? ?x ? y ? m ? 0

【课堂小结】 判断直线与抛物线位置关系的操作程序: 把直线方程代入抛物线方程

得到一元一次方程 直线与抛物线的 对称轴平行

得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 相切 <0 相离

相交(一个交点)

相交

【作业】 全品《抛物线简单的几何性质(2)》

思考:
已知抛物线 y2=4x ,动弦 AB 的长为8,求 AB 中 点横坐标的最小值.
y

方法一:计算出︱AB︱
o

M F

A

x
B

方法二: 利用焦半径公式和三角形的知识


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