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2016年北京朝阳高三二模数学(理科)试题及答案(word版)


2016 年北京朝阳高三二模数学试题及答案(word 版)

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数学试卷(理工类)2016.5
本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分(选择题共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小

题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项.
x 1.已知集合 A ? x 1 ? 2 ? 4 , B ? x x ? 1 ? 0 ,则 A I B =

?

?

?

?

A. x 1 ? x ? 2 B. x 0 ? x ? 1 C. x 0 ? x ? 1 D. x 1 ? x ? 2

?

?

?

?

?

?

?

?

2.复数 z ?

i ( i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于 1? i
D.第四象限

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

3.执行如图所示的程序框图,输出 的 S 值为 A.6 C.14 B.10 D.15
k ? 2, S ? 1
开始

k ? k ?1
4 .已知非零向量 a , b , “ a ∥ b ” 是 “ a ∥ ( a ? b ) ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
输出 S 的值

k ? 5?



S ? S ?k



结束

5.同时具有性质:“①最小正周期是 ? ; ②图象关于直线 x ?

? 对称; 3

③在区间 ?

? 5? ? , ? 上是单调递增函数”的一个函数可以是 ?6 ? ?
x 2

? ?? ) B. y ? sin(2 x ? ) 6 6 ? ? C. y ? cos(2 x ? ) D. y ? sin(2 x ? ) 3 6
A. y ? cos( ?

6.已知函数 f ( x ) ? ?

?

x ? 1, x ? 2,

? 2 ? log a x, x ? 2

(a ? 0 且 a ? 1) 的最大值为 1 ,则 a 的取值范围是
C. ( 0, ] D. (1, ?? )

A. [ , 1)

1 2

B. (0,1)

1 2

7.某学校高三年级有两个文科班,四个理科班,现每个班指定 1 人,对各班的卫生进行检 查. 若每班只安排一人检查, 且文科班学生不检查文科班, 理科班学生不检查自己所在的班, 则不同安排方法的种数是 A. 48 B. 72 C. 84 D. 168

8.已知正方体 A 的棱长为 2, E 是棱 D 1 C 1 的中点,点 F 在正方体内部或 B C D ? A B C D 11 1 1 正方体的表面上,且 EF ∥平面 A1 BC1 ,则动点 F 的轨迹所形成的区域面积是 A.

9 B. 2 3 C . 3 3 D . 4 2 2

第二部分(非选择题共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9.双曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1 的渐近线方程是;若抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点与 3

双曲线 C 的一个焦点重合,则 p ? .

10.如图, P 为⊙ O 外一点, PA 是⊙ O 的切线, A 为切点,割线 PBC

与⊙ O 相交于 B, C 两点,且 PC ? 3PA , D 为线段 BC 的中点,

AD 的延长线交⊙ O 于点 E .若 PB ? 1 ,则 PA 的长为______;

AD ? DE 的值是.

A P B O D E C

11.已知等边 ?ABC 的边长为 3, D 是 BC 边上一点,若 BD ? 1 ,则

uuu r uuu r AC ? AD 的值是______.
? x ? 0, ? y ? x, ? 12.已知关于 x, y 的不等式组 ? 所表示的平面区域 D 为三角形区域,则实数 k 的 x ? y ? 2, ? ? ?2 x ? y ? k
取值范围是.

13.为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召,某经销商投资 60 万元建了一个蔬菜生产 基地.第一年支出各种费用 8 万元,以后每年支出的费用比上一年多 2 万元.每年销售蔬菜的 收入为 26 万元.设 f ( n) 表示前 n 年的纯利润( f ( n) =前 n 年的总收入-前 n 年的总费用支 出-投资额) ,则 f (n) ? (用 n 表示) ;从第年开始盈利.

14.在平面直角坐标系 xOy 中,以点 A (2, 0) ,曲线 y ? 1 ? x 2 上的动点 B ,第一象限内 的点 C ,构成等腰直角三角形 ABC ,且 ?A ? 90? ,则线段 OC 长的最大值是.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中 , 角 A , B , C 的 对 边 分 别 是 a , b , c , 已 知 cos 2 A ? ?

