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2014届江苏省扬州中学高三开学检测理科数学试卷(带解析)


2014 届江苏省扬州中学高三开学检测理科数学试卷(带解析) 一、填空题 1.在复平面内,复数

1? i (其中 i 为虚数单位)对应的点位于第 2?i

象限.

2 . 已 知 集 合 M ? {a, 0} , N ? {x | 2 x 2 ? 3x ? 0, x ? Z } , 如 果 M ? N ? ? , 则



a?



3.已知 ? ? (?

?
2

, 0) , cos ? ?

? 3 ,则 tan(? ? ) ? 4 5



4.设等比数列 {an } 的各项均为正数,其前 n 项和为 S n .若 a1 ? 1 , a3 ? 4 , S k ? 63 , 则 k ? ___ ___. 5.设 m, n 是两条不同的直 线, ? , ? 是两个不同的平面,则下 列正确命题的序号 是 ①.若 .

m ? n ,m ? ? , 则

n?? ;

②.若 m ? n ,m ? ? , 则

n ?? ;

③.若 m ?? , m ? ? ,则 ? ? ? ;

④.若 n ? ? , n ? ? ,则 ? ? ? . .

6.根据如图所示的伪代码,最后输出的 S 的值为 S ?0 For I S ? S+I End For Print S From 1 to 28 Step 3

7.已知正方形 ABCD 的边长为 1,若点 E 是 AB 边上的动点,则 DE ? DC 的最大值 为 .

???? ????

8.已知 ? ? {( x, y) | x ? y ? 6, x ? 0, y ? 0} , A ? {( x, y) | x ? 4, y ? 0, x ? 2 y ? 0} , 若向区域 ? 上随机投掷一点 P ,则点 P 落入区域 A 的概率为 .

? A 9 . 函 数 f ( x) ? A s i n ( x? ? ) ( ?
y ? f ( x) 的图象向右平移

0, ? ?

? 个单位后,得到的图像解析式为________. 6

0 , ? 的)部 分 图 像 如 图 所 示 , 则 将 ? 2

?

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1 ,则 x ? y ? ___ ___. 3 3 4 3 4 11.求“方程 ( ) x ? ( ) x ? 1 的解”有如下解题思路:设 f ( x) ? ( ) x ? ( ) x ,则 f ( x) 5 5 5 5
10.已知 0 ? y ? x ? ? ,且 tan x tan y ? 2 , sin x sin y ? 在 R 上单调递减,且 f (2) ? 1,所以原方程有唯一解 x ? 2 .类比上述解题思路,方程

x6 ? x 2 ? ( x ? 2)3 ? x ? 2 的解集为



12 . 已 知 实 数 p ? 0 , 直 线 3x ? 4 y ? 2 p ? 与 抛 物 线 x 2 ? 2 py 和 圆 0

p 2 p2 AB 从左到右的交点依次为 A, B, C, D ,则 的值为 x ? (y ? ) ? 2 4 CD
2



13.设函数 f ( x ) ? ?

?2 x

( x ? 0)

?log 2 x (x ? 0)

,函数 y ? f [ f ( x)] ? 1 的零点个数为



14 . 设 实 数 x1 , x2 , x3 , x4 , 均 不 小 于 1 , 且 x1 ? x 2? x ?3x ? x ? 729 , 则 x5 4 5

M ? m a x 1{ x x 2

,2 x , x x , 的最小值是 x 3 3 4 x x} 4 5

. max{a, b, c, d } 是指 a, b, c, d 四 (

个数中最大的一个) 15.求 ( x 2 ? )6 展开式中的常数项.

1 x

二、解答题 16 . 在 ?ABC 中 , 角

A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 且

f ( A) ? 2cos

A A A A sin(? ? ) ? sin 2 ? cos 2 . 2 2 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( A) 的最大值;

5? , a ? 6 ,求 b 的值. 12 17.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,侧棱 PA ? 底面 ABCD ,底面 ABCD 为矩形, E 为 PD 上一点, AD ? 2 AB ? 2 AP ? 2 , PE ? 2DE .
(Ⅱ)若 f ( A) ? 0 , C ? P F E A B C D

