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4(2)对数与对数函数


对数与对数函数
问题一:对数及对数运算 一.对数的概念与性质 1. 概念: 一般地, 如果 a =N (a>0, 且 a ? 1) , 那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数, 记作 logaN, 即 b= logaN(a>0,且 a ? 1,N>0) ,其中,a 叫做对数的底数,N 叫做真数。 2.对数恒等式:a
log N a =N(a>0,且 a ? 1,N>0) b

3.常见对数:以 10 为底的对数和以 e 为底的对数 4.对数的性质: (1)0 和负数没有对数,即 N>0; (2)1 的对数为 0,即 loga1=0; (3)底数的对数等于 1,即 logaa=1. 注意:对数 logay(设 logay=x)中 a>0 且 a ? 1 的原因: (1) 若 a<0,则 y 为某些值时,x 不存在,如(-2) =8,没有实数解,所以 log(-2)8 不 存在; (2) 若 a=0 时,则当 y ? 0 时,logay 不存在,当 y=0 时,loga0 有无数个值,不能确定; (3) 若 a=1 且 y 不为 1 时,则 x 不存在,a=1,y=1 时,x 可以为任意实数。 二.对数的运算法则 (1)
x

loga (MN ) ? loga M ? loga N ;
log a M ? log a M ? log a N N ;

(2)

(3) loga M n ? n loga M (n ? R) ; 三.换底公式及推论

loga N ?
换底公式: 推论: log a m b ?
n

logm N (a ? 0, a ? 0, m ? 0, m ? 1, N ? 0), logm a

1 n log a b ;logamb= logab;logab=1/logba. m m

题型一:对数的概念与性质 Eg1:求下列各式中 x 的取值范围 (1)log(x-1) (x+2) (3)log2(x-10) (2)log(x+2) (x+2) (4)log(x+1) (x-1)
2

1

Eg2:指数与对数的互化 (1)将下列指数式写成对数式 (2)将下列对数式写成指数式 题型二:对数的运算 Eg1:化简下列各式 (1)4lg2+3lg5-lg 5 =625
4

8

4/3

=16

5 =15

a

log1/216=-4 log3243=5 log1/3

1 =3 27

lg0.1=-1

1 lg 27 ? lg 8 ? lg 1000 ; (2) ; 5 lg1.2

(3)2log32-log3

32 log 3 +log38-5 5 9

Eg2:计算下列各式的值

1 5 -lg +lg12.5-log89 ? log98; 2 8 1 32 4 (2) lg - lg 8 +lg 245 ; 2 49 3 2 2 2 (3) lg5 + lg8+lg5 ? lg20+(lg2) 3
(1) lg
b

小结:lg2+lg5 在对数运算中经常用到。

Eg3:已知 log189=a,18 =5,试用含 a,b 的代数式表示 log3645. 问题二:对数函数 一.对数函数的定义:由指数函数 y=a ,得 x=logay,把函数 x=logay(a>0 且 a ? 1,y>0) 叫做对数函数,它的定义域是正实数集,值域是实数集 R,习惯上,常用 x 表示自变量,y 表示因变量,所以对数函数常写成 y=logax. 二.对数函数的图象与性质 a>1
y
y
x

0<a<1

图 象

o

1

x

o

1

x

定义域: (0,+ ? ) 值域:R 恒过点(1,0) 性 质

x ? (0,1) 时 ,y ? (0,+ ? )
王新敞
奎屯 新疆

x ? (0,1) 时 ,y ? (- ? ,0) x ? (1,??) ,y ? (0,+ ? )
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

x ? (1,??) 时 ,y ? (- ? ,0)
王新敞
奎屯 新疆

单调性

在(0,+ ? )上是增函数

在(0,+ ? )是减函数
2

图象分布:交点之右底大图低。 题型一:对数函数的图象及其应用

Eg1:函数

y ? log 2

1 x 的图像大致是(



y

y

y

y

o
A

x

o
B

x

o
C

x

o
D

x

Eg2:下图所示是对数函数 y=logax 的图象,已知 a 值取 3 , C2,C3,C4 的 a 的值依次是
2

4 3 1 , , ,则相应于 C1, 3 5 10

。 )

Eg3:方程 log2(x+2)=x 的实数解有( A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 题型二:对数函数的性质及其应用 Eg1:解不等式 log2(2x+3)>log2(5x-6) Eg2:比较下面各组中两个值的大小 (1) log2.10.4 与 log2.10.3; (3)log67 与 log76;

(2)log20.8 与 log30.8 (4)log3π 与 log20.8
1 1

? 1 Eg3:已知函数 f(x)=1-2x,若 a=f(log30.8) ,b=f[( ) 3 ],c=f(2 2 ) ,则( ) 2

A.a<b<c B.b<c<a Eg4:求下列函数的定义域 (1)log1/2(9-x ) ;
2

C.c<a<b

D.a<c<b

(2)log(x+1) (16-4 ) ;

x

(3)y=log(3x-1)

2x ? 3 x ?1

Eg5:求下列函数的单调区间 (1)f(x)=log0.4(8-2x-x ) ;
2

(2)y=loga(a-a )

x

3


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