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2013-2014学年高一数学同步课件:指数函数(新人教A版必修1)


2.1 指数函数

? 2.1.1
? ? ? ? ? ?

指数与指数幂的运算

? ?

【课标要求】 1.理解根式的概念及分数指数幂的含义. 2.会进行根式与分数指数幂的互化. 3.掌握根式的运算性质和有理指数幂的运 算性质. 【核心扫描】 1.根式的运算性质和有理指数幂的运算性 质

.(重点) 2.根式的概念及有理指数幂的含义.(难点) 3.根式与分数指数幂的互化.(易错点)

? 新知导学 ? 1.根式及相关概念 ? (1)a的n次方根定义 xn=a ? 如果 ,那么x叫做a的n次方根, 其中n>1,且n∈N*.

? (2)a的n次方根的表示
n的奇偶 a的n次方根的表示 性 n为奇数 n为偶数 符号
n

a的取值范围 a∈R [0,+∞)

a
n

± a

? (3)根式 n a ? 式子 做

根指数 叫做根式,这里n叫 ,a叫做被开方数.

2.根式的性质 (1) 0= 0 (2)( a)n= n n n n (n∈N*,且n>1);

a

(n∈N*,且n>1);

(3) an=a(n为大于1的奇数); (4)
? a ?a≥0? ? n a =|a|=? ? -a ? ?a<0? ?

(n为大于1的偶数).

? 3.分数指数幂的意义
n

正分数指数幂

规定:a

= am(a>0, n∈N*, m, 且 n>1)

分数指 数幂

负分数指数幂

m 1 规定:a- n = m= 1 an

n

am

(a>0,m,n∈N*, 且 n>1)

0 的正分数指数幂等于 性质 幂 的负分数指数

0

,0

无意义

.

? 4.有理数指数幂的运算性质 ar+s ? (1)aras= (a>0,r,s∈Q). ? (2)(ar)s= (a>0,r,s∈Q). a br ? (3)(ab)rr= (a>0,b>0, r∈Q).

互动探究
n n

探究点1

an与( a)n有什么区别?
n n

提示 (1)当n为奇数时, an=( a)n=a.
n n

(2)当n为偶数时, an=|a|,且a∈R;( a)n=a(a≥0).

m 探究点2 a 可不可以理解为 n 个a相乘?它的实质是什么? m 提示 a 不可理解为 n 个a相乘,如a 显然不是半个a的乘

积,它的实质是根式的另一种写法,如a = a.

探究点3 a =a 成立吗? 提示 不一定.当a≥0时,a 意义,而a 约分. =a 成立;当a<0时,a 有

无意义,a =a 不成立,故分数指数幂不能随便

类型一 根式的运算 【例1】 求下列各式的值:
3 4 8

(1) (4)

?-2?3;(2)

?-3?2;(3)

?3-π?8;

x2-2x+1- x2+6x+9,x∈(-3,3)

[思路探索] 根据根式的性质求解,注意偶次根式与奇次根式 的不同,注意被开方数的符号.

3

解 (2) (3)

(1)
4

?-2?3=-2;
4

?-3?2= 32= 3; =|3-π|=π-3. ?x-1?2- ?x+3?2=|x-1|-|x+3|

(4)原式=

当-3<x≤1 时,原式=1-x-(x+3)=-2x-2. 当 1<x<3 时,原式=x-1-(x+3)=-4.
?-2x-2,-3<x≤1, ? 因此,原式=? ?-4,1<x<3. ?

? [规律方法] 1.解决根式的化简或求值问 题,首先要分清根式为奇次根式还是偶次 根式,然后运用根式的性质进行化简或求 值. ? 2.开偶次方时,先用绝对值表示开方的结 果,再去掉绝对值符号化简,化简时要结 合条件或分类讨论.

【活学活用1】 化简下列各式:
3

(1) -27;(2) (4)( a-1)2+

?π-4? ;(3)
2 3

3-2

?3 2+? ?

1-

? ?3; 2?

?1-a?2+ ?1-a?3 .

