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福建省闽清高级中学等四校2014-2015高二上学期期中联考数学(理)试题 Word版含答案


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福建省闽清高级中学等四校 2014-2015 高二上学期期中联 考数学(理)试题
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分, ) 1. 在数列 {an } 中, a1 =1, an ?1 ? an ? 2 ,则 a51 的值为( A.49 B. 99 C.101 D. 102

) C. 2.若 a ? b ? 0 , c ? d ? 0 ,则一定有( A. )

a b ? d c

B.

a b ? d c

b a ? d c

D.

b a ? d c
)

3.设 ?an ? 是等比数列,且 a2 、 a3 是方程 x 2 ? x ? 2013 ? 0 的两个根,则 a1a4 =( A.2013 B.-2013 C. 1
2

D.-1

2 2 4.已知 ?ABC 的三个内角为 A 、B、C 满足 sin ( A ? C ) ? sin A ? sin C , 则 ABC 的形

状是(

) B. 直角三角形 D.不能确定 )

A.锐角三角形 C. 钝角三角形

?x ? 1 ? 5.已知实数 x , y 满足约束条件 ? y ? 2 则 z ? 2 x ? y 的取值范围是( ?x ? y ? 0 ?
’ A.[0,1] B.[1,2] C.[1,3] D.[0,2] ).

6.已知 ?ABC 的面积为 A. 300

3 ,且 b ? 2, c ? 3 ,则角 A 等于( 2
C. 300 或 1500

B. 600

D. 600 或 1200 )

7.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a2 ? a4 ? a6 ? 12 ,则 S7 的值是( A.28 B.24 C.21 D.7 ) D. 2 : 3 :1 8.在 ?ABC 中, A : B : C ? 1: 2 : 3 ,则 a : b : c 等于( A. 1: 2 : 3 B. 3 : 2 :1 C. 1: 3 : 2

9.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S n = n 2 ? n ,数列 ?bn ? 满足 bn = ( n ? N * ), Tn 是数列 ?bn ? 的前 n 项和,则 T9 等于( 9 A. 19 10.若不等式
2

1 an an ?1

) 9 D. 40 )

18 B. 19

20 C. 21

t t?2 4? 上恒成立,则 a 的取值范围是( ? a ? 2 在 t ∈ ?1, t ?9 t
B. ? , ? 6 8

A. ?

?1 ? , 3 ?10 ? ?

?1 3? ? ?

C. ?

? 1 3? , ?10 8 ? ?

D. ?

?4 ? , 3 ? 25 ? ?

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二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分, ) 11.不等式 x 2 ? x ? 2 ? 0 的解集为___________. 12.在 ?ABC 中, 内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c , 已知 a ? 5 ,b ? 则 sin B ? .

5 2 ? ,A ? , 3 4

13. ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c .若 a, b, c 成等比数列,则 cos B 的最 小值________. 14.已知 a ? 0, b ? 0 且 4b ? 3a ? ab ,则 a ? b 的最小值是________. 15.给出数列 , , , , , , …, 于 1 的项的序号 是________. ..

1 1 2 1 2 3 1 2 1 3 2 1

1 2 k , ,…, ,…,在这个数列中,第 50 个值等 k k ?1 1

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分, ) 16. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ?3 x ? 27 ,数列 ?bn ? 满足 bn ? f (n) ,试判断数列 ?bn ? 是否 为等差数列,并求 ?bn ? 的前 n 项和 S n 的最大值。 17. (本小题满分 13 分) 在锐角 ?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且 2asinB= 3b. (1)求角 A 的大小; (2)若 a=6,b+c=8,求△ABC 的面积.

18. (本小题满分 13 分) 1 1 - ,- ?,求不等式 ? x2+bx+a>0 的 (1)已知不等式 ax2-bx-1≥0 的解集是? 3? ? 2 解集. (2)若不等式 ax2+4x+a>1-2x2 对任意 x ? R 均成立,求实数 a 的取值范围.

19. (本小题满分 13 分) 如果直线 l1 : 2 x ? y ? 2 ? 0,

l2 : 8 x ? y ? 4 ? 0 与 x 轴正半轴, y 轴正半轴围成的四

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边形封闭区域(含边界)中的点,使函数 z ? abx ? y ? a ? 0, b ? 0 ? 的最大值为 8,求

a ? b 的最小值.