(I)若 F 为 PE 的中点,求证 BF ? 平面 ACE ; (II)求三棱锥 P ? ACE 的体积.
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18.某商场在店庆一周年开展“购物折上折活动” :商场内所有商品按标价的八折出售, 折后价格每满 500 元再减 100 元.如某商品标价为 1500 元,则购买该商品的实际付款 额为 1500×0.8-200=1000(元) .设购买某商品得到的实际折扣率 ? 实际付款额 .设某 商品的标价 商品标价为 x 元,购买该商品得到的实际折扣率为 y . (Ⅰ)写出当 x ? (0,1000] 时, y 关于 x 的函数解析式,并求出购买标价为 1000 元商 品得到的实际折扣率; (Ⅱ)对于标价在[2500,3500]的商品,顾客购买标价为多少元的商品,可得到的实 际折扣率低于

2 ? 3

x2 19.如图,已知椭圆 C : ? y 2 ? 1 的上、下顶点分别为 A, B ,点 P 在椭圆上,且异 4
于点 A, B ,直线 AP, BP 与直线 l : y ? ?2 分别交于点 M , N , y A

Oy B NF

P

x

M

(Ⅰ)设直线 AP, BP 的斜率分别为 k1 , k 2 ,求证: k1 ? k2 为定值; (Ⅱ)求线段 MN 的长的最小值; (Ⅲ)当点 P 运动时,以 MN 为直径的圆是否经过某定点?请证明你的结论. 20.已知 a, b 是实数,函数 f ( x) ? x ? ax, g ( x) ? x ? bx , f ?( x) 和 g ?( x) ,分别是
3 2

? f ( x), g ( x) 的导函数,若 f ?(x)g (x) ? 在区间 I 上恒成立,则称 f ( x) 和 g ( x) 在区间 0

I 上单调性一致.
(Ⅰ)设 a ? 0 ,若函数 f ( x) 和 g ( x) 在区间 [?1, ??) 上单调性一致,求实数 b 的取值 范围; (Ⅱ)设 a ? 0 且 a ? b ,若函数 f ( x) 和 g ( x) 在以 a, b 为端点的开区间上单调性一致, 求 a ? b 的最大值. 21 . 已 知 各 项 均 为 正 数 的 两 个 无 穷 数 列 {an } 、 {bn } 满 足

an bn ? ?1

an ?1

?n b 2

n1 n ?? . ( n) ? a

N

(Ⅰ)当数列 {an } 是常数列(各项都相等的数列) ,且 b1 ? 式;
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1 时,求数列 {bn } 的通项公 2

(Ⅱ)设 {an } 、 {bn } 都是公差不为 0 的等差数列,求证:数列 {an } 有无穷多个,而数 列 {bn } 惟一确定; (Ⅲ)设 an ?1 ?
2n 2an 2 ? an S (n ? N ? ) , Sn ? ? bi ,求证: 2 ? n ? 6 . an ? 1 n2 i ?1

22.某舞蹈小组有 2 名男生和 3 名女生.现从中任选 2 人参加表演,记 X 为选取女生 的人数,求 X 的分布列及数学期望. 23.如图(1) ,等腰直角三角形 ABC 的底边 AB ? 4 ,点 D 在线段 AC 上, DE ? AB 于 E ,现将 ?ADE 沿 DE 折起到 ?PDE 的位置(如图(2). ) P A E B

D C 图 (1) (Ⅰ)求证: PB ? DE ; D

E C 图 (2)

B

(Ⅱ)若 PE ? BE ,直线 PD 与平面 PBC 所成的角为 300 ,求 PE 长. 24.数列 {2 n ? 1} 的前 n 项组成集合 An ? {1,3, 7,? , 2 ? 1}(n ? N ) ,从集合 An 中任取
n ?

k (k ? 1, 2,3,?, n) 个数,其所有可能的 k 个数的乘积的和为 Tk (若只取一个数,规定

T 乘积为此数本身) 记 Sn ? T1 ? T2 ? ? ? Tn . , 例如: n ? 1 时,A1 ? {1} , 1 ? 1 ,S1 ? 1 ; 当
当 n ? 2 时, A2 ? {1,3} , T1 ? 1 ? 3, T2 ? 1? 3 , S2 ? 1 ? 3 ? 1? 3 ? 7 . (Ⅰ)求 S 3 ; (Ⅱ)猜想 S n ,并用数学归纳法证明.

