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山东省青岛市2013届高三第二次模拟考试--数学理


山东省青岛市 2013 届高三第二次模拟考试

数学(理)试题
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知全集 U ? {x | x ? 0} , M ? {x | x2 ? 2 x} ,则?U M ? A. {x | x ? 2}

B. {x | x ? 2} C. {x | x ? 0 或 x ? 2} D. {x | 0 ? x ? 2}
开始

2.复数 z 满足 z (1 ? i) ? 2i ,则复数 z 的实部与虚部之和为 A. ?2 B. 2 C. 1 D. 0

S ? 0, n ? 1

3.“ a ? 3 ”是“ ?x ?[1, 2], x2 ? a ? 0 ”为真命题的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件


S ? S ?n

n ? 2n

4.执行如图所示的程序框图.若输出 S ? 31 , 则框图中①处可以填入 A. n ? 8 B. n ? 16 C. n ? 32 D. n ? 64 5.下列函数中,与函数 y ? A. y ?


是 输出 S

3

1 定义域相同的函数为 x
C. y ?

1 sin x

B. y ?

ln x x

cos x x

D. y ? x3e x

结束

6.若 (1 ? x)n ? 1 ? a1x ? a2 x2 ? a3 x3 ? ?? an xn (n ?N*) ,且 a1 : a3 ? 1: 7 ,则 n ? A. 8 B. 9 C. 7 D. 10

7 .已 知函数 f ( x) ? 2 2 sin x cos x , 为了 得到函 数 g ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x 的图 象,只 需要 将

y ? f ( x) 的图象

? 个单位长度 4 ? C.向右平移 个单位长度 8
A.向右平移 8.已知 F 、 F2 分别是双曲线 C : 1

? 个单位长度 4 ? D.向左平移 个单位长度 8
B.向左平移

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点, P 为双曲线右支上的 a 2 b2 ???? ???? ? ???? ???? ? ? 一点, PF2 ? F F2 ,且 PF1 ? 2 PF2 ,则双曲线的离心率为 1
A.

3

B. 1 ? 2

C. 2 2

D. 1 ? 5

-1-

9.定义: min{a, b} ? ?

?a, a ? b ?0 ? x ? 2 ,在区域 ? 内任取一点 P( x, y) ,则 x 、 y 满足 ?b, a ? b ?0 ? y ? 6

min{x2 ? x ? 2 y, x ? y ? 4} ? x2 ? x ? 2 y 的概率为
A.

5 9

B.

2 9

C.

1 3

D.

4 9

10. 已知数列 {an } 是以 3 为公差的等差数列,Sn 是其前 n 项和, S10 是数列 ?Sn ? 中的唯一最小项, 若 则数列 {an } 的首项 a1 的取值范围是 A. [?30, ?27] B. (30,33) C. (?30, ?27) D. [30,33]

11.某几何体的三视图如图所示,当这个几何体的体积最大时,以下结果正确的是 A. a ? b ? 8 B. b ? 4 C. a ? 1 D. a ? 2 12.设函数 y ? f ( x) 在 (??, ??) 内有定义,对于给定的实数 k ,定义 函数 g ( x) ? ?

? f ( x), f ( x) ? k 2 ?x , 设函数 f ( x ) = x ? x ? e ? 3 ,若对任 ? k , f ( x) ? k

意的 x ? (?? ,?? ) 恒有 g (x) ? f (x) ,则 A. k 的最大值为 ?2 B. k 的最小值为 ?2 C. k 的最大值为 2 D. k 的最小值为 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.已知两条直线 y ? ax ? 2 和 3x ? (a ? 2) y ? 1 ? 0 互相平行,则 a 等于 .

14. 某工厂的某种型号的机器的使用年限 x 和所支出的维修费用 y (万元)有下表的统计资料: 根据该

? ? 表可得回归方程 y ? 1.23x ? a ,据此模型估计,该型号
机 器 使 用 年 限 为 9 年 的 维 修 费 用 大 约 为 万元.

x
y

2 2.2

3 3.8

4 5.5

5 6.5

6 7.0

15.已知 l , m 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,有下列五个命题: ①若 l ? ? ,且 ? // ? ,则 l // ? ;②若 l ? ? ,且 ? // ? ,则 l ? ? ; ③若 l ? ? ,且 ? ? ? ,则 l // ? ;④若 ? ? ? ? m ,且 l // m ,则 l // ? ; ⑤若 ? ? ? ? m , l // ? , l // ? ,则 l // m .则所有正确命题的序号是
2 2 16.一同学为研究函数 f ( x) ? 1 ? x ? 1 ? (1 ? x ) (0 ? x ? 1) 的性

.
D

C
P

F

-2A

B

E

质,构造了如图所示的两个边长为 1 的正方形 ABCD 和 BEFC, 点 P 是边 BC 上的一动点,设

CP ? x, 则 AP ? PF ? f ( x) .请你参考这些信息,推知函数 g ( x) ? 3 f ( x) ? 7 的零点的个数
是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? (Ⅰ)求函数 f ( x ) 在 ?0, ? ?上的单调递增区间; (Ⅱ)设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对应边分别为 a, b, c ,且 f ( A) ? 0 ,若向量 m ? (1,sin B) 与向量

?

