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1-1第2章 §3 3.1双曲线及其标准方程


第二章

§3

3.1

一、选择题 1.双曲线 3x2-4y2=-12 的焦点坐标为( A.(± 5,0) C.(± 7,0) [答案] D y2 x2 [解析] 双曲线 3x2-4y2=-12 化为标准方程为 - =1,∴a2=3,b2=4,c2=a2+b2 3 4 =7,∴c= 7,又∵焦点在 y 轴上,故选 D

. x2 y2 2.以椭圆 + =1 的焦点为顶点,以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是 3 4 ( ) x2 2 A. -y =1 3 x2 y2 C. - =1 3 4 [答案] B [解析] 由题意知双曲线的焦点在 y 轴上,且 a=1,c=2, x2 ∴b2=3,双曲线方程为 y2- =1. 3 x2 y2 3.若方程 + =1 表示双曲线,则实数 k 的取值范围是( k-2 5-k A.2<k<5 C.k<2 或 k>5 [答案] C [解析] 由题意得(k-2)(5-k)<0,∴(k-2)(k-5)>0,∴k>5 或 k<2. 4.已知点 F1(-4,0)和 F2(4,0),曲线 C 上的动点 P 到 F1、F2 距离之差为 6,则曲线 C 的方程为( ) x2 y2 A. - =1 9 7 x2 y2 B. - =1(y>0) 9 7 x2 y2 x2 y2 C. - =1 或 - =1 9 7 7 9 x2 y2 D. - =1(x>0) 9 7 B.k>5 D.以上答案都不对 ) x2 B.y - =1 3
2

)

B.(0,± 5) D.(0,± 7)

y2 x2 D. - =1 3 4

[答案] D [解析] 由双曲线的定义知,点 P 的轨迹是以 F1、F2 为焦点,实轴长为 6 的双曲线的右 x2 y2 支,其方程为: - =1(x>0) 9 7 x2 y2 x2 y2 5.(2014· 揭阳一中高二期中)已知椭圆 2+ =1(a>0)与双曲线 - =1 有相同的焦点, a 9 4 3 则 a 的值为( A. 2 C.4 [答案] C [解析] 由条件知 a2-9=4+3,∴a2=16, ∵a>0,∴a=4. x2 → → 6. 设 F1, F2 是双曲线 -y2=1 的两个焦点, 点 P 在双曲线上, 且PF1· PF2=0, 则|PF1|· |PF2| 4 的值等于( A.2 C.4 [答案] A → → → → [解析] ∵PF1· PF2=0,∴PF1⊥PF2. 又||PF1|-|PF2||=4,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=20, ∴(|PF1|-|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|· |PF2|=20-2|PF1|· |PF2|=16, ∴|PF1|· |PF2|=2. 二、填空题 x2 7.双曲线 -y2=1 的一个焦点为 F(3,0),则 m=________. m [答案] 8 [解析] 由题意,得 a2=m,b2=1, ∴c2=a2+b2=m+1,又 c=3, ∴m+1=9,∴m=8. 8. 双曲线的焦点在 x 轴上, 且经过点 M(3,2)、 N(-2, -1), 则双曲线标准方程是________. [答案] x2 y2 - =1 7 7 3 5 ) B.2 2 D.8 ) B. 10 D.10

x2 y2 [解析] 设双曲线方程为: 2- 2=1(a>0,b>0), a b 又点 M(3,2)、N(-2,-1)在双曲线上,

?a -b =1 ∴? 4 1 ?a -b =1
2 2 2 2

9

4

?a =3 ,∴? 7 ?b =5
2 2

7 .

y2 → → 9.已知双曲线 x2- =1 的焦点为 F1、F2,点 M 在双曲线上且MF1· MF2=0,则点 M 2 到 x 轴的距离为________. [答案] 2 3 3

[解析] 由条件知 c= 3,∴|F1F2|=2 3, 1 → → ∵MF1· MF2=0,∴|MO|= |F1F2|= 3, 2 x +y =3 ? ?0 0 2 设 M(x0,y0),则? 2 y0 , x0- =1 ? 2 ? 4 2 3 2 ∴y0 = ,∴y0=± . 3 3 2 3 故所求距离为 . 3 三、解答题 x2 y2 10.若 F1、F2 是双曲线 - =1 的两个焦点,P 在双曲线上,且|PF1|· |PF2|=32,求∠ 9 16 F1PF2 的大小. [答案] 90° [解析] 由双曲线的对称性,可设点 P 在第一象限, 由双曲线的方程,知 a=3,b=4,∴c=5. 由双曲线的定义,得|PF1|-|PF2|=2a=6, 上式两边平方,得|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|· |PF2|=36+64=100, 由余弦定理,得 |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 cos∠F1PF2= 2|PF1|· |PF2| = 100-100 =0. 2|PF1|· |PF2|
2 2

∴∠F1PF2=90° .