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2014 届江苏省扬州中学高三开学检测理科数学试卷参考答案 1.一 【解析】 试题分析:

1? i 1 3 1 ? i (1 ? i )(2 ? i ) 1 3 对应的点 ( , ) 在第一象限. ? ? ? i ,所以 2?i 5 5 2 ? i (2 ? i)(2 ? i ) 5 5

考点:复数的除法运算、复数的几何意义. 2.1 【解析】 试题分析: N ? {x | 0 ? x ? 考点:集合的运算. 3. ?

3 , x ? Z } ? {1} ,因为 M ? N ? ? ,所以 a ? 1 . 2

1 7

【解析】 试 题 分 析 : 由 ? ? (?

?
2

, , 0) 得 sin ?? ?

1 c2? ? ? ? os

? tan ? ? 1 1 tan(? ? ) ? ?? . 4 1 ? tan ? 7
考点:同角三角函数的关系、两角和的正切公式. 4.6 【解析】 试题分析: 正项等比数列公比 q ?

4 sin ? 4 , tan ? ? ?? , 5 cos ? 3

a3 1?( 2 ) k 1 ? ? 2 , Sk ? ? 63 ,2k ? 64 , 得 所以 k ? 6 . a1 1? 2

考点:等比数列的概念、通项公式和前 n 项的和公式. 5.① 【解析】 试题分析: 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面, 则另一条也垂直于这一平面, ①正确; 若 m ? n, m ? ? ,则 n ? ? 或 n ? ? ,②不正确;若 m ?? , m ? ? ,则 ? , ? 可能平行也可能 相交,③不正确;若 n ? ? , n ? ? ,则 ? ? ? ,④不正确. 考点:空间内直线与平面位置关系的判定. 6.145 【解析】 试题分析:算法的实质是等差数列求和, S ? 0 ? 1 ? 4 ? 7 ? ? ? 28 ? 145 . 考点:伪代码和循环语句. 7.1 【解析】 试 题 分 析 : 设

???? DE ? x, 0 ? x ? 1



???? ???? ??? ???? ??? ??? ???? ??? ???? ??? ???? ? ? ? ? ? DE ? DC ? ( DA ? AE ) ? DC ? DA ? DC ? AE ? DC ? 0 ? x ?1? cos 0 ? x , 所以 DE ? DC 的

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最大值为 1. 考点:平面向量的线性运算和数量积. 8.

2 9

【解析】 试题分析: 如图, 表示的区域为 ?AOB (不含边界)其面积为 18, 表示的区域为 ?COD , ? A (不含边界) ,其面积为 4,所以所求的概率为 y 6 B x=4 C(4,2) A O x-2y=0 D 6 x x+y=6

4 2 ? . 18 9

考点:几何概型、二元一次不等式组表示的平面区域. 9. y ? sin(2 x ? 【解析】 试题分析: 法有 ? ?

?
6

)

?
6

3 11? ? T? ? ,得周期 T ? ? ,于是 ? ? 2 ,图象易知 A ? 1 ,根据五点作图 4 12 6

?? ?

?

? ? ? ? 个单位后,得到的图像解析式为 y ? sin[2( x ? ) ? ] ? sin(2 x ? ) . 6 6 6 6
考点:函数 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的图象与性质. 10.

2

,解得 ? ?

?

6

,所以 f ( x) ? sin(2 x ?

?

6

) ,将 y ? f ( x) 的图象向右平移

? 3
1 1 sin x sin y ? 2 , sin x sin y ? ,得 cos x cos y ? , 3 6 cos x cos y 1 ? ,又由 0 ? y ? x ? ? ,知 x ? y ? . 2 3

【解析】 试题分析:由 tan x tan y ?

所以 cos( x ? y ) ? cos x cos y ? sin x sin y ?

考点:同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数. 11. {?1, 2} 【解析】
3 试 题 分 析 : 设 函 数 f (t ) ? t ? t , 则 f (t ) 在 R 上 单 调 递 增 , 若 x ? x ? 2 , 则
2

f ( x2 ) ? f ( x 2,原方程不成立,所以必有 x2 ? x ? 2 ,解得 x ? ?1 或 x ? 2 . ? )

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考点:类比推理、函数与方程. 12.

1 16 p , xD ? 2 p ,直线 2

【解析】 试题分析:直线 3x ? 4 y ? 2 p ? 0 与抛物线 x 2 ? 2 py 联立解得, xA ? ? 方程与圆方程联立解得, xB ? ?