1 , 3

c ? 3,sin A ? 6 sin C .

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ) 若角 A 为锐角,求 b 的值及 ?ABC 的面积.

16. (本小题满分 13 分) 交通指数是交通拥堵指数的简称, 是综合反映某区域道路网在某特定时段内畅通或拥堵实际

10) ,五个级别规定如下: 情况的概念性指数值.交通指数范围为 (0,
交通指数 级别

(0, 2)
畅通

[2, 4)
基本畅通

[4, 6)
轻度拥堵

[6,8)
中度拥堵

[8,10)
严重拥堵

某人在工作日上班出行每次经过的路段都在同一个区域内,他随机记录了上班的 40 个 工作日早高峰时段(早晨 7 点至 9 点)的交通指数(平均值),其统计结果如直方图所示. (Ⅰ)据此估计此人 260 个工作日中早高峰时段(早晨 7 点至 9 点)中度拥堵的 天数; (Ⅱ)若此人早晨上班路上所用时间近似为:畅通时 30 分钟,基本畅通时 35 分钟, 轻度拥堵时 40 分钟,中度拥堵时 50 分钟,严重拥堵时 70 分钟,以直方图 中各种路况的频率作为每天遇到此种路况的概率, 求此人上班路上所用时间 X 的数学期望.

频率 组距 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 交通指数值

17. (本小题满分 14 分)

如图 1,在等腰梯形 ABCD 中, BC // AD , BC ?

1 AD ? 2 , ?A ? 60? , E 为 AD 2

中点,点 O, F 分别为 BE, DE 的中点.将 ?ABE 沿 BE 折起到 ?A1 BE 的位置,使得平面 . A1BE ? 平面 BCDE (如图 2) (Ⅰ)求证: AO ? CE ; 1 (Ⅱ)求直线 A 所成角的正弦值; 1B 与平面 ACE 1

P ,使得 BP // 平面 AOF (Ⅲ)侧棱 AC ? 若存在,求出 1 上是否存在点 1
存在,请说明理由. A1 A E D F

A1 P 的值;若不 A1C

E O B 图1 C B 图2 C

D

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ?

1 2 x ? (a ? 1) x ? ( 1 ? a) ln x , a ? R . 2

(Ⅰ)当 a ? 3 时,求曲线 C : y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程;

? ?1 ? x ? 2, ? ,2 ? 时,若曲线 C : y ? f ( x) 上的点 ( x, y ) 都在不等式组 ? x ? y , 所表示的 (Ⅱ)当 x ??1 ? 3 ?y ? x ? ? 2
平面区域内,试求 a 的取值范围.

19. (本小题满分 14 分)

在平面直角坐标系 xOy 中,点 P( x0 , y0 )( y0 ? 0) 在椭圆 C : 的方程为

x2 ? y 2 ? 1上,过点 P 的直线 l 2

x0 x ? y0 y ? 1 . 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)若直线 l 与 x 轴、 y 轴分别相交于 A, B 两点,试求 ?OAB 面积的最小值; (Ⅲ) 设椭圆 C 的左、 右焦点分别为 F 点 Q 与点 F 求证: 点 Q, P, F2 1 ,F2 , 1 关于直线 l 对称, 三点共线.

20. (本小题满分 13 分) 已 知 集 合 S ? ?k 1 ? k ?

? ? ? ?

? 3n ? 1 ? , k ? N? ? (n ? 2 , 且 n ? N? ) . 若 存 在 非 空 集 合 2 ? ?