6

) ? 2 cos 2 x .

??

? a n ? (2,sin C) 共线,求 的值. b
18. (本小题满分 12 分)如图,在长方形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 1 , E 为 CD 的中点, F 为 AE 的中点.现在沿 AE 将三角 E D C D E 形 ADE 向上折起, 在折起的图形中解 C 答下列两问: F F (Ⅰ) 在线段 AB 上是否存在一点 K , A A B B 使 BC ∥面 DFK ?若存在, 请证明你 的结论;若不存在,请说明理由; (Ⅱ)若面 ADE ? 面 ABCE ,求二面角 E ? AD ? B 的余弦值. 19. (本小题满分 12 分)甲,乙,丙三位学生独立地解同一道题,甲做对的概率为

2 (Ⅱ) 记事件 E ? {函数 f ( x) ? ?2x ? 3? x ? 1 在区间 [?1,1] 上

的概率分别为 m 和 n ( m > n ),且三位学生是否做对相互独立.记 ? 为这三位学生中做对该题的人 数,其分布列为: (Ⅰ) 求 m , n 的值; ? 3 0 1 2

1 ,乙、丙做对 2

不单调},求 P ( E ) ; (Ⅲ)令 ? ? 12 E(? ) ?10 ,试计算 20. (本小题满分 12 分)

?

?
??

(1 ? 2 | x |)dx 的值.

P

1 4

a

b

1 24

已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an ? ?1 ( n ? 2 且 n ? N ) .
*

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式 an ; (Ⅱ)令 d n ? 1 ? log a
2 2 an ?1 ? an ? 2 (a ? 0, a ? 1) ,记数列 {dn } 的前 n 项和为 Sn , 5



S 2n 恒为一个与 n 无关的常数 ? ,试求常数 a 和 ? . Sn

x2 y 2 21. (本小题满分 13 分)已知点 F (1, 0) 为椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的右焦点,过点 A(a, 0) 、 a b
B(0, b) 的直线与圆 x 2 ? y 2 ?
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
-3-

12 相切. 7

1 1 为定值. ? MF NF ? ? ? ? ? ? 22. (本小题满分 13 分)已知 p ? ( x, m), q ? ( x ? a,1) ,二次函数 f ( x) ? p ? q ? 1 ,关于 x 的不等 f ( x) 式 f ( x) ? (2m ?1) x ? 1 ? m2 的解集为 (??, m) ? (m ? 1, ??) , 其中 m 为非零常数, g ( x ) ? 设 . x ?1 (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若存在一条与 y 轴垂直的直线和函数 ?( x) ? g ( x) ? x ? ln x 的图象相切,且切点的横坐标 x0 满 足 | x0 ?1| ? x0 ? 3 ,求实数 m 的取值范围; (Ⅲ)当实数 k 取何值时,函数 ? ( x) ? g ( x) ? k ln( x ? 1) 存在极值?并求出相应的极值点.
(Ⅱ) 过点 F 的直线交椭圆 C 于 M 、 N 两点,求证:

参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分. A D B BC A D B DC DA 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. ?3 或 1 14. 11.15 15. ①②⑤ 16. 2 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)
-4-

解: (Ⅰ) f ( x) ? sin(2 x ?

?

? sin 2 x cos

?
6

? cos 2 x sin

?

6 6

) ? 2 cos 2 x ? (cos 2 x ? 1)

?

? 3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 1 ……………………………………………3 分 6 2 2

由 2 k? ?

(k ? Z) 6 3 ? 5? , ? ] ………………………………6 分 所以, f ( x ) 在 ?0, ? ?上的单调递增区间为 [0, ] , [ 3 6 2 6 2 ) ? 1 ? 0 ,则 sin(2 A ? ) ? 1 6 6 ? ? 11? ? ? ? ? 0 ? A ? ? ,?? ? 2 A ? ? ,? 2 A ? ? , A ? ………………………8 分 6 6 6 6 2 3 ?? ? ? 向量 m ? (1,sin B) 与向量 n ? (2,sin C) 共线,? sin C ? 2sin B ,
由正弦定理得, c ? 2b
2 2

?