AB xB ? x A 1 2p 2p ? ? . ,所以 , xC ? CD xD ? xC 16 5 5

考点:曲线的方程、曲线的交点的求法. 13. 2 【解析】 试题分析: f [ f ( x )] ? ?

?x ?log 2 (log 2 x)

x ?1 x ?1

,令 f [ f ( x)] ? 1 ,得 x ? 1 或 x ? 4 .故函数

y ? f [ f ( x)] ? 1的零点个数为 2 个.
考点:分段函数、复合函数、函数的零点. 14.9 【解析】
3 x x x x 试题分析:设 M ? max{x1 x2 , x2 x3 , x3 x4 , x4 x5 } ,则 M ? x 1 2 ?x 3 4 ? 4x 5 ? 729? 4 ? 729 ,

当 x1 ? x3 ? x5 ? 9, x2 ? x4 ? 1时上式两等号都能取到,所以 M 的最小值为 9. 考点:多元函数最值的求法. 15.15 【解析】 试题分析:在二项式展开式的通项中,令 x 的指数为 0,可求得常数项所在的项数,进而求 出常数项. 试题解析:展开式的通项公式为 Tr ?1 ? C6 ? x
r 2(6 ? r )

1 r ? ( )r ? C6 ? x12?3r ,令12 ? 3r ? 0 ,得 x

4 2 r ? 4 ,故该展开式中的常数项为 C6 ? C6 ? 15 .

考点:二项式定理. 16. (Ⅰ) 2 ;(Ⅱ)3. 【解析】 试题分析: (Ⅰ)化为 y ? A sin(? x ? ? ) 的类型再求解; (Ⅱ)由 f ( A) ? 0 求出 A ,进而求 出 B ,再用正弦定理求出 b 的值. 试题解析: (Ⅰ) f ( A) ? 2cos

A A A A ? sin ? sin 2 ? cos 2 ? sin A ? cos A ? 2 sin( A ? ) . 2 2 2 2 4 ? ? 3? ? ? 3? 因为 0 ? A ? ? ,所以 ? ? A ? ? .所以当 A ? ? 即 A ? 时, f ( A) 取得最 4 4 4 4 2 4
答案第 3 页,总 11 页

大值,最大值为 2 . (Ⅱ)由题意知 f ( A) ? 2 sin( A ?

) ? 0 ,所以 sin( A ? ) ? 0 . 4 4 ? ? 3? ? ? 5? 7? 又知 ? ? A ? ? ,所以 A ? ? 0 ,则 A ? .因为 C ? ,所以 A ? B ? , 4 4 4 4 4 12 12
则B?

?

?

?



3

a sin B 由正弦定理得, b ? ? sin A

6 ? sin sin

?
3 ? 3.

?
4

考点:三角函数恒等变换、正弦定理的应用. 17. (I)详见解析; (II)三棱锥 P ? ACE 的体积为 【解析】 试题分析: (I)要证线面平行,先构造面外线平行于面内线; (II)求三棱锥的体积关键是 选择适当的底面,以便于求高为标准,为此要先考察线面垂直. 试题解析: (I) F 为 PE 的中点, E 为 PD 上一点,PE ? 2DE , E ,F 都是线段 PD 若 故 的三等分点. 设 AC 与 BD 的交点为 O ,由于底面 ABCD为矩形,则 OE 是 ?BDF 的中位线,故有

2 . 9

BF ? OE,而 OE ? 平面 ACE , BF ? 平面 ACE 内,故 BF ? 平面 ACE .
(II)由于侧棱 PA ? 底面 ABCD,且 ABCD 为矩形,故有 PA ? CD , AD ? CD , PA ? AD ? A ,故 CD ? 平面 PAD ,又因为 AD ? 2 AB ? 2 AP ? 2 , PE ? 2DE ,所以 三 棱 锥 的 体 积 P? A C E

1 1 1 VP ? ACE ? VC ? PAE ? S?PAE ? CD ? ( S?PAD ) ? AB ? 3 3 3 3
?0.8 ? 18. (Ⅰ)y ? ? 0.8 x ? 100 ? x ? 0<x ? 625 625 ? x ? 1000

2

1

?

2 3

.2

?

1 2

1

?

2 ? 9

考点:直线与平面平行的判定、直线与平面垂直的判定、三棱锥的体积公式. , 0.7; (Ⅱ)[2500,3000) ? [3125,3500] .

