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1.3简单逻辑联结词


1.3

简单的逻辑联结词

复习回顾
1.命题的定义是什么?

用语言、符号或式子表达的,可以 判断真假的陈述句叫做命题.
2.充分条件、必要条件和充要条件的含义分 别是什么?

若 p 若 p

q ,则称p是q的充分条件, 且q是p的必要条件. q ,则

p是q的充要条件.

思 考 3.

“甲是乙的父亲且甲是乙的老师”与
“甲是乙的父亲或甲是乙的老师”的 含义相同吗?

且与或

探究(一)

思考:下列三个语句是命题吗?它们之间 有什么关系?

(1)12能被3整除;
(2)12能被4整除; (3)12能被3整除且能被4整除.
命题(3)是由简单命题(1)(2)使用 联结词“且”联结得到的新复合命题.

了解概念

简单命题:不含逻辑联结词的命题叫做 简单命题 复合命题:简单命题再加上一些逻辑 联结词构成的命题叫复 合命题

形成结论

一般地,用逻辑联结词“且”把 命题p和命题q联结起来就得到一个新命 题. 记作:

p∧ q

读作:“p且q”

探究p且q的真假

判断下列三个命题的真假性 (1)12能被3整除; (2)12能被4整除;



(3)12能被3整除且能被4整除. 真

问题探究

假 命题p:函数y=x3是偶函数 命题q: 函数y=x3在R上是减函数 假 命题p∧q : 函数y=x3是偶函数且在R上是减函数 假
命题p:三角形三条中线相等 假 命题q: 三角形三条中线相交于一点 真 命题p∧q 三角形三条中线相等且相交与一点



“p且q”形式命题的真假判断
p 真 真 假


q 真 假 真


p且q 真 假 假


一 假 则 假

练 习

以下判断正确的是( )
A.若p是真命题,则“p且q”一定是真命题 B.命题“p且q”是真命题,则命题p一定是真命题 C.命题“p且q”是假命题时,命题p一定是假命题 D.命题p是假命题时,命题“p且q”不一定是假命题

探讨问题
1.如何利用集合的观点理解“且”?

对“且”的理解,可联想集合中“交
集”的概念,“x∈A∩B”是指“x∈A”, “x∈B”要同时满足的意思,即x既属于集 合A,又属于集合B.用“且”联结两个命 题p与q所构成的复合命题是“p且q”,当且 仅当“p真、q真”时,“p且q”为真.

探究(二)
思考:下列三个语句是命题吗?它们之间有 什么关系? (1)27是9的倍数;

(2)27是7的倍数;
(3)27是9的倍数或是7的倍数;

命题(3)是由简单命题(1)(2)使用 联结词“或”联结得到的新的复合命题

形成结论

一般地,用逻辑联结词“或”把命题 p和命题q联结起来就得到一个新命题. 记作: p∨q 读作:“p或q”

探究p或q的真假

判断下列三个命题的真假性 (1) 27是7的倍数; (2) 27是9的倍数;

假 真 真

(3) 27是9的倍数或是7的倍数;

“p或q”形式命题的真假判断
p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p或q 真 真 真 假

一 真 则 真

例1
将下列命题分别用“且”与“或”联结成新 命题p∧q与p∨q的形式,并判断它们的真假。 (1)p:平行四边形的对角线互相平分 真

q:平行四边形的对角线相等



解: p∧q:平行四边形的对角线互相平分且 假 相等 p∨q:平行四边形的对角线互相平分或 真 相等

(2)p:菱形的对角线互相垂直 q:菱形的对角线互相平分

真 真

解: p∧q:菱形的对角线互相垂直且平分 p∨q:菱形的对角线互相垂直或平分 (3)p:35是15的倍数 q:35是7的倍数




假 真
假 真

解: p∧q:35是15的倍数且是7的倍数 p∨q:35是15的倍数或是7的倍数

例2
判断下列命题的真假: (1)6是自然数且是偶数

p:6是自然数 q:6是偶数,由联结词“且”联结 p为真命题,q为真命题,所以p且q为真命题 (2)2≤2
p:2=2 q:2<2,由联结词“或”联结 p是真命题,q是假命题,则p或q是真命题。

方法总结 判断“ p 或 q”“p 且 q” 形式命题的真假, 主要利用真值表来判断,其步骤是:

练习
判断下列命题的真假: (1)集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集; 真 (2)周长相等的两个三角形全等或面积相 等的两个三角形全等; 假

(3)3≥4或3<4

真 (4)3≥4且3<4 假

例 3
? 已知p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负 根,q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根, 若p或q为真,p且q为假,求m的取值范围.

m≥3或1<m≤2

练 习
已知命题p:对任意x∈R,函数y=lg(2x-m+1) 有意义,命题q:指数函数f(x)=(5-2m)x是增函 数,若“p∧q”为真,求实数m的取值范围。 m≤1

探讨问题 2.如何利用集合的观点理解“或”?
对“或”的理解,可联想集合中 “并集”的概念,“x∈A∪B ”是 指“x∈A ”,“x∈B ”其中至少 有一个是成立的,即可以“x∈A且 x?B”,也可以“x?A且x∈B”,也 可以“x∈A且x∈B ”.逻辑联结 词中的“或”的含义与“并集”中 的“或”的含义是一致的.

