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江苏省南通市海门中学2013届高三下学期5月月考数学试卷


江苏省南通市海门中学 2013 届高三下学期 5 月月考数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 ....... 上. . 1. 若

1 ? 7i =a ? bi (a, b ? R, i 是虚数单位),则乘积 ab 的值是 2?i

▲ ▲

2. 已知集合 A ? x x2 ? 2x ? 3 ? 0 , B ? x x ? 1 ? 2 ,则 A ? B ?

?

?

?

?


▲ .

3. 已知 2 x1 ? 1,2 x2 ?1,2 x3 ?1, ?,2 xn ?1 的方差是 3, x1 , x2 , x3 ,?, xn 的标准差为 则 4. 右边的程序语句运行后,输出的 S 为 ▲

5. 若实数 a, b 满足 a 2 ? b 2 ? 1 ,则关于 x 的方程 x 2 ? ax ? 有实数根的概率是__▲___

3 2 b ?0 4

6. 已知 ?ABC 中,AB= 3 ,BC=1, sin C ? 3 cos C ,则 ?ABC 的面积为___▲___. 7.公差为 d ,各项均为正整数的等差数列 {an } 中,若 a1 ? 1, an ? 65 ,则 n ? d 的最小值等于 ___▲___.

C 8. 设 f1 ( x) ? cos x , 定义 f n?1 ( x) 为 f n (x) 的导数, f n?1 ( x) ? f ' n ( x) , ?N , ?A 即 若 B n
*

的内角 A 满足 f1( A) ? f2( A) ? ? ? f2013( A) ? 0 ,则 sin A 的值是



.

9.已知球 O 的面上有四点 A, B, C , D , DA ? 平面 ABC , AB ? BC , DA ? AB ? BC ? 2 , 则球 O 的体积与表面积的比为 ▲ .

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 10.设 x, y 满足的约束条件 ?8 x ? y ? 4 ? 0 , 若目标函数 z ? abx ? y 的最大值为 8, 则 a ? b ? x ? 0, y ? 0 ?
的最小值为 11. 已知双曲线 ▲ .(a、b 均大于 0)

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 1, b ? 0) 的焦距为 2c ,离心率为 e ,若点(-1,0)和(1,0)到 a2 b2
▲ .

直线

x y 4 ? ? 1 的距离之和为 S ≥ c ,则 e 的取值范围是 a b 5

12.平面上的向量

???? 2 ???? MA 与 MB 满 足 M A ? M B? 4 , 且 MA ? MB ? 0 , 若 点 C 满 足

MC ?

1 2 MA ? MB ,则 MC 的最小值为______________▲________ 3 3
? ? f ( x) 满 足 f ( x 1 ) f ( x?)
2

13 . 对 任 意 x ? R , 函 数

[ f


1 x ?, ]设 ( ) 2


an ? [ f (n)]2 ? f (n) ,数列 {an } 的前 15 项的和为 ?
14.设函数 f ? x ? ? x ? 范围是

31 ,则 f (15) ? 16

1 ,对任意 x ? [1,??), f (mx) ? mf ( x) ? 0 恒成立,则实数 m 的取值 x



二、解答题: 本大题共 6 小题, 15~17 每小题 14 分,18~20 每小题 16 分,共计 90 分.请 在答题卡指定的区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ........... ....................
?? ? ?? ? 15. (本小题满分 14 分)已知向量 m ? (sin A,cos A), n ? (cos B,sin B), m ? n ? sin 2C, A、B、C 且

分别为 ?ABC 的三边 a,b,c 所对的角. (1)求角 C 的大小; ??? ??? ??? ? ? ? (2)若 sin A,sin C,sin B成等比数列,且CA ? ( AB ? AC) ? 18,求c的值 .