【解析】 试题分析: (Ⅰ)按折扣率公式计算即可,但要注意分段; (Ⅱ)按折扣率公式计算,解不等 式即可. 试题解析: (Ⅰ)∵ 500 ? 0.8 ? 625

?0.8 ? ∴ y ? ? 0.8 x ? 100 ? x ?

0<x ? 625 625 ? x ? 1000

当 x ? 1000 时, y ? 率为 0.7.

0.8 ?1000 ? 100 =0.7 ,即购买标价为 1000 元的商品得到的实际折扣 1000

(Ⅱ)当 x ?[2500,3500] 时, 0.8x ?[2000, 2800] .
答案第 4 页,总 11 页

①当 0.8x ?[2000, 2500) 即 x ?[2500,3125) 时,

0.8x ? 400 2 解得 x ? 3000 ,∴ ? x 3 0.8 x ? 500 2 ? x 3
解 得 x ? 3750 ∴

2500 ? x ? 3000 ;
② 当 0.8x ?[2500, 2800] 即 x ?[3125,3500] 时 ,

3125 ? x ? 3500 ; 综上, 2500 ? x ? 3000 或 3125 ? x ? 3500 ,
即顾客购买标价在 [2500,3000) ? [3125,3500] 间的商品,可得到的实际折扣率低于 考点:函数的应用、分段函数、解不等式. 19. (Ⅰ) k1 ? k2 ? ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ) k1 , k 2 随点 P 运动而变化,故设点 P( x0 , y0 ) 表示 k1 ? k2 ,进而化简整体消 去变量; (Ⅱ)点 M , N 的位置由直线 AP , BP 生成,所以可用两直线方程解出交点坐标, 求出 MN ,它必是 k1 , k 2 的函数,利用基本不等式求出最小值; (Ⅲ)利用 M , N 的坐标求 出圆的方程,方程必含有参数 k1 , k 2 ,消去一个后,利用等式恒成立方法求出圆所过定点坐 标. 试题解析: (Ⅰ)? A(0,1), B(0, ?1) ,令 P( x0 , y0 ) ,则由题设可知 x0 ? 0 , ∴直线 AP 的斜率 k1 ?

2 . 3

1 ; (Ⅱ) 4 3 ; (Ⅲ) (0, ?2 ? 2 3) 或 (0, ?2 ? 2 3) . 4

y0 ? 1 y ?1 , BP 的斜率 k 2 ? 0 ,又点 P 在椭圆上, x0 x0

y0 ? 1 y0 ? 1 y0 2 ? 1 x0 2 1 2 ? ? ?? . ? y0 ? 1 , x0 ? 0 ) 所以 ( ,从而有 k1 ? k2 ? 2 x0 x0 x0 4 4
(Ⅱ)由题设可以得到直线 AP 的方程为 y ? 1 ? k1 ( x ? 0) , 直线 BP 的方程为 y ? (?1) ? k2 ( x ? 0) ,

3 ? ? y ? 1 ? k1 x ? x ? ? k1 , ?? 由? ? y ? ?2 ? y ? ?2 ?
? 直线 AP 与直线 l 的交点 M (?

1 ? ? y ? 1 ? k2 x ? x ? ? k2 , ?? 由? ? y ? ?2 ? y ? ?2 ?
3 1 , ?2) ,直线 BP 与直线 l 的交点 N (? , ?2) . k1 k2

又 k1 ? k2 ? ?

1 3 1 3 3 3 ,? MN ? ? ? ? 4k1 ? ? 4k1 ? 2 ? 4k1 ? 4 3 4 k1 k2 k1 k1 k1
答案第 5 页,总 11 页

等号当且仅当

3 3 ? 4k1 即 k1 ? ? 时取到,故线段 MN 长的最小值是 4 3 . k1 2
???? ???? ?

(Ⅲ)设点 Q( x, y ) 是以 MN 为直径的圆上的任意一点,则 QM ? QN ? 0 ,故有

(x ?

3 1 1 )( x ? ) ? ( y ? 2)( y ? 2) ? 0 ,又 k1 ? k2 ? ? ,所以以 MN 为直径的圆的方程为 k1 k2 4

x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 12 ? (

?x ? 0 ?x ? 0 3 ? 解得 ? , ? 4k1 ) x ? 0 ,令 ? 2 2 k1 ? y ? ?2 ? 2 3 ? x ? ( y ? 2) ? 12 ? 0 ?