3

解 (2) (3)

(1) -27=

=-3;

?π-4?2=|π-4|=4-π; 3-2
?3 2+? ?

1-

?3 ? 2? =

? 2-1?2+1- 2

= 2-1+1- 2=0; (4)由根式的意义,知 a≥1. ∴原式=a-1+|1-a|+1-a=a-1.

类型二

根式与分数指数幂的互化

【例2】 将下列根式化成分数指数幂的形式:
3 4

(1) (3)

ab2;(2) a2 b

?-a?2(a>0); b3 a a · b3(a>0,b>0).
n

[思路探索] 应用a



am实现根式与分数指数幂的互化.

[规律方法] 1.分数指数幂与根式可以相互转化, 其化简的依据
n

是公式:a = am(a>0,m,n∈N*,且 n>1). 2.当所要化简的根式含有多重根号时,要搞清被开方数,由 里向外用分数指数幂写出,然后用性质进行化简. 3.化简过程中要明确字母的范围,以免出错.

? 【活学活用2】 将下列根式化成分数指数幂 的形式:

? 类型三 分数指数幂的运算 ? 【例3】 计算(化简)下列各式:

? [思路探索] 先化简每一个分数指数幂,然 后用指数幂的运算性质运算.

? [规律方法] 1.对于既含有分数指数幂,又 含有根式的式子,一般把根式统一化成分 数指数幂的形式,以便于计算,如果根式 中的根指数不同,也应化成分数指数幂的 形式. ? 2.对于计算的结果,不强求统一用什么形 式表示,但结果不能同时含有根号和分数 指数,也既不能含有分母又含有负指数.

? 【活学活用3】 计算下列各式:

? 方法技巧 整体代换在条件求值中的应用 ? 整体代换思想是指不去破坏条件的结 构,将其整体代入进行运算. ? 本节中的整体代换主要应用于条件求 值,对于条件求值问题,一定要弄清已知 条件与所求的关系,然后采取整体代换的 方法求值.

? 【示例】 已知 各式的值:

,求下列

? [思路分析] 从整体上寻求所求式与已知条件 的关系,然后整体代入求值.

? 解 (1)将a +a = 的两边平方,得a+ 5 a-1+2=5,即a+a-1=3. ? (2)由a+a -1 =3,两边平方得a2 +a -2 +2 =9. ? ∴a2+a-2=7. ? (3)a3+a-3=(a+a-1)(a2-1+a-2)=3×(7 -1)=18.

? [题后反思] 1.对此类求值问题,一定要弄清 已知与未知的联系,然后用“整体代换” 的方法求值. ? 2.求解时要注意:(1)各式中的隐含条件; (2)必要时,应先将条件与待求式子进行化 简,有利于求值.

课堂达标 1.已知 x5=6,则 x 等于
5

( B. 6

).

A. 6
5

5

C.- 6 解析 答案

D.± 6
5

∵5 是奇数,∴x= 6. B

? 2.下列根式与分数指数幂的互化正确的是 ? ( ).

答案

C

3.当 8<x<10 时,

?x-8?2+ ?x-10?2=________.

解析 原式=x-8+10-x=2. 答案 2

1 ?-4? 1 4.2- + + - ?1- 5?0· =________. 8 2 2 2-1
0

解析 答案

1 1 原式= + + 2+1-22=2 2-3. 2 2 2 2-3

3

5.(1)求

7 2 + 9

3 3 3 - 0.064的值; 8

3



(1)原式=

25 + 9
3

27 3 - ?0.4?3 8



5 2 3 ? 3 ?3 ? ? + ?2? - ?0.4?3 3 ? ?

5 3 83 = + -0.4= . 3 2 30

课堂小结
n n

1.掌握两个公式:(1)( a)n=a;(2)n为奇数, an =a,n为偶
n

数,

?a ?a≥0? ? n a =|a|=? ?-a ?a<0? ?

.

2.根式一般先转化成分数指数幂,然后利用有理数指数幂的 运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中,一 般采用由内到外逐层变换的方法,然后运用运算性质准确求 解.


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