? 2x ?

?

? 2k? ?

?

(k ? Z) 得: k? ?

?

? x ? k? ?

?

(Ⅱ) f ( A) ? sin(2 A ?

?

?

…………………………………………………………………10 分
2

由余弦定理得, a ? b ? c ? 2bc cos

?
3

,即 a ? b ? 4b ? 2b
2 2 2

2

a ? ? 3 b

………………………………………………………………………………12 分

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)线段 AB 上存在一点 K ,且当 AK ? ………………………………1 分 证明如下: 设 H 为 AB 的中点,连结 EH ,则 BC ∥ EH

1 AB 时, BC ∥面 4

DFK

z
D
E

C

1 F AB , F 为 AE 的中点 4 A 所以 KF ∥ EH ,所以 KF ∥ BC ,………………4 分 x K H y ? KF ? 面 DFK , BC ? 面 DFK ,? BC ∥面 DFK …………………………………5 分 (Ⅱ)? H 为 AB 的中点,? AH ? HE ? BC ? 1, ? F 为 AE 的中点,? FH ? AE . ? DA ? DE ? 1 , ? DF ? AE ,? 面 ADE ? 面 ABCE ,? DF ? 面 ABCE
又因为 AK ?

B

由此可以 FA, FH , FD 分别为 x, y, z 轴,建立坐标系如图………………………………7 分 因为 DF ? 面 ABCE ,所以 DF ? FH ,又? FH ? AE , DF ? AE ? F ,

???? ? FH ? 面 ADE ,则 FH 为面 ADE 的一个法向量.
因为 AB ? 2 , BC ? 1 ,所以 FH ?

2 ???? 2 , 0) ……………………………9 分 , FH ? (0, 2 2

-5-

又可得: D(0, 0,

???? ???? 2 2 2 2 2 2 , 0, ) , AH ? (? , , 0) ) , A( , 0, 0) ,所以 AD ? (? 2 2 2 2 2 2

设面 ADB 的法向量为 n ? ( x, y, z)

?

? ???? ? n ? AD ? 0 ? ? 由 ? ? ???? ?n ? AH ? 0 ?

? ?? ? ? ?? ? ?

2 2 x? z?0 ? ?? x ? z ? 0 2 2 ,即 ? ,令 x ? 1 ,则 n ? (1,1,1) …11 分 2 2 ?? x ? y ? 0 x? y?0 2 2
2 2 3? 2 2

???? ? 所以 cos ? FH , n ??

?

3 3 ,故二面角 E ? AD ? B 的余弦值为 ………12 分 3 3

19. (本小题满分 12 分) 解:设事件 A ={甲做对},事件 B ={乙做对},事件 C ={丙做对},由题意知,

P( A) ?

1 , P( B) ? m, P(C ) ? n . 2 1 1 (1 ? m)(1 ? n) ? , 2 4

(Ⅰ) 由题意知 P(? ? 0) ? P( ABC ) ?

1 1 mn ? , 2 24 7 1 整理得: mn ? ,m ? n ? . 12 12 1 1 由 m ? n ,解得 m ? , n ? . ……………………………………………………4 分 3 4 P(? ? 3) ? P( ABC ) ?
(Ⅱ)由题意知 a ? P ? ? 1) ? P ABC) ? P ABC) ? P ABC) ( ( ( (

1 1 1 11 (1 ? m)(1 ? n) ? m(1 ? n) ? (1 ? m)n ? , …………………………5 分 2 2 2 24 ? 函数 f ( x) ? ?2x2 ? 3? x ? 1 在区间 [?1,1] 上不单调, 3 4 4 ? 对称轴 x ? ? ? (?1,1) ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ,或 ? ? 1 …………………………7 分 4 3 3 1 11 17 ? ? P( E) ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? ? ……………………………………………8 分 4 24 24 1 (Ⅲ) b ? P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) = , 4 13 ∴ E (? ) ? 0 ? P(? ? 0) ? 1? P(? ? 1) ? 2 ? P(? ? 2) ? 3 ? P(? ? 3) ? ……………10 分 12 ?? ? 12E(? ) ?10 ? 3 ?


? ??