以 MN 为直径的圆是否经过定点 (0, ?2 ? 2 3) 和 (0, ?2 ? 2 3) . 考点:直线的交点,圆的方程,圆过定点问题,基本不等式的应用. 20. (Ⅰ) b ? [2, ??) ; (Ⅱ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)由不等式恒成立,即可求出结果. (Ⅱ) f ?( x) g ?( x) ? 0 在以 a, b 为端点 的开区间上恒成立,对 a, b 的大小分类讨论,以确定 a, b 的取值范围,从而去确定 a ? b 的 最大值. 试题解析:由已知, f ?( x) ? 3x 2 ? a , g ?( x) ? 2 x ? b , a, b ? R ; (Ⅰ)由题设“单调性一致”定义知, f ?( x) g ?( x) ? 0 在区间 [?1, ??) 上恒成立, 即 (3x ? a)(2 x ? b) ? 0 在区间 [?1, ??) 上恒成立,
2

1 . 3

因 a ? 0 ,所以 3x ? a ? 0 ,所以, 2x ? b ? 0 在区间 [?1, ??) 上恒成立,
2

即 b ? ?2 x 在区间 [?1, ??) 上恒成立,而 y ? ?2 x 在 [?1, ??) 上最大值 ymax ? ?2 ? (?1) ? 2 所以, b ? 2 ,即 b ? [2, ??) ; (Ⅱ)由“单调性一致”定义知, f ?( x) g ?( x) ? 0 在以 a, b 为端点的开区间上恒成立, 即 (3x ? a)(2 x ? b) ? 0 在以 a, b 为端点的开区间上恒成立,
2 2 因 a ? 0 ,所以,由 (3x ? a)(2 x ? b) ? 0 ,得 x1 ? ? ?

a a b , x2 ? ? , x3 ? ? ; 3 3 2

①若 b ? 0 ,则开区间为 (a, b) ,取 x ? 0 ,由 f ?(0) g ? (0) ? ab ?0 知, f ( x) 和 g ( x) 在区间

(a, b) 上单调性不一致,不符合题设;
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②若 b ? 0 ,因 x2 , x3 均为非负,故不在以 a, b 为端点的开区间内;所以,只有可能 x1 在区 间上; 由 f ?( x) g ?( x) ? 0 在以 a, b 为端点的区间上恒成立,知 x1 ? ? ? 者,要么不大于 a, b 中的小者; 因为 a, b 都不大于 0,所以, 2x ? b ? 0 ,所以,由 f ?( x) g ?( x) ? 0 知 3x 2 ? a ? 0 ,所以

a 要么不小于 a, b 中的大 3

? ?

a ? x ? 0; 3 a 时 , 由 f ?( x) ? g ( ?x) 在0 区 间 (b a ) 恒 成 立 , 即 , 上 3
a ,而由 3

当 0?a?b?? ?

( 32 ? a ) ( x2 b ?在 区 间 (b ,a )上 恒 成 立 , 知 a ? b 最 大 值 为 a ? ? x ? ) 0

a 1 a ? ? ? 解得 a ? ? ; 3 3
此时, a ? ?

a 1 ? ?( ? a ) 2 ? ? a ,配方后知,取不到最大值; 3 3

当0?b ? a ? ? ?

a a 1 时, 显然, 此时, b ? 0, a ? ? ? , b ? 0, a ? ? 时, a ? b 取 当 即 3 3 3
1 1 ;综上, a ? b 的最大值为 . 3 3

得最大值 0 ? (? ) ?

1 3

考点:不等式恒成立、函数的最值、分类讨论的思想. 21. (Ⅰ) bn ? n ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ)由 {an } 是常数列,得 bn ?1 ? bn ? 2n(n ? N ) ,进而探求数列项间的关系; (Ⅱ)将等差数列 {an } 、{bn } 的通项公式代入 anbn ?1 ? an ?1bn ? 2nan ?1 (n ? N ) ,根据等
? ?

1 (Ⅱ)详见解析; (Ⅲ)详见解析. (n ? N ? ) ; 2

式恒成立, 求首项和公差; (Ⅲ) 利用题中所给关系式对 S n 进行适当放缩, 求出上界和下界. 试题解析: ( Ⅰ ) 因 为 数 列 {an } 是 常 数 列 , 且 an b?1 ? n

a?1 b?2 n n

? n ?(n ? n ), 所 以 a N 1

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bn ?1 ? bn ? 2n(n ? N ? )? ① , 因 此 bn ? bn -1 ? 2(n-1)(n ? N ?,n ? 2)? ② , ① - ② 得 ,
,这说明数列 {an } 的序号为奇数的项及序号为偶数的项均按 bn ?1 ? bn - 1? 2 (n ? N ?,n ? 2 ) 原 顺 序 组 成 公 差 为 2 的 等 差 数 列 , 又 b1 ?