16. (本小题满分 14 分)如图,在多面体 ABCDEFG 中,平面 ABC ∥平面 DEFG , AD

BA ⊥平面 DEFG , ? AC , ED ? DG , EF ∥ DG . AC ? 1, AB ? ED ? EF ? 2 , 且 AD ? DG ? 4 .
(Ⅰ)求证: BE ? 平面 DEFG ; (Ⅱ)求证: BF ∥平面 ACGD ; A B C

D E F

G

17. (本小题满分 15 分)如图,有一块边长为 1 (百米)的正方形区域 ABCD 。在点 A 处有一 个可转动的探照灯,其照射角 ?PAQ 始终为 45
0

(其中点 P , Q 分别在边 BC , CD 上),设

?PAB ? ? , tan? ? t .
(1)用 t 表示出 PQ 的长度,并探求 ?CPQ 的周长 l 是否为定值; (2)问探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 至多为多少(平方百米)?
D Q C

P
450

A

?

第 19 题图

B

18. (本小题满分 15 分)已知椭圆 心率为 e . (1)若 e ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 4,设右焦点为 F1 ,离 a 2 b2

2 ,求椭圆的方程; 2

(2)设 A 、 B 为椭圆上关于原点对称的两点, AF1 的中点为 M , BF1 的中点为 N ,若原 点 O 在以线段 MN 为直径的圆上. ①证明点 A 在定圆上; ②设直线 AB 的斜率为 k ,若 k ? 3 ,求 e 的取值范围.

19. ( 本 小 题 满 分 16 分 ) 设 A( x A , y A ), B( xB , yB ) 为 平 面 直 角 坐 标 系 上 的 两 点 , 其 中

x A , y A , xB , yB ? Z .令 ?x ? xB ? x A ,?y ? yB ? y A ,若 ?x + ?y =3 ,且 | ?x | ? | ?y |? 0 ,则
称点 B 为点 A 的“相关点” ,记作: B ? ? ( A) . 已知 P0 ( x0 , y0 ) ( x0 , y0 ? Z) 为平面上一 个定点, 平面上点列 {Pi } 满足: i ? ? ( P?1 ) , 且点 Pi 的坐标为 ( xi , yi ) , 其中 i ? 1,2,3,..., n . P i (Ⅰ)请问:点 P0 的“相关点”有几个?判断这些“相关点”是否在同一个圆上,若在 同一个圆上,写出圆的方程;若不在同一个圆上,说明理由; (Ⅱ)求证:若 P0 与 Pn 重合, n 一定为偶数; (Ⅲ)若 P0 (1,0) ,且 yn ? 100 ,记 T ? ? xi ,求 T 的最大值.
i ?0 n

1 20. (本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? a( x ? ) ? 2ln x (a ?R) . x
(Ⅰ)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间;

a (Ⅲ)设函数 g ( x) ? ? .若至少存在一个 x0 ? [1,e] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 a x
的取值范围.

江苏省南通市海门中学 2013 届高三下学期 5 月月考数学试卷
参考答案 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 ....... 上. . 1. -3 2. (? 1, 1) 3.

3 2
10. 4

.4. 17

5. __

1 __ 3
.

6.

3 2

7. _17__. 8. 1

9. 1: 3

11.

[

5 , 5] 2

12.

7 4

13.

3 4

14. m ? ?1

二、解答题: 本大题共 6 小题, 15~17 每小题 14 分,18~20 每小题 16 分,共计 90 分.请 在答题卡指定的区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ........... ....................
?? ? ?? ? 15. (本小题满分 14 分)已知向量 m ? (sin A,cos A), n ? (cos B,sin B), m ? n ? sin 2C, A、B、C 且

分别为 ?ABC 的三边 a,b,c 所对的角. (1)求角 C 的大小; ??? ??? ??? ? ? ? (2)若 sin A,sin C,sin B成等比数列,且CA ? ( AB ? AC) ? 18,求c的值 .
?? ? 解:(1)由m ? n ? sin 2C得sin( A ? B) ? sin C ? sin 2C

1 ? ? cos C ? ,? c ? (0, ? ),? c ? 2 3
sin sin (2)? sin A、 C、 B成等比数列 ,?sin 2 c ? sin Asin B,由正弦定理得c2 ? ab

??? ??? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? 1 ? CA ? ( AB ? AC ) ? 18 ,?CA ? CB ? ab cos c ? ab ? 18 ,? ab ? 36 2
? c2 ? 36,? c ? 6