S1 , S2 ,?, Sn , 使 得 S ? S1 ? S2 ??? Sn , 且 Si ? S j ? ? ( 1 ? i j, ? n i ? , j , )并
?x, y ? i S ( i? 1 , ? 2, n, ) ? x, , 都 y 有 x ? y? S i , 则 称 集 合 S 具 有 性 质 P , Si

( i ? 1, 2,?, n )称为集合 S 的 P 子集. (Ⅰ)当 n ? 2 时,试说明集合 S 具有性质 P ,并写出相应的 P 子集 S1 , S2 ; (Ⅱ)若集合 S 具有性质 P ,集合 T 是集合 S 的一个 P 子集,设 T ? ? {s ? 3 | s ?T } ,
n

求证: ?x, y ? T ? T ? , x ? y ,都有 x ? y ? T ? T ? ; (Ⅲ)求证:对任意正整数 n ? 2 ,集合 S 具有性质 P .

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数学试卷(理工类)2016.5
一、选择题: (满分 40 分) 题号 答案 1 A 2 B 3 B 4 C 5 D 6 A 7 D 8 C

二、填空题: (满分 30 分) 题 号 答 案 9 10 11 12 13 14

y??

3 x ,4 3

3 ,16

6

(??, ?2] ? [0,1)

?n2 ? 19n ? 60 , 5

2 2 ?1

(注:两空的填空,第一空 3 分,第二空 2 分)

三、解答题: (满分 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ) 因为 cos 2 A ? 1 ? 2sin A ? ? ,且 0 ? A ? ? ,
2

1 3

所以 sin A ?

6 . 3

因为 c ? 3,sin A ? 6 sin C , 由正弦定理

a c ? ,得 a ? 6 ? c ? 6 ? 3 ? 3 2 .…………………6 分 sin A sin C

(Ⅱ) 由 sin A ?

3 6 ? . , 0 ? A ? 得 cos A ? 3 3 2

由余弦定理 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ,得 b2 ? 2b ? 15 ? 0 . 解得 b ? 5 或 b ? ?3 (舍负) . 所以 S?ABC ?

1 5 2 . bc sin A ? 2 2

…………………13 分

解: (Ⅰ)由已知可得:上班的 40 个工作日中早高峰时段中度拥堵的频率为 0.25, 据此估计此人 260 个工作日早高峰时段(早晨 7 点至 9 点)中度拥堵的天数为 260×0.25=65 天. ……………………………………………………5 分

(Ⅱ)由题意可知 X 的可能取值为 30,35, 40,50, 70 . 且 P( X ? 30) ? 0.05 ; P( X ? 35) ? 0.10 ; P( X ? 40) ? 0.45 ;

P( X ? 50) ? 0.25 ; P( X ? 70) ? 0.15 ;
所以 EX ? 30 ? 0.05+35 ? 0.1+40 ? 0.45+50 ? 0.25+70 ? 0.15=46 . …………………………………13 分 17. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)如图 1,在等腰梯形 ABCD 中, 由 BC //AD , BC ?

1 AD ? 2 , ?A ? 60? , E 为 AD 中点, 2

所以 ?ABE 为等边三角形.如图 2, 因为 O 为 BE 的中点,所以 AO ? BE . 1

BCDE , 又因为平面 A 1BE ? 平面 BCDE ? BE , 且平面 A 1BE ? 平面
所以 AO ? 平面 BCDE ,所以 AO ? CE .………4 分 1 1

A

E

D

B 图1

C

A1

E O 图2 B C

F

D

(Ⅱ)连结 OC ,由已知得 CB ? CE ,又 O 为 BE 的中点,

所以 OC ? BE . 由(Ⅰ)知 AO ? 平面 BCDE , 1 所以 AO ? BE, AO ? OC , 1 1 所以 OA 1 , OB, OC 两两垂直. 以 O 为原点, OB, OC, OA1 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系(如图) .

z z A1 X P E B x z X O C y z X F D

因为 BC ? 2 ,易知 OA 1 ? OC ? 3 . 所以 A , 0,3), B(1 , 0, 0), C(0,3, 0), E(?1 , 0, 0) , 1 (0 所以 A , 0, ? 3), AC ? (0,3, ? 3), A , 0, ? 3) . 1B ? (1 1 1E ? (?1 设平面 ACE 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) , 1

????

????

????