3 1 , b1 ? b2 ? 2 , 所 以 b2 ? , 因 此 2 2 1 1 3 1 1 即 b2 n ?1 ? ? (n ? 1) ? 2 ? (2n ? 1) ? ,b2 n ? ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? , bn ? n ? (n ? N ? ) . 2 2 2 2 2

( Ⅱ ) 设 {an } 、 {bn } 都 是 公 差 分 别 为 d1 , d 2 (d1d 2 ? 0) , 将 其 通 项 公 式 代 入

anbn ?1 ? an ?1bn ? 2nan ?1 (n ? N ? )



[d1n ? (a1 ? d1 )](nd2 ? b1 ) ? (nd1 ? a1 )[d2 n ? (b1 ? d 2 )] ? 2n(nd1 ? a1 ) ,因为它是恒等式,

?2d1d 2 ? 2d1 ? d1 ? a1 ?2b d ? 2a d ? 2d d ? 2a ? an ? na1 ? ? 1 1 1 2 1 2 1 所以 ? ,解得 ?b1 ? 1 ,因此 ? . ?bn ? n ?d ? 1 ?2a1b1 ? b1d1 ? a1d 2 ? 0 ? 2 ?d1d 2 ? 0 ?
由于 a1 可以取无穷多非零的实数,故数列 {an } 有无穷多个,而数列 {bn } 惟一确定; ( Ⅲ ) 因 为

an ?1 ?

2an 2 ? an (n ? N ? ) an ? 1
, 即





an ? 0







2an 2 ? an an 2 an ?1 ? an ? ? an ? ?0 an ? 1 an ? 1

an ? an ?1
a n ?nbn??1 b 2n b 1 ?
b ?) ?







an

?1

?bn

?1

2 a? n
b 2? )

bn

?1

?

n

n ?1 ,

a ? 得1 ?n
b ? (

n

a ,

因 b此 n

Sn ? ?
i ?1

2n

bi ? (1

b ( ?? 3

b?4? )

n

2

n

1

2

b 2?

1 ? 2 .2 ?

3?

? 2 n

又由 anbn?1 ? an?1bn ? 2nan?1 得, anbn ?1 ? (2n ? bn )an ?1 ,而 an ? 0 ,所以 bn ? 2n ,因此

Sn ? ? bi ? 2 ? (1 ? 2 ? ? ? 2n) ? 2n(1 ? 2n) ? 4n 2 ? 2n ,所以 Sn ? (2n2 , 4n2 ? 2n) ,所
i ?1

2n

以2?

Sn 2 ? 4? ? 6. 2 n n 6 5

考点:等差数列、数列的递推关系、数列与不等式. 22. E ( X ) ?

【解析】 试题分析:先确定随机变量的取值,再利用古典概型计算取值的概率,最后利用数学期望公
答案第 8 页,总 11 页

式计算. 试题解析:依题意, X 所有取值为 0,1,2.

P ( X ? 0) ?

2 C1C1 3 C2 C2 1 3 ? , P ( X ? 1) ? 2 2 3 ? , P ( X ? 2) ? 3 ? . 2 2 C10 10 C10 5 C10 10

X 的分布列为: X
P
0 1 2

1 3 3 10 5 10 1 3 3 6 E ( X ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? . 10 5 10 5
考点:古典概型、离散型随机变量的概率分布、数学期望. 23. (Ⅰ)详见解析(Ⅱ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)要证线线垂直,可先考虑纯线面垂直,要证线面垂直,先找出图中的线线 垂直,使结论得证; (Ⅱ)为方便利用直线 PD 与平面 PBC 所成的角为 300 ,可建立空间直 角坐标系,利用空间向量相关计算公式建立关于 PE 长度的方程,解之即可. 试题解析: (Ⅰ)? DE ? AB ,? DE ? BE, DE ? PE ,? BE ? PE ? E ,? DE ? 平面

4 . 5

PEB ,
又? PB ? 平面PEB ,? PB ? DE ; (Ⅱ)? DE ? BE, DE ? PE , BE ? PE

?分别以 DE,BE,PE 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系(如图)
z P

E x D C

B y

设 PE ? a ,则 B(0, 4 ? a,0) , D(a,0,0) , C (2, 2 ? a,0) , P(0,0, a) 可得 PB ? (0, 4 ? a, ?a) , BC ? (2, ?2, 0) 设平面 PBC 的法向量 n ? ( x, y, z ) , ?