一、选择题

11.已知双曲线中心在原点,一个焦点为 F1(- 5,0),点 P 在该双曲线上,线段 PF1 的中点坐标为(0,2),则双曲线的方程是( x A. -y2=1 4 x2 y2 C. - =1 2 3 [答案] B x2 y2 5 16 [解析] 由条件知 P( 5,4)在双曲线 2- 2=1 上,∴ 2- 2 =1, a b a b
2 ? ?a =1 ? 又 a +b =5,∴ 2 ,故选 B. ?b =4 ? 2 2 2

) y2 B.x2- =1 4 x2 y2 D. - =1 3 2

y2 12.(2014· 海南省文昌市检测)设 F1、F2 是双曲线 x2- =1 的两个焦点,P 是双曲线上 24 的一点,且 3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2 的面积等于( A.4 2 C.24 [答案] C [解析] 由 3|PF1|=4|PF2|知|PF1|>|PF2|,由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=8, |PF2|=6,又 c2=a2+b2=1+24=25,∴c=5,∴|F1F2|=10, 1 ∴△PF1F2 为直角三角形,S△PF1F2= |PF1||PF2|=24. 2 x2 y2 x2 y2 13.(2014· 许昌、新乡、平顶山调研)若椭圆 + =1(m>n>0)和双曲线 - =1(a>0, m n a b b>0)有相同的焦点 F1、F2,P 是两曲线的一个交点,则|PF1|· |PF2|的值为( A.m2-a2 1 C. (m-a) 2 [答案] D [解析] 设点 P 为双曲线右支上的点, 由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2 m, 由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2 a. ∴|PF1|= m+ a,|PF2|= m- a, ∴|PF1|· |PF2|=m-a. 二、填空题 x2 y2 14.设点 P 是双曲线 - =1 上任意一点,F1、F2 分别是左、右焦点,若|PF1|=8, 36 28 则|PF2|=________. B. m- a D.m-a ) B.8 3 D.48 )

[答案] 20 [解析] 由题意知,a=6,c= a2+b2= 36+28=8, ∵|PF1|=8<a+c=14,∴点 P 在双曲线的左支上, ∴|PF2|-|PF1|=2a=12, ∴|PF2|=|PF1|+12=8+12=20. 15.一动圆过定点 A(-4,0),且与定圆 B:(x-4)2+y2=16 相外切,则动圆圆心的轨迹 方程为________. [答案] x2 y2 - =1(x≤-2) 4 12

[解析] 设动圆圆心为 P(x,y),由题意得 |PB|-|PA|=4<|AB|=8, 由双曲线定义知,点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点,且 2a=4,a=2 的双曲线的左支. x2 y2 其方程为: - =1(x≤-2). 4 12 三、解答题 x2 y2 16.设双曲线与椭圆 + =1 有共同的焦点,且与椭圆相交,在第一象限的交点 A 的 27 36 纵坐标为 4,求此双曲线的方程. [答案] y2 x2 - =1 4 5

x2 y2 [解析] 椭圆 + =1 的焦点为(0,± 3), 27 36 y2 x2 由题意,设双曲线方程为: 2- 2=1(a>0,b>0), a b x2 y2 2 又点 A(x0,4)在椭圆 + =1 上,∴x0 =15, 27 36 y2 x2 16 15 又点 A 在双曲线 2- 2=1 上,∴ 2 - 2 =1, a b a b 又 a2+b2=c2=9,∴a2=4,b2=5, y2 x2 所求的双曲线方程为: - =1. 4 5 17.当 0° ≤α≤180° 时,方程为 x2cosα+y2sinα=1 表示的曲线怎样变化? [答案] α = 0° 或 90° 表示直 线 0° <α<45° 或 45° <α<90° 表示 椭圆 α = 45° 表示圆

90° <α<180° 表示双曲线 α=180° 不表示任何曲线 [解析] (1)当 α=0° 时,方程 x2=1,它表示两条平行直线 x=1 和 x=-1. (2)当 0° <α<90° 时,方程为 x2 y2 + =1. 1 1 cosα sinα

1 1 ①当 0° <α<45° 时,0< < ,它表示焦点在 y 轴上的椭圆. cosα sinα ②当 α=45° 时,它表示圆 x2+y2= 2. 1 1 ③当 45° <α<90° 时, > >0,它表示焦点在 x 轴上的椭圆. cosα sinα (3)当 α=90° 时,方程为 y2=1,它表示两条平行直线 y=1 和 y=-1. (4)当 90° <α<180° 时,方程为 y2 x2 - =1,它表示焦点在 y 轴上的双曲线. 1 1 sinα -cosα

(5)当 α=180° 时,方程为 x2=-1,它不表示任何曲线.


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