16. (本小题满分 14 分)如图,在多面体 ABCDEFG 中,平 面 ABC ∥ 平 面 DEFG , AD ⊥ 平 面 DEFG , B

A

C

BA ? AC , ED ? DG , EF ∥ DG .
D E F G

且 AC ? 1, AB ? ED ? EF ? 2 , AD ? DG ? 4 . (Ⅰ)求证: BE ? 平面 DEFG ; (Ⅱ)求证: BF ∥平面 ACGD ; 解: (Ⅰ)? 平面 ABC ∥平面 DEFG ,平面 ABC ? 平面 ADEB ? AB ,平面 DEFG ? 平面

ADEB ? DE ,? AB ∥ DE

???2 分

又? AB ? DE ,? 四边形 ADEB 为平行四边形,? BE ∥ AD ??4 分

? AD ? 面 DEFG,? BE ? 平面 DEFG. ??7 分
(Ⅱ) DG 的中点为 M , 设 连接 AM , MF , DM ? 则

1 DG ? 2 , B 2

A

C

? EF ? 2, EF ∥ DG ,∴四边形 DEFM 是平行四边形????9 分
∴ MF ? DE且MF ∥ DE ,由(Ⅰ)知, ADEB 为平行四边形, ∴ AB ? DE且AB ∥ DE ,∴ AB ? MF 且AB ∥ MF , ∴四边形 ABFM 是平行四边形,????12 分 D E F M G

即 BF ∥ AM ,又 BF ? 平面 ACGD ,故 BF ∥平面 ACGD ;????14 分

17. (本小题满分 15 分)如图,有一块边长为 1 (百米)的正方形区域 ABCD 。在点 A 处有一 个可转动的探照灯,其照射角 ?PAQ 始终为 45
0

(其中点 P , Q 分别在边 BC , CD 上),设

?PAB ? ? , tan? ? t .
(1)用 t 表示出 PQ 的长度,并探求 ?CPQ 的周长 l 是否为定值; (2)问探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 至多为多少(平方百米)? )解(1) BP ? t , CP ? 1 ? t ,0 ? t ? 1.
D Q C

?DAQ ? 45 0 ? ? , DQ ? tan( 45 0 ? ? ) ? CQ ? 1 ? 1? t 2t ? . ------------------3 分 1? t 1? t

1? t , 1? t
450

P

A
2

?

2t 2 1 ? t ? PQ ? CP 2 ? CQ 2 ? (1 ? t ) 2 ? ( ) ? ---------------------6 分 1? t 1? t

第 19 题图

B

2t 1 ? t 2 ? ? 1 ? t ? 1 ? t ? 2 ---------------------9 分 ? l ? CP ? CQ ? PQ ? 1 ? t ? 1? t 1? t
(2) S ? S正方形 ABCD ? S ?ABP ? S ?ADQ ? 1 ? 1 ?

1 1 1? t t 1 1? t ?1? t ? ?1? ?1? ? ? 2 2 1? t 2 2 1? t t 1 2 ? (t ? 1) t 1 2 1 t 1 ?1? ? ? ?1? ? ? ( ? 1) ? 1 ? ? ? ? 2 2 1? t 2 2 1? t 2 2 t ?1 t ?1 1 ? 2?( ? ) -----------------12 分 2 t ?1

?1 ? t ? 0 ? S ? 2 ? (
(当且仅当

t ?1 1 t ?1 1 ? ) ? 2?2 ? ? 2? 2 2 t ?1 2 t ?1

t ?1 1 ? ,即 t ? 2 ? 1 等号成立) -----------14 分 2 t ?1

答:探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 至多为 2 ? 2 平方百米.-----------15 分

18. (本小题满分 15 分)已知椭圆 心率为 e . (1)若 e ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 4,设右焦点为 F1 ,离 a 2 b2

2 ,求椭圆的方程; 2

(2)设 A 、 B 为椭圆上关于原点对称的两点, AF1 的中点为 M , BF1 的中点为 N ,若原 点 O 在以线段 MN 为直径的圆上. ①证明点 A 在定圆上; ②设直线 AB 的斜率为 k ,若 k ? 3 ,求 e 的取值范围. 解: Ⅰ)由 e ? (
2 ,c=2,得 a ? 2 2 ,b=2 , 2

所求椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1. 8 4

??????????(4 分)
y0 ? ? ? 2 ? x0 ? , N ? 2 ,? 2 ? . ? ? ?