???? ? ? n ? ? y ? z ? 0, ? A1C ? 0, ? ? 3 y ? 3z ? 0, 由 ? ???? 得? 即? ? ? ? ? x ? 3 z ? 0. ?n ? A1 E ? 0 ?? x ? 3z ? 0.
取 z ? 1 ,得 n ? (? 3,1,1) .

设直线 A 所成角为 ? , 1B 与平面 ACE 1 则 sin ? ? cos? A1 B, n? ?

????

? 3? 3 3 15 . ? ? 5 2? 5 5

所以直线 A 所成角的正弦值为 1B 与平面 ACE 1

15 . 5

…………………9 分

P ,使得 BP // 平面 AOF (Ⅲ)假设在侧棱 AC . 1 上存在点 1
设A 1P ? ? AC 1 , ? ? [0,1] . 因为 BP ? BA , 1?A 1P ? BA 1 ? ? AC 1 所以 BP ? (?1 , 0,3) ? ?(0,3, ? 3) ? (?1, 3?, 3 ? 3?) . 易证四边形 BCDE 为菱形,且 CE ? BD , 又由(Ⅰ)可知, AO . ? CE ,所以 CE ? 平面 AOF 1 1 所以 CE ? (?1, ? 3,0) 为平面 AOF 的一个法向量. 1 由 BP ? CE ? (?1, 3?, 3 ? 3? ) ? (?1, ? 3,0) ? 1 ? 3? ? 0 ,得 ? ?

????

????

??? ?

???? ????

????

????

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

1 ? [0,1] . 3

P ,使得 BP // 平面 AOF 所以侧棱 AC ,且 1 上存在点 1

A1 P 1 ? . …………14 分 A1C 3

18. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 3 时, f ( x) ? ?

1 2 x ? 4 x ? 2 ln x , x ? 0 . 2

f ?( x) ? ? x ? 4 ?

2 . x

1 7 ?4? . 2 2 7 所以曲线 C 在点(1, f (1) )处的切线方程为 y ? ? x ? 1 ,即 2 x ? 2 y ? 5 ? 0 . 2
则 f ?(1) ? ?1 ? 4 ? 2 ? 1 ,而 f (1) ? ? …………………………………………………………………………4 分

? ?1 ? x ? 2, ? (Ⅱ)依题意当 x ??1, 2? 时,曲线 C 上的点 ? x, y ? 都在不等式组 ? x ? y , 所表示的平面 ? 3 ?y ? x ? ? 2
区域内,等价于当 1 ? x ? 2 时, x ? f ( x) ? x ? 设 g ( x) ? f ( x) ? x ? ? 所以 g ?( x)= ? x+a+

3 恒成立. 2

1 2 x ? ax ? ( 1 ? a) ln x , x ??1, 2? . 2

1? a ? x 2 ? ax ? (1 ? a) ?(x ? 1)(x ? ? a ? 1)) = = . x x x

(1)当 a ? 1 ? 1 ,即 a ? 2 时,当 x ??1, 2? 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 为单调减函数,

1 3 ? g (1) ? a ? ? , ? 所以 g (2) ? g ( x) ? g (1) .依题意应有 ? 2 2 ? ? g ( 2) ? ?2 ? 2a ? (1 ? a )ln2 ? 0,
解得 ?

?a ? 2, 所以 1 ? a ? 2 . ? a ? 1.

(2)若 1 ? a ? 1 ? 2 ,即 2 ? a ? 3 时,当 x ??1, a ?1? , g ?( x) ? 0 , g ( x) 为单调增函 数, 当 x ? ? a ?1, 2? , g ?( x) ? 0 , g ( x) 为单调减函数. 由于 g (1) ?

3 ,所以不合题意. 2 1 5 ? ,显然不合题意. 2 2

(3)当 a ? 1 ? 2 ,即 a ? 3 时,注意到 g (1) ? a ?

综上所述, 1 ? a ? 2 .…………………………………………13 分

19. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)依题意可知 a ?

2 , c ? 2 ?1 ? 1 ,

所以椭圆 C 离心率为 e ?