?
?? 0

(1 ? 2 | x |)dx ? ? (1 ? 2 | x |)dx
?3

3

?3

(1 ? 2 x)dx ? ? (1 ? 2 x)dx ? ( x ? x2 ) |03 ?( x ? x2 ) |3 ? ?12 ? 0
0

3

………………………………………………12 分
-6-

20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) 由题 a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an ? ?1 ……①

? a1 ? a2 ? ? ? an ? an?1 ? ?1 ……②
由① ? ②得: an?1 ? 2an ? 0 ,即

an?1 ? 2(n ? 2) …………………………………………3 分 an a2 ?2 a1

当 n ? 2 时, a1 ? a2 ? ?1 ,? a1 ? 1 ,? a2 ? 2 ,

所以,数列 {an } 是首项为 1 ,公比为 2 的等比数列 故 an ? 2n?1 ( n ? N )………………………………………………………………………5 分
*

(Ⅱ)? an ? 2

n ?1

2 2 an ?1 ? an ? 2 ? 1 ? 2n log a 2 ,? d n ? 1 ? log a 5

? dn?1 ? dn ? 2loga 2 , ?{dn } 是以 d1 ? 1 ? 2loga 2 为首项,以 2loga 2 为公差的等差数列,…………………8 分
? S2 n ? Sn 2n(1 ? 2log a 2) ? 2n(2n ? 1) ? (2log a 2) 2 ? (4n ? 2) log 2 a 2 ? ?? n(n ? 1) 1 ? (n ? 1) log a 2 n(1 ? 2log a 2) ? ? (2log a 2) 2

? (? ? 4)n loga 2 ? (? ? 2)(1 ? loga 2) ? 0 ……………………………………………10 分

?

? (? ? 4) log a 2 ? 0 S 2n 恒为一个与 n 无关的常数 ? ,? ? Sn ?(? ? 2)(1 ? log a 2) ? 0
1 2
………………………………………………………………12 分

解之得: ? ? 4 , a ?

21. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 F (1, 0) 为椭圆的右焦点,所以 a ? b ? 1 ……①
2 2

……………………1 分

AB 的直线方程为
所以 d ?
2

x y ? ? 1 ,即 bx ? ay ? ab ? 0 a b

(ab) 2 12 ? ,化简得 12(a2 ? b2 ) ? 7a2b2 ……② …………………………3 分 2 2 a ?b 7
2

由①②得: a ? 4 , b ? 3
2

所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 …………………………………………………………4 分 4 3
-7-

(Ⅱ) 设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) 当直线 l 的斜率不存在时, x1 ? x2 ? 1,则

9 1 y12 ? ? 1 ,解得 y12 ? 4 4 3

所以 MF ? NF ?

3 1 1 4 ,则 ? ? ………………………………………………6 分 2 MF NF 3

? y ? k ( x ? 1) ? 当直线 l 的斜率存在时,设 l : y ? k ( x ? 1) ,联立 ? x 2 y 2 ?1 ? ? ?4 3
化简得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0

x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 , x1 x2 ? …………………………………………………………8 分 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

MF ? ( x1 ? 1)2 ? y12 ? ( x1 ? 1) 2 ? k 2 ( x1 ? 1) 2 ? 1 ? k 2 x1 ? 1
同理 NF ? 1 ? k
2

x2 ? 1

不妨设 x2 ? 1, x1 ? 1 ,则

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) 2 MF NF 1 ? k x2 ? 1 x1 ? 1

?

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 1 1 1 ( ? )? ? x1 ? x2 ? x1 x2 ? 1 1 ? k 2 1 ? x2 x1 ? 1 1? k 2 1

?

1 1? k 2

( ?

8k 2 2 4k 2 ? 12 ) ? 4? 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ? 1 ? 12 1 ? k ? 4 8k 2 4k 2 ? 12 9 3 1? k 2 ? ?1 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k

所以

4 1 1 为定值 ………………………………………………………………13 分 ? 3 MF NF

22. (本小题满分 13 分)

解: (Ⅰ)? p ? ( x, m), q ? ( x ? a,1) , f ( x) ? p ? q ? 1 , …………………………………………………1 分 ? 二次函数 f ( x) ? x2 ? ax ? m ? 1 , 2 关于 x 的不等式 f ( x) ? (2m ?1) x ? 1 ? m 的解集为 (??, m) ? (m ? 1, ??) , 也就是不等式 x2 ? (a ? 1 ? 2m) x ? m2 ? m ? 0 的解集为 (??, m) ? (m ? 1, ??) , ∴ m 和 m ? 1 是方程 x2 ? (a ? 1 ? 2m) x ? m2 ? m ? 0 的两个根. 由韦达定理得: m ? (m ? 1) ? ?(a ? 1 ? 2m) ∴ a ? ?2 …………………………………………………………………………………2 分 f ( x) x2 ? 2 x ? m ? 1 m g ( x) ? ? ? ( x ? 1) ? (Ⅱ)由(Ⅰ)得 , x ?1 x ?1 x ?1
-8-

? ?