??? ?

??? ?

?

?(4 ? a) y ? az ? 0 4?a ,令 y ? 1 ,可得 x ? 1, z ? , a ?2 x ? 2 y ? 0

答案第 9 页,总 11 页

因此 n ? (1,1,

?

??? ? 4?a ) 是平面 PBC 的一个法向量, PD ? (a, 0, ?a) ,PD 与平面 PBC 所成 ? a

的角为 300 ,? sin 30 ? cos ? PD, n ? ,即

?

??? ? ?

a ? (4 ? a ) 2a 2 ? 2 ? (4 ? a ) 2 a2

?

1 , 2

解之得: a ?

4 4 ,或 a ? 4 (舍) ,因此可得 PE 的长为 . 5 5
n ( n ?1) 2

考点:直线与平面的位置关系、空间向量的应用. 24. (Ⅰ)63; (Ⅱ) Sn ? 2

? 1.

【解析】 试题分析: (Ⅰ)通过列举进行计算; (Ⅱ)先从特殊入手, 当 n?3 时 ,

A3 ? { 1 , 3, 71? } 1 ? 3 ? 7 ? 11, T2? ? 1? 3 ? 1? 7 ? 3 ? 7 ? 31 , , T ?

T3? ? 1? 3 ? 7 ? 21 ;
当 n ? 4 时 , A4 ? { 1 , 3 , 7 , 1 15 } 1? ? 15, T2 ? T2? ? 15T1? , T3 ? 15T3? , 所 以 , T ?T

S4 ? 1 6 T1 ?T? ? T3 ) ; 5 (? ? 1 2
从特殊到一般探求 Sk ?1 与 S k 之间的递推关系,从而便于用数学归纳法证明. 试题解析: (Ⅰ) n ? 3 时, A3 ? {1,3, 7} ,T1 ? 1 ? 3 ? 7 ? 11, T2 ? 1? 3 ? 1? 7 ? 3 ? 7 ? 31 , 当

T3 ? 1? 3 ? 7 ? 21 ,所以 S3 ? 11 ? 31 ? 21 ? 63 ;
(Ⅱ)由 S1 ? 1 ? 2 ? 2
1 1?2 2

? 1 , S2 ? 7 ? 2 ? 1 ? 2
3

2?3 2

? 1,

猜想 Sn ? 2

n ( n ?1) 2

? 1,下面证明:
k ( k ?1) 2

(1)易知 n ? 1 时成立; (2)假设 n ? k 时 Sk ? 2

?1 ,

则 n ? k ? 1 时, Sk ?1 ? T1 ? T2 ? ? ? Tk ?1

? [T1? ? (2k ?1 ? 1)] ? [T2? ? (2 k ?1 ? 1) T1? ] ? [T3? ? (2 k ?1 ? 1) T2? ] ? ? ? (2 k ?1 ? 1) Tk ?
(其中 Ti? (i ? 1, 2,? , k ) ,为 n ? k 时可能的 k 个数的乘积的和为 Tk ) ,

? (T1? ? T2? ? T3? ? ? ? Tk ? ) ? (2k ?1 ? 1) ? (2k ?1 ? 1)(T1? ? T2? ? T3? ? ? ? Tk? )

答案第 10 页,总 11 页

? Sk ? (2k ?1 ? 1) ? (2k ?1 ? 1) Sk

? 2 (2

k ?1

k ( k ?1) 2

?1) ? (2

k ?1

?1)

? 2k ?1 ? 2

k ( k ?1) 2

?1

?2

( k ?1)( k ? 2) 2

?1
( k ?1)( k ? 2) 2

即 n ? k ? 1 时 Sk ?1 ? 2

? 1也成立,
n ( n ?1) 2

综合(1) (2)知对 n ? N ? , Sn ? 2 所以 Sn ? 2
n ( n ?1) 2

? 1成立.

? 1.

考点:归纳推理、数学归纳法.

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