1 2 .…………… 3 分 ? 2 2

(Ⅱ)因为直线 l 与 x 轴, y 轴分别相交于 A, B 两点,所以 x0 ? 0, y0 ? 0 . 令 y ? 0 ,由

x0 x 2 2 ? y0 y ? 1 得 x ? ,则 A( , 0) . 2 x0 x0

令 x ? 0 ,由

x0 x 1 1 ? y0 y ? 1 得 y ? ,则 B(0, ) . 2 y0 y0

所以 ?OAB 的面积 S ?OAB ?

1 1 2 1 OA OB ? ? . 2 2 x0 y0 x0 y0

因为点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 C :

x2 x2 ? y 2 ? 1上,所以 0 ? y0 2 ? 1 . 2 2

所以 1 ?

xy 1 x0 2 2 ,则 ? 2. ? y0 2 ? 2 0 0 .即 x0 y0 ? 2 x0 y0 2 2
1 1 OA OB ? ? 2. 2 x0 y0

所以 S?OAB ?

当且仅当

x0 2 2 ? y0 2 ,即 x0 ? ?1, y0 ? ? 时, ?OAB 面积的最小值为 2 . … 9 分 2 2

(Ⅲ)①当 x0 ? 0 时, P(0, ?1) . 当直线 l : y ? 1 时,易得 Q(?1, 2) ,此时 kF2 P ? ?1 , kF2Q ? ?1. 因为 kF2Q ? kF2 P ,所以三点 Q, P, F2 共线. 同理,当直线 l : y ? ?1 时,三点 Q, P, F2 共线.

②当 x0 ? 0 时,设点 Q(m, n) ,因为点 Q 与点 F 1 关于直线 l 对称,

n ? x0 m ? 1 ? 2 ? 2 ? y0 ? 2 ? 1, ? ? x0 m ? 2 y0 n ? x0 ? 4 ? 0, ? 所以 ? n ? 0 整理得 ? x ? 2 y0 m ? x0 n ? 2 y0 ? 0. ? 2 ? (? 0 ) ? ?1. ? m ?1 2 y0 ?1 ? ? 2
2 2 ? x0 ? 4 x0 ? 4 y0 m ? , ? 2 2 4 y0 ? x0 ? 解得 ? ? n ? 4 x0 y0 ? 8 y0 . 2 2 ? 4 y0 ? x0 ?

所以点 Q(

2 2 x0 ? 4 x0 ? 4 y0 4x y ? 8 y , 0 20 2 0 ) . 2 2 4 y0 ? x0 4 y0 ? x0

又因为 F2 P ? ( x0 ?1, y0 ) , F2Q ? (

???? ?

???? ?

2 2 x0 ? 4 x0 ? 4 y0 4x y ? 8 y ? 1, 0 20 2 0 ) ,且 2 2 4 y0 ? x0 4 y0 ? x0

(

2 2 x0 ? 4 x0 ? 4 y0 4 x0 y0 ? 8 y0 (4 x0 ? 8 y0 2 ) ? (4 x0 ? 8)( x0 ? 1) ? 1) ? y ? ? ( x ? 1) ? y ? 0 0 0 2 2 2 2 2 2 4 y0 ? x0 4 y0 ? x0 4 y0 ? x0

4 x0 ? 8 y0 2 ? (4 x0 2 ? 4 x0 ? 8) ? y0 ? 2 2 4 y0 ? x0 ? y0 ? ?8 y02 ? 4 x02 ? 8 ?4(2 y02 ? x02 ) ? 8 ?4 ? 2 ? 8 ? y ? ? y0 ? 2 ? 0. 0 2 2 2 2 2 4 y0 ? x0 4 y0 ? x0 4 y0 ? x0

所以 F2 P// F2Q .所以点 Q, P, F2 三点共线. 综上所述,点 Q, P, F2 三点共线. …………………………………14 分

???? ? ???? ?

