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三角形中的三角函数


三角形中的三角函数式
三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一,本节主要帮助考生深刻理解正、余弦定理,掌 握解斜三角形的方法和技巧。 ●难点磁场 (★ ★ ★ ★ ★ )已知△ ABC 的三个内角 A、B、C 满足 A+C=2B.

1 1 2 A?C ? ?? ,求 cos 的值. cos A cos C cos B 2

>●案例探究 [例 1]在海岛 A 上有一座海拔 1 千米的山,山顶设有一个观察站 P,上午 11 时,测得一轮船在岛北 30° 东,俯角为 60° 的 B 处,到 11 时 10 分又测得该船在岛 北 60° 西、俯角为 30° 的 C 处。 (1) 求船的航行速度是每小时多少千米; (2) 又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的 D 处, 问此时船距岛 A 有多 远? 命题意图:本题主要考查三角形基础知识,以及学生的识图能力和综合运用三角知识解决实际问题的 能力. 知识依托:主要利用三角形的三角关系,关键找准方位角,合理利用边角关系. 错解分析:考生对方位角识别不准,计算易出错. 技巧与方法:主要依据三角形中的边角关系并且运用正弦定理来解决问题. 解:(1)在 Rt△PAB 中,∠APB=60° PA=1,∴AB= 3 (千米) 在 Rt△PAC 中,∠APC=30°,∴AC= 在△ACB 中,∠CAB=30°+60°=90°

3 (千米) 3

? BC ? AC 2 ? AB 2 ? ( 30 1 ? ? 2 30 (千米 / 时) 3 6

3 2 30 ) ? ( 3)2 ? 3 3

(2)∠DAC=90°-60°=30° sinDCA=sin(180°-∠ACB)=sinACB=

AB ? BC

3 30 3

?

3 10 10

sinCDA=sin(∠ACB-30°)=sinACB〃cos30°-cosACB〃sin30° ?

3 10 . 10

3 1 3 (3 3 ? 1) 10 ? ? 1? ( 10 ) 2 ? 2 2 10 20
在△ACD 中,据正弦定理得

AD AC , ? sin DCA sinCDA

3 3 10 ? AC ? sin DCA 9? 3 10 ∴ AD ? ? 3 ? sin CDA 13 (3 3 ? 1) 10 20

答:此时船距岛 A 为

9? 3 千米. 13

[例 2]已知△ ABC 的三内角 A、B、C 满足 A+C=2B,设 x=cos

A?C 1 1 ,f(x)=cosB( ). ? 2 cos A cos C

(1)试求函数 f(x)的解析式及其定义域; (2)判断其单调性,并加以证明; (3)求这个函数的值域. 命题意图:本题主要考查考生运用三角知识解决综合问题的能力,并且考查考生对基础知识的灵活运 用的程度和考生的运算能力,属★ ★ ★ ★ 级题目. 知识依托:主要依据三角函数的有关公式和性质以及函数的有关性质去解决问题. 错解分析:考生对三角函数中有关公式的灵活运用是难点,并且不易想到运用函数的单调性去求函数 的值域问题. 技巧与方法:本题的关键是运用三角函数的有关公式求出 f(x)的解析式,公式主要是和差化积和积化 和差公式.在求定义域时要注意|

A?C |的范围. 2
2 cos

解:(1)∵ A+C=2B,∴ B=60° ,A+C=120°

A?C A?C cos 1 cos A ? cos C 2 2 f ( x) ? ? ? 2 cos A ? cos C cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) x 2x ? ? 2 , 1 4 x ? 3 2 ? ? 2x ?1 2

A?C A?C 1 |<60° ,∴ x=cos ∈ ( ,1 ] 2 2 2 3 3 3 1 又 4x2-3≠0,∴ x≠ ,∴ 定义域为( , )∪ ( ,1]. 2 2 2 2
∵ 0°≤| (2)设 x1<x2,∴ f(x2)-f(x1)=

2 x2 4 x2 ? 3
2

?

2 x1 4 x1 ? 3
2

=

2( x1 ? x2 )( 4 x1 x2 ? 3) (4 x1 ? 3)( 4 x2
2 2

1 3 , 若 x1, x2∈ ( , ), 则 4x12-3<0, 4x22-3<0, 4x1x2+3>0, x1-x2<0, ∴ f(x2) 2 2 ? 3)

-f(x1)<0

3 ,1] ,则 4x12-3>0. 2 4x22-3>0,4x1x2+3>0,x1-x2<0,∴ f(x2)-f(x1)<0.
即 f(x2)<f(x1),若 x1,x2∈ (

3 1 3 , )和( ,1 ] 上都是减函数. 2 2 2 1 1 (3)由(2)知,f(x)<f( )=- 或 f(x)≥f(1)=2. 2 2 1 故 f(x)的值域为(-∞,- )∪ [2,+∞ ) . 2
即 f(x2)<f(x1),∴ f(x)在( ●锦囊妙计 本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有: (1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形; (2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化;