20.(本小题满分 14 分) 如图,为测量某建筑物 AB 的高度及取景点 C 与 F 之间的距离(点 B,C,D,F 在同 一水平面上,AB⊥平面 BCF,且 B,C,D 三点共线),某校研究性学习小组的同学在 C, D,F 三点处测得顶点 A 的仰角分别为 45° ,30° ,30° . FCB=60° ,CD=16( 3-1)m. (1)求建筑物 AB 的高度; (2)求取景点 C 与 F 之间的距离. 21. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 满足 a1 ? 若 ∠

1 1 , an ?1 ? an ? n ?1 (n ? N* ) . 2 2

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)令 bn ? nan ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ; (3)试比较 Tn 与

3n 的大小. 2n ? 1

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2014—2015 学年第一学期高二年段期中考数学(理科)
联考参考答案
一、选择题:(共 10 个小题,每小题 5 分,计 50 分)

CABCD

DACDB

二、填空题:(共 5 个小题,每小题 4 分,计 20 分)

11.

? ?2,1?

12. 15. 4901

1 3

13、

1 2

14. 7 ? 4 3

三、解答题:(共 6 个小题,总计 80 分) 16.已知函数 f ( x) ? ?3 x ? 27 ,数列 ?bn ? 满足 bn ? f (n) ,试判断数列 ?bn ? 是否为等 差数列,并求 ?bn ? 的前 n 项和 S n 的最大值。 16.解:

f ( x) ? ?3x ? 27 , bn ? f (n)
-------------------2

? bn ? ?3n ? 27
当 n ?1时

bn ? bn ?1 ? ?3n ? 27 ? [?3(n ? 1) ? 27] ? ?3 (常数) ----------5
由定义可知 ?bn ? 为首项 b1 ? 24 ,公差 d ? ?3 的等差数列,------6

n(n ? 1)d 3 51 ? ? n 2 ? n ----------8 2 2 2 3 17 3 17 配方得: S n ? ? (n ? ) 2 ? ? ( ) 2 ---------------11 2 2 2 2
?前 n 项和 S n ? na1 ?

?当 n ? 8或9 时 S n 的值最大,
最大值为 S8 ? ? ? 82 ?

3 2

51 ? 8 ? 108 2

------------------13

17.在锐角 ?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且 2asinB= 3b. (1)求角 A 的大小; (2)若 a=6,b+c=8,求△ABC 的面积. 解 (1)由 2asinB= 3b 及正弦定理得:

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2sinAsinB= 3sinB ----------------------------------------2 sinB ? 0 3 ------------------------------4 ? sinA= 2 . 又 A 是锐角, π ----------------------------------------6 ? A=3. (2)由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA,得 b2+c2-bc=36,即(b+c)2-3bc=36. 又 --------------------------9

b+c=8, 28 --------------------------------11 ? bc= 3 . 1 ? 由三角形面积公式 S=2bcsinA 可得: 7 3 △ABC 的面积为 . --------------------------------------13 3 1 1? 2 18. (1)已知不等式 ax2-bx-1≥0 的解集是? ?-2,-3?,求不等式—x +bx+a>0 的解集 (2)若不等式 ax2+4x+a>1-2x2 对任意实数 x 均成立,求实数 a 的取值范围 1 1 18.解(1) :由题意知:- ,- 是方程 ax2-bx-1=0 的根, 2 3 1 b 1 1 ? 1? 1 - ?= ,- × - =- . 由根与系数的关系,得- +? 2 ? 3? a 2 ? 3? a 解得 a=-6,b=5, 代入不等式—x2+bx+a>0 可得: x2-5x+6<0, 解得 2 ? x ? 3 ----------------------4 ---------2

--------------------------------3

? 不等式解集为(2,3).
显然 a=-2 时不合题意,

--------------------------------------------6

(2)原不等式可化为(a+2)x2+4x+a-1>0, -----------------------------8

所以要使不等式对于任意的 x 均成立,必须有 a+2>0,且 Δ<0,------10 即

?

a ? 2?0 16?4( a ? 2)( a ?1)?0 解得 a>2.-----------------------------12
----------------------------------13

?实数 a 的取值范围为 a>2

19.如果直线 l1 : 2 x ? y ? 2 ? 0, 的最小值.

l2 : 8 x ? y ? 4 ? 0 与 x 轴正半轴, y 轴正半轴围成的

四边形封闭区域(含边界)中的点,使函数 z ? abx ? y ? a ? 0, b ? 0 ? 的最大值为 8,求 a ? b

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解设 P ? x, y ? 为封闭区域中的任意点 , 则

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? P ? x, y ? 满足约束条件 ?8 x ? y ? 4 ? 0 ?x ? 0 , y ? 0 ?
可行域如图所示 由

--------------------2

-------------------------5

? y ?2?0 ?82xx? y ?4?0

可得:

1 ? xy? ?4
---------------8

?目标函数的最优解为 B ?1, 4 ?