20. (本小题满分 13 分) 证明: (Ⅰ)当 n ? 2 时, S ? {1, 2,3, 4} ,令 S1 ? {1, 4} , S2 ? {2,3} , 则 S ? S1 ? S2 , 且对 ?x, y ? Si (i ? 1,2), x ? y ,都有 x ? y ? Si , 所以 S 具有性质 P .相应的 P 子集为 S1 ? {1, 4} , S2 ? {2,3} . (Ⅱ)①若 x, y ? T (1 ? y ? x ? ………… 3 分

3n ? 1 ) ,由已知 x ? y ? T , 2

3n ? 1 ? 1 ? 3n ,所以 x ? y ?T ? .所以 x ? y ? T ? T ' . 又x? y ? 2
n n ②若 x, y ? T ? ,可设 x ? s ? 3 , y ? r ? 3 , r , s ? T ,且 1 ? r ? s ?

3n ? 1 , 2

此时 x ? y ? ( s ? 3n ) ? (r ? 3n ) ? s ? r ?

3n ? 1 ? 1 ? 3n . 2

所以 x ? y ? T ' ,且 x ? y ? s ? r ? T .所以 x ? y ? T ? T ? . ③若 y ? T , x ? s ? 3 ? T ? , s ? T ,
n

则 x ? y ? ( s ? 3n ) ? y ? ( s ? y ) ? 3n ? (1 ?

3n ? 1 3n ? 3 3n ? 1 , ) ? 3n ? ? 2 2 2

所以 x ? y ? T . 又因为 y ? T , s ? T , 所以 s ? y ? T . 所以 x ? y ? (s ? 3n ) ? y ? (s ? y) ? 3n ?T ? . 所以 x ? y ? T ? T ' . 综上,对于 ?x, y ? T ? T ' , x ? y ,都有 x ? y ? T ? T ' . …………… 8 分

(Ⅲ)用数学归纳法证明. (1)由(Ⅰ)可知当 n ? 2 时,命题成立,即集合 S 具有性质 P . (2)假设 n ? k ( k ? 2 )时,命题成立.即 S ? {1, 2,3,?,

3k ? 1 } ? S1 ? S2 ??? Sk , 2

且 Si ? S j ? ? (1 ? i, j ? n, i ? j) , ?x, y ? Si (i ? 1, 2,?, k ), x ? y ,都有 x ? y ? Si . 那么当 n ? k ? 1 时,记 Si? ? {s ? 3 | s ? Si } ,
k



?? ? S1 ? S1? , S2 ?? ? S2 ? S2 ?, 并构造如下 k + 1个集合: S1
???1 ? { Sk 3k ? 1 3k ? 1 3k ? 1 ? 1, ? 2,?, 2 ? ? 1} , 2 2 2

?? ? Sk ? Sk ?, , Sk

显然 Si??? S ?? j ? ? (i ? j ) .

又因为

3k ?1 ? 1 3k ? 1 3k ?1 ? 1 ?? ??? Sk ?? ? Sk ???1 ? {1, 2,3,?, ? 3? ? 1 ,所以 S1??? S2 }. 2 2 2

下面证明 Si?? 中任意两个元素之差不等于 Si?? 中的任一元素 (i ? 1, 2,?, k ? 1) .

3k ? 1 3k ? 1 3k ? 1 ?? ? r , ? s ? S 1 ? r ? s ? ?1, ①若两个元素 k ?1 , 2 2 2
则(

3k ? 1 3k ? 1 3k ? 1 , ? s) ? ( ? r) ? s ? r ? 2 2 2

所以 (

3k ? 1 3k ? 1 ???1 . ? s) ? ( ? r ) ? Sk 2 2

②若两个元素都属于 Si?? ? Si ? Si? (1 ? i ? k ) , 由(Ⅱ)可知, Si?? 中任意两个元素之差不等于 Si?? 中的任一数 (i ? 1, 2,?, k ? 1) . 从而, n ? k ? 1 时命题成立.

综上所述,对任意正整数 n ? 2 ,集合 S 具有性质 P .………………………13 分


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