(3)能熟练运用三角形基础知识,正、余弦定理及面积公式与三角函数公式配合,通过等价转化或构建 方程解答三角形的综合问题,注意隐含条件的挖掘. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★ ★ ★ ★ ★ )给出四个命题:(1)若 sin2A=sin2B,则△ ABC 为等腰三角形;(2)若 sinA=cosB,则△ ABC 为直角三角形; (3)若 sin2A+sin2B+sin2C<2, 则△ ABC 为钝角三角形; (4)若 cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1, 则△ ABC 为正三角形.以上正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题

A C A C ? tan ? 3 tan tan 的值为__________. 2 2 2 2 4 4 3.(★ ★ ★ ★ ) 在 △ ABC 中 , A 为 最 小 角 , C 为 最 大 角 , 已 知 cos(2A+C)= - , sinB= , 则 3 5
2.(★ ★ ★ ★ )在△ ABC 中, 已知 A、 B、 C 成等差数列, 则 tan cos2(B+C)=__________. 三、解答题 4.(★ ★ ★ ★ )已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形 ABCD 的面积. 5.(★ ★ ★ ★ ★ )如右图,在半径为 R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯,桌子边缘一点 处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角 θ 的正弦成正比, 角和这一点到光源 sin? 的距离 r 的平方成反比,即 I=k· 2 ,其中 k 是一个和灯光强度有关的常数,那么怎 r 样选择电灯悬挂的高度 h,才能使桌子边缘处最亮? 6.(★ ★ ★ ★ )在△ ABC 中, a、 b、 c 分别为角 A、 B、 C 的对边,4 sin 2 (1)求角 A 的度数; (2)若 a= 3 ,b+c=3,求 b 和 c 的值. 7.(★ ★ ★ ★ )在△ ABC 中, ∠ A、 ∠ B、 ∠ C 所对的边分别为 a、 b、 c, 且 a、 b、 3c 成等比数列, 又∠ A-∠ C=

B?C 7 ? cos 2 A ? . 2 2

?
2



试求∠ A、∠ B、∠ C 的值. 8.(★ ★ ★ ★ ★ )在正三角形 ABC 的边 AB、AC 上分别取 D、E 两点,使沿线段 DE 折叠三角形时,顶点 A 正好落在边 BC 上,在这种情况下,若要使 AD 最小,求 AD∶ AB 的值.

参考答案
难点磁场 解法一:由题设条件知 B=60° ,A+C=120° . 设 α=

A?C ,则 A-C=2α,可得 A=60° +α,C=60° -α, 2 1 1 1 1 所以 ? ? ? cos A cos C cos(60? ? ?) cos(60? ? ?) 1 1 cos ? cos ? ? ? ? ? , 1 3 2 3 2 2 1 3 1 3 cos ? ? sin ? cos ? ? cos ? ? sin ? cos ? ? sin ? 4 4 4 2 2 2 2

依题设条件有

cos ? cos 2 ? ? 3 4

?

? 2 , cos B

1 cos ? ? cos B ? ,? ? ?2 2 . 2 cos 2 ? ? 3 4
整理得 4 2 cos2α+2cosα-3 2 =0(M) (2cosα- 2 )(2 2 cosα+3)=0,∵ 2 2 cosα+3≠0,

A?C 2 ? . 2 2 解法二:由题设条件知 B=60° ,A+C=120°
∴ 2cosα- 2 =0.从而得 cos

?

? 2 1 1 ? ?2 2 ,? ? ? ?2 2 cos 60? cos A cos C

① , ② ,

把① 式化为 cosA+cosC=-2 2 cosAcosC 利用和差化积及积化和差公式,② 式可化为

A?C A?C ③ , cos ? ? 2[cos( A ? C) ? cos( A ? C)] 2 2 1 1 A?C 将 cos =cos60° = ,cos(A+C)=- 代入③ 式得: 2 2 2 A?C 2 cos ? ? 2 cos( A ? C ) ④ 2 2 A?C A?C A?C 将 cos(A - C)=2cos2( ) - 1 代 入 ④: 4 2 cos2( )+2cos - 3 2 =0 , (*) , 2 2 2 A?C A?C (2 cos ? 2 2 )( 2 2 cos ? 3) ? 0, 2 2 A?C A?C A?C 2 ? 2 2 cos ? 3 ? 0,? 2 cos ? 2 ? 0, 从而得 : cos ? . 2 2 2 2 2 cos
歼灭难点训练 一、1.解析:其中(3)(4)正确. 答案: B 二、2.解析:∵ A+B+C=π,A+C=2B,

?A?C ?