?

? ? ?

m 1 m , ??( x) ? ? x ?1 x ( x ? 1) 2 ? 存在一条与 y 轴垂直的直线和 ?( x) 的图象相切,且切点的横坐标为 x0 , 1 m 1 ???( x0 ) ? ? ? 0 ? m ? x0 ? ? 2 …………………………………………4 分 2 x0 ( x0 ? 1) x0 ? x0 ?1| ? x0 ? 3 ,? x0 ? 2 ………………………………………………………………5 分 | 1 1 ( x ? 1)( x ? 1) 令 h( x ) ? x ? ? 2 ( x ? 2) ,则 h?( x) ? 1 ? 2 ? x x x2 1 ( x ? 1)( x ? 1) ? 0, 当 x ? 2 时, h?( x) ? 1 ? 2 ? x x2 1 ? h( x) ? x ? ? 2 在 (2, ??) 上为增函数 x 1 1 1 从而 h( x0 ) ? x0 ? …………………………………………7 分 ? 2 ? h(2) ? ,? m ? 2 x0 2 m (Ⅲ) ? ( x) ? g ( x) ? k ln( x ? 1) ? ( x ? 1) ? ?k ln( x ? 1) 的定义域为(1, ??). x ?1 m k x 2 ? (2 ? k ) x ? k ? m ? 1 ∴ ? ?( x) ? 1 ? . ? ? ( x ? 1) 2 x ? 1 ( x ? 1)2 方程 x2 ? (2 ? k ) x ? k ? m ? 1 ? 0 (*)的判别式 ??( x) ? g ( x) ? x ? ln x ? ln x ? 1 ?

? ? (2 ? k )2 ? 4(k ? m ? 1) ? k 2 ? 4m .
①若 m ? 0 时, ? ? 0 ,方程(*)的两个实根为 x1 ? 或 x2 ?

2 ? k ? k 2 ? 4m ? 1, 2

2 ? k ? k 2 ? 4m ? 1, 2 则 x ? (1, x2 ) 时, ? ?( x) ? 0 ; x ? ( x2 , ??) 时, ? ?( x) ? 0 . ∴函数 ? ( x) 在 (1, x2 ) 上单调递减,在 ( x2 , ??) 上单调递增. 此时函数 ? ( x) 存在极小值,极小值点为 x2 , k 可取任意实数. ………………………9 分
②若 m ? 0 时,当 ? ? 0 ,即 ?2 ?m ? k ? 2 ?m 时, x2 ? (2 ? k ) x ? k ? m ? 1 ? 0 恒成立,

? ?( x) ? 0 , ? ( x) 在 (1, ??) 上为增函数, 此时 ? ( x) 在 (1, ??) 上没有极值 …………………………………………………………10 分
下面只需考虑 ? ? 0 的情况 由 ? ? 0 ,得 k ? ?2 ?m 或 k ? 2 ?m ,

2 ? k ? k 2 ? 4m 2 ? k ? k 2 ? 4m ? 1, x2 ? ? 1, 2 2 故 x? (1, ??) 时, ? ?( x) ? 0 , ∴函数 ? ( x) 在 (1, ??) 上单调递增. ∴函数 ? ( x) 没有极值. …………………………………………………………………11 分
当 k ? ?2 ?m ,则 x1 ?

2 ? k ? k 2 ? 4m 2 ? k ? k 2 ? 4m ? 1, x2 ? ? 1, 2 2 则 x ? (1, x1 ) 时, ? ?( x) ? 0 ; x ? ( x1 , x2 ) 时, ? ?( x) ? 0 ; x ? ( x2 , ??) 时, ? ?( x) ? 0 . ∴函数 ? ( x) 在 (1, x1 ) 上单调递增,在 ( x1 , x2 ) 上单调递减,在 ( x2 , ??) 上单调递增.
当 k ? 2 ?m 时, x1 ? 此时函数 ? ( x) 存在极大值和极小值,极小值点 x2 ,有极大值点 x1 .
-9-

综上所述, 若 m ? 0 时, k 可取任意实数,此时函数 ? ( x) 有极小值且极小值点为 x2 ; 若 m ? 0 时,当 k ? 2 ?m 时,函数 ? ( x) 有极大值和极小值,此时极小值点为 x2 ,极大值点为

x1 (其中 x1 ?

2 ? k ? k 2 ? 4m 2 ? k ? k 2 ? 4m , x2 ? )………………13 分 2 2

- 10 -


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