? x +2 y (Ⅱ)设 A( x0 , y0 ) ,则 B(? x0 , ? y0 ) ,故 M ? 0 , 0 2 ? 2 ???? ???? ? ON ① 由题意,得 OM ? ? 0 .

2 2 化简,得 x0 ? y0 ? 4 ,所以点 A 在以原点为圆心,2 为半径的圆上. ?????(8 分)

? y0 ? kx0 , 2 2 ? x0 k 2 x0 ? 2 2 1 k2 1 ? x0 y0 ? 2 ? 2 ? 1, ? 2 ? 2 ? (1 ? k 2 ) . ② 设 A( x0 , y0 ) ,则 ? 2 ? 2 ? 1, ? ? a b b a b 4 2 ?a ? 2 2 2 ? x0 ? kx0 ? 4 ? x0 ? y0 ? 4 ?

将e ?

c 2 4 ? , b2 ? a2 ? c2 ? 2 ? 4 ,代入上式整理,得 k 2 (2e2 ? 1) ? e4 ? 2e2 ? 1. a a e

因为 e4 ? 2e2 ? 1 ? 0 ,k2>0,所以 2e2 ? 1 ? 0 , 所以 k 2 ?

e4 ? 2e2 ? 1 ≥3 . 2e2 ? 1

?e4 ? 8e2 ? 4 ≥ 0, 2 1 ? ? e ≤ 3 ? 1, 化简,得 ? 2 解之,得 ? e2 ≤ 4 ? 2 3 , 2 2 ?2e ? 1 ? 0. ? ? 2 故离心率的取值范围是 ? ? 2 , ? ? 3 ? 1? . ?????????(15 分) ?

19. ( 本 小 题 满 分 16 分 ) 设 A( x A , y A ), B( xB , yB ) 为 平 面 直 角 坐 标 系 上 的 两 点 , 其 中

x A , y A , xB , yB ? Z .令 ?x ? xB ? x A ,?y ? yB ? y A ,若 ?x + ?y =3 ,且 | ?x | ? | ?y |? 0 ,则
称点 B 为点 A 的“相关点” ,记作: B ? ? ( A) . 已知 P0 ( x0 , y0 ) ( x0 , y0 ? Z) 为平面上一

P 个定点, 平面上点列 {Pi } 满足: i ? ? ( P?1 ) , 且点 Pi 的坐标为 ( xi , yi ) , 其中 i ? 1,2,3,..., n . i
(Ⅰ)请问:点 P0 的“相关点”有几个?判断这些“相关点”是否在同一个圆上,若在 同一个圆上,写出圆的方程;若不在同一个圆上,说明理由; (Ⅱ)求证:若 P0 与 Pn 重合, n 一定为偶数; (Ⅲ)若 P0 (1,0) ,且 yn ? 100 ,记 T ? ? xi ,求 T 的最大值.
i ?0 n

解: (Ⅰ)因为 ?x + ?y =3(?x, ?y 为非零整数) 故 ?x ? 1, ?y ? 2 或 ?x ? 2, ?x ? 1 ,所以点 P 的相关点有 8 个??????2 分 0 又因为 (?x) ? (?y ) ? 5 ,即 ( x1 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 ) ? 5
2 2

2

2

所以这些可能值对应的点在以 P 为圆心, 5 为半径的圆上??????4 分 0

(Ⅱ)依题意 Pn (xn ,yn ) 与 P (x0 ,y0 ) 重合 0 则 xn ? ( xn ? xn?1 ) ? ( xn-1 ? xn?2 ) ? ... ? ( x2 ? x1 ) ? ( x1 ? x0 ) ? x0 ? x0 ,

yn ? ( yn ? yn?1 ) ? ( yn-1 ? yn?2 ) ? ... ? ( y2 ? y1 ) ? ( y1 ? y0 ) ? y0 ? y0
即 (xn ? xn?1 )+(xn -1 ? xn?2 )+...+(x2 ? x1 )+(x1 ? x0 )=0 ,