注 意
它们都不同于日常生活用语中的“或”的含义, 生活用语中的“或”表示“不兼有”,而数学 中的“或”则表示“可兼有也可不必兼有”.

说明:符号“∧”与“∩”开口都是向下,符 号“∨”与“∪”开口都是向上。 注意:“p或q”,“p且q”,命题中的“p”、 “q”是个命题,而原命题,逆命题,否命题, 逆否命题中的“p”,“q”是一个命题的条件和结 论两个部分.

1.3

简单的逻辑联结词
第二课时

复习回顾

1.命题“p∧q”和“p∨q”的含义分别 是什么?

p∧q:用联结词“且”把命题p和命题 q联结起来得到的命题.
p∨q:用联结词“或”把命题p和命题 q联结起来得到的命题.

2.命题p、q的真假与命题“p∧q” 和“p∨q”的真假分别有什么关系? 当且仅当p、q都是真命题时,p∧q 为真命题; 当且仅当p、q都是假命题时,p∨q 为假命题.



思考1

下列各组语句是命题吗?它们之间有什么关系? 并判明真假. (1)35能被5整除, 真 假 35不能被5整除; (2)函数y=lgx是偶函数, 假 真 函数y=lgx不是偶函数; 真 (3)|a|≥0, 假 | a| < 0 ; (4)方程x2-4=0无实根, 假 方程x2-4=0有实根. 真

定义

一般地,对一个命题p全盘否定,就 得到一个新命题,记作﹁p,读作“非p” 或“p的否定”.

思考3

﹁p的否定是什么?
﹁p的否定是p 命题p与﹁p的真假有什么关系? p与﹁p必有一个是真命题, 另一个是假命题.

例1 已知命题p:负数有平方根,写出 命题﹁p,p的否命题,并判断其真假. ﹁p:负数没有平方根; 否命题:如果一个数是非负数,则这个 数没有平方根.

思考4

命题p:“大于1的数是正数”的否定是什 么?其否命题是什么? ﹁p:大于1的数不是正数.
命题的否定只否定结论 若 p, 则 ﹁ q

否命题:不大于1的数不是正数.
否命题既否定条件也否定结论

若 ﹁ p, 则 ﹁q

例2 写出下列命题的否定,并判断它们 的真假: (1)p:y=sinx是周期函数; (2)p:3<2; (3)p:空集是集合A的子集. (1)﹁p:y=sinx不是周期函数.假命题. (2)﹁p:3≥2. 真命题. (3)﹁p:空集不是集合A的子集. 假命题



=

至少 任 所 至多有 > 是 都是 有一 意 有 一个 个 的 的

不 不都 至少有 没有 某 某 且 ≠ ≤ 是 是 两个 一个 个 些

三种命题的逻辑拓展

问题1:如何从集合的交、并、补运算理解 p∧q、p∨q、﹁p的真假关系?

若x∈P且x∈Q,则x∈P∩Q; 若p为真且q为真,则p∧q为真. 若x∈P或x∈Q,则x∈P∪Q; 若p为真或q为真,则p∨q为真.
若x∈P,则x ? ?U P ; 若p为真,则﹁p为假.

问题2:对于命题p、q,如何确定 ﹁p∧q,﹁p∨q的真假?
当且仅当p为假命题,q为真命题时, ﹁p∧q为真命题; 当且仅当p为真命题,q为假命题 时,﹁p∨q为假命题.

问题3:命题﹁(p∧q)和﹁(p∨q)分别等 价于什么命题?
﹁(p∧q)=﹁p∨﹁q; ﹁(p∨q)=﹁p∧﹁q.

小结

1.命题的否定即﹁p,它是对命题p的全 盘否定,与p的否命题有本质的区别,二者 不能混为一谈.
2.命题p与﹁p有且只有一个为真命题, 命题p与p的否命题的真假关系不确定.

3.对于p∧q,p∨q和﹁p相互渗透的真 假命题,一般应转化为p、q的真假来解决.


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