将 B ?1, 4 ? 代入 Z ? abx ? y (a ? 0, b ? 0) 得:

ab ? 4 ? 8 , 解得 ab ? 4

--------------------------10

由基本不等式得 a ? b ? 2 ab ? 4 (当且仅当 a ? b ? 2 时,等号成立) --------12 故 a ? b 的最小值为 4 ------------------13

20. 如图,为测量某建筑物 AB 的高度及取景点 C 与 F 之间的距离(B,C,D,F 在同一 水平面上,AB⊥ 平面 BCF,且 B,C,D 三点共线),某校研究性学习小组的同学在 C,D, F 三点处测得顶点 A 的仰角分别为 45° ,30° ,30° .若∠ FCB=60° ,CD=16( 3-1)m. (1)求建筑物 AB 的高度; (2)求取景点 C 与 F 之间的距离. 解:(1)设 AB=x,在 Rt△ ABC 中, ∵ ∠ ACB=45° , ∴ BC = x , AC = 2 x.

------------------------------------2

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在△ ADC 中,由正弦定理得

DC AC = , 0 sin 30 sin(450 ? 300 )
---------------5



2x 16( 3 ? 1) ? 0 sin 30 sin(450 ? 300 )

∴ x=16 即建筑物 AB 的高度为 16 m. (2)在 Rt△ ABC 中, ∵ ∠ ACB=45° ,∴ BC=16. 在 Rt△ AFB 中,∠ AFB=30° , 16 ∴ 由 tan 30° = 可得: FB FB=16 3. ----------------------9 -----------------------8 ---------------------------------7

在△ BCF 中,设 CF=y, ∵ ∠ BCF=60° , ∴ 由余弦定理得:BF2=BC2+FC2-2BC· FC· cos 60° ,--------------10 ∴ (16 3)2=162+y2-2· 16· y· cos 60° , 即 y2-16y-512=0, ------------------------12 ------------------------13 --------------------------------14

∴ y1=32,y2=-16(负数舍去), 即景点 C 与 F 之间的距离为 32 m.

21.已知数列 {an } 满足 a1 ? (1)求数列 {an } 的通项公式;

1 1 , an ?1 ? an ? n ?1 (n ? N* ) . 2 2

(2)令 bn ? nan ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn , (3)试比较 Tn 与

3n 的大小 2n ? 1

解:(1)当 n ? 2 时, an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ??? ? (an ? an ?1 )

1? 1 ? 1 ? n ?1 ? 1 ? 1 ? ? 1? 1 ? 1 4? ? 1 ? 1 ? 1 1 1 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ??? ? ? ? n ? ? ? ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? ? ? ? 2 ? ? n . 1 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 ?2 2 1? 2
------------------------3

1 也适合上式, 2 1 所以 an ? n (n ? N* ) . 2
又 a1 ?

--------------------4 ----------------------5

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1 n ,所以 bn ? nan ? n . ------------------6 n 2 2 1 2 3 n ∴ Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ①, 2 2 2 2 1 1 2 3 n ∴ Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ??? ? n ?1 ②. ----------------------------7 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n 由①-②得, Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? n ?1 , -------------------8 2 2 2 2 2 2 1 1? n 1 1 1 n 2 ? n ? 2 ? n ? 2 . --------10 所以 Tn ? 1 ? 1 ? 2 ? ??? ? n ?1 ? n ? 1 2n 2 2 2 2 2n 1? 2
(2)由(1)得 an ? (3)因为 Tn ?

3n 3n ? n ? 2 n ? 2 n ? 2 (n ? 2)(2 n ? 2n ? 1) ? ? ?2? ? ? ? , ?? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2 n 2n ? 1 2 n (2n ? 1)2 n
-------------------------------11

所以确定 Tn 与
1

3n n 的大小关系等价于比较 2 与 2n ? 1 的大小. 2n ? 1
2

当 n ? 1 时, 2 ? 2 ? 1 ? 1 ;当 n ? 2 时, 2 ? 2 ? 2 ? 1 ; 当 n ? 3 时, 23 ? 2 ? 3 ? 1 ;当 n ? 4 时, 2 ? 2 ? 4 ? 1 ;,
4

可猜想当 n ? 3 时, 2n ? 2n ? 1 . 综上所述,当 n ? 1 或 n ? 2 时, Tn ? 当 n ? 3 时, Tn ?

------------------------13

3n ; 2n ? 1
-------------------------14

3n . 2n ? 1


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