(yn ? yn?1 )+(yn-1 ? yn?2 )+...+(y2 ? y1 )+(y1 ? y0 )=0
两式相加得

[(xn ? xn?1 )+(yn ? yn?1 )]+[(xn?1 ? xn?2 )+(yn-1 ? yn?2 )]+...+[(x1 ? x0 )+(y1 ? y0 )]=0 (*)
因为 xi , yi ? Z, i ? xi ?1 ? yi ? yi ?1 ? 3(i ? 1,2,3,..., n) x 故 (xi ? xi ?1 )+(yi ? yi ?1 )(i =1,2,3,...,n) 为奇数, 于是(*)的左边就是 n 个奇数的和,因为奇数个奇数的和还是奇数, 所以 n 一定为偶数??????8 分 (Ⅲ)令 ?xi ? xi ? xi ?1, ?yi ? yi ? yi ?1, (i ? 1,2,3,..., n) , 依题意 ( yn ? yn?1 ) ? ( yn?1 ? yn?2 ) ? ... ? ( y1 ? y0 ) ? 100 , 因为 T ?

?x
i ?0

n

i

? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn

? 1 ? (1 ? ?x1 ) ? (1 ? ?x1 ? ?x2 ) ? ?? (1 ? ?x1 ? ?x2 ? ?? ?xn ) ? n ? 1 ? n?x1 ? (n ?1)?x2 ? ?? ?xn ??????10 分
因为有 ?xi + ?yi ? 3,且 ?xi , yi 为非零整数, ? 所以当 ?xi ? 2 的个数越多,则 T 的值越大, 而且在 ?x1, ?x2 , ?x3 ,.., ?xn 这个序列中,数字 2 的位置越靠前,则相应的 T 的值越大 而当 ?yi 取值为 1 或 ? 1 的次数最多时, ?xi 取 2 的次数才能最多, T 的值才能最大.

当 n ? 100 时,令所有的 ?yi 都为 1, ?xi 都取 2, 则 T ? 101 ? 2(1 ? 2 ? ? ? 100) ? 10201 . 当 n ? 100 时, 若 n ? 2k (k ? 50, k ?N* ) , 此时, ?yi 可取 k ? 50 个 1, k ? 50 个 ?1 ,此时 ?xi 可都取 2, S (n) 达到最大 此时 T = n ? 1 ? 2(n ? (n ?1) ? ? ? 1) ? n ? 2n ? 1 .
2

若 n ? 2k ? 1(k ? 50, k ?N* ) ,令 ?yn ? 2 ,其余的 ?yi 中有 k ? 49 个 ?1 , k ? 49 个 1. 相应的,对于 ?xi ,有 ?xn ? 1 ,其余的都为 2, 则 T ? n ? 1 ? 2(n ? (n ? 1) ? ? ? 1) ? 1 ? n ? 2n
2

当 50 ? n ? 100 时,令 ?yi ? 1, i ? 2n ? 100, ?yi ? 2,2n ? 100 ? i ? n, 则相应的取 ?xi ? 2, i ? 2n ? 100, ?yi ? 1,2n ? 100 ? i ? n, 则 T = n ? 1 + 2 (n ? (n ? 1) ? ?(101 ? n)) ?((100 ? n) ? (99 ? n) ??1)

?

n 2 ? 205n ? 10098 2

? n 2 ? 205n ? 10098 , 50 ? n ? 100, ? 2 ? ? 2 n ? 100且为偶数, 综上, T ? ?( n ? 1) , ??????16 分 ? n 2 +2n, n ? 100且为奇数. ? ? ?
1 20. (本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? a( x ? ) ? 2ln x (a ?R) . x
(Ⅰ)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间;

a (Ⅲ)设函数 g ( x) ? ? .若至少存在一个 x0 ? [1,e] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 a x
的取值范围. 解:函数的定义域为 ? 0,??? , f ?( x) ? a(1 ?