2? A?C A C A C , tan( ) ? 3, tan ? tan ? 3 (1 ? tan tan ) 3 2 2 2 2 2 A C A C 故 tan ? tan ? 3 tan tan ? 3. 2 2 2 2

答案: 3 3.解析:∵ A 为最小角∴ 2A+C=A+A+C<A+B+C=180° . ∵ cos(2A+C)=-

4 3 ,∴ sin(2A+C)= . 5 5 4 3 .故 cosB= . 5 5

∵ C 为最大角,∴ B 为锐角,又 sinB=

即 sin(A+C)=

4 3 ,cos(A+C)=- . 5 5 24 , 25

∵ cos(B+C)=-cosA=-cos[(2A+C)-(A+C)]=- ∴ cos2(B+C)=2cos2(B+C)-1= 答案:

527 . 625

527 625

三、4.解:如图:连结 BD,则有四边形 ABCD 的面积:

S=S△ ABD+S△ CDB=

1 1 · AB· ADsinA+ · BC· CD· sinC 2 2

∵ A+C=180° ,∴ sinA=sinC 故 S=

1 1 (AB· AD+BC· CD)sinA= (2× 4+6× 4)sinA=16sinA 2 2

由余弦定理,在△ ABD 中,BD2=AB2+AD2-2AB· AD· cosA=20-16cosA 2 2 2 在△ CDB 中,BD =CB +CD -2CB· CD· cosC=52-48cosC ∴ 20-16cosA=52-48cosC,∵ cosC=-cosA,

1 ,又 0° <A<180° ,∴ A=120° 故 S=16sin120° =8 3 . 2 1 cos ? ? 5.解:R=rcosθ,由此得: ? ,0 ? ? ? , r R 2 2 sin ? sin ? ? cos ? k I ?k? 2 ?k? ? 2 ? (sin ? ? cos 2 ?) 2 r R R k k 2 2 I 2 ? ( 2 ) 2 ? 2 sin 2 ? ? (1 ? sin 2 ?)(1 ? sin 2 ?) ? ( 2 ) 2 ? ( ) 3 3 R R
∴ 64cosA=-32,cosA=-

由此得I ?

k 2 3 2 ? 3 , 等号在sin ? ? 时成立, 此时h ? R tan ? ? R 2 3 2 R 9

B?C 7 ? cos 2 A ? 及A ? B ? C ? 180?, 得 : 2 2 7 2[1 ? cos( B ? C )] ? 2 cos 2 A ? 1 ? ,4(1 ? cos A) ? 4 cos 2 A ? 5 2 1 即4 cos 2 A ? 4 cos A ? 1 ? 0,? cos A ? , 2 ? 0? ? A ? 180?,? A ? 60? 6.解 : (1)由4 sin2 b2 ? c2 ? a 2 2bc 2 2 2 1 b ?c ?a 1 ? cos A ? ? ? ? (b ? c ) 2 ? a 2 ? 3bc. 2 2bc 2 ?b ? c ? 3 ?b ? 1 ?b ? 2 将a ? 3 , b ? c ? 3代入上式得 : bc ? 2 由? 得: ? 或? . ?bc ? 2 ?c ? 2 ?c ? 1 ( 2)由余弦定理得: cos A ?
7.解:由 a、b、3c 成等比数列,得:b2=3ac

1 )[cos(A+C)-cos(A-C)] 2 3 ? ∵ B=π-(A+C).∴ sin2(A+C)=- [cos(A+C)-cos ] 2 2 3 1 即 1-cos2(A+C)=- cos(A+C),解得 cos(A+C)=- . 2 2 2 ? 7 ? ? ∵ 0<A+C<π,∴ A+C= π.又 A-C= ∴ A= π,B= ,C= . 3 2 12 3 12
∴ sin2B=3sinC· sinA=3(- 8.解: 按题意, 设折叠后 A 点落在边 BC 上改称 P 点, 显然 A、 P 两点关于折线 DE 对称, 又设∠ BAP=θ, ∴ ∠ DPA=θ,∠ BDP=2θ,再设 AB=a,AD=x,∴ DP=x.在△ ABC 中, ∠ APB=180° -∠ ABP-∠ BAP=120° -θ, a sin? BP AB 由正弦定理知: .∴ BP= ? sin(120? ? ? ) sin BAP sin APB 在△ PBD 中,

DP BP x ? sin? a sin? x sin 2? ? , 所以BP ? , 从而 ? , sin DBP sin BDP sin 60? sin(120? ? ? ) sin 60?

?x ?

a sin? ? sin 60? 3a ? . sin 2? ? sin(120? ? ? ) 2 sin(60? ? 2? ) ? 3

∵ 0°≤θ≤60°,∴ 60°≤60°+2θ≤180°,∴ 当 60° +2θ=90° ,即 θ=15° 时, sin(60° +2θ)=1,此时 x 取得最小值

3a 2? 3

? ( 2 3 ? 3) a,即 AD 最小,∴ AD∶ DB=2 3 -3.


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