1 2 ax2 ? 2x ? a . ?????1 分 )? ? x2 x x2

1 (Ⅰ)当 a ? 2 时,函数 f ( x) ? 2( x ? ) ? 2ln x , f (1) ? 0 , f ?(1) ? 2 . x
所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 0 ? 2( x ? 1) , 即 2 x ? y ? 2 ? 0 .???????????????????????????3 分 (Ⅱ)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) . (1)当 a ? 0 时, h( x) ? ax2 ? 2x ? a ? 0 在 (0, ??) 上恒成立, 则 f ?( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立, 此时 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递减. ?????4 分[来 源:学科网]
2 (2)当 a ? 0 时, ? ? 4 ? 4a ,

(ⅰ)若 0 ? a ? 1 , 由 f ?( x) ? 0 ,即 h( x) ? 0 ,得 x ?

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 或x? ; ??????5 分 a a

由 f ?( x) ? 0 ,即 h( x) ? 0 ,得

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 .?????????6 分 ?x? a a
1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ) 和( , ??) , a a
??????????????7 分

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,

单调递减区间为 (

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 , ). a a

h (ⅱ) a ? 1 , ( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立, f ?( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立, 若 则 此时 f ( x )

在 (0, ??) 上单调递增. ????????????????????????8 分 (Ⅲ) )因为存在一个 x0 ? [1,e] 使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ,

则 ax0 ? 2ln x0 ,等价于 a ?

2 ln x0 .???????????????????10 分 x0

令 F ( x) ?

2 ln x ,等价于“当 x ? ?1,e? 时, a ? F ? x ?min ”. x
2(1 ? ln x) . x2
?????????????????12 分

对 F ( x) 求导,得 F ?( x) ?

因为当 x ? [1, e] 时, F ?( x) ? 0 ,所以 F ( x) 在 [1, e] 上单调递增. ?????14 分 所以 F ( x)min ? F (1) ? 0 ,因此 a ? 0 . 另解:
设 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ax ? 2ln x ,定义域为 ? 0,??? , ????????????????16 分

F? ? x? ? a ?

2 ax ? 2 ? . x x

依题意,至少存在一个 x0 ? [1,e] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立, 等 价于当 x ? ?1,e? 时, F ? x ?max ? 0 . (1)当 a ? 0 时, ???????????????9 分

F ? ? x ? ? 0 在 ?1,e? 恒成立, 所以 F ? x ? 在 ?1,e? 单调递减, 只要 F ? x ?max ? F ?1? ? a ? 0 ,
则不满足题意. ??????????????????????????10 分

(2)当 a ? 0 时,令 F ? ? x ? ? 0 得 x ? (ⅰ)当 0 ?

2 . a

2 ? 1 ,即 a ? 2 时, a

在 ?1,e? 上 F ? ? x ? ? 0 ,所以 F ? x ? 在 ?1,e? 上单调递增,所以 F ? x ?max ? F ? e? ? ae ? 2 ,

2 ,所以 a ? 2 . ??????????????11 分 e 2 2 (ⅱ)当 ? e ,即 0 ? a ? 时,在 ?1,e? 上 F ? ? x ? ? 0 ,所以 F ? x ? 在 ?1,e? 单调递减, a e
由 ae ? 2 ? 0 得, a ? 所以 F ? x ?max ? F ?1? ? a ,

2 .?????????????????12 分 e 2 2 2 2 (ⅲ)当 1 ? ? e ,即 ? a ? 2 时,在 [1, ) 上 F ? ? x ? ? 0 ,在 ( , e] 上 F ? ? x ? ? 0 , a e a a 2 2 所以 F ? x ? 在 [1, ) 单调递减,在 ( , e] 单调递增, a a 2 F ? x ?max ? 0 ,等价于 F ?1? ? 0 或 F ? e ? ? 0 ,解得 a ? 0 ,所以, ? a ? 2 . e
由a ? 0得0 ? a ? 综上所述,实数 a 的取值范围为 (0, ??) . ???????????????16 分


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